2020届吉林省榆树市第一高级中学高三上学期期末考试数学(理)试卷
吉林省长春市榆树市第一中学2020年高三数学理上学期期末试卷含解析
吉林省长春市榆树市第一中学2020年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若是两个非零向量，且，则与的夹角的取值范围是( )A． B. C. D.参考答案：A2. 若集合，则A∪B=A. B.C. D.参考答案：B3. 等差数列{a n}中，a1=2，a5=a4+2，则a3=（）A．4 B．10 C．8 D．6参考答案：D【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列通项公式求出首项和公差，由此能求出a3．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1=2，a5=a4+2，∴，解得a1=2，d=d=2，∴a3=2+2×2=6．故选：D．4. 若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是 A． B． C． D．参考答案：B略5. 在等差数列中，已知与是方程的两个根，若，则=（）（A）2012 （B）2013 （C）2014 （D）2015参考答案：C由题意知，，。
又，∴，，∴。
∴，∴。
故选C。
6. 点到抛物线准线的距离为1，则a的值为（）A. 或B. 或C. －4或－12D. 4或12参考答案：C因为抛物线的标准方程为，若，则准线方程为，由题设可得，则，不合题意，舍去；若，则准线方程为，由题设可得，解之得或，应选答案C。
7. 已知双曲线上有一点M到左焦点F1的距离为18，则点M到右焦点F2的距离是（）A．8 B．28 C．12 D．8或28参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义，可得||MF1|﹣|MF2||=2a=10，解方程可得所求值，检验M在两支的情况即可．【解答】解：双曲线的a=5，b=3，c==，由双曲线的定义可得||MF1|﹣|MF2||=2a=10，即为|18﹣|MF2||=10，解得|MF2|=8或28．检验若M在左支上，可得|MF1|≥c﹣a=﹣5，成立；若M在右支上，可得|MF1|≥c+a=+5，成立．故选：D．8. 在中，“”是“为直角三角形”的（▲ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A9. 函数f（x）=﹣（）A．是偶函数但不是奇函数B．是奇函数但不是偶函数C．既是偶函数又是奇函数D．既不是偶函数也不是奇函数参考答案：A【考点】函数奇偶性的判断．【分析】利用函数奇偶性的定义判断该函数的奇偶性，注意先把函数的定义域弄清楚，通过指数幂的运算法则判断得出该函数的奇偶性．【解答】解：该函数的定义域满足1﹣2x≠0，即x≠0，对于定义域内的每一个自变量x，f（﹣x）=故该函数为偶函数但不是奇函数．故选A．10. 已知函数，如果，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若复数z =（为虚数单位），则 | z | = ．参考答案：12. 定义在R上的奇函数，当时，，则＝▲．参考答案：试题分析：因为为定义在R上的奇函数，所以，，因此考点：奇函数性质13. 已知，则的最小值为▲．参考答案：2由得且，即。
吉林省榆树市第一高级中学2021届高三上学期(老教材)期末备考数学试卷(理)(解析版)
吉林省榆树市第一高级中学2021届高三上学期（老教材）期末备考卷（B ）数学试卷（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．『答 案』A『解 析』由题意得，，则，故选A ．2．设复数满足，在复平面内对应的点为在第一象限且满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．『答 案』A『解 析』∵，∴，又∵，解得，， ∴．3．若，，，则（ ）{}01A x x =≤<1021x B xx ⎧+⎫=≤⎨⎬-⎩⎭A B =102x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭112xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭102x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭{}11x x -≤<{}01A x x =≤<112B x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭102A B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭z i 5z -=z (,)x y 2232x y +=z =44i +44i -33i -33i +i 5z -=22(1)25x y +-=2232x y +=4y =4x =44i z =+0.4log 1.1a = 1.1(0.4)b =0.41.1c =A ．B ．C ．D ．『答 案』B『解 析』∵，，，∴，故选B ．4．每当临近春节时，某酒店便会到处挂满五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀个小灯，另一种是大灯下缀个小灯，已知大灯共个，小灯共个．若在该酒店的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀个小灯的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．『答 案』C『解 析』设一大三小和一大四小的灯球数分别为，则，解得， 若随机取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀个小灯的概率为． 5．函数的图象大致为（ ） A ． B ．b c a <<a b c <<a c b <<b a c <<0.4log 1.10a =< 1.10(0.4)1<<0.41.11c =>a b c <<346020532559345949595359,x y 6034205x y x y +=⎧⎨+=⎩3525x y =⎧⎨=⎩3225260C 491C 59-=233()||sin (ππ)22f x x x x =-≤≤C ．D ．『答 案』B『解 析』∵时，，∴为偶函数，排除A ，C ， 又∵时，，排除D ． 6．若非零向量，满足且，则与的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．『答 案』B『解 析』∵，则，得，设与的夹角为，则，则夹角为． 7．关于函数有以下四个结论： ①是奇函数； ②直线是的一条对称轴； ③的最大值为； ④函数在区间单调递减． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④『答 案』C『解 析』分段函数讨论：33ππ22x -≤≤2()||sin ()f x x x f x -=-=()f x 33ππ22x -≤≤3()(π)2f x f ≤ab |||=a b 2||-=⋅a b a b a b π3π4π6π22||-=⋅a b a b 22||2||-⋅+=⋅a a b b a b 223||||⋅=+a b a b a bθ222||||cos 3||||2θ+===⋅a b a b π4()sin |2||sin 2|f x x x =-()f x 3π4x =()f x ()f x 0()f x π3[,π]24①，故①错误；②，，，故不是的对称轴，故②错误；③当时，，故当时，恒成立．又由①可知为偶函数，∴的最大值为，故③正确； ④当时，，函数递减，故④正确． 8．关于函数，下列说法正确的是（ ） A ．函数有个零点 B ．函数有个零点 C ．是函数的一个零点D ．是函数的一个零点『答 案』A『解 析』令，得或，解得或，故答案选A ． 9．已知，则的值可能为（ ） A ．或 B ．或 C ．或 D ．或 『答 案』A『解 析』∵，故， 当时，；当时，． 故答案选A ．()sin |2||sin(2)|sin |2||sin 2|()f x x x x x f x -=---=-=πππ()sinsin 0422f -=-=777(π)sin π|sin π|2422f =-=-π7()(π)44f f -≠3π4x =()f x 0x ≥π0,[π,π],2()π2sin 2,(π,ππ),2x k k k f x x x k k k ⎧∈+∈⎪⎪=⎨⎪∈++∈⎪⎩N N 0x ≥()0f x ≤()f x ()f x 0π3[,π]24x ∈()sin 2sin 22sin 2f x x x x =+=2()(ln )2ln f x x x =-()f x 2()f x 4e ()f x 2e ()f x 2(ln )2ln 0x x -=ln 0x =ln 2x =1x =2e 4sin 5α=-sin 5cos 4sin cos αααα+-19131119-1913-111911191913-11191119-4sin 5α=-3cos 5α=±3cos 5α=sin 5cos 114sin cos 19αααα+=--3cos 5α=-sin 5cos 194sin cos 13αααα+=-10．已知正三棱锥中，，分别为，的中点，已知的面积为，与所成角的余弦值为，则球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．『答 案』A『解 析』如图，三棱锥为正三棱锥，设，． 过作于，连接， 则且，，． 在中，．∴在中，． ∵的面积为，与的成角的余弦值为． ∵， P ABC -E F PA AB PFC △PB FC 14O 256π3128π364π3512π3P ABC -||||||2PA PB PC m ===||||||2AB AC BC a ===P PM CF ⊥M EF EF PB ∥1||||2EF PB m ==||CF =||MC =PAC △222444cos 2222m a m aPAC a m m+-∠==⨯⨯AEC △22222||42222aEC m a m a m a m=+-⨯⨯⨯=+PFC △PB FC 14||PM =2222121cos 4EFC ⎧=⎪⎪⎨⎪∠==⎪⎩解得∴，．设球的半径为，则有，解得．∴球的体积为． 11．已知椭圆的长轴为，离心率为，则以为中点的弦所在的直线方程 为（ ）A ．或B ．或C ．或D ．或『答 案』D『解 析』由已知可得椭圆的短轴为，故椭圆方程为或，设弦的两端点为，，当椭圆方程为时，则有， 两式相减得，整理得，3a m =⎧⎪⎨=⎪⎩||PC =||CM =||6PM =O R 222(6)R R -+=4R =O 34256π4π33⨯=22221x y a b+=1035(2,2)M -2516820x y -+=1625180x y +-=1625180x y +-=2516180x y ++=2516180x y ++=2516820x y -+=1625820x y -+=2516820x y -+=22221x y a b +=82212516x y +=2211625x y +=11(,)A x y 22(,)B x y 2212516x y+=221122221251612516x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩12121212()()()()02516x x x x y y y y -+-++=12121625y y x x -=-∴弦所在的直线的斜率为，其方程为，整理得； 当椭圆方程为时，则有， 两式相减得，整理得，∴弦所在的直线的斜率为，其方程为，整理得． 根据选项可得答案为D ．12．现电脑程序随机产生一个四位二进制数（例如）其中的各位数中出现的概率为，出现的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．『答 案』D『解 析』由于二进制数的特点知每一个数位上的数字只能填，，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的位数中后位的所有结果有4类： ①后个数位都为，，记其概率为； ②后个数位只出现个，，记其概率为； ③后位数位出现个，，记其概率为； ④后个数位上出现个，记其概率为， 1625162(2)25y x -=+1625820x y -+=2211625x y +=221122221162511625x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩12121212()()()()01625x x x x y y y y -+-++=12122516y y x x -=-2516252(2)16y x -=+2516820x y -+=1234A a a a a =1100A ()2,3,4i a i =135025234X a a a =++3~(3,)5X B 27(3)125P X ==54(2)125P X ==16(0)125P X ==A 0143300X =328(0)()5125P X ===3111X =1233236(1)C ()()55125P X ===3212X =2233254(2)C ()()55125P X ===331333327(3)C ()5125P X ===故，故A 正确，B 正确，C 正确，D 错误，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线在点处的切线斜率为，则 ．『答 案』『解 析』，根据导数的几何意义可知曲线在点处的切线斜率为，∴． 14．二项式的展开式中的第项是 ．『答 案』『解 析』二项式的展开式中的第项是．15．甲、乙两队进行篮球比赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为， 客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是 ． 『答 案』『解 析』欲使甲队获胜，则第六场甲胜，前五场甲获胜三场负两场，故所求概率为3~(3,)5X B (2)x y ax e =+⋅0x =2-a =4-(2)x y ax a e '=++0x =22k a =+=-4a =-63(2)x x+322160x 63(2)x x+3242263C (2)()2160x x x=23124:2191084:2． 16．设双曲线的左焦点为，直线过点且与双曲线在第一象限交点为，若，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为．『答 『解 析』如图所示，∵直线过点，∴，半焦距， 连接，过作交于，∵，∴是直角三角形，且， 故且，， ∴，∴，∴， ∴三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步32221122323211211112111()()C ()()C C ()()322332223322P =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯13119272736108=++=22221x y a b-=1F 230x y -+=1F C P 1OP OF =O C 230x y -+=1F 1(3,0)F -3c =2PF O 1OM F P ⊥1F P M 12OP OF OF c ===12PF F △1290F PF ∠=︒2OM F P ∥22F P OM =5OM ==2655PF =136PF ==126525a PF PF =-=a =c e a ===骤．17．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1，求角大小； （2）若，求．『答 案』（1）或；（2『解 析』∵，根据余弦定理可得，∴． （1）在，，∴，∴或，当时，；当时，， ∴为或． （2）∵，∴， ∵，∴，化简得，，∵，∴． ABC △A B C a b c 222a c b +-=c =A 1sin 3C A =+sin A π127π12222a c b +-=222cos 2a c b B ac +-==π6B =ABC △c =sin B C =sin 2C =π4C =3π4π4C =ππ7ππ6412A =--=3π4C =π3πππ6412A =--=A π127π12π6B =5π6C A =-1sin 3C A =+51sin(π)63A A -=+11cos 223A A -=-π1sin()63A -=-50π6A <<ππ2π663A -<-<又∵，∴， ∴，∴ππππππ11sin sin()sin()cos cos()sin 6666663232A A A A =-+=-+-=-⨯+⨯6=． 18．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点．（1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值．『答 案』（1）证明见解析；（2）． 『解 析』（1）证明：如图，取、中点，，连接，及．∵，分别为和的中点，π1sin()063A -=-<ππ066A -<-<πcos()6A -==111ABC A B C -1AB BC AA ==60ABC ∠=︒D M N BC 1A B 1AC MN ∥ABC 11C AD A --5AB AC P Q MP PQNQ M N 1A B 1AC∴且，且， ∴，，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）如下图，以为坐标原点，方向为轴正方向，为轴正方向，以垂直轴，轴方向为轴建立空间直角坐标系，∵且，设，则，，，，， 则，， 由图易知平面的法向量为，设平面的法向量为，所以，取，则． ∴，∴二面角． 19．（12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病．今年出现的新型冠状病毒1MP AA ∥112MP AA =1NQ CC ∥112NQ CC =MP NQ ∥MP NQ =MPQN MN PQ ∥MN ⊄ABC PQ ⊂ABC MN ∥ABC D DC x DA y x y z 1AB BC AA ==60ABC ∠=︒2BC a =(0,0,0)D (,0,0)C a ,0)A 1(,0,2)C a a 1,2)A a (0,,0)DA =1(,0,2)DC a a =1DAA 1(1,0,0)=n 1ADC 2(,,)x y z =n 22100200DA ax az DC ⎧⋅==⎪⇒⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩n n 2x =-2(2,0,1)=-n 121212cos ,⋅===⋅n n n n n n 11C AD A --MERS SARS（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．某小区为进一步做好新型冠状病毒感染的肺炎疫情知识的教育，在小区内开展《新型冠状病毒防疫安全公益课》在线学习，在此之后组织了《新型冠状病毒防疫安全知识竞赛》在线活动．已知进入决赛的分别是甲、乙、丙、丁四位业主，决赛后四位业主相应的名次为、、、，该小区为了提高业主们的参与度和重视度，邀请小区内的所有业主在比赛结束前对四位业主的名次进行预测，若预测正确会有礼品获得，现用表示某业主对甲、乙、丙、丁四位业主的名次做出一种等可能的预测排列，是该业主预测的名次与真实名次的偏离程度的一种描述． （1）求该业主获得礼品的概率； （2）求的分布列及数学期望．『答 案』（1）；（2）分布列见解析，． 『解 析』（1）该业主预测的结果有种可能，预测正确的结果只有一种，所以该业主获奖的概率为． （2）以（）为一个基本事件，如下表所示：即所有可能的取值为． 分布列如下表所示：nCoV 1234,,,a b c d 1234X a b c d =-+-+-+-X 124P =5EX =44A 24=124P =,,,a b cd X 0,2,4,6,8所以．20．（12分）已知抛物线，点在轴的正半轴上，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点．（1）当直线的斜率为，且以为直径的圆与相切，求该圆的半径； （2）是否存在定点，使得不论直线绕点如何移动，恒为定值．『答 案』（1）2；（2）存在，定点为． 『解 析』设，，（1）设点，则直线的方程为，由，得， 由韦达定理得，，，由弦长公式可得， 线段的中点的纵坐标为，∴线段的中点到直线的距离为， 则，此时圆半径为．（2）设，直线的方程为，由，消去得，， 得，，，，0246852482486EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22x y =M y M l A B O l 1AB 12y =-M l M 2211||||AM BM +(0,1)M 11(,)A x y 22(,)B x y (0,)M m l y x m =+22x y y x m⎧=⎨=+⎩2220x x m --=122x x +=122x x m =-1212()222y y x x m m +=++=+||AB ==AB 1m +AB 12y =-32m +32m +=12m =22AB==(0,)M m l y kx m =+22x y y kx m⎧=⎨=+⎩y 2220x kx m --=2480Δk m =+>220k m +>122x x k +=122x x m =-22222111||()(1)AM x y m k x =+-=+同理，， ∵为定值，则，解得， ∴存在定点，使得不论直线绕点如何移动，恒为定值． 21．（12分）已知函数，当时，证明：（1）有唯一极值点； （2）有个零点．『答 案』（1）证明见解析；（2）证明见解析． 『解 析』（1）的定义域为，，当时，，单减； 当时，，单增， ∴有唯一极值点．（2）由（1）知在单减，在单增，∴在时取得极小值为， ∵，，∴，又∵， 根据零点存在性定理，函数在上有且只有一个零点． ∵，，2222||(1)BM k x =+222212222222222212111144||||(1)14x x k m k mAM BM k x x k m m k m++++=⋅=⋅=+++2211||||AM BM +221mm m=1m =(0,1)M l M 2211||||AM BM +1222()(12)ln f x x a x a x =+--1a <<()f x ()f x 2()f x (0,)+∞222222(12)()2(12)a x a x a f x x a x x +--'=+--==2(21)()x x a x+-2(0,)x a ∈()0f x '<()f x 2(,)x a ∈+∞()0f x '>()f x ()f x ()f x 2(0,)a 2(,)a +∞()f x 2x a =2222()(1ln )f a a a a =--1a <<21a e <<2ln 0a >2()0f a <222221112112()(1)0a f a a e e e e e e-=++=++->()f x 2(0,)a ln x x >222()(12)ln f x x a x a x =+--222(12)x a x a x >+--222(13)(13)x a x x x a =+-=+-∵，，∴时，，根据零点存在性定理，函数在上有且只有一个零点， ∴有个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）『选修4-4：坐标系与参数方程』在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程； （2）若直线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值．『答案』（1），；（2）．『解 析』（1）∵，∴，∴曲线的直角坐标方程为，即，∵直线的普通方程为，∴直线的极坐标方程为． （2）将代入直线的极坐标方程得．1a <<22231210a a a --=->2231a a ->231x a >-()0f x >()f x 2(,)a +∞()f x 2xOy l 2162x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t O x C 12sin ρθθ=+C l π()3θρ=∈R C A l B AB 22:((6)63C x y -+-=:cos sin 0l ρθθ+=12sin ρθθ=+212sin cos ρρθθ=+C 2212x y y +=+22((6)63x y -+-=l 0x -+=l cos sin 0ρθθ-+=π3θ=l ρ=π)3B将代入曲线的极坐标方程得，∴23．（10分）『选修4-5：不等式选讲』 已知函数． （1）求不等式解集；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．『答 案』（1）；（2）．『解 析』（1）， 当时，，解得，故无解；当时，，解得，∴； 当时，，解得，∴，∴不等式解集为．（2）依题意得， ∴，解得或， ∴的取值范围为．π3θ=C ρ=π)3A AB =()433f x x x =--+()0f x <x 25(1)54m f x x -≥+++m (0,2)(,5][10,)-∞-+∞63,33()5,34336,4x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩3x <-630x -<2x >334x -≤≤50x -<0x >304x <≤34x >360x -<2x <324x <<()0f x <(0,2)254144414164141615m x x x x x x -≥+++=+++≥--++=2515m -≥10m ≥5m ≤-m (,5][10,)-∞-+∞。
2020届吉林省榆树市第一高级中学高三上学期期末数学(文)试题(解析版)
2020届吉林省榆树市第一高级中学高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1．若集合{}|0B x x =≥，且A B A =I ，则集合A 可能是（ ） A ．{}1,2 B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R【答案】A【解析】∵A B A ⋂= ∴A B ⊆∵集合{|0}B x x =≥ ∴选项A 满足要求 故选A. 2．已知复数1=-iz i（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ) A ．12i B ．12i - C ．12D ．12-【答案】C【解析】利用复数的除法运算化简z ，由此求得z 的虚部. 【详解】()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+，故虚部为12. 故选：C 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.3．设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是A ．5-B ．4C ．3-D ．11【答案】C【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由3z x y =+可得3y x z =-+．平移直线3y x z =-+，结合图形可得，当直线3y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也取得最小值．由300x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点A 的坐标为33(,)22-．∴min 333()322z =⨯-+=-．选C ． 4．已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则a, b, c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】【详解】试题分析：因为0.80.81()22b -==，所以由指数函数的性质可得0.8 1.2122b a <=<=，552log 2log 41c ==<，因此c b a <<,故选A.【考点】1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题. 【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.5．若()f x 是定义在[]-2,2上的偶函数，在[]-2,0为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（ ）A ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】判断出()f x 的单调性，由此化简不等式(1)(2)f x f x -≤，求得不等式的解集. 【详解】由于()f x 是定义在[]22-,上的偶函数，且在[]2,0-上递增，所以在[]0,2上递减.由(1)(2)f x f x -≤得21222212x x x x ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪-≥⎩()22131114x x x x⎧-≤≤⎪⎪⇒-≤≤⎨⎪-≥⎪⎩113x ⇒-≤≤，所以不等式的解集为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.6．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率最小值为（ ） A．3B．2CD ．12【答案】C【解析】a ≤，由此求得离心率的取值范围，进而求得离心率的最小值. 【详解】设过P 作圆的切线，切点为,A B ，连接,,OA OB OP .由于PA PB ⊥，根据切线的对称性可知4APO BPO π∠=∠=.在Rt OAP ∆中有2OP OA a =≤，即2b a ≤，所以222b a ≤，即()2222a c a ≤-，化简得222a c ≤21c a≤<，所以椭圆1C 2. 故选：C 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率最值的求法，考查圆的切线的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.7．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b =，2c =，O 为ABC ∆的外心，则AO BC ⋅=u u u v u u u v（ ） A ．132B ．52C ．52-D ．6【答案】B【解析】取BC 的中点D ，可得0OD CB ⋅=u u u r u u u r ，这样AO BC ⋅u u u r u u u r AD BC =⋅u u u r u u u r，然后都用,AC AB u u u r u u u r表示后运算即可．【详解】取BC 的中点D ，连接,OD AD ，∵O 是ABC ∆外心，∴OD BC ^，0OD CB ⋅=u u u r u u u r，()AO BC AD DO BC AD BC DO BC⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1()()2AD BC AC AB AC AB =⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2222115()(32)222AC AB =-=-=u u u r u u u r ．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是取BC 的中点D ，把AO BC ⋅u u u r u u u r转化为AD BC ⋅u u u r u u u r，再选取,AC AB u u u r u u u r 为基底，用基底进行运算．8．执行如图所示的程序框图，当输出210S =时，则输入n 的值可以为A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】【详解】由题意，模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算S=n×（n-1）×…×5的值， 由于S=210=7×6×5， 可得：n=7，即输入n 的值为7． 故选B ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．143πB ．103πC ．83π D ．53π 【答案】C【解析】根据三视图判断出几何体由半个球和半个圆柱构成，由此计算出几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体的上半部分是半个球，下半部分是半个圆柱，故体积为3214181142323πππ⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查由三视图还原原图，考查球和圆柱体积有关的计算，属于基础题. 10．已知锐角α满足cos()cos24παα-=，则sin cos αα等于（ ）A ．14B ．14-C ．24D ．24-【答案】A【解析】由cos （α﹣4π）=cos2α，得22cos cos sin sin cos sin 44ππαααα+=-2(sin cos )(sin cos )(cos sin )2αααααα+=+-， (0,)2πα∈Q∴sinα+cosα＞0， 则cosα﹣sinα=22．两边平方得：112sin cos 2αα-= ， ∴1sin cos 4αα=． 故答案为A ．11．抛物线2:2(0)C x py p =>焦点F 与双曲线22221y x -=一个焦点重合，过点F 的直线交C 于点A 、B ，点A 处的切线与x 、y 轴分别交于M 、N ，若OMN ∆的面积为4，则||AF 的长为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】双曲线的一个焦点为()0,1F ，所以2p =，设点211,4x A x ⎛⎫⎪⎝⎭，则利用导数得到A 处切线方程21124x x y x =-，求出,M N 的坐标后利用OMN ∆的面积为4得到14x =±，最后利用焦半径公式可求AF .【详解】双曲线的一个焦点为()0,1F ，所以2p =.设点211,4x A x ⎛⎫⎪⎝⎭，故抛物线在点A 处切线的斜率为12x k =，切线方程为()22111112424x x x x y x x x =-+=-，所以211,0,0,24x x M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以311428OMN x S ∆==，故14x =±， 2141542x pAF =+=+=，故选C.【点睛】若求抛物线()220x py p =>上点A 的切线，我们一般可利用导数求出切线的斜率，再结合切线方程讨论相关问题.注意求焦半径的大小时应利用抛物线的焦半径公式来求.12．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为nT，则2017T =（ ） A ．2016 B ．2017C ．2018D ．2019【答案】A【解析】由2n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos2n n π-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，当1n =时，11110a S ==-=；当2n …时，1n n n a S S -=-22(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-，∴cos2n n n b a π==2(1)cos 2n n π-， ∵函数cos 2n y π=的周期242T ππ==，∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题13．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”； 丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“C 作品获得一等奖”． 若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______. 【答案】B【解析】首先根据“学校艺术节对A B C D 、、、四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设A B C D 、、、分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果．【详解】若A 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意； 若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意； 若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 综上所述，故B 获得一等奖． 【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设A B C D 、、、为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确．14．若直线20l x y +=：与圆()()22:10C x a y b -+-=相切，且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为___________． 【答案】254. 【解析】根据直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径列方程，求得,a b 的关系，利用二次函数的性质求得ab 的最大值. 【详解】圆的圆心为(),a b2a b =+=由于圆心(),a b 在直线2x y =-的上方，所以2ab >-，即20a b +>，所以22a b a b +=+=2a b =，则()222ab b b b =⋅=-+，对称轴为()224-=⨯-，所以ab 的最大值为2252444⎛-⨯+= ⎝⎭. 故答案为：254【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点和直线的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.15．在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，∠BCD =30°，AB 2+4BD 2=6，若将△ABD 沿BD 折成直二面角A-BD-C ，则三棱锥A-BDC 外接球的表面积是______.【答案】6π.【解析】先证明一条侧棱垂直于底面，可得外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的垂线与中截面的交点，再由2222AB R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求得外接球的半径，进而求出外接球的表面积. 【详解】因为将ABD ∆沿BD 折成直二面角A BD C --，AB BD ⊥，面ABD ⋂面,BCD BD AB =⊆面ABD ，所以AB ⊥面ABD .所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的垂线与中截面的交点，设外接球的半径为R ，底面外接圆的半径为r ，则2222AB R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在BCD ∆中，由题意知2sin sin 30BD BDr BCD ==∠o，所以r BD =，所以22222444AB AB BD R BD +=+=，而2246AB BD +=，所以232R =，所以外接球的表面积为246S R ππ==. 故答案为：6π 【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查几何体外接球表面积的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线by x a=平行且12AF F ∆的周长为9a ，则双曲线的离心率为______. 【答案】2【解析】根据双曲线的定义及三角形的周长可求出2111272||,||22a c a cAF AF --==，利用直线1AF 与直线by x a =平行知12cos a AF F c∠=，结合余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线定义知21||||2AF AF a -=，又21||||92AF AF a c +=- 解得2111272||,||22a c a c AF AF --==， 因为直线1AF 与直线by x a=平行， 所以12tan b AF F a ∠=，故12cos a AF F c∠=， 由余弦定理得：12cos a AF F c∠=222121||4||2||2AF c AF AF c +-=⋅ 即2211844144e e e e e-++=-，化简得2280e e +-=， 解得2e =或4e =-（舍去）. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率，属于难题.三、解答题17．在ABC ∆中,,A B C 的对边分别,,a b c ，若()2sin(2)()26f x x f C π=+=-，，c =sin B =2sin A ，（1）求C （2）求a 的值． 【答案】（1）23C π=；（2）1a =. 【解析】（1）由()2f C =，结合特殊角的三角函数值，求得C .（2）利用正弦定理得到2b a =，利用余弦定理列方程，解方程求得a 的值. 【详解】（1）由()2f C =-,得sin(2)16C π+=-,且(0,)C π∈,所以3262c ππ+=，23C π=- （2）因为sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a =又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2227422cos,3a a a a π=+-⨯ 解得1a =【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.18．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a =9，S 6=60． （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足b n+1﹣b n =n a （n ∈N +）且b 1=3，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ． 【答案】（Ⅰ）a n =2n+3；（Ⅱ）31142(1)2(2)n n --++. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前n 项和公式列出关于首项和公差的方程组进行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=9，S 6=60．∴，解得．∴a n =5+（n ﹣1）×2=2n+3． （Ⅱ）∵b n+1﹣b n =a n =2n+3，b 1=3，当n≥2时，b n =（b n ﹣b n ﹣1）+…+（b 2﹣b 1）+b 1 =[2（n ﹣1）+3]+[2（n ﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=．当n=1时，b 1=3适合上式，所以．∴．∴==点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：（1）已知数列的通项公式为1(1)nan n=+，求前n项和：111(1)1nan n n n==-++；（2）已知数列的通项公式为1(21)(21)nan n=-+，求前n项和：1111()(21)(21)22121nan n n n==--+-+；（3）已知数列的通项公式为1nan n=++，求前n项和:.11na n nn n==+-++19．“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式．某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：（1）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此2×2列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；A B合计认可不认可合计（3）在A，B城市对此种交通方式“认可”的用户中按照分层抽样的方法抽取6人，若在此6人中推荐2人参加“单车维护”志愿活动，求A城市中至少有1人的概率．参考数据如下：（下面临界值表供参考）2()P K k≥0.100.050.0250.0100.0050.001k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）【答案】（1）A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值，A城市评分的方差大于B城市评分的方差，（2）没有95%的把握，（3）3 ()5 P M=【解析】【详解】试题分析：（1）结合茎叶图根据数据的分布可得结论．（2）结合题意的到列联表，根据表中的数据求得283.841 3K=<，对比临界值表可得没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关．（3）先由分层抽样方法得到在A，B两市抽取的人数，然后根据古典概型概率公式求解即可．试题解析：(1) 由茎叶图可得：A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值；A城市评分的方差大于B城市评分的方差．(2) 由题意可得2×2列联表如下：故()2240510101583.841202015253K⨯-⨯==<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关．(3) 由题意得在A市抽取562510⨯=+人，设为x,y；在B市抽取1064510⨯=+人，设为a,b,c,d ．则从6人中推荐2人的所有基本事件共有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),x y x a x b x c x d y a(,),(,),y b y c (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)y d a b a c a d b c b d c d ，共15个．设“A 市至少有1人”为事件M ，则事件M 包含的基本事件为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),x y x a x b x c x d y a (,),(,),(,)y b y c y d ，共9个．由古典概型概率公式可得()93155P M ==， 故A 城市中至少有1人的概率为35． 20．在如图如示的多面体中，平面AEFD ⊥平面BEFC ，四边形AEFD 是边长为2的正方形，EF ∥BC ,且122BE CF BC ===. （1）若,M N 分别是,AE CF 中点，求证：MN ∥平面ABCD （2）求此多面体ABCDEF 的体积【答案】（1）见解析（2）83V =【解析】【详解】试题分析：（1）在平面CDF 中，作NH CF ⊥交DC 于H ，连接AH ，根据条件可得四边形AMNH 是平行四边形，于是MN ∥AH ，由线面平行的判定定理可得结论成立．（2）结合图形将多面体ABCDEF 的体积分为D BCF B AEFD V V --和两部分求解，由题意分别求得两个椎体的高即可． 试题解析：（1）证明：在平面CDF 中，作NH CF ⊥交DC 于H ，连接AH ． Q ,M N 是,AE CF 中点，且AEFD 是正方形，NH ∴∥DF ,12NH DF =，又AM ∥DF ,12AM DF =，,NH AM NH ∴=∥AM ， ∴四边形AMNH 是平行四边形， MN ∴∥AH ，又AH ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ， MN ∴∥平面ABCD ．（2）解：如图，连BD,BF,过F 作FG ⊥EF ，交BC 于点G ．Q 四边形BEFC 是等腰梯形， ()11,32CG BC EF FG ∴=-== Q 平面AEFD ⊥平面BEFC ，平面AEFD I 平面BEFC EF =，FG ⊥EF ，DF ⊥EF ，GF ∴⊥平面AEFD ,DF ⊥平面BEFC ． 11143432332g D BCF BCF V S DF -∆∴==⨯⨯=， 114322333g B AEFD AEFD V S HF -==⨯⨯=正方形， 故多面体ABCDEF 的体积833D BCF B AEFD V V V --=+=．21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆经过点)1P-，且△PF 1F 2的面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线l 的圆交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且CD AB λ=（R λ∈），当λ取得最小值时，求直线l 的方程.【答案】(1) 22184x y += ；(2)y x =.【解析】（1）根据12PF F △的面积求得c 的值，再利用椭圆过点)1P-及222a b c =+，求得,a b 的值，从而求得椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为y x m =+，由直线和圆、椭圆都相交，求得22m -<<，再利用弦长公式分别计算AB ，CD ，从而建立λ()f m =的函数关系式，当λ取得最小值时，可求得m 的值，从而得到直线l 的方程. 【详解】解：（1）由12PF F △的面积可得12122c ⋅⋅=，即2c =，∴224a b -=．①又椭圆C 过点)1P-，∴22611a b+=．②由①②解得a =2b =，故椭圆C 的标准方程为22184x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l 的距离d =，由弦长公式可得AB ==将y x m =+代入椭圆方程22184x y+=，得2234280x mx m ++-=，由判别式()221612280m m ∆=-->，解得m -<由直线和圆相交的条件可得d r <<，也即22m -<<，设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由弦长公式，得CD===由CD ABλ=，得CDABλ===∵22m-<<，∴2044m<-≤，则当0m=时，λ取得最小值3，此时直线l的方程为y x=．【点睛】本题考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系、弦长公式的计算、函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想的灵活运用，求解时要注意坐标法思想的运用，即如何利用坐标将λ与m建立联系，从而使问题得到解决.22．已知函数2()(0,)xx ax af x x a Re-+-=>∈.（1）当1a=时，求函数()f x的极值；（2）设()()()1f x f xg xx'+=-，若函数()g x在(0,1)(1,)⋃+∞内有两个极值点12,x x，求证：1224()()g x g xe<g.【答案】（1）极大值1(1)fe=-，极小值23(2)fe=-（2）见解析【解析】试题分析：（1）当1a=时，()21(0)xx xf x xe-+-=>，求导后根据导函数的符号判断函数()f x 的单调性，从而可得函数的极值．（2）由题意得()()()222221xx a xg xx e-++=-'，设()()2222h x x a x=-++，结合题意可得方程()0h x=在()()0,11,⋃+∞上有两个不相等的实根12,x x，且1不能是方程的根，故可得()2121221602210aax xx x⎧∆=+->⎪+⎪+=>⎨⎪=>⎪⎩，由此可得2a>．然后求得()()12g x g x=()2222224222a a a a ee++-==+⎛⎫- ⎪⎝⎭，最后由2a >可得结论成立．试题解析：（1）当1a =时，()21(0)xx x f x x e -+-=>.∴()()()()()2221112(0)x x xxx e x x e x x f x x e e -+--+---=>'=当()()0,1,2,x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增； 当()1,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减． 所以()f x 在()0,+∞上有极大值()11f e =-，极小值()232f e=- ． （2）由题意得()()()()211xf x f x x ag x x x e +-+==--'，∴()()()222221xx a x g x x e-++=-'，设()()2222h x x a x =-++，∵函数()g x 在()()0,11,⋃+∞内有两个极值点12,x x ，∴方程()()22220h x x a x =-++=在()()0,11,⋃+∞上有两个不相等的实根12,x x ，且1不能是方程的根，∴()21212216020210a a x x x x ⎧∆=+->⎪+⎪+=>⎨⎪=>⎪⎩，解得2a >． ∴()()()()()()()()12122121212121212122242111x x x xx a x a x x a x x a g x g x x e x e x x x x e +-+-+-++==--⎡⎤-++⎣⎦()2222224222a a a a ee++-==+⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴2,a >∴22244a e e+<，∴()()1222244a g x g x e e+=<．。
【数学】吉林省榆树市第一高级中学2020届高三上学期第一次月考试卷(理)
吉林省榆树市第一高级中学2020届高三上学期第一次月考数学试卷（理）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.已知集合},41|{N x x x A ∈≤≤-=，B=}1,0,1{-，则B A ⋂=（ ）}1,1.{-A }1,0.{B }1,0,1.{-C }21|.{≤≤-x x D2．命题“对任意的，”的否定是（ ） A ．不存在， B ．存在，C ．存在，D ．对任意的，3．“p q ∧为假”是“p q ∨为假”的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 4.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=1,1)32(1,)(x x a x x a x f 是R 上的减函数，则实数a 的范围是（ ） A ．)1,32( B ．)1,43[ C ．]43,32( D ．),32(+∞5.函数xx x f )31(log )(3-=的零点所在区间是( ) .A )1,0(.B )3,1( .C )4,3( .D ),4(+∞ 6．已知24sin 2,,0254παα⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，则sin cos αα+=（ ） A ． 15- B ．15C. 75-D. 75 7. 已知向量a ，b 满足1a =，2b =，(3,a b -=，则2a b +=（ ）A ．BD ．8.函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中2,0,0πϕω<>>A ）的图象如图所示，为了得到x y 2cos =的图象，则只要将)(x f 的图象（ ）x ∈R 3210x x -+≤x ∈R 3210x x -+≤x ∈R 3210x x -+≤x ∈R 3210x x -+>x ∈R 3210x x -+>A ．向左平移6π个单位长度B ．向右平移6π个单位长度C. 向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度9．设1.05.0=a ,1.0log 4=b ，1.04.0=c ,则( )A.a c b >> ； B ．a c b >> ； C ．c a b >> ； D. c a b >>10. 已知曲线e x y =，直线1=x 及14+-=x y 围成的封闭图形的面积为 ( ）A ．e +1B ．eC ． 1-eD ．18e -11． 函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图象大致为（ ）12.设函数)x f （'是函数)(x f （0≠x ）的导函数，xx f x f )(2)(<'，函数)0)((≠=x x f y 的零点为1和-2，则不等式0)(<x xf 的解集为 ( ) A.())1,0(2,⋃-∞- B. ()),1(2,+∞⋃-∞- C.)1,0()0,2(⋃- D.),1()0,2(+∞⋃-二、填空题（每小题5分，共20分）13．设函数,_______14.已知向量,满足32|2|,1||=-=，在方向上的投影为21，则._____)2(=+⋅15.已知()f x 为偶函数，当0x <时， ()()ln 3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()1,3-处的切线方程是__________．16．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于任意x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+ 成立，当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0.f x f x x x ->-给出下列命题： ①(3)0;f = ②直线6x =-是函数()y f x =的图像的一条对称轴；③函数()y f x =在[-9，-6]上为增函数；④函数()y f x =在[-9，9]上有4个零点。
吉林省2020年高三上学期期末数学试卷(理科)A卷(新版)
吉林省2020年高三上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高三上·金山期中) 设复数z= +（1+i）2 ，则复数z的共轭复数的模为（）A .B . 1C . 2D .3. （2分）右图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎页图，则甲、乙得分的中位数之和为（）A . 56分B . 57分C . 58分D . 59分4. （2分） (2016高一下·平罗期末) 下列命题中，正确的是（）A . 经过两条相交直线，有且只有一个平面B . 经过一条直线和一点，有且只有一个平面C . 若平面α与平面β相交，则它们只有有限个公共点D . 若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合5. （2分） (2017高三上·赣州期末) 已知变量x，y成负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A . y=0.4x+2.3B . y=2x+2.4C . y=﹣2x+9.5D . y=﹣0.4x+4.46. （2分） (2020高二上·厦门月考) 已知圆 .若动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为， .则直线恒过定点，点的坐标为（）A .B .C .D .7. （2分）阅读程序框图,运行相应的程序,当输入x的值为-25时,输出的值为（）A . -1B . 1C . 3D . 98. （2分） (2019高三上·肇庆月考) 已知，满足不等式组，则函数的最小值是（）A .B .C .D .9. （2分）(2018·广东模拟) 为了得到的图象，只需把函数的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度10. （2分） (2019高三上·茂名月考) 在等腰直角三角形中，，为的中点，将它沿翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为（）.A .B .C .D .11. （2分） (2019高二上·三明月考) 已知椭圆（）与双曲线（）有相同的焦点，则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·中山模拟) 定义在上的连续可导函数，若当时有，则下列各项正确的是（）A .B .C .D . 与大小不定二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是________ ．14. （2分） (2020高一下·宁波期中) 已知递增等比数列的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列.（1）则的公比为________；（2）设，则的表达式为________.15. （1分） (2015高二上·福建期末) 直线l：y=k（x+1）与抛物线y2=x只有一个公共点，则实数k的值为________．16. （1分）课本介绍过平面向量数量积运算的几何意义：等于的长度||与在方向上的投影||cos<,>的乘积．运用几何意义，有时能得到更巧妙的解题思路．例如：边长为1的正六边形ABCDEF中，点P是正六边形内的一点（含边界），则的取值范围是________三、解答题 (共8题；共70分)17. （10分） (2019高一下·湛江期末) 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量，又点，，， .（1）若，且，求向量；（2）若向量与向量共线，常数，求的值域.18. （10分） (2017高一下·资阳期末) 已知等比数列{an}中，2a4﹣3a3+a2=0，且，公比q≠1．（1）求an；（2）设{an}的前n项和为Tn ，求证．19. （5分）(2018·株洲模拟) 如图（1），等腰梯形，，，，、分别是的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线、折起，使得点和点重合，记为点，如图（2）.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20. （10分） (2019高二上·襄阳期中) 已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，右顶点为，直线与圆相切于点 .（1）求椭圆的方程.（2）过点作一条斜率存在的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值.21. （10分） (2018高二下·科尔沁期末) 已知函数f(x)=x3+bx2+cx-1,当x=-2时有极值,且在x=-1处的切线的斜率为-3.（1）求函数f(x)的解析式.（2）求函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值与最小值.22. （5分）如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点．（1）求证：AD∥OC；（2）若圆O的半径为2，求AD•OC的值．23. （10分）(2017·衡阳模拟) 以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．24. （10分）(2020·南京模拟) 设，记.（1）求；（2）记，求证：恒成立.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
2020届吉林省榆树市第一高级中学高三上学期期末数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届吉林省榆树市第一高级中学高三上学期期末数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．若集合{}|0B x x =≥，且A B A =I ，则集合A 可能是（ ） A ．{}1,2 B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R答案：A ∵A B A ⋂= ∴A B ⊆∵集合{|0}B x x =≥ ∴选项A 满足要求 故选A.2．命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是 A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤ B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤ C ．存在x ∈R ，3210x x -+> D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>答案：C 解：注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是:存在x ∈R ，3210x x -+> 选C.3．已知 1.22a =，0.212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<答案：B由函数2xy =在R 上是增函数可得021a b >>=，再由5552log 2log 4log 51c ==<=，故c b a <<．故选A.4．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b =，2c =，O 为ABC ∆的外心，则AO BC ⋅=u u u v u u u v（ ） A ．132B ．52C ．52-D ．6答案：B取BC 的中点D ，可得0OD CB ⋅=u u u r u u u r ，这样AO BC ⋅u u u r u u u r AD BC =⋅u u u r u u u r，然后都用,AC AB u u u r u u u r 表示后运算即可． 解：取BC 的中点D ，连接,OD AD ，∵O 是ABC ∆外心，∴OD BC ^，0OD CB ⋅=u u u r u u u r，()AO BC AD DO BC AD BC DO BC⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1()()2AD BC AC AB AC AB =⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2222115()(32)222AC AB =-=-=u u u r u u u r ．故选：B ．点评：本题考查平面向量的数量积，解题关键是取BC 的中点D ，把AO BC ⋅u u u r u u u r转化为AD BC ⋅u u u r u u u r，再选取,AC AB u u u r u u u r 为基底，用基底进行运算．5．若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A ．462- B ．462 C ．792 D ．792-答案：D∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r rr T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ． 【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可； (2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.6．已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且248,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =A ．(1)2n n +B ．212n (+)C ．212n +D ．(3)4n n + 答案：A设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵248,,a a a 成等比数列，∴2428a a a =⋅，即2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，∴2(13)(1)(17)d d d +=+⋅+， 解得1d =． ∴(1)(1)22n n n n n S n -+=+=．选A ． 7．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率最小值为（ ）A B C ．2D ．12答案：Ca ≤，由此求得离心率的取值范围，进而求得离心率的最小值. 解：设过P 作圆的切线，切点为,A B ，连接,,OA OB OP .由于PA PB ⊥，根据切线的对称性可知4APO BPO π∠=∠=.在Rt OAP ∆中有2OP OA a =≤，即2b a ≤，所以222b a ≤，即()2222a c a ≤-，化简得222a c ≤21c a≤<，所以椭圆1C 2. 故选：C 点评：本小题主要考查椭圆离心率最值的求法，考查圆的切线的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点()1,3P-，则2cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45答案：D由三角函数的定义可得θ的三角函数，化简2cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭后代入求值即可. 解： 由()1,3P-在终边上可得：31010sin 1010θθ====2111cos =1+cos(2)](1sin 2)sin cos 42222ππθθθθθ⎛⎫∴++=-=- ⎪⎝⎭[131010425=+⨯=， 故选：D 点评：本题主要考查了角函数的定义，诱导公式，二倍角公式，属于中档题. 9．函数()f x 的定义域是R ，且满足()()0f x f x +-=，当0x ≥时，()21xf x x =+，则()f x 图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A根据函数的奇偶性可排除B,C 选项，当0x ≥时，()21xf x x =+可知()0f x ≥，排除D 选项，即可求解. 解：因为函数()f x 的定义域是R ，且满足()()0f x f x +-=， 所以()f x 是奇函数，故函数图象关于原点成中心对称， 排除选项B,C ， 又当0x ≥时，()21xf x x =+， 可知()0f x ≥，故排除选项D, 故选：A 点评：本题主要考查了函数的奇偶性，函数图象，属于中档题.10．已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF V 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2答案：D由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以||3PF =，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得(2,0)F ，结合PF 与x 轴垂直，可得||3PF =，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．11．定义在[0,]π上的函数sin()(0)6y x πωω=->有零点，且值域1[,)2M ⊆-+∞，则ω的取值范围是（ ） A ．14[,]23B ．4[,2]3C ．14[,]63D ．1[,2]6答案：C 先由题求出666x πππωω-≤-≤-，再根据有零点和值域1,2M ⎡⎫⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，可得 066ππωππ≤-≤+，求得的取值范围.解：由0x π≤≤，有666x πππωω-≤-≤-，又因为在[]0,π上的函数sin (0)6y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭有零点， 即06πωπ≤-值域1,2M ⎡⎫⊆-+∞⎪⎢⎣⎭即66ππωππ-≤+所以066ππωππ≤-≤+，从而1463ω≤≤.故选C.点评：本题是考查三角函数的相关知识，对其函数图像和性质的掌握是解题的关键，属于中档题.12．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦答案：B本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 解：(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．点评：易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．二、填空题13．若0a >， 0b >，且()ln 0a b +=，则11a b+的最小值是___________． 答案：4由ln(a ＋b )＝0，得a ＋b ＝1.又a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＝(a ＋b ) 11a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2＋b a a b +≥4. 当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． ∴1a ＋1b的最小值是4. 14．已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，则数列{}n a 的前5项和5S 为______. 答案：31利用等比数列求和公式代入369S S =求得q ，进而根据等比数列求和公式求得数列的前5项和． 解： 显然1q ≠，因为369S S =所以()3691111q qqq--=--，319q +=，所以2q =，所以55123112S -==-，故答案为：31 点评：本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题． 15．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 答案：(1,)+∞根据条件构造函数F （x ）()xf x e =，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．解： 设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞ 点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．16．抛物线C ：()220x py p =>焦点F 与双曲线22221y x -=一个焦点重合，过点F 的直线交C 于点A 、B ，点A 处的切线与x 、y 轴分别交于M 、N ，若OMN ∆的面积为4，则AF 的长为______. 答案：5先根据双曲线的焦点求出p 的值，再根据导数的几何意义求出切线方程，根据面积求出点A 的坐标，即可求出AF . 解：Q 双曲线22221y x -=，2212a b ∴==， 2221c a b ∴=+=，1c ∴=，12p∴=， 解得2p =， 设点A 的坐标为21,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 214y x =Q ， 1'2y x ∴=，∴点A 处的切线的斜率12k m =， ∴切线方程为()21142y m m x m -=-，当0x =时，214y m =-，即210,4N m ⎛⎫- ⎪⎝⎭当0y =时，12x m =，即1,02M m ⎛⎫⎪⎝⎭OMN QV 的面积为4，21114242m m ∴⨯⨯=， 解得4m =±，()4,4A =Q 或()4,4-， 2||4()52AF ∴=--=故答案为：5 点评：本题考查了双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质和导数的几何意义，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中,,A B C 的对边分别,,a b c ，若()2sin(2)()26f x x f C π=+=-，，c =sin B =2sin A ，（1）求C （2）求a 的值． 答案：（1）23C π=；（2）1a =. （1）由()2f C =，结合特殊角的三角函数值，求得C .（2）利用正弦定理得到2b a =，利用余弦定理列方程，解方程求得a 的值. 解：（1）由()2f C =-,得sin(2)16C π+=-,且(0,)C π∈,所以3262c ππ+=，23C π=- （2）因为sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a =又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2227422cos,3a a a a π=+-⨯ 解得1a = 点评：本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.18．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a =9，S 6=60． （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足b n+1﹣b n =n a （n ∈N +）且b 1=3，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．答案：（Ⅰ）a n =2n+3；（Ⅱ）31142(1)2(2)n n --++. 试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前n 项和公式列出关于首项和公差的方程组进行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=9，S 6=60．∴，解得．∴a n =5+（n ﹣1）×2=2n+3． （Ⅱ）∵b n+1﹣b n =a n =2n+3，b 1=3，当n ≥2时，b n =（b n ﹣b n ﹣1）+…+（b 2﹣b 1）+b 1 =[2（n ﹣1）+3]+[2（n ﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=．当n=1时，b 1=3适合上式，所以．∴．∴==点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有： （1）已知数列的通项公式为1(1)n a n n =+，求前n 项和：111(1)1n a n n n n ==-++；（2）已知数列的通项公式为1(21)(21)n a n n =-+，求前n 项和： 1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+；（3）已知数列的通项公式为1n a n n =++求前n 项和:.11n a n n n n ==+++19．我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x ，y ，z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标x y z ω=++的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若4ω≥，则长势为一级；若23ω≤≤，则长势为二级；若01ω≤≤，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果： 种植地编号1A2A3A 4A 5A(),,x y z()0,1,0()1,2,1()2,1,1()2,2,2()0,1,1种植地编号6A7A8A9A10A（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z 相同的概率； （2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m ，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n ，记随机变量X m n =-，求X 的分布列. 答案：（1）25；（2）分布列见解析 ()1由表可知：空气湿度指标为0的有A 1，空气湿度指标为1的有A 2，A 3，A 5，A 8，A9，A10，空气湿度指标为2的有A4，A6，A7，由此能求出这两地的空气温度的指标z 相同的概率；()2由题意得长势等级是一级()4ω≥有A2，A 3，A4，A6，A7，A9，长势等级不是一级(4)ω<的有A 1，A 5，A 8，A10，从而随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和()E X ． 解：（1）由表可以知道:空气湿度指标为0的有1A ，空气湿度指标为1的有2A ，3A ，5A ，8A ，9A ，10A ，空气湿度指标为2的有4A ，6A ，7A ，在这10块青蒿人工种植地中任取两地，基本事件总数21045n C ==，这两地的空气温度的指标z 相同包含的基本事件个数226318m C C =+=，所以这两地的空气温度的指标z 相同的概率182455m p n ===. （2）根据题意得10块青蒿人工种植的综合指标如下表:其中长势等级是一级()4ω≥有2A ，3A ，4A ，6A ，7A ，9A ，共6个，长势等级不是一级()4ω<的有1A ，5A ，8A ，10A ，共4个， 随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，()11321164114C C P X C C ===，()1111312211647224C C C C P X C C +===， ()11111131122111647324C C C C C C P X C C ++===，()111121111164148C C C C P X C C +===， ()111111641524C C P X C C ===， 所以X 的分布列为：X1 2 3 4 5P14 724 724 18 124点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20．如图，三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12AC BC CC ===，11A B B C ⊥.（Ⅰ）证明：111AC CC ⊥；（Ⅱ）若123A B =在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1E AB C --的大小为30o ，若存在，求CE 的长，若不存在，说明理由. 答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.解：试题分析：（1）根据线面垂直的性质证明A 1C 1⊥平面CBB 1C 1 从而得到线线垂直，即可证明：A 1C 1⊥CC 1、（2）建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，利用向量法进行求解即可．解析：（Ⅰ）证明：连接1BC11BCC B∵为平行四边形，且12BC CC==11BCC B∴为菱形11BC B C⊥又11A B B C⊥Q，1B C∴⊥平面11A C B111B C AC∴⊥又1111A C C B⊥Q11A C∴⊥平面11CBB C111AC CC∴⊥（Ⅱ）123A B=Q112A C=122BC∴=1CC BC∴⊥1AC CB CC∴、、两两垂直以C为坐标原点，CAu u u v的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz-，如图所示，则()()()()()110,0,0,2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0C A B C B，设()0,0,E a()()()112,0,,2,2,2,0,-2,2,AE a AB BC=-=-=u u u v u u u v u u u u v易知，11BC AB C⊥平面，()10,2,2BC=-u u u u v，则平面1AB C的一个法向量()0,1,1m=-v设(),,n x y z=v是平面1AB E的一个法向量则1n AEn AB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u vvu u u vv202220x azx y z-+=⎧∴⎨-++=⎩得,1,122a an⎛⎫=-⎪⎝⎭v22232cos,21122am nm nm n a a-⋅===⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭v vv vv v，解得：1a=∴在棱1CC上存在点E，当1CE=时，得二面角1E AB C--的大小为30o.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆经过点)1P-，且△PF 1F 2的面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线l 的圆交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且CD AB λ=（R λ∈），当λ取得最小值时，求直线l 的方程.答案：(1) 22184x y += ；(2)y x =.（1）根据12PF F △的面积求得c 的值，再利用椭圆过点)1P -及222a b c =+，求得,a b 的值，从而求得椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为y x m =+，由直线和圆、椭圆都相交，求得22m -<<，再利用弦长公式分别计算AB ，CD ，从而建立λ()f m =的函数关系式，当λ取得最小值时，可求得m 的值，从而得到直线l 的方程. 解：解：（1）由12PF F △的面积可得12122c ⋅⋅=，即2c =，∴224a b -=．①又椭圆C 过点)1P-，∴22611a b+=．②由①②解得a =2b =，故椭圆C 的标准方程为22184x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l 的距离d =，由弦长公式可得AB ==将y x m =+代入椭圆方程22184x y+=，得2234280x mx m ++-=，由判别式()221612280m m ∆=-->，解得m -<由直线和圆相交的条件可得d r <<，也即22m -<<，设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由弦长公式，得CD===由CD ABλ=，得CDABλ===∵22m-<<，∴2044m<-≤，则当0m=时，λ取得最小值3，此时直线l的方程为y x=．点评：本题考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系、弦长公式的计算、函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想的灵活运用，求解时要注意坐标法思想的运用，即如何利用坐标将λ与m建立联系，从而使问题得到解决.22．设函数()(m)=-xf x x e（1）求函数()f x的极值；（2）当0x>时，()4<+f x x恒成立，求整数m的最大值.（参考数值 2.7183e≈，32 4.4817e≈）答案：(1) 1()=mf x e-极大值,无极小值;(2)整数m的最大值为2（1）求出函数的定义域、导函数，即可求出函数的单调区间，则极值可求.（2）题目转化为4(0)xxm x xe+<+>恒成立，构造函数设4()xxg x xe+=+，求出导函数，设()(3)xh x e x=-+，判断()h x的零点所在区间，可得()g x的单调性，即可表示出的()g x最小值，分析得到min4916()185<<g x，推出结果．解：解：（1）()f x的定义域为R,'()(m1)=--xf x x e令'()0f x>，解得1x m<-；令'()0f x<，解得1x m>-当(,1)∈-∞-x m时，()f x单调递增，当(1,)∈-+∞x m时，()f x单调递减，1()=(1)极大值-∴-=mf x f m e；无极小值.（2）()4-<+x m x e x ，因为0x e >，所以4+<+xx m x e （0x >）恒成立 设4g()+=+x x x x e ，则 33g'()1+--=-+=x x xx e x x e e设h()3=--x x e x 则'()1xh x e =-0> 所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，又23(1)40,() 4.4817 4.50,(2)52=-<≈-<=-h e h h e 所以存在03(,2)2∈x 使得0()0h x =，当()01,x x ∈时，()0h x <；当()0,x x ∈+∞时，()0h x > 所以()g x 在()01,x 上单调递减，()0,x +∞上单调递增 所以 00min 04g()+=+x x x x e 又0()0h x =，3=+x e x 所以000min 00000441g()133++=+=+=++++x x x x x x x e x x 令13t()1,(,2)32=++∈+x x x x 则'()0t x >，所以()t x 在3(,2)2上单调递增,所以3()()(2)2<<t t x t ，即min 4916()185<<g x因为m Z ∈，所以2m ≤,所以m 的最大值为2点评：本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，二次导数以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．。
吉林省2020年高三上学期期末数学试卷(理科)A卷
吉林省2020年高三上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）若集合，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·宜昌期中) 直线 x+y+1=0的倾斜角为（）A . 150oB . 60oC . 120oD . 30o3. （2分） (2020高一下·重庆期末) 已知的三个内角所对的边分别为，且满足，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二下·南城期末) 在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则a的值为（）A . -B .C .D . 15. （2分）(2019·临川模拟) 设，，，，则（）A .B .C .D .6. （2分）已知命题p：函数f （x）=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：函数y=x3+sinx的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是（）A . p∧qB . p∨qC . （￢p）∧（￢q）D . p∨（￢q）7. （2分） (2019高三上·长治月考) 已知函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数的最小正周期为为函数的一条对称轴，则函数的一个增区间为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一下·温州期末) 若平面向量，满足，，且，则等于（）A .B .C . 2D . 89. （2分） (2017高三上·重庆期中) 已知定义在R内的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[﹣1，3]时，f（x）= ，则当t∈（，2]时，方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是（）A . 3B . 4C . 5D . 610. （2分） (2018高一下·桂林期中) 已知圆的圆心在直线：上，过点作圆的一条切线，切点为，则（）A . 2B .C . 6D .二、填空题 (共5题；共6分)11. （2分） (2017高二下·山西期末) 已知离散型随机变量X的分布列如下：X012P x4x5x由此可以得到期望E(X)=________，方差D(X)=________.12. （1分）(2017·山东) 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6﹣x ，则f（919）=________．13. （1分） (2016高一上·黑龙江期中) 设x＞0，y＞0，已知（﹣x+1）（﹣y+1）=2，则xy﹣2=________14. （1分）(2017·和平模拟) 已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为________cm3 ．15. （1分） (2020高二上·青铜峡期末) 直线y = x +1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是________三、解答题 (共6题；共50分)16. （5分） (2019高二下·蛟河期中) 已知复数，求的最大值．17. （10分） (2017高二上·汕头月考) 已知是等差数列，是各项为正数的等比数列，且，， .（1）求通项公式和；（2）若，求数列的前项和 .18. （10分） (2016高二下·黔南期末) 某单位举行联欢活动，每名职工均有一次抽奖机会，每次抽奖都是从甲箱和乙箱中各随机摸取1个球，已知甲箱中装有3个红球，5个绿球，乙箱中装有3个红球，3个绿球，2个黄球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若都是绿球，则获得二等奖；若只有1个红球，则获得三等奖；若1个绿球和1个黄球，则不获奖．（1）求每名职工获奖的概率；（2）设X为前3名职工抽奖中获得一等奖和二等奖的次数之和，求X的分布列和数学期望．19. （5分）(2016·城中模拟) 如图1，平行四边形ABCD中，AB=2AD，∠DAB=60°，M是BC的中点．将△ADM 沿DM折起，使面ADM⊥面MBCD，N是CD的中点，图2所示．（Ⅰ）求证：CM⊥平面ADM；（Ⅱ）若P是棱AB上的动点，当为何值时，二面角P﹣MC﹣B的大小为60°．20. （15分） (2016高二下·宜春期末) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求k的取值范围；（3）在y轴上，是否存在定点E，使• 恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．21. （5分） (2018高二下·遵化期中) 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量吨与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：，且生产吨的成本为，问达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共6分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：。
2020年吉林省长春市榆树第一中学高三数学理联考试题含解析
2020年吉林省长春市榆树第一中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线2x＋ay＋3＝0的倾斜角为120°，则a的值是A.B．－ C．2 D．－2参考答案：A2. 下列有关命题的说法中，错误的是（）A．若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题B．“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C．“”是“”的必要不充分条件D．若命题p：”?实数x0，使x02≥0”则命题?p：“对于?x∈R，都有x2＜0”参考答案：考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：对于A，根据“或命题”真假的判断方法判断；对于B，判断充要性要双向推理，即从左右互推进行判断；对于C，思路同上；对于D，特称命题的否定：一是量词的改变，二是结论的否定，依此判断．解答：解：对于A：或命题为假，当且仅当两个命题都为真，故A为真命题；对于B：当x=1时，显然有x≥1成立，但是由x≥1，未必有x=1，故前者是后者的充分不必要条件；对于C：当sinx=时，x=或，故C为假命题；对于D：该命题的否定符合特称命题的否定方法，故D项为真命题．故选：C．点评：该题目借助于命题真假的判断重点考查了复合命题的真假判断、命题充要性的判断、及特称命题的否定等知识，要注意准确理解概念和方法．3. 如图：M（x M，y M），N（x N，y N）分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y=m，l2：y=﹣m（A≥m≥0）的两个交点，记S=|x N﹣x M|，则S（m）图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】从已知条件及所给函数的图象出发，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故x N﹣x M=，则在一个周期内S=|x N﹣x M|=常数，只有C符合．【解答】解：由已知条件及所给函数的图象知，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故x N﹣x M=，则在一个周期内S=|x N﹣x M|=常数，只有C符合，故选：C．【点评】本题主要考查函数的图象性质，结合三角函数的周期性考查学生，属于基础题．4. 已知复数z满足，则z=（）A．B．C．D．参考答案：A因为，所以．5. 等比数列{a n}中，是关于x的方程的两个实根，则（）．A．8 B．－8 C．4 D．8或－8参考答案：B是关于x的方程的两实根，所以，由得，所以，即，所以.故选B6. 已知m,n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.∥，n∥∥B.∥，，m∥nC.m⊥，m⊥n n∥D.n∥m,n⊥m⊥参考答案：答案：D解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在内，不正确，选D7. 执行右图所示的程序框图，则输出的n= A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C8.双曲线x2－y2=4的两条渐进线和直线x=2围成一个三角形区域（含边界），则该区域可表示为A． B．C． D．参考答案：答案：B9. 已知f(x)＝则f(x)>1的解集为()A．(－1,0)∪(0，e)B．(－∞，－1)∪(e，＋∞)C．(－1,0)∪(e，＋∞)D．(－∞，1)∪(e，＋∞)参考答案：C10. 已知角α的终边上有一点P(1,3)，则的值为（ ）A 、?B 、?C 、?D 、?4参考答案：A试题分析：，又因为角终边上有一点，所以，所以原式，故选A.考点：1.三角函数定义；2.诱导公式；3.同角三角函数关系.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数（a ＞0，a≠1）的值域是（﹣∞，﹣1]，则实数a 的取值范围是 ．参考答案：[，1）【考点】函数的值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的性质求出f （x ）在（﹣∞，2]的最大值，从而判断出a 的范围即可． 【解答】解：x≤2时：f （x ）=﹣x 2+2x ﹣2=﹣（x ﹣1）2﹣1， 对称轴x=1，f （x ）在（﹣∞，1）递增，在（1，2]递减； ∴f（x ）的最大值是﹣1，而f （x ）的值域是（﹣∞，﹣1]， 故0＜a ＜1，∴≤﹣1，解得：a≥，故答案为：[，1）．【点评】本题考查了分段函数问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道基础题．12. 若复数z 满足1+zi=z （i 为虚数单位），则z= ．参考答案：考点： 复数代数形式的混合运算． 专题： 数系的扩充和复数．分析： 直接利用复数的出错运算法则化简求解即可． 解答： 解：1+zi=z ，z===．故答案为：．点评： 本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．13.展开式中的系数为10，则实数a 等于参考答案： 214. ．已知x,y ∈Z,n ∈N *，设f （n ）是不等式组表示的平面区域内可行解的个数，则f （1）=_______；f （2）=_______；f （n ）=_______． 参考答案：1 3画出可行域：当n=1时，可行域内的整点为（1,0）,∴f（1）=1,当n=2时，可行域内的整点为（1,0）、（2,0）、（1,1），∴f（2）=3, 由此可归纳出f（n）=1+2+3+…+n=15. 在的展开式中，的系数为参考答案：1516. 已知函数，若与的图象有三个不同交点，则实数的取值范围是_______________参考答案：17. （原创）设等差数列有无穷多项，各项均为正数，前项和为，，且，，则的最大值为 .参考答案：16略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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2020届吉林省榆树市第一高级中学高三上学期期末考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
1. 若集合{|0}B x x =≥，且A B A =，则集合A 可以是（ ）A ．{1,2}B ．{|1}x x ≤C ．{1,0,1}-D ．R2．命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ）A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤C ．存在x ∈R ，3210x x -+>D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>3. 已知0.21.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. b a c << C ． c a b << D. b c a <<4.ABC △的三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,其中3,2b c ==.O 为ABC △的外接圆圆心,则AO BC ⋅=( ) A. 132 B. 52 C. 52- D. 6 5．若1()n x x -的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是( )A ． 462-B ． 462C ． 792D ． 792-6.已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且248,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =( )A.212n +B. 2(1)2n +C. (1)2n n +D. (3)4n n + 7.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率最小值为( )A ． 33B ． 23C ．22D ． 21 8． 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，始边上一点P(1，－3)，则)4(cos 2πθ+为（ ） A. 51 B.25 C.35 D.45 9.函数()f x 的定义域是R ，且满足()()0f x f x +-=，当0x ≥时，2()1x f x x =+，则()f x 图象大致是（ ）A. B. C. D.10．已知F 是双曲线C ：2213y x -= 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是()1,3.则APF ∆的面积为（ ）A. 13B. 12C. 23D. 3211.定义在[]0,π上的函数πy=sin(ωx-)(ω>0)6有零点,且值域1[,)2M ⊆-+∞,则ω的取值范围是( )A. 14[,]63B. 14[,]23C.4[,2]3D. 1[,2]6 12．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围( ) A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。
13．若0,0a b >>，且()ln 0a b +=，则11a b+的最小值是__________ 14．已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列{}n a 的前5项和5S 为 .15．设定义域为R 的函数()f x 满足'()(),f x f x >则1()(21),x e f x f x -<-的解集为______．16．抛物线()02:2>=p py x C 焦点F 与双曲线12222=-x y 一个焦点重合，过点F 的直线交C 于点A 、B ，点A 处的切线与x 、y 轴分别交于M 、N ，若OMN ∆的面积为4，则AF 的长为 .三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 函数)62sin(2)(π+=x x f()2,c f C ==-sin B =2sin A ，（1)求C (2)求a 的值．18. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且369,60a S ==．(I) 求数列{}n a 的通项公式；(II)若数列{}n b 满足()113n n n b b a n N b ++-=∈=且，求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 19． 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为,,x y z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标x y z ω=++的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若4ω≥，则长势为一级；若23ω≤≤，则长势为二级；若01ω≤≤，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z 相同的概率；（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m ，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n ，记随机变量X m n =-，求X 的分布列.20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AC BC CC ===，11A B B C ⊥. （Ⅰ）证明：111AC CC ⊥；（Ⅱ）若123A B =，在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1E AB C --的大小为30，若存在，求CE 的长，若不存在，说明理由.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆经过点6,1)P -，且12PF F ∆的面积2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线l 2的圆交于,A B两点，与椭圆C 交于,C D 两点，且||||(*)CD AB R λλ=∈，当λ取得最小值时，求直线l 的方程．22．设函数()(m )=-x f x x e （1）求函数()f x 的极值；（2）当0>x 时，()4<+f x x 恒成立，求整数m 的最大值.（参考数值7183.2≈e ，4817.423≈e ） (,,)x y z (1,1,2) (2,1,2) (2,0,1) (2,2,1) (0,2,1)（理科）参考答案与评分标准12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C A B D C C D A D A B二．填空题：13． 4 ; 14． 31 ; 15． ; 16． 517.解:： 由()2f C =-,得sin(2)16C π+=-,且(0,)C π∈,所以23C π= -----4分因为sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a = ----------6分又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2227422cos ,3a a a a π=+-⨯ 解得1a = ------------------10分18．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵369,60.a S == ∴1129656602a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得152a d =⎧⎨=⎩．∴ 5(1)22 3.n a n n =+-⨯=+ ……4分 （Ⅱ）∵123n n nb b a n +-==+，13b =，当2≥n 时， 1211()()n n n b b b b b b -=-++-+ [][][]2(1)32(2)32133n n =-++-+++⨯++2(1)232.2n n n n n -=⨯+=+ 当1=n 时，13b =适合上式，所以.22n n b n += ……8分11111()(2)22n b n n n n ∴==-++． 1111111111(1)()()()()232435112n T n n n n ⎡⎤∴=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ 1111(1)2212n n =+--++31142(1)2(2)n n =--++. …… 12分 19．解:（1）由表可以知道:空气湿度指标为0的有1A ,空气湿度指标为1的有2358910,,,,,A A A A A A , 空气湿度指标为2的有467,,A A A 在这10块青蒿人工种植地中任取两地,基本事件总数21045n C ==, -----------2分这两地的空气温度的指标z 相同包含的基本事件个数226318m C C =+=, ---------4分 所以这两地的空气温度的指标z 相同的概率182455m p n === --------5分 （2）根据题意得10块青蒿人工种植的综合指标如下表:编号 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 10A综合指标 1 4 4 6 2 4 5 3 5 3其中长势等级是一级(4)ω≥有234679,,,,,A A A A A A ,共6个,长势等级不是一级(4)ω<的有15810,,,A A A A ,共4个,随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4,5, ---------6分 113211641(1)4C C P X C C ===, 1111312211647(2)24C C C C P X C C +===,11111131122111647(3)24C C C C C C P X C C ++===, 1111211111641(4)8C C C C P X C C +===,111111641(5)24C C P X C C ===, （注：每一个正确得1分）所以X 的分布列为:19.（Ⅰ）证明：连接1BC 11BCC B 为平行四边形，且12BC CC == 11BCC B ∴为菱形 11BC B C ⊥….…2分又11A B B C ⊥，1B C ∴⊥平面11A C B 111B C AC ∴⊥ ……4分又1111A C C B ⊥11A C ∴⊥平面11CBB C 111AC CC ∴⊥…6分 （Ⅱ）123A B = 112A C = 122BC ∴= 1CC BC ∴⊥1AC CB CC ∴、、两两垂直……8分以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示，则11(0,0,0),(2,0,0),(0,2,2),(0,0,2),(0,2,0)C A B C B ，设(0,0,)E a11(2,0,),(2,2,2),(0,-2,2),AE a AB BC =-=-=易知，11BC AB C ⊥平面，1(0,2,2)BC =-，则平面1AB C 的一个法向量(0,1,1)m =-设(,,1)n x y =是平面1AB E 的一个法向量z y xB 1C 1A 1B C AE则100n AE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 202220x a x y -+=⎧∴⎨-++=⎩得(,1,1)22a a n =-……10分|2||||cos ,|||||2a m n m n m n -⋅<>===，解得：1a = ∴在棱1CC 上存在点E ，当1CE =时，得二面角1E AB C --的大小为30.……12分21.解：（1）由12PF F ∆的面积可得：221212,2,42c c a b ⨯⨯==∴-= -① ---2分 又椭圆C过点1)P -,22611a b∴+= ---② --------3分由①②解得2a b ==，所以椭圆C 标准方程为22184x y +=-----4分（2）设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l 的距离d = 所以||AB == ------6分 将y x m =+代入椭圆方程22184x y +=，得2234280x mx m ++-=由判别式221612(28)0m m ∆=-->，解得m -< 由直线直圆相交得22d r m <<-<<，所以(2,2)m ∈- ----8分 设1122(,),(,)Cx y D x y ，则21212428,33m m x x x x -+=-= 所以||CD== 所以||||CD ABλ=== 因为22m -<<，所以2044,m <-≤则当0m =时，λ取，此时直线l 方程为y x = ----------12分 22.解：（1）()f x 的定义域为R '()(m 1)=--x f x x e令'()0>f x ，解得1<-x m ；令'()0<f x ，解得1>-x m当(,1)∈-∞-x m 时，()f x 单调递增，当(1,)∈-+∞x m 时，()f x 单调递减，1()=(1)极大值-∴-=m f x f m e ；无极小值 ---------------4分（2）()4-<+x m x e x ，因为0x e >，所以4+<+x x m x e （0x >）恒成立设4g()+=+x x x x e ，则 33g'()1+--=-+=x x x x e x x e e设h()3=--x x e x 则h'()1=-x x e 0>所以()h x 在(0,)+∞上单调递增， 又23(1)40,() 4.4817 4.50,(2)52=-<≈-<=-h e h h e 以存在03(,2)2∈x使得0()0=h x ，当0(1,)x x ∈时，()0<h x ；当0(,)x x ∈+∞时，()0>h x 所以g()x 在0(1,)x 上单调递减，0(,)x +∞上单调递增所以 00min 04g()+=+x xx x e 又0()0=h x ，3=+x e x 所以000min 00000441g()133++=+=+=++++x x xx x x x e x x 令13t()1,(,2)32=++∈+x x x x 则'()0>t x 0()h x '，所以()t x 在3(,2)2上单调递增所以3()()(2)2<<t t x t ，即min 4916()185<<g x因为m Z ∈，所以2m ≤，所以m 的最大值为2 ------------12。