2014暑假 五年级 精英班 第4讲 循环小数 教师版

第四讲 循环小数

知识要点：

一、循环小数定义

一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。

二、循环小数分类

循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，例如0.3&和0.428571&&，

不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如0.2357

&& 三、分数化小数

把分数化成小数，有三种可能：化为有限小数、纯循环小数或混循环小数。 （1）如果一个最简分数的分母分解质因数后只含有2和5，那么这个分数会化成有限小数，比如3

8，1725，3140，89200

等，都会化成有限小数。 （2）如果一个最简分数的分母分解质因数后既不含2，也不含5，那么这个分数会化成纯循环小数，比如511，1321，1109，342673

等，都会化成纯循环小数。 （3）如果一个最简分数的分母分解质因数后既含有2或5，又含有其他质因数，那么这个分数会化成混循环小数，比如

114，752，101295，119390等，都会化成混循环小数。 四、循环小数化分数

（1）纯循环小数化分数

以0.123

&&为例 令0.123a =&&，则1000123.123

a =&&， 两式相减，得123999123999

a a =⇒= 该方法名为“错位相减法”。

结论：纯循环小数化分数，分子为循环节中数字所组成的数，分母形如999L ，其中9的个数为循环节所含数字的个数

（2）混循环小数化分数

以0.1234

&&为例 令0.1234a =&&，则10012.34a =&&，100001234.34a =&&，

两式相减，得12341299001234129900

a a -=-⇒=

。 结论：混循环小数化分数，分子为小数部分的数字组成的数减去不循环部分数字组成的数，分母形如999000L L ，其中9的个数为循环节所含数字的个数，0的个数为不循环部分所含数字的个数。

【例1】 循环小数2.35757L 的循环节是，用简便方法写作，保留三位小数写作。

【解析】 57，2.357

&&，2.358。

【例2】 下列各数哪些是循环小数？哪些不是循环小数？

（1）0.5555；（2）0.123123L ；（3）1.2345345L ；（4）2.234564309L ；（5）0.210210210；

（6）12.121212L ；（7）0.1010010001L 。

【解析】 （2）（3）（6）是循环小数，（1）（4）（5）（7）不是循环小数。

注：（1）（5）是有限小数，（4）是无限小数，不是循环小数，（7）只是有规

律，但不是循环小数。

【例3】 将23，0.666，0.6656

&&从小到大的顺序排列。 【解析】 2

0.66663=L ，0.6660.6660=，0.66560.6656=&&L ， 所以2

0.66560.6663

<<&&。

【例4】 在小数l.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是

_______(注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球

探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编

写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。)

【解析】 1.80524102007&&。

二、拓展训练

【例5】 将下列循环小数化为分数：0.15&&，1.384

&&，0.1096&&，9.614&。 【解析】 533，1281333，1811650，5539900

。

【例6】 最简纯循环小数0.abc &&化为最简分数后，分子与分母之差为9，则这个纯循环

小数为。

【解析】 30.999337

abc abc abc ==⨯&&，化简后分母一定是999的约数且与分子互质（否则不是最简分数）并且比分子大9（若分子比分母大9，则分数值大于1），由于分

子分母之差为293=，故分母不能含有质因子3，否则分子分母有公约数3，不

互质。因此分母只能是37，于是分子为28，该循环小数为

2828277560.756373727999

⨯===⨯&&。 【例7】 最简纯循环小数0.13a b &&化为最简分数后，分母最小的最简分数为。

【解析】 213130.139999311101

a b a b a b ==⨯⨯&&，化简后要求分母尽可能小那么分子、分母的最大公约数要尽可能大。首先考虑分子含有质因子101的可能性，若分子含有

质因子101，则分子一定是一个两位数乘以101（否则不可能是一个四位数），

因此分子一定是形如ABAB 的数，此时该循环小数不是最简循环小数。因此分

子不含有质因子101。

由于分子不含有质因子101，那么为了使分母小，分子最好含有因数99，即

9913a b ，99136,8a b a b ⇒+⇒==，此时6138620.130.61389999101

a b ===&&&&。

【例8】 将1111,,,,234100

L 化为小数后，有多少纯循环小数？多少混循环小数？ 【解析】 最简分数化为小数仅有三种情况：有限小数、纯循环小数、混循环小数。

一、分母仅含有质因子2、5的最简分数化为小数后为有限小数，

2至100中仅含有质因子2的数有：2、4、……、64，共6个

含有1个质因子5的数有5、10、20、40、80，共5个

含有2个质因子5的数有25、50、100

而35125100=>，故2至100中仅含有质因子2、5的数有14个

即1111,,,,234100

L 化为小数后，有限小数有14个。

二、分母中既不含有质因子2、也不含有质因子5的最简分数化为小数后为纯

循环小数

2至100中，2的倍数有50个，5的倍数有20个，2、5的公倍数有10个

因此2至100中，至少含有质因子2、5其中之一的数有60个 所以，2至100中，既不含有质因子2、也不含有质因子5的有39个

即1111,,,,234100

L 化为小数后，纯循环小数有996039-=个。

由以上结论可以推出，1111,,,,234100

L 化为小数后，混循环小数有99143946--=个。

【例9】 真分数7

a 化为小数后，从小数点后第一位开始连续若干个数字之和为1234，那么a =。

【解析】 分母为7的真分数，循环节都是1、4、2、8、5、7的不同排列，故无论a 为

何值，一个循环节的数字之和均为27，1234274519÷=L ，经尝试，37，47

符合要求，故a 为3或4。

【例10】 井上同学在做1.23a ⨯&时，将1.23&看成了1.23，结果乘积比正确答案小了0.3，

那么正确答案是。 【解析】

1.23 1.230.390a a a ⨯-⨯=⇒=&，正解为111。