概率论与数理统计中的三种重要分布

概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。

因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。

关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。

（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布)1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。

例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。

在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。

为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = ()q p A P =-=1。

2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛ξp q 10~，称ξ服从参数为)10(<<p p 的Bernoulli 分布或两点分布，记为：),1(~p B ξ。

（二）二项分布[Binomial distribution]把一重Bernoulli 试验E 独立地重复地进行n 次得到n 重Bernoulli 试验。

定义：在n 重Bernoulli 试验中，设(),()1P A p P A q p ===-若以ξ记事件A 发生的次数，则ξ为一随机变量，且其可能取值为n ,,2,1,0 ，其对应的概率由二项分布给出：{}k n kk n p p C k P --==)1(ξ，n k ,,3,2,1,0 =，则称ξ服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，记为),(~p n B ξ。

若记}{),,(k P p n k b ==ξ，显然满足：(1) 非负性: ),,(p n k b ≥0(2) 规范性:1)]1([)1(),,(0=-+=-=∑∑=-=n nk k n k knn k p p p p Cp n k b二项分布描绘的是n 重Bernoulli 试验中成功出现的次数。

若记ξ为成功出现的次数，则ξ的可能取值为n k ,,3,2,1,0 =，其相应的概率为：{}k P =ξ=()p n k b p p C k n kk n ,,)1(=--事实上：若记，次试验中成功恰好出现重""k B n B k =""次试验出现成功第i A i =""次试验出现失败第i A i = n i ,,3,2,1 =，则：n k n k n n k k k A A A A A A A A A A B 1121121......+-+-+++=，其共有kn C 个项，且两两互不相容。

由试验的独立性可知：k n k n k k n k k p p A P A P A P A P A P A A A A A P -++-==)1()()()()()(}......{121121∴()k n k kn k p p C B P --=)1(.（三）二项分布的数学期望与方差设()p n B ,~ξ，{}k n k k n p p C k P --==)1(ξ ，n k 2,1,0= 由数学期望的定义： ()()()()k n k nk kn k nk nk p p k n k n np p p k n k n k k kP E --=-==-⋅---=-⋅⋅-⋅==ξ=ξ∑∑∑)1(!!1!1)1(!!!}{1100（令l k =-1） =()()np p p np p p np p p l n l n npn l n l n ol ln ln ln l C =-+=-=--------=----=∑∑111111)]1([)1()1(!1!!1即：np E =ξ由方差的定义：22)()(ξξξE E D -=()()k n k nk kn kk nnk q p k n k n kqp C k E -=-=--==∑∑!!1!)(122ξ （令l k =-1）=()()()ln l n l q p l n l n l np ---=---+∑110!1!!11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑-=-=------10101111n l n l l n l l n l n l l n q p C q p lC np =()[]1)(1-++-n q p p n np =()21p n n np -+()()npq p np np p n n np D =-=--+=∴1)(122ξ二、泊松分布[Poisson distribution ]（一）定义：称ξ服从参数为()0>λ的Poisson 分布，若{}λλξ-==e k k p k!,...2,1,0=k记为：()λξ;~k p 或),(λπk ，()λλλ-=e k k p k!; ,...2,1,0=k显然：{}0>=k p ξ{}1!!0=====-∞=-∞=-∞=∑∑∑λλλλλλξe e k eek k p k kk kk【说明】历史上Poisson 分布是作为二项分布的近似于1837年由法国数学家泊松引入的，若把-B 试验中成功概率p 值很小的事件叫做稀有事件，则由上面TH 当n 充分大时，n 重-B 试验中稀有事件发生的次数近似服从Poisson 分布。

这时，参数λ的整数部分 []λ恰好是稀有事件发生的最可能次数，在实际中常用Poisson 分布来作为大量重复独立试验中稀有事件发生的概率分布情况的数学模型，诸如不幸事件，意外事故、故障，非常见病，自然灾害等，都是稀有事件。

许多随机现象都服从Poisson 分布。

一是社会生活对服务的要求：如电话交换机中来到的呼叫次数；公共车站来到的乘客数都近似服从Poisson 分布。

另一领域是物理学。

放射性分裂落到某区域的质电点；热电子的放射等都服从Poisson 分布。

（二）Poisson 分布的数学期望和方差设()λξ,~k p ，即{}λλξ-==e k k p k!,...2,1,0,=k()λλλλλξλλλλ==-===-∞=---∞=∞=∑∑∑e e k eek kkp E k k k kk k 11!1!()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=-==∑∑∑∑∞=-∞=---∞=-∞=011122!1!1!1)(l kk k k k k k l l e k k e e k kp k E λλλλλλξλλλ（令l k =-1）=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∞=∞=-00!!l l l l l l l e λλλλ=[]λλλλλe ee +-=()1+λλ所以：λλλλξξξ=-+=-=2222)()(E E D三、正态分布前面我们已经研究了概率论中三个重要分布中的两个：二项分布和Poisson 分布，这是两个离散型分布；下面研究第三个重要分布——正态分布，这是一个连续型分布，它不仅具有重要的理论意义，而且其应用相当广泛。

（一）定义若连续型随机变量ξ的概率密度函数为)(x f =σπ21()222σμ--x e(-)0,>∞<<∞σx 则称ξ服从参数为,μ2σ的正态分布。

简记为ξ~N (,μ2σ)。

[Normal distribution ]其相应的分布函数为：)(x F =σπ21()⎰∞---xy dy e222σμ特别地：当1,0==σμ时，称ξ服从标准正态分布。

记作)1,0(~N ξ， 其相应的密度函数和分布函数分别是：)(x ϕ=π2122x e-+∞<<∞-x )(x Φ=π21dy exy ⎰∞--22为说明上述定义的合理性,需验证)(x f 满足密度函数的性质：1.非负性：显然)(x f ≥0.2.规范性：dx x f ⎰+∞∞-)(=σπ21dx x ⎰∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡σμ--222)(exp (令σμ-=2x t )=π1⎰+∞∞--dt e t 2=1 (概率积分：22π=⎰∞+-dx e x ) 即)(x f 确为密度函数。

（二）正态分布的特点与性质正态分布又叫Gauss 分布，它在概率论的理论和应用中占有很重要的地位，因此需要研究其性质及特点。

(1))(x f 的各阶导均存在；(2))(x f 关于x =μ对称 即)(x f -μ=)(x f +μ 且当x =μ时，)(x f 取最大值)(μf =σπ21；x 离μ越远，)(x f 值越小，这表明对于同样长度的区间，当区间离μ越远，则落在该区间上的概率越小，μ------位置参数， σ--------形状参数；(3))(x f 在x =μ±σ处有拐点，且以ox 轴为水平渐近线，即±∞→x lim )(x f =0。

（三）正态分布的概率计算(1)若)1,0(~N ξ，则0≥∀x ，)(}{x x P Φ=≤ξ，)(1)(}{x x x P Φ-=-Φ=-≤ξ。

从而P {}x ≤ξ=P {-x }x ≤≤ξ=P {}{)x P x -≤-≤ξξ=)()(x x -Φ-Φ=1)(2-Φx(2)若),(~2σμξN ，则σμξη-=~)1,0(N ，且)(x F =P {x ≤ξ}=)(σμ-Φx 。

proof ：P {=≤}y ηP {σμξ-y ≤}=P {}μσξ+≤y =σπ21()dt ey t ⎰+∞---μσσμ222=π21dv ey⎰∞--22ν (令σμν-=t )即)1,0(~N η，于是F (x )=P {}x ≤ξ=P {σμξ-≤σμ-x }=)(σμ-Φx 从而对任意实数a <b ，有}{b a P ≤<ξ=⎪⎭⎫⎝⎛σμ-Φb ⎪⎭⎫⎝⎛σμ-Φ-a 。

从上述分析可知：我们对所有有关正态分布的概率计算问题，都是归结为对标准正态分布的概率计算。

（四）正态分布的应用一方面，在现实中，正态分布是有广泛应用的概率分布，许多随机现象可以用正态分布或近似的正态分布来刻画。

如在生产中，在生产条件不变的前提下，各种产品的某些量度(如建筑材料的抗压强度、细沙的强力、电灯泡的使用寿命、零件的尺寸等)一般都服从正态分布；在生物学中，同一种群的某种特征(像身高、体重等)一般也服从正态分布；在自然科学中，热力学中理想气体分子的速度分量，射击时命中位置目标沿某个坐标轴的偏差，测量同一物体的测量误差，考试成绩等都服从或近似服从正态分布；气象学中，每年某日的平均气温和降雨量，水文中的水位等也都服从或近似服从正态分布。