内蒙古2020年4月鄂尔多斯市高考模拟考试文科数学(含答案)
内蒙古2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)
又 2x12 ax1 2 0 ， 2 x22 ax2 2 0
∴ ax1 2x12 2 ， ax2 2 x22 2
∴ f ( x2 ) f (x1) ( x22 ax2 2ln x2) ( x12 ax1 2ln x1)
[ x22 (2 x22 2) 2ln x2 ] [ x12 (2 x12 2) 2ln x1]
（ 1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；
（ 2）若点 P 的极坐标为 2, ， PM PN 5 2 ，求 a 的值 .
23． [ 选修 4— 5：不等式选讲 ] （10 分）
已知函数 f x 2x 1 2x 3.
（ 1）解不等式 f x 6 ;
（ 2）记 f x 的最小值是 m , 正实数 a,b 满足 2ab+a 2b m , 求 a 2b 的最小值 .
0.001
10.828
19．（本试题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中 , 底面 ABCD 为四边形， AC BD , BC CD , PB PD , 平面 PAC 平面
PBD , AC 2 3, PCA 30 , PC 4.
(1) 求证： PA 平面 ABCD ； (2) 若四边形 ABCD 中， BAD 120 , AB BC , M 为 PC 上
R ，使得
x
2 0
-
x0
1
0 ”的否定是 _________ .
4
14. 在区间（ 0， 4）内任取一实数 t ，则 log 2(t 1） 1 的概率是 _____.
15. 已知 △ABC 中， AB
5 ， AC
7，
ABC
2 ，则该三角形的面积是
________.
2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)
2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2}，B={x|x2<4}，则A∩B=()A. {−2,−1,0，1，2}B. {0,1，2}C. {1,2}D. {1}2.i是虚数单位，复数z=1−i在复平面上对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量m⃗⃗⃗ =(λ+1,1),n⃗=(λ+2,2)，若(m⃗⃗⃗ +n⃗ )⊥(m⃗⃗⃗ −n⃗ )，则λ=()A. −4B. −3C. −2D. −14.《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积=12(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米，则cos∠AOB=()A. 125B. 325C. 15D. 7255.已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是()A. 若m//α，m//n，则n//αB. 若m⊥α，n⊥α，则n⊥mC. 若m⊥α，m//β，则α⊥βD. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥β6.等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10=20，S20=15，则S30=()A. 10B. −30C. −15D. 257.已知抛物线y2=4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|=5，则线段MN的中点到y轴的距离为()A. 3B. 32C. 5 D. 528.“x2<1”是“x<1”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要9.函数f(x)=1x−lnx−1的图象大致是()A. B.C. D.10.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n(mod m)，例如10≡4(mod6).下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的(中国剩余定理)，执行该程序框图，则输出的n等于()A. 17B. 16C. 15D. 1311.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F(−c,0)作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为()A. √5B. √52C. √5+1 D. √5+1212.设a是函数f(x)=2x−log12x的零点，若x>a，则()A. f(x 0)=0B. f(x 0)>0C. f(x 0)<0D. f(x 0)的符号不确定二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f(x)=x 3−ln x ，则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为________．14. 外地务工人员小明准备回家乡创业，他从当地银行贷款9万元作为创业基金，并在当地承包了一块300亩的耕地，每年承包费用20万元(此笔费用可在获得收益后再支付)，计划种植甲、乙两个品种的蔬菜．当年种植乙两种蔬菜的成本分别是600元/亩和200元/亩，预计当年种植甲、乙两个品种的蔬菜除去种植成本后分别带来3000元/亩和2000元/亩的收益，则合理分配资源后，当年能带来的最大利润是________万元．(利润=总收益−承包费用)15. 在三棱锥A −BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为√22，√32，√62，则该三棱锥外接球的表面积为______． 16. 已知数列{a n }的通项公式为a n ={1n ,n =1,2(12)n ,n ≥3，n ∈N ∗，其前n 项和为S n ，则n →∞lim S n =______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A ，B ，C 三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下A 类行业：85，82，77，78，83，87；B 类行业：76，67，80，85，79，81；C 类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．(Ⅰ)试估算这三类行业中每类行业的单位个数；(Ⅱ)若在A 类行业抽样的这6个单位中，随机选取3个单位进行交流发言，求选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．18.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ca+b +sinAsinB+sinC=1；(1)求B；(2)若b=√2，求a2+c2的取值范围．19.如图，在四棱锥A−BCDE中，CD⊥平面ABC，BE//CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M为AD上一点，EM⊥平面ACD．(Ⅰ)证明：EM//平面ABC；(Ⅱ)若CD=2，求四棱锥A−BCDE的体积．20.已知定点A(−3,0)、B(3,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为−1，记动点M的9轨迹为曲线C．(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)过点T(1,0)的直线l与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点S(s,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由．21.已知函数f(x)=(x+1)lnx−x+1．(Ⅰ)若xf′(x)≤x2+ax+1，求a的取值范围；(Ⅱ)证明：(x−1)f(x)≥0．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =5cosαy =4sinα(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2−4ρcosθ+3=0.(1)求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ|的最小值．23. 已知f(x)=|x +1|+|x −2|．(1)求不等式f(x)≤x +4的解集；(2)若f(x)的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a +b +c =m ，求证：1a+b +1b+c +1c+a ≥m 2．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={1,2}，B={x|x2<4}={x|−2<x<2}，∴A∩B={1}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：D解析：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．由已知求得z的坐标得答案．解：复数z=1−i在复平面上对应的点的坐标为(1,−1)，位于第四象限．故选：D．3.答案：B解析：解：m⃗⃗⃗ +n⃗=(2λ+3,3),m⃗⃗⃗ −n⃗=(−1,−1)，∴(2λ+3)×(−1)−3=0，∴λ=−3．故选：B．直接利用向量的数量积化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，是基础题．4.答案：D解析：本题考查了二倍角公式及其应用和解三角形的实际应用，考查了学生处理问题的能力，属于中档题．由题目所给弧田面积公式求出矢=1，设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，列出方程组求出d=4，r=5，从而得到cos∠AOD=dr =45，再由cos∠AOB=2cos2∠AOD−1，计算得结论．解：如图，由题意可得：AB =6，弧田面积S =12(弦×矢+矢×矢)=12×(6×矢+矢×矢)=72平方米．解得矢=1(米)或矢=−7(米)(舍)，设半径为r 米，圆心到弧田弦的距离为d 米，则{r −d =1r 2=9+d 2，解得d =4(米)，r =5(米)， ∴cos∠AOD =d r =45， ∴cos∠AOB =2cos 2∠AOD −1=3225−1=725．故选D ．5.答案：C解析：解：由m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，知：在A 中，若 m//α，m//n ，则 n//α或n ⊂α，故A 错误；在B 中，若 m ⊥α，n ⊥α，则 由线面垂直的性质得n//m ，故B 错误；在C 中，若 m ⊥α，m//β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确；在D 中，若α⊥β，m ⊂α，则 m 与β相交、平行或m ⊂β，故D 错误．故选：C ．在A 中，n//α或n ⊂α；在B 中，由线面垂直的性质得n//m ；在C 中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D 中，m 与β相交、平行或m ⊂β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.答案：C。
2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(含答案解析)
2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.若复数是虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，，且，则A. B. C. 1 D. 24.如图是来白古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，已知以直角边AC，AB为直径的半圆的面积之比为，记，则A. B. C. D.5.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列命题正确的是A. 若，，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则6.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 21B. 22C. 11D. 127.已知抛物线C：的焦点为F，A、B是抛物线上两个不同的点，若，则线段AB的中点到y轴的距离为A. 5B. 3C.D.8.在关于x的不等式中，“”是“恒成立”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.函数的图象大致是A. B.C. D.10.如图程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理．把运算“正整数N除以正整数m所得的余数是n”记为“”，例如执行该程序框图，则输出的n等于A. 16B. 17C. 18D. 1911.已知双曲线C：的焦距为2c，过左焦点作斜率为1的直线交双曲线C的右支于点P，若线段的中点在圆O：上，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.12.已知函数，若关于x的方程有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数为奇函数，曲线在点处的切线方程为______．14.某牧草种植基地2019年种植A、B、C三种牧草共50亩，种植比例如图所示．该基地计划在2020年扩大A品种和C品种的种植面积，同时保持B品种的种植面积不变，这样B品种的种植面积比例下降为若C品种的种植面积比例保持不变，那么2020年，C品种的种植面积是______亩．15.在三棱锥中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，、、的面积分别为、、，则三棱锥的外接球的表面积为______．16.设函数，点，为坐标原点，若向量，设，且是与的夹角，记为数列的前n项和，则______，______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为践行“绿水青山就是金山银山”的国家发展战略，我市对某辖区内畜牧、化工、煤炭三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到85分及其以上的单位被称为“A类”环保单位，未达到85分的单位被称为“B类”环保单位．现通过分层抽样的方法确定了这三类行业共20个单位进行调研，统计考评分数如下：畜牧类行业：85，92，77，81，89，87；化工类行业：79，77，90，85，83，91；煤炭类行业：87，89，76，84，75，94，90，88．Ⅰ计算该辖区这三类行业中每类行业的单位个数；Ⅱ若从畜牧类行业这六个单位中，再随机选取两个单位进行生产效益调查，求选出的这两个单位中既有“A类”环保单位，又有“B类”环保单位的概率．18.设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．Ⅰ求B；Ⅱ若是钝角三角形，且，求的取值范围．19.如图，在四棱锥中，已知，，，，，点M是线段PB的中点．Ⅰ证明：平面PAD；Ⅱ求四面体MPAC的体积．20.已知在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点，连线的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线E．Ⅰ求曲线E的方程；Ⅱ已知点，过原点O且斜率为的直线l与曲线E交于C，D两点点C在第一象限，求四边形MCAD面积的最大值．21.已知函数．Ⅰ求在区间上的零点个数其中为的导数；Ⅱ若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．Ⅰ求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；Ⅱ若点P在曲线上，点Q在曲线上，求的最小值及此时P点的坐标．23.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ若a、b、c均为正实数，且满足，m为的最小值，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：，复数z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：A解析：解：向量，，且，，解得．故选：A．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查向量垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：解：以直角边AC，AB为直径的半圆的面积分别为：，，由面积之比为得：，即，在中，，故．故选：D．根据两半圆的面积比，可求出AC，AB之比，从而求出，再进一步借助于三角公式求解即可．本题考查三角函数的公式变换，以及给值求值问题解法，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力和运算能力．属于中档题．5.答案：B解析：解：m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，知：在A中，若，，，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，，则由面面平行的判定定理得，故B正确；在C中，若，，，则与相交或平行，故C错误；在D中，若，，，则与相交或平行，故D错误．故选：B．在A中，与相交或平行；在B中，由面面平行的判定定理得；在C中，与相交或平行；在D中，与相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．6.答案：A解析：解：由等差数列的性质可得：，，成等差数列，，解得．故选：A．由等差数列的性质可得：，，成等差数列，即可得出．本题考查了等差数列求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：解：由抛物线的定义可知，，，，线段AB的中点到y轴的距离为．故选：D．先由抛物线的定义知，于是可得的值，再利用中点坐标公式即可得解．本题考查抛物线的定义、中点坐标公式，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：在关于x的不等式中，当时，，“”“恒成立”，当时，，“恒成立”“”，“”是“恒成立”的充要条件．故选：C．当时，，“”“恒成立”，当时，，“恒成立”“”，由此能求出“”是“恒成立”的充要条件．本题考查充分条件、必要条件、充要条件的求法，考查不等式的性质的求法，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．9.答案：B解析：解：定义域为，故排除A；，故排除C；，故排除D．故选：B．由函数的定义域及特殊点的值，运用排除法可以得到答案．本题考查由函数解析式找函数图象，通常从特殊点，单调性，奇偶性等角度运用排除法求解，属于基础题．10.答案：B解析：解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：被3除余2，被5除余2，最小两位数，故输出的n为17，故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．11.答案：C解析：解：如图，设线段的中点为Q，连接OQ，由题意可得，又直线的斜率为1，则轴，得，则，由OQ为的中位线，可得，则，得．故选：C．由题意画出图形，结合已知可得轴，分别求得与，再由双曲线的定义列式求解离心率．本题考查圆与双曲线的综合、三角形中位线定理，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线定义的应用，是中档题．12.答案：B解析：【分析】本题考查函数与方程的综合应用，指数函数与对数函数的性质，考查数形结合思想，属于中档题．利用换元法设，则方程等价于，根据指数函数和对数函数的图象和性质求出，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：令，则方程等价于，由选项知，则，所以由，得，则关于x的方程有且只有一个实数根等价于关于x的方程有且只有一个实数根，作出的图象如图：当时，由图象可知直线与的图象只有一个交点，恒满足条件；当时，要使直线与的图象只有一个交点，则只需要当时，直线与的图象没有交点，所以，即，解得，综上所述，实数a的取值范围是，故选：B．13.答案：解析：解：因为为奇函数，当时，且为奇函数，是偶函数，是奇函数，所以要使是奇函数，只需即可，所以．故，，，所以切线为，即．故答案为：．易知函数的定义域为R，根据是奇函数，可得，然后再求导数，进一步求出切点处的导数和函数值，代入点斜式即可求出切线．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，要注意抓住切点满足的两个条件列方程求解，属于基础题．14.答案：15解析：解：某牧草种植基地2019年种植A、B、C三种牧草共50亩，种植比例如图所示．则B品种2019年的种植面积为亩，该基地计划在2020年扩大A品种和C品种的种植面积，同时保持B品种的种植面积不变，这样B品种的种植面积比例下降为．年种植总面积为：亩，品种的种植面积比例保持不变，年，C品种的种植面积是亩．故答案为：15．先求出B品种2019年的种植面积为亩，再求出2020年种植总面积为：亩，由此能求出2020年，C品种的种植面积．本题考查2020年C品种种植面积的求法，考查饼图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：解析：解：三棱锥中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c由题意得：，，，解得：，，，所以球的直径为：，它的半径为，球的表面积为：，故答案为：．三棱锥中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的长宽高，转化为对角线长，即可求解外接球的表面积．本题是基础题，考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．16.答案：解析：解：由函数，点，向量，所以；．故答案为：，．利用向量的加法，结合函数解析式，即可得出结论本题考查了平面向量的综合应用问题，也考查了等比数列的求和运算问题，是中档题．17.答案：解：Ⅰ由题意得，抽取的畜牧、化工、煤炭三类行业单位个数之比为3：3：4，由分层抽样的定义，有：畜牧行业的单位个数为，化工行业的单位个数为，煤炭行业的单位的个数为，该辖区畜牧、化工、煤炭这三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80．Ⅱ记选出的2个单位中既有“A类“环保单位，又有“B类”环保单位为事件M，这2个单位的考核数据情形有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个，选出的这两个单位中既有“A类”环保单位，又有“B类”环保单位包含的基本事件有8个，分别为：，，，，，，，，选出的这两个单位中既有“A类”环保单位，又有“B类”环保单位的概率．解析：Ⅰ由分层抽样的定义，能求出该辖区畜牧、化工、煤炭这三类行业中每类行业的单位个数．Ⅱ记选出的2个单位中既有“A类“环保单位，又有“B类”环保单位为事件M，利用列举法能求出选出的这两个单位中既有“A类”环保单位，又有“B类”环保单位的概率．本题考查分层抽样的应用，考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ，可得：，，，由，．Ⅱ由题意可得：，可得，，，不妨令，可得，，即的取值范围是．解析：Ⅰ由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，可求cos B的值，进而可求B的值．Ⅱ由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由题意，不妨令，可得，结合正弦函数的性质即可求解的取值范围．本题考查解三角形的相关知识，考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19.答案：Ⅰ证明：取PA的中点N，连接MN，有，且，又，，且，得四边形MNDC是平行四边形，．又平面PAD，平面PAD，平面PAD；Ⅱ解：依题意，，，，，又，平面ABCD，，，，平面PAB．又，是C到平面PAB的距离．则．解析：Ⅰ取PA的中点N，连接MN，有，且，结合已知可得且，得四边形MNDC是平行四边形，则再由直线与平面平行的判定得到平面PAD；Ⅱ由已知结合勾股定理得到，，则平面ABCD，有，再由，可得平面则AD是C到平面PAB的距离．然后利用等体积法求解．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：Ⅰ设，由题意可得，即，整理可得，，所以曲线E的方程为，；Ⅱ设直线l的方程为，联立直线l与椭圆的方程整理可得，解得，，所以，，因为，，，且直线AM的方程：，因为，所以C点直线AM的距离，因为，所以，同理可得点D到直线AM的距离，因为，所以，所以，当且仅当，即取等号，所以四边形MCAD面积的最大值为．解析：Ⅰ设P的坐标，求出直线AP，BP的斜率，再由AP，BP的斜率之积为可得P的轨迹方程，Ⅱ设直线l的方程与曲线E联立求出C，D的坐标，由题意求出线段的值及直线AM的方程，进而求出C，D到直线AM的距离，求出四边形MCAD面积的表达式，由均值不等式求出面积的最大值．本题考查求动点的轨迹方程及直线与椭圆的综合，点到直线的距离公式和四边形面积的表达式，均值不等式的应用，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ，其在上是增函数，，，根据函数零点存在定理，使得，故在区间上的零点个数是1个；Ⅱ若关于x的不等式在上恒成立，整理可得，令，即求出函数在上的最小值，，令，则，而，，在上是增函数，，有，从而，在上是增函数，可得；．解析：Ⅰ根据函数零点存在定理即可求出；Ⅱ原不等式可转化为，令，再根据导数和函数最值的关系即可求出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为由于，转换为直角坐标方程为．Ⅱ设点到直线的距离，当时，，即，点P坐标为解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式的的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ，当时，恒成立，解得；当时，由，解得；当时，由，解得；综上，不等式的解集为；Ⅱ证明：由Ⅰ可知，，当时取得最小值m，又a，b，c为正实数，且，，当且仅当“”时取等号，．解析：Ⅰ将函数化为分段函数的形式，再分别求解，最后取并集得答案；Ⅱ利用Ⅰ，再利用基本不等式即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用，考查运算求解能力及推理论证能力，属于基础题．。
2020届内蒙古鄂尔多斯市高考模拟考试(4月)数学(文)试题(解析版)
2020届内蒙古鄂尔多斯市高考模拟考试（4月）数学（文）试题一、单选题1．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则A B =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-【答案】C【解析】由题意和交集的运算直接求出A B .【详解】∵ 集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<∴AB =1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.故选:C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.2．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】将z 整理成a bi +的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限. 【详解】解：221()()2313z i i i i i =++=++=+，所以z 所对应的点为()1,3在第一象限.故选:A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把2i 当成1进行计算.3．已知向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，则λ=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．2【答案】A【解析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值. 【详解】由于向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，所以()14210λ⨯+⨯-=解得λ=12. 故选：A 【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.4．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D【解析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==.由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩，得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以4sin 22sin cos 2555ααα==⨯=. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.5．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若m α，m β，n α∥，n β∥，则αβB ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α，n β⊥，则αβ⊥ 【答案】B【解析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果. 【详解】A 选项，若m α，m β，n α∥，n β∥，则αβ或α与β相交；故A 错；B 选项，若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβ，故B 正确；C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβ或α与β相交；故C 错；D 选项，若m n ⊥，m α，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβ或α与β相交；故D 错；故选B 【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21 B ．22C ．11D ．12【答案】A【解析】由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【详解】解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.7．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．5B ．3C ．32D ．2【答案】D【解析】由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知12||||228AF BF x x +=+++=,继而可求出124x x +=,从而可求出AB 的中点的横坐标,即为中点到y 轴的距离. 【详解】解：由抛物线方程可知，28p =，即4p =，()2,0F ∴.设()()1122,,,A x y B x y 则122,2AF x BF x =+=+，即12||||228AF BF x x +=+++=，所以124x x +=. 所以线段AB 的中点到y 轴的距离为1222x x +=. 故选:D. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得A B 、两点横坐标的和.8．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】讨论当1a >时，2210ax x ++>是否恒成立；讨论当2210ax x ++>恒成立时，1a >是否成立，即可选出正确答案. 【详解】解：当1a >时，440a ∆=-<，由221y ax x =++开口向上，则2210ax x ++>恒成立；当2210ax x ++>恒成立时，若0a =，则210x +> 不恒成立，不符合题意，若0a ≠ 时，要使得2210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩，即1a > . 所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件. 故选:C. 【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若p q ⇒，则推出p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则推出p 是q 的必要条件. 9．函数1ln 1y x x =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】借助导数分析()ln 1g x x x =--的单调性，继而分为x →+∞和0x >且0x →两种情况，探究1ln 1y x x =--的取值情况，即可选出正确图像.【详解】解：令()ln 1g x x x =--，0x >且1x ≠，则()'110g x x=-=，解得1x = 当01x <<时，()'110g x x=-<，则此时()ln 1g x x x =--递减； 当1x >时，()'110g x x=->，则此时()ln 1g x x x =--递增. 当x →+∞ 时，ln 1x x --→+∞ ，故此时()0f x > 且()0f x →，排除C,D. 当0x >且0x →时，ln x →-∞，则ln 1x x --→+∞，故此时()0f x > 且()0f x →.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的图像.在选择函数的图像时，可借助函数的定义域、奇偶性、对称性排除几个错误选项，另外，还可以代入特殊点进行排除.10．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可. 【详解】解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数.若输出16n = ，则()161mod3≡不符合题意，排除； 若输出17n =，则()()172mod3,172mod5≡≡，符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C 1D ．1【答案】C【解析】设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆222:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F 的中点，所以222PF OA c ==，而1122PF AF ===，根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即22c a -=，即1c a ==. 故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B【解析】利用换元法设()t f x =，则等价为()0f t =有且只有一个实数根，分0,0,0a a a <=> 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.【详解】解：设()t f x = ，则()0f t =有且只有一个实数根.当0a < 时，当0x ≤ 时，()103xf x a ⎛⎫=⋅< ⎪⎝⎭，由()0f t =即13log 0t =，解得1t =，结合图象可知，此时当1t =时，得()1f x = ，则13x =是唯一解，满足题意； 当0a =时，此时当0x ≤时，()103xf x a ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，此时函数有无数个零点，不符合题意；当0a > 时，当0x ≤ 时，()[)1,3xf x a a ⎛⎫=⋅∈+∞ ⎪⎝⎭，此时()f x 最小值为a ，结合图象可知，要使得关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，此时1a > . 综上所述：0a < 或1a >. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键.二、填空题13．若函数32()(1)2f x a x ax x =+++为奇函数，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______. 【答案】520x y --=【解析】由奇函数，可知()()11f f -=-，从而可求出0a =，求出函数的导数，即可求出切线的斜率，由点斜式，可写出切线的方程. 【详解】解：由函数32()(1)2f x a x ax x =+++为奇函数可知，()()11f f -=- ，即()()1212a a a a -++-=-+++，解得0a =，即3()2f x x x =+.则()13f =，()'232f x x =+，所以()'15f =.则()351y x -=- ，整理得520x y --=.故答案为: 520x y --=. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了导数的几何意义，考查了直线方程.若已知函数的奇偶性，求参数的值，一般都是代入特殊值，列关于参数的方程进行求解；若判断函数的奇偶性，则一般结合函数的图像或奇偶性的定义，判断()(),f x f x - 的关系即可. 14．某牧草种植基地2019年种植、、A B C 三种牧草共50亩，种植比例如图所示.该基地计划在2020年扩大A 品种和C 品种的种植面积，同时保持B 品种的种植面积不变，这样B 品种的种植面积比例下降为10%.若C 品种的种植面积比例保持不变，那么2020年，C 品种的种植面积是_____亩.【答案】15【解析】由题意，求出2019年三种牧草的种植面积，由2020年B 品种的种植面积比例下降为10%，可求出2020年总共占地150亩，从而可求C 品种的种植面积. 【详解】解：2019年A 种面积500.630⨯=亩，B 种面积500.315⨯=亩，C 种面积500.15⨯=亩.则由题意知，2020年，扩大后，三种牧草总共占地150.1150÷=亩 由于C 品种的种植面积比例保持不变即为10%，则15010%15⨯=亩. 故答案为:15. 【点睛】本题考查了饼形图.本题的关键是，求出2020年三种牧草总的种植面积.15．在三棱锥A BCD -中，侧棱AB AC AD 、、两两垂直，ABC 、ACD 、ADB △、A BCD -的外接球的表面积为______. 【答案】20π【解析】由已知面积可求三条侧棱的长，根据侧棱两两垂直，将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球，由三条棱的长可求出球的半径，进而可求球的表面积. 【详解】解：由题意知，121212ABC ACD ADB S AB AC S AD AC S AB AD ⎧=⋅=⎪⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪=⋅=⎪⎩，解得AB AC AD ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩由侧棱两两垂直可知，三棱锥和以AB AC AD 、、为棱的长方体的外接球相同，球心为长方体体对角线的中点.则三棱锥A BCD -的外接球的半径22R ===所以三棱锥A BCD -的外接球的表面积为2420S R ππ==. 故答案为: 20π. 【点睛】本题考查了球表面积的求解，考查了几何体外接球问题.在求几何体的外接球时，通常有三个做题思路，一是转化为长方体的外接球，求体对角线即为直径，但此种思路局限性较大；二是根据几何性质，设出球心和半径，列出关于半径的方程求解即可；三是建立坐标系.三、双空题 16．设函数()2x x f x =，点()*(,())n A n f n n N ∈，0A 为坐标原点，若向量01121n n n a A A A A A A -=+++，设(1,0)i =，且n θ是n a 与i 的夹角，记n S 为数列{}tan n θ的前n 项和，则3tan θ=_____，n S =______.【答案】18 112n - 【解析】由向量加法性质可知0,2n n n n a A A n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由题意知12t 2an n nnnn θ==，从而可求3tan θ的值，由等比数列的求和公式可求出n S . 【详解】解：由向量的加法法则可知011210,2n n n n n n a A A A A A A A A n -⎛⎫=+++== ⎪⎝⎭.由(1,0)i =，且,2n n n a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭在第一象限，所以tan n θ为直线0n A A 的斜率，由题意知，12t 2an n n n nn θ== ，所以31tan 8θ=. 设tan ,n n b n N θ*=∈，则111,2n n b n N *++=∈ ，所以1121,22n n n n b n N b *++==∈ . 则{}n b 是以12 为首项，12为公比的等比数列，即1112211,1212nn nS n N *⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-∈-. 故答案为: 18;112n -. 【点睛】本题考查了向量的加法法则，考查了等比数列的求和公式，考查了直线斜率的求解.本题的关键是将夹角的正切值转化为直线的斜率.求数列的和时，常用的思路有公式法、裂项相消、错位相减、分组求和等.本题注意，应首先先利用等比数列的定义证明{}tan n θ为等比数列，再结合等比数列求和公式求解.四、解答题17．为践行“绿水青山就是金山银山”的国家发展战略，我市对某辖区内畜牧、化工、煤炭三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到85分及其以上的单位被称为“A 类”环保单位，未达到85分的单位被称为“B 类”环保单位.现通过分层抽样的方法确定了这三类行业共20个单位进行调研，统计考评分数如下： 畜牧类行业：85，92，77，81，89，87 化工类行业：79，77，90，85，83，91 煤炭类行业：87，89，76，84，75，94，90，88 （1）计算该辖区这三类行业中每类行业的单位个数；（2）若从畜牧类行业这六个单位中，再随机选取两个单位进行生产效益调查，求选出的这两个单位中既有“A 类”环保单位，又有“B 类”环保单位的概率. 【答案】（1）60、60、80；（2）815【解析】（1）求出三类行业的个数之比，结合分层抽样的定义可求出每类行业的单位个数.（2）列举出六个单位中随机抽取两个所有的组合情况，即可得到总的事件个数及既有“A 类”环保单位，又有“B 类”环保单位的组合个数，结合古典概型即可求概率. 【详解】解：（1）由题意得，抽取的畜牧、化工、煤炭三类行业单位个数之比为3:3:4. 由分层抽样的定义，有畜牧类行业的单位个数为32006010⨯=， 化工类行业的单位个数为32006010⨯=，煤炭类行业的单位个数为42008010⨯=， 故该辖区畜牧、化工、煤炭三类行业中每类行业的单位个数分别为60、60、80. （2）记选出的这2个单位中既有“A 类”环保单位，又有“B ”环保单位为事件M .这2个单位的考核数据情形有(85,92)，(85,77)，(85,81)，(85,89)，(85,87)，(92,77)，(92,81)，(92,89)，(92,87)，(77,81)，(77,89)，(77,87)，(81,87)，(89,87)，(81,89)共15种.其中符合的事件M 的考核数据情形有(85,77)，(85,81)，(92,77)，(92,81)，(77,89)，(77,87)，(81,89)，(81,87)共8种，故所求概率8()15P M =. 【点睛】本题考查了分层抽样，考查了古典概型.在求古典概型概率时，一般采用列举法，写出所有的基本事件，然后确定总的基本事件数和符合题意的基本事件数，即可求出概率. 18．设ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，已知2cos cos cos b B a C c A =+.（1）求B ；（2）若ABC 是钝角三角形，且b =a c +的取值范围.【答案】（1）3π；（2） 【解析】（1）由正弦定理对2cos cos cos b B a C c A =+进行边角互化，结合三角形的内角和定理可得2sin cos sin B B B =，可求出1cos 2B =，从而可求出B . （2）由正弦定理可知2sin a A =，2sin c C =，由三角恒等变换可求()23sin 30a c A +=+︒，不妨设90120A ︒<<︒，结合三角函数的性质，可求出a c+的取值范围. 【详解】（1）解：由题设知，2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+，即2sin cos sin()B B A C =+，所以2sin cos sin B B B =，即1cos 2B =，又0B π<<，所以3B π=.（2）解：由题设知，32sin sin sin 60a c A C ===︒，即2sin a A =，2sin c C =， 所以()2sin 2sin 2sin 2sin 1203sin 3cos a c A C A A A A ︒+=+=+-=+()23sin 30A =+︒，不妨令9012012030150A A ︒<<︒⇒︒<+︒<︒，所以()323sin 303A <+︒<，即a c +的取值范围是(3,3). 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了三角恒等变换，考查了求三角函数的最值.若已知的式子中既有边又有角的三角函数值，一般结合正弦定理和余弦定理进行边角互化.本题第二问的关键是结合正弦定理和三角形的内角和定理，用A 表示a c +.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知//AB CD ，2PA AB AD ===，1DC =，AD AB ⊥，22PB PD ==，点M 是线段PB 的中点.（1）证明：//CM 平面PAD ； （2）求四面体MPAC 的体积. 【答案】（1）见解析；（2）23【解析】（1）取PA 的中点N ，连接MN ，通过证明MN DC //且MN DC =，证明四边形MNDC 是平行四边形，从而证明//CM DN ，即可证出线面平行. （2）通过边的关系及线面垂直，可证AD 是C 到平面PAM 的距离，求出PAMS即可求出四面体MPAC 的体积 【详解】（1）证明：取PA 的中点N ，连接MN ，有//MN AB ，且2MN AB =//MN DC ∴且MN DC =，所以四边形MNDC 是平行四边形.//CM DN ∴，又DN ⊂平面PAD ，故//CM 平面PAD .（2）解：依题意知：2228PA AB PB +==，2228PA AD PD +==， 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，又因为AB AD A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，AD PA ⊥，AB PA A ⋂=，DA ∴⊥平面PAB ，又//CD AB AD ∴是C 到平面PAM 的距离.则1111222233223C PAM PAMV AD S -=⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，考查了线面垂直的判定，考查了三棱锥体积的求解.证明线面平行，由判定定理知可证明线线平行，常用的方法有：三角形的中位线、平行四边形对边平行等.证明线线垂直时，常用的方法有：等腰三角形中三线合一、勾股定理、矩形的临边垂直，菱形的对角线垂直等.20．已知在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两定点(0,1)A ，(0,1)B -连线的斜率之积为14-，记点P 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）已知点(2,0)M ，过原点O 且斜率为(0)k k >的直线l 与曲线E 交于,C D 两点（点C 在第一象限），求四边形MCAD 面积的最大值. 【答案】（1）221(0)4x y x +=≠；（2）22【解析】（1）设(, )P x y ，写出动点P 与两定点(0,1)A ，(0,1)B -连线的斜率，由已知，可求出,x y 的方程，即可求出曲线E 的方程.（2）写出直线l 的方程，与曲线E 的方程联立，可求出交点,C D 的坐标；求出直线AM的方程，即可求出,C D 到AM 的距离，从而可求出()1212MCAD S AM d d =+=. 【详解】解：（1）设(, )P x y ，14AP BP k k ⋅=-，()11104y y x x x -+∴⋅=-≠，化简得：2214x y += 又0x ≠，∴动点P 的轨迹方程为221(0)4x y x +=≠（2）设直线l 的方程为(0)y kx k =>，由2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22144k x +=，C x ∴=，D x =，C y ∴=，D y =(0,1)A ，(2,0)M ，∴直线AM 的方程为220x y +-=.∴点C 到直线AM的距离1d ==同理：点D 到直线AM的距离2d =，因为()221214k k +>+，且0k >所以12d d ==()121222MCAD S AM d d ∴=+===≤，当且仅当14k k=，即12k =时等号成立.∴四边形MCAD面积的最大值为【点睛】本题考查了曲线方程的求解，考查了点到直线的距离，考查了直线的方程，考查了直线与曲线的位置关系，考查了基本不等式.本题的易错点是在求曲线方程时，忽略斜率一定存在，即0x ≠这一条件.求曲线方程一般的做题思路是设出动点坐标，由题意条件列出关于动点坐标的方程，即可求出；对于一些题目，也可结合椭圆、双曲线、抛物线、圆的定义，先判断出动点的轨迹，再进行求解. 21．已知函数2()2x f x e x x =+-.（1）求()f x '在区间[0,1]上的零点个数（其中()f x '为()f x 的导数）；（2）若关于x 的不等式23()(2)12f x x a x ≥+-+在[1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1个；（2）32a e ≤-【解析】（1）求出()22xf x e x +'=-，由单调性的性质可知()f x '在[]0,1上是增函数，从而结合零点存在定理，可判断()f x '在区间[0,1]上的零点个数.（2）参变分离得到2112x e x a x --≤在[1,)+∞上恒成立，令2112()x e x g x x--=，通过导数可以证明()g x 在[)1+∞上是增函数，从而可求出min 3()(1)2g x g e ==-，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）由题意知()22x f x e x +'=-，因为,2xy e y x ==在[]0,1上是增函数， 所以()f x '在[]0,1上是增函数，由(0)10210f =+-=-<'，(1)220f e e =+-=>'，根据零点存在定理，0[0,1]x ∃∈使()00f x '=，故()f x '在区间[0,1]上的零点个数是1个.（2）若关于的不等式23()(2)12f x x a x ≥+-+在[1,)+∞上恒成立， 整理得2112x e x a x --≤在[1,)+∞上恒成立，令2112()x e x g x x--=，则()22222111(1)1(1)1122()2xx x x ex x e x x e x x e g x x x x ⎛⎫------+ ⎪-+⎝⎭===-'， 令()1xh x e x =--，则()1x h x e '=-，而[1,)x ∈+∞，所以()0h x '> 所以()h x 在[1,)+∞上是增函数，即()(1)20h x h e ≥=->，有1x e x >+从而22(1)11(1)(1)111()0222x x e x x g x x x -+-++=->-=>'， 则()g x 在[)1+∞上是增函数，可得min 3()(1)2g x g e ==-.所以32a e ≤-.【点睛】本题考查了零点存在定理，考查了函数单调性的性质，考查了运用导数求函数的单调性，考查了函数最值的求解.本题的难点在于第二问中，通过放缩判断()0g x '>.判断函数单调性时，可结合函数图像、导数或者单调性的性质.若()()()f x g x h x =+ 且()(),g x h x 都是增（减）函数，则()f x 也是增（减）函数；若()()()f x g x h x =-，且()g x 是增函数，()h x 是减函数，则()f x 是增函数；若()()()f x g x h x =-，且()g x 是减函数，()h x 是增函数，则()f x 是减函数.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ++=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.【答案】（1）2213x y +=；40x y ++=（2，此时31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】（1）消去曲线1C 参数方程的参数，求得曲线1C 的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线2C 的直角坐标方程.（2）设出P 的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.【详解】（1）消去α得，曲线1C 的普通方程是：2213xy +=；把cos x ρα=，sin y ρα=代入得，曲线2C 的直角坐标方程是40x y ++= （2）设,sin )P αα，||PQ 的最小值就是点P 到直线2C 的最小距离.设d ==在56πα=-时，sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，d =32α=-，1sin 2α=-，此时31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用圆锥曲线的参数求最值，属于中档题. 23．已知函数()|21||1|f x x x =-++ （1）解不等式()3f x ≥；（2）若a b c 、、均为正实数，且满足a b c m ++=，m 为()f x 的最小值，求证：22232b c a a b c ++≥. 【答案】（1）{|1x x -或1}x （2）证明见解析【解析】（1）将()f x 写成分段函数的形式，由此求得不等式()3f x ≥的解集. （2）由（1）求得()f x 最小值m ，由此利用基本不等式，证得不等式成立. 【详解】（1）3,1,1()2,1,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩当1x <-时，()3f x 恒成立，解得1x <-； 当112x -时，由()3f x ，解得1x =-； 当12x >时，由()3f x 解得1x 所以()3f x 的解集为{|1x x -或1}x（2）由（1）可求得()f x 最小值为32，即32a b c m ++== 因为,,a b c 均为正实数，且32a b c ++=222222b c a b c a a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2()a b c ≥++=++（当且仅当12a b c ===时，取“=”） 所以222b c a a b c a b c++≥++，即22232b c a a b c ++≥.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的求法，考查利用基本不等式证明不等式，属于中档题.。
2020年内蒙古鄂尔多斯一中高考数学模拟试卷(文科)(有解析)
2020年内蒙古鄂尔多斯一中高考数学模拟试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={1,4，5}，N={0,3，5}，则M∩N=()A. {1,4}B. {0,3}C. {0,1，3，4，5}D. {5}2.已知λ∈R，a⃗=(1,2)，b⃗ =(−2,1)则“λ=2015”是“(λa⃗ )⊥b⃗ ”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件3.设i是虚数单位，复数1+ii=()A. −1+iB. −1−iC. 1+iD. 1−i4.若函数f(x)为奇函数，已知当x<0时,f(x)=2−x−2，则f(2)=()A. −2B. −1C. 0D. 25.若数列{a n}的通项公比是a n=(−1)n·(3n+1)，则a1+a2+⋯+a11=()A. 15B. 19C. −19D. −166.函数f(x)=x2−1|x|的图像大致为()A. B.C. D.7.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，若f(x)在[0,2π]恰有3个最值点，则ω的取值范围为()A. [98,138) B. [98,138] C. [98,118) D. (78,118]8. 如图1是某学习小组学生在某次数学考试中成绩的茎叶图，1号到20号同学的成绩依次为a 1，a 2，a 3，......，a 20，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该框图的输出结果是( )A. 12B. 8C. 9D. 119. 如图，点P 为正方形ABCD 对角线BD 上的点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为2，则该正方形的边长为( )A. 4√2B. 4C. 2√2D. 210. 一个长方体共顶点的三个面的面积分别是√2，√3，√6，则这个长方体的体对角线的长是 ( )A. 2√3B. 3√2C. 6D. √611. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx −y +4k =0与曲线y =√9−x 2交于A ，B 两点，且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则k =( )A. √33B. √22C. 1D. √312.已知函数f(x)={2x, x≥2x2−3, x<2，若关于x的方程f(x)=k有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A. (−3,1)B. (0,1)C. (−2,2)D. (0,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量a⃗=(x,2)，b⃗ =(1,−1)，且a⃗在b⃗ 方向上的投影为√2，则x的值是______ ．14.已知数列{a n}的前n项和S n=n(n+1)+2，其中，则a n=_______．15.在四面体中，，且，该四面体外接球的表面积为．16.如图，已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，F1F2=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在PF1上的切点为Q，若PQ=1，则双曲线的离心率是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，已知c=13，cosA=513(1)若a=36，求sin C的值(2)若△ABC的面积为6，分别求a、b的值．18.某单位有职工600人，为提高职工的人身安全，该单位计划租用专车接送本单位职工．把该单位职工的家与单位之间的距离分为6组，制成如下频率分布直方图(假设这600名职工的家与单位的距离分布比较均匀，将频率视为概率)．(1)按分层抽样的方法，抽取50名职工代表征求对接送专车的设站建议，求距离在区间[20,25)，[25,30]上应抽取的人数；(2)现从(1)中抽取的距离在区间[20,30]上的职工中，随机抽取2人，求这2人来自不同组的概率；(3)已知A，B，C三种型号的出租车的座位数及租赁价格如下表所示，假设每辆车每天只能接送一次职工，如果只租用两种型号的出租车，请确定租车方案，使得该单位每天的租车费用最少．车型A B C座位数544917费用/(元/天)60055032019. 如图，三棱锥P −ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BCA =90°，PB =BC =CA =2，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且2PF =FA ． (Ⅰ)求证：平面PAC ⊥平面BEF ； (Ⅱ)三棱锥A −BFC 的体积．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线，交椭圆E 于A ，B 两点，|AB|=3． (Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)过圆x 2+y 2=127上任意一点作圆的切线交椭圆E 于M ，N 两点，O 为坐标原点，问：OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．21. 已知函数f (x )=lnx +ax −2,a ∈R.(1)若曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为2x +y −3=0，求a 的值；(2)求函数y =f (x )的单调区间；(3)若曲线y =f (x )都在直线(a +1)x +y −2(a −1)=0的上方，求正实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =−6+5cosαy =5sinα(α为参数)(Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； (Ⅱ)若点(x,y)是圆C 上的动点，求x +y 的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −1|+|x +1|．(1)求不等式f(x)<3的解集;(2)若二次函数y =−x 2−2x +m 与函数y =f(x)的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵M={1,4，5}，N={0,3，5}，∴两集合M、N只有一个公共元素：5，∴M∩N={5}，故选：D．由交集定义即得结果．本题考查集合间的交集运算，属基础题．2.答案：A解析：解：若(λa⃗ )⊥b⃗ ，在(λa⃗ )⋅b⃗ =0，即λ(1,2)⋅(−2,1)=0恒成立，则“λ=2015”是“(λa⃗ )⊥b⃗ ”的充分不必要条件，故选：A根据向量垂直的等价条件以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量垂直的等价关系是解决本题的关键．3.答案：D解析：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．=(1+i)·(−i)=1−i．解：1+ii故选D.4.答案：A解析：本题主要考查了奇函数的性质f(−x)=−f(x)的简单应用，属于基础题．由已知可得，结合已知有f(2)=−f(−2)=−(22−2)=−2，即可求解；解：因为函数为奇函数，所以f(−x)=−f(x)因为x<0时,f(x)=2−x−2，所以f(2)=−f(−2)=−(22−2)=−2故选A5.答案：C解析：本题考查了数列递推，找到规律是解题的关键，解：由a n=(−1)n·(3n+1)可知，a1=−4,a2=7,a3=−10,...,a11=−34，所以相邻两项的和为3，所以(a1+a2)+⋯+(a9+a10)+a11=3×5−34=−19,故选C6.答案：D解析：本题考查函数图象的作法，属于基础题.根据函数的性质排除即可．解：因为函数的定义域为x≠0,x∈R，所以排除A，B，因为f(x)=f(−x)，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除C，故选Ｄ．7.答案：A解析：本题主要考查三角函数的图象和性质，属中档题．可得，x∈[0,2π]，则，可得，由此求解即可．解：， 令，x ∈[0,2π]，则，要使f(x)在[0,2π]上恰有3个最值点，则由正弦函数的图像可得∴98⩽ω<138．故选A ．8.答案：B解析：本题考查茎叶图和程序框图的循环结构，根据茎叶图和程序框图知，该程序运行后输出成绩大于或等于100的人数，由此求出输出的n 值即可．解： 根据茎叶图知，这20名同学的成绩依次为a 1，a 2，…，a 20， 分析程序框图知，该程序运行后输出成绩大于或等于100的人数， 由茎叶图，知成绩大于或等于100的人数为8， 由此知输出的结果是8． 故选B ．9.答案：B解析：解析：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算和二次函数的单调性，属于中档题．设该正方形的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系．利用向量的坐标运算、数量积运算和二次函数的单调性即可得出．解：设该正方形的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系． 设BP⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1−λ)(a,0)+λ(0,a)=(a −λa,λa)．∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0)−(a −λa,λa)=(λa,−λa)． ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa(a −λa)−λ2a 2=−2λ2a 2+λa 2=−2a 2(λ−14)2+18a 2≤18a 2，当且仅当λ=14时取等号．∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为2，∴18a 2=2，解得a =4． 故选：B ．10.答案：D解析：本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，是基础题， 设出长方体的长宽高，利用面积公式求出长宽高，然后求出对角线的长． 解：设长方体长宽高为x ，y ，z ， 则xy =√6，yz =√3，xz =√2， ∴x =√2，y =√3，z =1，∴长方体的对角线长为√2+3+1=√6， 故选D ．11.答案：C解析：本题考查了直线与圆的位置关系和向量的数量积，属于较难题．解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积的合理运用．联立{kx −y +4k =0y =√9−x 2，得(1+k 2)x 2+8k 2x +16k 2−9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积能求出k ． 解：联立{kx −y +4k =0y =√9−x 2,得(1+k 2)x 2+8k 2x +16k 2−9=0，∵直线kx −y +4k =0与曲线y =√9−x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴Δ=16k 4−4(1+k 2)(16k 2−9)>0， 解得−3√77<k <3√77，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=−8k 21+k 2，x 1x 2=16k 2−91+k 2，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 1,−y 1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 1,y 2−y 1)， ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 12−x 1x 2+y 12−y 1y 2=2，解得k =1． 故选C ．12.答案：B解析：本题主要考查函数与方程的应用，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键． 求出分段函数在各自范围上的取值范围，作出对应的图象，利用数形结合进行求解即可． 解：当x ≥2时，f(x)=2x ∈(0,1]， 当x <2时，f(x)=x 2−3≥−3， 作出函数f(x)的图象如图：若方程f(x)=k 有三个不相等的实数根， 则0<k <1， 故选：B ．13.答案：4解析：解：向量a ⃗ =(x,2)，b ⃗ =(1,−1)，且a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为a ⃗ ⋅b⃗ |b⃗ |=x−2√2=√2，解得x =4，故答案为：4．由条件利用a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为a ⃗ ⋅b ⃗|b ⃗ |，计算求得x 的值．本题主要考查向量的投影计算公式，属于基础题．14.答案：{4,(n =1)2n,(n ≥2)解析：本题主要考查由数列的前n 项和求通项公式，属于基础题．分n =1和n ≥2两种情况求a 1=S 1和a n =S n −S n−1，再作结论即可． 解：当n =1时，a 1=S 1=1×(1+1)+2=4， 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n (n +1)+2−[(n −1)·n +2]=2n ，验证，当n =1时，不适合上式，则a n ={4,(n =1)2n,(n ≥2)．故答案为{4,(n =1)2n,(n ≥2)．15.答案：解析：由题意可知：△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，又，所以可知四面体ABCD 的外接球半径为12AC ，可求外接球半径。
内蒙古2020年4月鄂尔多斯市高考模拟考试文科数学试题
2020 年鄂尔多斯市高考模拟考试
文科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号、考生号涂写在答题卡上。本试卷满分
150 分，考试时间 120 分钟。 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，只交答题卡。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
6．设等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，若 S2＝3，S4＝10，则 S6＝
A．21
B．22
C．11
D．12
7．已知抛物线 C : y2 6x 的焦点为 F，A、B 是抛物线上两个不同的点，若|AF |+|BF|=8，
则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为
A．5
B．3
C．32+2x+1＞0 中，“a＞1”是“ax2+2x+1＞0 恒成立”的
为践行“绿水青山就是金山银山”的国家发展战略，我市对某辖区内畜牧、化工、 煤炭三类行业共 200 个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到 85 分及 其以上的单位被称为“A 类”环保单位，未达到 85 分的单位被称为“B 类”环保单位．现 通过分层抽样的方法确定了这三类行业共 20 个单位进行调研，统计考评分数如下：
13．若函数 f (x) (a 1)x3 ax2 +2x 为奇函数，曲线 y f (x) 在点(1，f（1）)处的切
线方程为________________. 14．某牧草种植基地 2019 年种植 A、B、C 三种牧草共 50 亩，
种植比例如右图所示.该基地计划在 2020 年扩大 A 品种和 C 品种的种植面积，同时保持 B 品种的种植面积不变，这样 B 品种的种植面积比例下降为 10%. 若 C 品种的种植面积比 例保持不变，那么 2020 年，C 品种的种植面积是 亩.
内蒙古鄂尔多斯市第一中学2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题 文(PDF)
高三下学期第一次模拟考试文科数学一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．）1．设集合M ＝{（x ，y ）|⎩⎨⎧+-==2x y x y }，N ＝{x |x 2﹣3x +2≤0}，则M ∩N ＝（）A ．∅B ．{2}C ．{1}D ．{1，2}2．若b a ,为平面向量，则”“b a =是”“||||b a =的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知复数(3)13i z i +=-，i 为虚数单位，则下列说法正确的是()A.iz =|| B.iz = C.12=z D.z 的虚部为i-4.已知定义在[]m m 21,5--上的奇函数)(x f ，满足0>x 时，12)(-=x x f ，则)(m f 的值为（）A.-15B.-7C.3D.155．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，又合而为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次数，{a n }满足a 1＝1，且，为奇数为偶数⎩⎨⎧+-=--n a n a a n n n ,22,1211则解下4个圆环所需的最少移动次数为（）A ．7B ．10C ．12D ．226.若函数)(x f y =的大致图像如图所示，则函数的解析式可以是（）xx f D x x f C x x f B xx f A xx xx x x x x -----=+=-=+=22)(.22)(.22)(.22)(.7．已知),2||,0()cos()(R x x x f ∈<>+=πϕωϕω，两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π，当32π=x 时，函数)(x f 取得最小值，则φ的值为（）A ．3π-B ．3πC ．6πD ．6π-8.图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A ．6B ．10C ．7D ．169.已知正方形ABCD 的边长为2，以B 为圆心的圆与直线AC 相切.若点P 是圆B 上的动点，则DB AP ⋅的最大值是（）A.B. C.4D.810.有一个长方形木块，三个侧面积分别为8,12,24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为（）A.2B.22 C.4D.2411.已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，)2,0(A ，，20||||22=+OA OB 若平面内点P 满足3=,则|PO |的最大值为（）A.7B.6C.5D.412．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-++=20,02,132)(23x aex x x x f x ，若存在实数m ，使得方程m x f =)(有三个相异实根，则实数a 的范围是（）A ．),1[2+∞eB ．1,0[2e C ．]2,(-∞D ．)2,1[2e二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知向量b a ,满足),1(),20(m b m a ==，，且a 在b 方向上的投影是552，则实数m ＝．14．数列{a n }满足31=a 且对于任意的n ∈N *都有21+=-+n a a n n ，则39a ＝15．在四面体ABCD 中，△ABD 与△BDC 都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BDC ，则该四面体外接球的体积为．16.双曲线()2222:10,0-=>>x y C a b a b的左、右焦点分别为()12,0-F 、()22,0F ，M 是C右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ，2∆MPF 的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若=PQ ，则C 的离心率为____.三、解答题（共70分.）17.(本小题12分)在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+.（1）若4a =,ABC 的面积为,b c 的值；（2）若sin sin (0)B k C k =>，且C 角为钝角，求实数k 的取值范围.18．(本小题12分)中国北京世界园艺博览会于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行．组委会为方便游客游园，特推出“导引员”服务．“导引员”的日工资方案如下：A 方案：由三部分组成（表一）底薪150元工作时间6元/小时行走路程11元/公里B 方案：由两部分组成：（1）根据工作时间20元/小时计费：（2）行走路程不超过4公里时，按10元/公里计费；超过4公里时，超出部分按15元/公里计费．已知“导引员”每天上班8小时，由于各种因素，导引员”每天行走的路程是一个随机变量．试运行期间，组委会对某天100名“导引员”的行走路程述行了统计，为了计算方便对日行走路程进行取整处理．例如行走1.8公里按1公里计算，行走5.7公里按5公里计算．如表所示：（表二）行走路程（公里）（0，4]（4，8]（8，12]（12，16]（16，20]人数510154525（Ⅰ）分别写出两种方案的日工资y （单位：元）与日行走路程x （单位：公里）（x ∈N ）的函数关系，（Ⅱ）（i ）现按照分层抽样的方工式从（4，8]、（8，12]共抽取5人组成爱心服务队，再从这5人中抽取3人当小红帽，求小红帽中恰有1人来自（4，8]的概率；（ii ）“导引员”小张因为身体原因每天只能行走12公里，如果仅从日工资的角度考虑，请你帮小张选择使用哪种方案会使他的日工资更高？19.(本小题12分)如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ，E 为线段PB 的中点．（1）若F 为线段BC 上的动点，证明：平面AEF ⊥平面PBC ；（2）若F 为线段BC ，CD ，DA 上的动点（不含A ，B ），PA ＝2，三棱锥A ﹣BEF 的体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．20.(本小题12分)如图，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，2||21=F F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于B A ,两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.(1)求椭圆C 的离心率及方程；(2)试问：是否存在定点)0,(0x P ,使得PB PM ⋅为定值？若存在求出0x ,若不存在，说明理由.21.(本小题12分)设函数2)()(,)1ln()(bx x f x g bx ax x f -=++=(1)若1,1-==b a ，求函数)(x f 的单调区间；(2)若曲线)(x g y =在点)3ln ,1(处的切线与直线0311=-y x 平行.(i)求b a ,的值；(ii)求实数)3(≤k k 的取值范围，使得)()(2x x k x g ->对),0(+∞∈x 恒成立.[二选一(本小题10分)：请任选一题作答，并在答题卡上将相应题号涂黑]22．在直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos y x （θ为参数），经过变换⎩⎨⎧='='yy xx 2，得曲线C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若A ，B 为曲线C 上的动点，且∠AOB ＝2π，证明：22|OB |1|OA |1+为定值23．已知函数.|,||2|)(R x x m x x f ∈+-=（Ⅰ）若不等式2)(m x f ≥对∀x ∈R 恒成立，求正实数m 的取值范围；（Ⅱ）设实数t 为（Ⅰ）中m 的最大值．若正实数a ，b ，c 满足2tabc =，求)1)(1)(1(c b a +++的最小值．。
内蒙古2020年高考文科数学模拟试题及答案(二)
②根据题意得2×2列联表：
满意型
需改进型
合计
女性
15
5
20
男性
5
15
20
合计
20
20
40
由于 ，
查表得 ，
所以有99%的把握认为“认定类型”与性别有关。
20.（1）设 ，则 内，
由余弦定理得 ，化简得 ，解得
故 ，得
所以椭圆 的标准方程为
②“∃x0∈R，使得x －x0>0”的否定是：“∀x∈R，均有x2－x<0”；
③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件；
④p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}，p且q为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。）
三、解答题
17.（1）∵ ，∴ .
∴ ，
∴ .
∵ ，∴ ，∴ ，∴ .
（2）∵ 的面积为 ，∴ ，∴ .
由 ， 及 ，得 ，∴ .
又 ，∴
故其周长为 .
18.（1）证明：在左图中，∵四边形 是菱形， ， 是 的中点，
∴ ，
故在右图中， ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
所以 .
内蒙古2020年高考文科数学模拟试题及答案
（二）
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)
2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x<−12}，B={x|−1<x<0}，则A∩B=()A. {x|x<0}B. {x|x<−12}C. {x|−1<x<−12} D. {x|x>−1}2.若复数z=(2+i)(1+i)(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量 a⃗⃗⃗ =(1,2)，b⃗ =(4λ,−1)，且a⃗⊥b⃗ ，则λ=()A. 12B. 14C. 1D. 24.如图是来白古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.已知以直角边AC，AB为直径的半圆的面积之比为14，记∠ABC=α，则sin2α=()A. 925B. 1225C. 35D. 455.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列命题正确的是()A. 若m//α，m//β，n//α，n//β，则α//βB. 若m//n，m⊥α，n⊥β，则α//βC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥n，m//α，n⊥β，则α⊥β6.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=3，S4=10，则S6=()A. 21B. 22C. 11D. 127.已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，A、B是抛物线上两个不同的点，若|AF|+|BF|=8，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. 5B. 3C. 32D. 528.在关于x的不等式ax2+2x+1>0中，“a>1”是“ax2+2x+1>0恒成立”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 函数f(x)=1x−lnx−1的图象大致是( ) A. B.C. D.10. 如图程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理．把运算“正整数N除以正整数m 所得的余数是n ”记为“N ≡n(modm)”，例如7≡1(mod2).执行该程序框图，则输出的n 等于( )A. 16B. 17C. 18D. 1911. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的焦距为2c ，过左焦点F 1作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段PF 1的中点在圆O ：x 2+y 2=c 2上，则该双曲线的离心率为( ) A. √2 B. 2√2 C. √2+1 D. 2√2+112. 已知函数f(x)={log 12x,x >0a ⋅(13)x ,x ≤0，若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,0)∪(0,1)B. (−∞,0)∪(1,+∞)C. (−∞,0)D. (0,1)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共3小题，共15.0分） 13. 若函数f(x)=(a +1)x 3+ax 2+2x 为奇函数，曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______．14.某牧草种植基地2019年种植A、B、C三种牧草共50亩，种植比例如图所示．该基地计划在2020年扩大A品种和C品种的种植面积，同时保持B品种的种植面积不变，这样B品种的种植面积比例下降为10%.若C品种的种植面积比例保持不变，那么2020年，C品种的种植面积是______亩．15.在三棱锥A−BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为√6、3√2、√3，则三棱锥A−BCD的外接球的表面积为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.设函数f(x)=x2x ，点A n(n,f(n))(n∈N∗)，A0为坐标原点，若向量a n⃗⃗⃗⃗ =A0A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A1A2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯An−1A n⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设i=(1,0)，且θn是a n⃗⃗⃗⃗ 与i的夹角，记S n为数列{tanθn}的前n项和，则tanθ3=(1)，S n=(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为践行“绿水青山就是金山银山”的国家发展战略，我市对某辖区内畜牧、化工、煤炭三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到85分及其以上的单位被称为“A类”环保单位，未达到85分的单位被称为“B类”环保单位．现通过分层抽样的方法确定了这三类行业共20个单位进行调研，统计考评分数如下：畜牧类行业：85，92，77，81，89，87；化工类行业：79，77，90，85，83，91；煤炭类行业：87，89，76，84，75，94，90，88．(Ⅰ)计算该辖区这三类行业中每类行业的单位个数；(Ⅱ)若从畜牧类行业这六个单位中，再随机选取两个单位进行生产效益调查，求选出的这两个单位中既有“A类”环保单位，又有“B类”环保单位的概率．18.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2bcosB=acosC+ccosA．(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若△ABC是钝角三角形，且b=√3，求a+c的取值范围．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，已知AB//CD，PA=AB=AD=2，DC=1，AD⊥AB，PB=PD=2√2，点M是线段PB的中点．(Ⅰ)证明：CM//平面PAD；(Ⅱ)求四面体MPAC的体积．20.已知在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A(0,1)，B(0,−1)连线的斜率之积为−1，记点P的轨4迹为曲线E．(Ⅰ)求曲线E的方程；(Ⅱ)已知点M(2,0)，过原点O且斜率为k(k>0)的直线l与曲线E交于C，D两点(点C在第一象限)，求四边形MCAD面积的最大值．21.已知函数f(x)=e x+x2−2x．(Ⅰ)求f′(x)在区间[0,1]上的零点个数(其中f′(x)为f(x)的导数)；x2+(a−2)x+1在[1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥32(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√3cosα,y=sinα半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+4=0．(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)若点P在曲线C1上，点Q在曲线C2上，求|PQ|的最小值及此时P点的坐标．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|x+1|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥3；(Ⅱ)若a、b、c均为正实数，且满足a+b+c=m，m为f(x)的最小值，求证：b2a +c2b+a2c≥32．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A ={x|x <−12}， B ={x|−1<x <0}，∴A ∩B ={x|−1<x <−12}. 故选：C ．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】A【解析】解：∵z =(2+i)(1+i)=2+2i +i −1=1+3i ，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,3)，位于第一象限．故选：A ．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵向量 a ⃗⃗⃗ =(1,2)，b ⃗ =(4λ,−1)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b⃗ =4λ−2=0， 解得λ=12．故选：A ．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查向量垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题． 4.【答案】D【解析】解：以直角边AC ，AB 为直径的半圆的面积分别为：12×π×(AC 2)2=π⋅(AC)28，12×π×(AB 2)2=π(AB)28， 由面积之比为14得：(AC)2(AB)2=14，即AC AB =12，在Rt△ABC中，tanα=tan∠ABC=ACAB =12，故sin2α=2tanα1+tan2α=2×121+(12)2=45．故选：D．根据两半圆的面积比，可求出AC，AB之比，从而求出tanα，再进一步借助于三角公式求解即可．本题考查三角函数的公式变换，以及给值求值问题解法，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力和运算能力．属于中档题．5.【答案】B【解析】解：m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，知：在A中，若m//α，m//β，n//α，n//β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m//n，m⊥α，n⊥β，则由面面平行的判定定理得α//β，故B正确；在C中，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥n，m//α，n⊥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．在A中，α与β相交或平行；在B中，由面面平行的判定定理得α//β；在C中，α与β相交或平行；在D中，α与β相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．6.【答案】A【解析】解：由等差数列的性质可得：S2，S4−S2，S6−S4成等差数列，∴2×(10−3)=3+S6−10，解得S6=21．故选：A．由等差数列的性质可得：S2，S4−S2，S6−S4成等差数列，即可得出．本题考查了等差数列求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】先由抛物线的定义知|AF|+|BF|=x A+x B+p=8，于是可得x A+x B的值，再利用中点坐标公式即可得解．本题考查抛物线的定义、中点坐标公式，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．【解答】解：由抛物线的定义可知，p=3，|AF|+|BF|=x A+x B+p=8，∴x A+x B=8−3=5，∴线段AB的中点到y轴的距离为x A+x B2=52．故选：D．8.【答案】C【解析】解：在关于x的不等式ax2+2x+1>0中，当a>1时，△=4−4a<0，∴“a>1”⇒“ax2+2x+1>0恒成立”，当△=4−4a<0时，a>1，∴“ax2+2x+1>0恒成立”⇒“a>1”，∴“a>1”是“ax2+2x+1>0恒成立”的充要条件．故选：C．当a>1时，△=4−4a<0，“a>1”⇒“ax2+2x+1>0恒成立”，当△=4−4a<0时，a>1，“ax2+ 2x+1>0恒成立”⇒“a>1”，由此能求出“a>1”是“ax2+2x+1>0恒成立”的充要条件．本题考查充分条件、必要条件、充要条件的求法，考查不等式的性质的求法，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查由函数解析式找函数图象，属于基础题．由函数的定义域及特殊点的值，运用排除法可以得到答案．【解答】解：定义域为(0,1)∪(1,+∞)，故排除A；f(100)>0，故排除C；f(1100)>0，故排除D．故选：B．10.【答案】B【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余2，②被5除余2，最小两位数，故输出的n为17，故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：如图，设线段PF1的中点为Q，连接OQ，由题意可得OF1=OQ，又直线PF1的斜率为1，则OQ⊥x轴，得QF1=√2c，则PF1=2√2c，由OQ为△F1PF2的中位线，可得PF2=2c，则2√2c−2c=2a，得e=ca =2−1=√2+1．故选：C．由题意画出图形，结合已知可得OQ⊥x轴，分别求得PF1与PF2，再由双曲线的定义列式求解离心率．本题考查圆与双曲线的综合、三角形中位线定理，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线定义的应用，是中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数与方程的综合应用，指数函数与对数函数的性质，考查数形结合思想，属于中档题．利用换元法设f(x)=t，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，根据指数函数和对数函数的图象和性质求出t=1，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：令f(x)=t，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，)x≠0，由选项知a≠0，则f(x)=a⋅(13t=0，得t=1，所以由f(t)=log12则关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a<0时，由图象可知直线y=1与y=f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件；当a>0时，要使直线y=1与y=f(x)的图象只有一个交点，)x的图象没有交点，则只需要当x≤0时，直线y=1与f(x)=a⋅(13)0>1，解得a>1，所以f(0)>1，即a⋅(13综上所述，实数a的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)，故选：B．13.【答案】5x−y−2=0【解析】【分析】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，要注意抓住切点满足的两个条件列方程求解，属于基础题．易知函数f(x)的定义域为R，根据是奇函数，可得a=0，然后再求导数，进一步求出切点处的导数和函数值，代入点斜式即可求出切线．【解答】解：因为f(x)=(a+1)x3+ax2+2x为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，由此求得a=0，所以f(x)=x3+2x．故f′(x)=3x2+2，则f(1)=3，f′(1)=5，所以切线为y−3=5(x−1)，即5x−y−2=0．故答案为：5x−y−2=0．14.【答案】15【解析】解：某牧草种植基地2019年种植A、B、C三种牧草共50亩，种植比例如图所示．则B品种2019年的种植面积为50×30%=15亩，该基地计划在2020年扩大A品种和C品种的种植面积，同时保持B品种的种植面积不变，这样B品种的种植面积比例下降为10%．=150亩，∴2020年种植总面积为：1510%∵C品种的种植面积比例保持不变，∴2020年，C品种的种植面积是150×10%=15亩．故答案为：15．=150亩，由此先求出B品种2019年的种植面积为50×30%=15亩，再求出2020年种植总面积为：1510%能求出2020年，C品种的种植面积．本题考查2020年C品种种植面积的求法，考查饼图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】20π【解析】解：三棱锥A−BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a ，b ，c 由题意得：ab =2√6，ac =6√2，bc =2√3， 解得：a =2√3，b =√2，c =√6，所以球的直径为：2+b 2+c 2=√20=2√5， 它的半径为√5，球的表面积为：4π⋅(√5)2=20π， 故答案为：20π．三棱锥A −BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的长宽高，转化为对角线长，即可求解外接球的表面积．本题是基础题，考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．16.【答案】181−12n【解析】解：由函数f(x)=x2x ，点A n (n,f(n))(n ∈N ∗)， 向量a n ⃗⃗⃗⃗ =A 0A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯A n−1A n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 0A n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以tanθ3=f(3)3=3233=18； S n =tanθ1+tanθ2+tanθ3+⋯+tanθn =121+2222+3233+⋯+n2n n =12+122+123+⋯+12n =12[1−(12)n ]1−12 =1−12n ．故答案为：18，1−12n ．利用向量的加法，结合函数解析式，即可得出结论本题考查了平面向量的综合应用问题，也考查了等比数列的求和运算问题，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由题意得，抽取的畜牧、化工、煤炭三类行业单位个数之比为3：3：4，由分层抽样的定义，有：畜牧行业的单位个数为310×200=60，化工行业的单位个数为310×200=60，煤炭行业的单位的个数为410×200=80，∴该辖区畜牧、化工、煤炭这三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80．(Ⅱ)记选出的2个单位中既有“A类“环保单位，又有“B类”环保单位为事件M，这2个单位的考核数据情形有：(85,92)，(85,77)，(85,81)，(85,89)，(85,87)，(92,77)，(92,81)，(92,89)，(92,87)，(77,81)，(77,89)，(77,87)，(81,87)，(89,87)，(81,89)，共15个，选出的这两个单位中既有“A类”环保单位，又有“B类”环保单位包含的基本事件有8个，分别为：(85,77)，(85,81)，(92,77)，(92,81)，(77,89)，(77,87)，(81,87)，(81,89)，∴选出的这两个单位中既有“A类”环保单位，又有“B类”环保单位的概率P(M)=815．【解析】(Ⅰ)由分层抽样的定义，能求出该辖区畜牧、化工、煤炭这三类行业中每类行业的单位个数．(Ⅱ)记选出的2个单位中既有“A类“环保单位，又有“B类”环保单位为事件M，利用列举法能求出选出的这两个单位中既有“A类”环保单位，又有“B类”环保单位的概率．本题考查分层抽样的应用，考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)∵2bcosB=acosC+ccosA，∴可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=12，∴由B∈(0,π)，B=π3．(Ⅱ)由题意可得：asinA =csinC=√3sin60°=2，可得a=2sinA，c=2sinC，∴a+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin(2π3−A)=3sinA+√3cosA=2√3sin(A+π6)，∵不妨令A∈(π2,2π3)，可得A+π6∈(2π3,5π6)，∴2√3sin(A+π6)∈(√3,3)，即a+c的取值范围是(√3,3)．【解析】(Ⅰ)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosB=sinB，结合sinB≠0，可求cos B的值，进而可求B的值．(Ⅱ)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求a+c=2√3sin(A+π6)，由题意，不妨令A∈(π2,2π3)，可得A+π6∈(2π3,5π6)，结合正弦函数的性质即可求解a+c的取值范围．本题考查解三角形的相关知识，考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：取PA的中点N，连接MN，有MN//AB，且2MN=AB，又AB//CD，AB=2CD，∴MN//CD且MN=CD，得四边形MNDC是平行四边形，∴CM//DN．又DN⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，∴CM//平面PAD；(Ⅱ)解：依题意，PA2+AB2=PB2，PA2+AD2=PD2，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，∵AD⊥AB，AD⊥PA，AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB．又CD//AB，∴AD是C到平面PAB的距离．则V C−PAM=13S△PAM⋅AD=13×12×12×2×2×2=23．【解析】(Ⅰ)取PA的中点N，连接MN，有MN//AB，且2MN=AB，结合已知可得MN//CD且MN=CD，得四边形MNDC是平行四边形，则CM//DN.再由直线与平面平行的判定得到CM//平面PAD；(Ⅱ)由已知结合勾股定理得到PA⊥AB，PA⊥AD，则PA⊥平面ABCD，有AD⊥AB，再由AD⊥PA，可得AD⊥平面PAB.则AD是C到平面PAB的距离．然后利用等体积法求解．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设P(x,y)，由题意可得k AP⋅k BP=−14，即y−1x ⋅y+1x=−14，整理可得x24+y2=1，(x≠0)，所以曲线E的方程为x24+y2=1，(x≠0)；(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx(k>0)，联立直线l 与椭圆的方程{y =kxx 2+4y 2−4=0整理可得(1+4k 2)x 2=4，解得x C =√1+4k 2，x D =√1+4k 2， 所以y C =√1+4k 2，y D =√1+4k 2，因为A(0,1)，M(2,0)，|AM|=√5，且直线AM 的方程：x +2y −2=0， 因为k >0，所以C 点直线AM 的距离d 1=C C √5=|2+4k−2√1+4k 2|2=|2√(1+2k)2−2√1+4k 2|2，因为(1+2k)2=1+4k +4k 2>1+4k 2，所以d 1=2+4k−2√1+4k 22同理可得点D 到直线AM 的距离d 2=|2+4k+2√1+4k 2|√5(1+4k 2)， 因为k >0，所以d 2=|2+4k+2√1+4k 2|√5(1+4k 2)=2+4k+2√1+4k 2√5(1+4k 2)，所以S MCAD =12|AM|(d 1+d 2)=√1+4k 2=2√1+4k 1+4k 2=2√1+44k+1k≤2√2，当且仅当4k =1k ，即k =12取等号，所以四边形MCAD 面积的最大值为2√2．【解析】(Ⅰ)设P 的坐标，求出直线AP ，BP 的斜率，再由AP ，BP 的斜率之积为14可得P 的轨迹方程， (Ⅱ)设直线l 的方程与曲线E 联立求出C ，D 的坐标，由题意求出线段|AM|的值及直线AM 的方程，进而求出C ，D 到直线AM 的距离，求出四边形MCAD 面积的表达式，由均值不等式求出面积的最大值． 本题考查求动点的轨迹方程及直线与椭圆的综合，点到直线的距离公式和四边形面积的表达式，均值不等式的应用，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=e x +2x −2，其在[0,1]上是增函数，f′(0)=1+0−2=−1<0，f′(1)=e +2−2=e >0， 根据函数零点存在定理，∃x 0∈(0,1)使得f′(x 0)=0， 故f′(x)在区间[0,1]上的零点个数是1个；(Ⅱ)若关于x 的不等式f(x)≥32x 2+(a −2)x +1在[1,+∞)上恒成立， 整理可得a ≤e x −12x 2−1 x，令g(x)=e x −12x 2−1 x，即求出函数g(x)在[1,+∞)上的最小值，∴g′(x)=(e x −x)x−(e x −12x 2−1)x 2=(x−1)e x −12x 2+1x 2=(x−1)e x +1x 2−12， 令ℎ(x)=e x −x −1，则ℎ′(x)=e x −1，而x ∈[1,+∞)，ℎ′(x)≥0，∴ℎ(x)在[1,+∞)上是增函数，ℎ(x)≥ℎ(1)=e −2>0， 有e x >x +1， 从而g′(x)=(x−1)e x +1x 2−12>(x−1)(x+1)+1 x 2−12=12>0，∴g(x)在[1,+∞)上是增函数，可得g(x)min =g(1)=e −32； ∴a ≤e −32．【解析】(Ⅰ)根据函数零点存在定理即可求出； (Ⅱ)原不等式可转化为a ≤e x −12x 2−1 x，令g(x)=e x −12x 2−1 x，再根据导数和函数最值的关系即可求出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1的参数方程为{x =√3cosα,y =sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 23+y 2=1．曲线C 2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+4=0.由于{x =ρcosθy =ρsinθ，转换为直角坐标方程为x +y +4=0．(Ⅱ)设点P(√3cosθ,sinθ)到直线x +y +4=0的距离d =√3cosθ+sinθ+4|√12+12=|2sin(θ+π3)+4|√2，当θ=−5π6时，sin(θ+π3)=−1，即d min =√2， 点P 坐标为(−32,−12).【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)={−3x,x <−1−x +2,−1≤x ≤123x,x >12，当x <−1时，f(x)≥3恒成立，解得x <−1；当−1≤x ≤12时，由f(x)≥3，解得x =−1； 当x >12时，由f(x)≥3，解得x ≥1； 综上，不等式的解集为(−∞,−1]∪[1,+∞)；(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知，a +b +c =m =32，当x =12时取得最小值m ， 又a ，b ，c 为正实数，且a +b +c =32， ∴b 2a+c 2b+a 2c+a +b +c =(b 2a +a)+(c 2b +b)+(a 2c +c)≥2(√b 2a ⋅a +√c 2b ⋅b +√a 2c ⋅c)=2(a +b +c)，当且仅当“a =b =c =12”时取等号， ∴b 2a+c 2b+a 2c≥32．【解析】(Ⅰ)将函数化为分段函数的形式，再分别求解，最后取并集得答案； (Ⅱ)利用(Ⅰ)a +b +c =32，再利用基本不等式即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用，考查运算求解能力及推理论证能力，属于基础题．。
内蒙古省高考数学模拟考试卷及答案解析(文科)
内蒙古省高考数学模拟考试卷及答案解析（文科）班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．已知集合{}3A x x =<，{}21B x x =-<则A B =（ ） A ．{}13x x <<B ．{}1x x <C ．{}3x x <D ．∅2．复数z 满足()12i 3i z +=-，则z 的虚部为（ ） A ．75-B ．7i 5-C ．7i 5D ．153．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A．BC．D4．下列各组向量中不平行的是( ) A ．(1,2,2),(2,4,4)a b =-=-- B ．(1,0,0),(3,0,0)c d ==- C ．(2,3,0),(0,0,0)e f ==D ．(2,3,5),(16,24,40)g h =-=5．圆22240x y x y +--=关于直线0x y -=对称的圆的方程为（ ） A ．()()22213x y -+-= B ．()()22215x y +++= C ．()()22213x y +++=D ．()()22215x y -+-=6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．6B ．9C ．92D ．37．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是( )A ．3[3,]7-B ．[3,1]-C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞9．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有偶数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是( ) A ．假设,,a b c 不都是偶数 B ．假设,,a b c 至多有两个是偶数 C ．假设,,a b c 至多有一个是偶数D ．假设,,a b c 都不是偶数10．已知点(1,)P m 在椭圆2214x y +=的外部，则直线2y mx =+221x y +=的位置关系为( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切11．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且以线段12F F 为直径的圆过点P ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221211e e +的值为（ ） A ．3B C ．2 D 12．已知函数()()2,01,ln ,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩若关于x 的方程()()2[]20f x af x -+=有4个不同的实根，则a 的取值范围是（ ） A ．[]2,4 B ．(4⎤⎦C ．[]2,3D ．(⎤⎦二、填空题13．执行如图所示的程序框图，当输入m 的值为12，n 的值为9时，则输出的m 的结果是________.14．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．15．在锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2sin b A =，则cos cos cos A B C ++的取值范围是_______16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，N 为1DD 的中点，M 为棱1CC 上的动点，点P 在线段1B C 上运动，下面说法正确的是_____________． ①直线1BD ⊥平面11AC D ；②异面直线AP 与1DD 所成的角范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③点P 到平面11AC D ④AM MN + 三、解答题18．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：(1)判断两个变量有怎样的相关性；(2)用最小二乘法计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程； (3)当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．附注：1221ˆni ii nii x ynxybxnx==-=-∑∑．19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，四边形11AA B B 是边长为2a 的正方形，AD ＝2AB .(1)若长方体的表面积为200，求a 的值； (2)若a ＝1，求点1C 到平面1A BC 的距离h .20．已知动圆M 与圆C 1：（x+4）2+y 2=2外切，与圆C 2：（x-4）2+y 2=2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 21．已知函数321()33f x x x ax =-+(1)若()f x 在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为4π，求a 的值； (2)若1a =-，求()f x 的单调区间.22．在直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为：2220x y x +-=，如图，P 为圆C 上任意一点.(1)以直线OP 的倾斜角θ为参数，写出圆C 的参数方程；(2)设点P 的坐标为,x y （），求x y +的最大值.23．已知2()2f x x a =-.(1)当1a =时，求不等式()|1|3f x x ++≥的解集；(2)若对于任意实数x ，不等式|23|()2x f x a --<成立，求实数a 的取值范围.参考答案与解析1．A【分析】解不等式求得集合B ，由交集定义可求得结果.【详解】由21x -<得1x >，即{}1B x x => {}13A B x x ∴⋂=<<. 故选：A. 2．A【分析】化简方程求出复数z 的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部. 【详解】因为()12i 3i z +=-所以()()()()3i 12i 3i 17i 17i 12i 12i 12i 555z ----====-++- 所以复数z 的虚部为75-故选：A. 3．C4．D【分析】根据平行向量（共线向量）的定义，对选项中的两个向量进行判定，即可求解． 【详解】对于A 中，可得2b a =-，所以a 与b 是平行向量； 对于B 中，可得3d c =-，所以c 与d 是平行向量；对于B 中，向量f 为零向量，零向量与任意向量平行，所以f 与e 是平行向量； 对于D 中，不满足g h λ=，所以g 与h 不是平行向量故选D ．【点睛】本题主要考查了向量的共线定理的应用，其中解答中熟记两个向量共线的条件是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 5．D【分析】所给圆是以A （1，2A 关于直线x ﹣y=0对称点B 的坐标，即可求得对称的圆的方程．【详解】圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0即 （x ﹣1）2+（y ﹣2）2=5，表示以A （1，2 设A （1，2）关于直线x ﹣y=0对称的点为B （2，1）故圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0关于直线x ﹣y=0对称的圆的方程为：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=5 故选D ．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，两个圆关于一条直线对称的条件，属于中档题． 6．D【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果． 【详解】如图所示，三棱锥D ABC -为所求，其中3AC =，AB=2 点D 到平面ABC 的距离h 为3 所以132ABCSAB AC =⨯⨯= 所以该三棱锥D ABC -的体积11=33=333D ABC ABCV Sh -=⨯⨯ 故选：D.7．B【详解】先作可行域，而46y x ++表示两点P （x,y ）与A （-6,-4）连线的斜率，所以46y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-，选B.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 8．A【分析】由题意可得()()()f b f a t f b aξ-'==-，即要求()f x 导函数()ln(1)f x x x '=--的最大值，令()ln(1)h x x x =--，对()h x 求导判断它的单调性，从而求出最大值即可.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：求函数()ln(1)h x x x =--的最大值. 9．D【详解】 “,,a b c 中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设,,a b c 都不是偶数”，故选D. 考点：命题的否定.10．B【分析】先根据点(1,)P m 在椭圆2214x y +=的外部，求出2m 的范围，求出圆心到直线的距离，再利用几何法判断直线与圆的位置关系即可.【详解】因为点(1,)P m 在椭圆2214x y +=的外部所以2114m +>，即234m >则圆221x y +=的圆心(0,0)到直线2y mx =1d R =<<=所以直线2y mx =+221x y +=相交 故选：B【点睛】本题考查了点与椭圆的位置关系及利用几何法判断直线与圆的位置关系，属于一般题. 11．C【分析】先设椭圆的长半轴长为1 ,a 双曲线的半实轴长2 ,a 焦距为2c ，因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，根据椭圆及双曲线的定义可以用1 ,a 2 ,a 表示出 12,PF PF ，然后由勾股定理可求结论. 【详解】解：设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，设12,F F 是椭圆和双曲线的左右两个焦点，且122F F c =，设P 在第一象限，12,PF m PF n == 由椭圆的定义可知：1212PF PF m n a +=+= 由双曲线的定义可知：1222PF PF m n a -=-= 由此可解得：1212,m a a n a a =+=-以线段12F F 为直径的圆过点P ，所以122F PF π∠=由勾股定理可知：222(2)c m n =+，即()()22212124c a a a a =++-化简得：222122c a a =+，即221222a a c += 所以2212222a a c c+=，即2212112e e +=.故选：C.. 12．D【分析】画出()f x 的图象，根据()f x t =并讨论t 研究其实根的分布情况，将问题化为2()2h t t at =-+在[]1,2内有两个不同的零点，结合二次函数性质求参数范围. 【详解】如图，画出()f x 的图象，设()f x t =结合图象知：当1t <或2t >时()f x t =有且仅有1个实根；当12t ≤≤时()f x t =有2个实根； 问题转化为2()2h t t at =-+在[]1,2内有两个不同的零点从而2(1)30(2)62012280h a h a a a =-≥⎧⎪=-≥⎪⎪⎨≤≤⎪⎪∆=->⎪⎩，解得3a ≤.故选：D 13．3【分析】模拟执行程序即可取出输出值.【详解】输入12m =，n=9，满足m n ≠，且满足m n >，则1293m =-= 满足m n ≠，不满足m n >，则936n =-= 满足m n ≠，不满足m n >，则633n =-= 此时不满足m n ≠，输出3m =. 故答案为：3 14．(]1,2【详解】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤.考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.15．32⎤⎥⎝⎦【分析】利用正弦定理化边为角求角B ，再利用三角恒等变换变换化简cos cos cos A B C ++，结合正弦函数性质求其范围.【详解】∵ 2sin b A =由正弦定理可得2sin sin B A A = 又ABC 为锐角三角形，∴ sin 0A ≠∴ sin B =，又B 为锐角 ∴ 3B π=∴ 2cos cos cos =cos cos cos()33A B C A A ππ++++-∴11cos cos cos cos cos 22A B C A A A ++=+-∴11cos cos cos cos 22A B C A A ++=++ ∴ 1cos cos cos sin()62A B C A π++=++又ABC 为锐角三角形3B π=，∴ 02A π<<且32A ππ+>∴ 62A ππ<<，故2+363A πππ<<sin(+)16A π<≤∴3cos cos cos 2A B C ++≤∴ cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦故答案为：32⎤⎥⎝⎦. 16．①③【分析】利用线面垂直判定定理判断，根据异面直线的夹角的定义判断，由等体积法求点P 到平面11AC D 的距离由此判断，再求AM MN +的最小值判断.【详解】因为1111AC B D ⊥ 111AC BB ⊥ 111,B D BB ⊂平面11BB D 1111=B D BB B所以11A C ⊥平面11BB D ，又1BD ⊂平面11BB D所以111AC BD ⊥，同理可证11AD BD ⊥ 111,A C A D ⊂平面11AC D 1111=AC A D A所以直线1BD ⊥平面11AC D ；①对因为11//AA DD ，所以1A AP ∠为异面直线AP 与1DD 的夹角当P 运动到1B 的位置时，111=45A AP A AB ∠∠=所以异面直线AP 与1DD 所成的角范围不是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，②错因为11//B C A D ,1B C ⊄平面11AC D ,1A D ⊂平面11AC D所以1//B C 平面11AC D所以点P 到平面11AC D 的距离等于点1B 到平面11AC D 的距离设点1B 到平面11AC D 的距离为d ，则1111113B ACD A C D V S d -= 又111111111111422333B A C D D A C B A C B V V S DD --===⨯⨯= 111111sin 60=232A C DS A D AC =⋅所以41=33d ⨯，所以d =，③对如图将正方形11DCC D 绕1CC 旋转到与平面11ACC A 共面的位置由图可得AM MN AN +≥，当且仅当,,A M N 三点共线时取等号.又AC =CD=2，DN=1所以AM MN +④错故答案为：①③.17．(1)()*2N ，=∈n n a n (2)证明见解析()()*221N =+∈n T n n n 【分析】（1）由1n =时，得到12a =，2n ≥时由22,n n S a =-利用数列通项和前n 项和关系求解；根据()()1*21N +-+=+∈n n nb n b n n n ，利用等比数列定义求解.（2）由（1）得到()()211n n n n c b n =-=-，再利用并项法求解.【详解】（1）解：当111122n a S a ===-时，所以12a =当()1112222222n n n n n n n n a S S a a a a ---≥=-=---=-时，即12n n a a -=所以{}22n a 是以为首项，为公比的等比数列， 所以()*2N ，=∈n n a n ； （2）当2114n a b ==时所以11b =因为()()1*21N +-+=+∈n n nb n b n n n 所以111n n b b n n+-=+ 所以n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是11为首项，为等差的等差数列 所以n b n n= 所以2n b n =令()()211n nn n c b n =-=-则21232n n T c c c c =+++⋯⋯=-1+22222342n -+- ()()()()()()21214343221221⎡⎤⎡⎤=-++-++--+-⎣⎦⎣⎦n n n n()()*3711154121(N )=+++++-=+∈n n n n .18．(1)正相关； (2)0.50.4y x =+； (3)2.4百万元．【分析】（1）根据所给的这一组数据，根据数据的变化趋势，可知两个量之间是正相关．（2）根据所给的这组数据，计算出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（3）利用求出的线性回归方程，把4x =的值代入方程，估计出对应的y 的值．【详解】（1）根据已知数据可知当销售额逐渐增加时，利润额从总体上看也随着相应增加故两个变量正相关；（2）11(35679)6,(23345) 3.455x y =++++==++++= 11255200,112i i i i i xx y ====∑∑ ∴ 11256 3.40.5200536b -⨯⨯==-⨯， 3.40.560.4a =-⨯=∴线性回归方程是0.50.4y x =+ ；（3）当4x = 时，0.540.4 2.4y =⨯+=∴当销售额为4（千万元）时，估计利润额2.4百万元．19．(1)a = (2)h =【分析】（1）根据条件求出长方体的表面积即可；（2）利用1111C A BC A BCC V V --=可求出答案.（1）因为在长方体1111ABCD A B C D -中，四边形11AA B B 是边长为2a 的正方形，2=AD AB .所以长方体的表面积为222(2)42440a a a a ⨯+⨯⨯=所以240200a =，解得a =（2）因为1a =，由已知得4=AD ，AB=2，连接11A C 1BC在三棱锥11A BCC -中，111142422BCC S BC CC =⋅=⨯⨯=△ 由长方体的性质知，点1A 到平面1BCC 的距离为2AB =在1Rt AA B △中，由勾股定理知1A B ==由长方体的性质知，1BC A B ⊥所以1Rt A BC △的面积1111422A BC S AB BC =⋅=⨯=△ 因为点1C 到平面1A BC 的距离为h ，又1111C A BC A BCC V V --= 所以111133A BC BCC S h S AB ⋅=⋅△△所以114233⨯=⨯⨯，解得h =20．．【详解】试题分析：设动圆的半径为，则由已知，，所以.由双曲线定义可求得圆心的轨迹方程.试题解析：设动圆M的半径为r则由已知|MC1|=r+|MC2|=r-∴|MC1|-|MC2|=2.又C1（-4，0），C2（4，0）∴|C1C2|=8，∴2＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1（-4，0）、C2（4，0）为焦点的双曲线的右支.∵a=，c=4∴b2=c2-a2=14∴点M的轨迹方程是=1（x≥）.考点：曲线的轨迹方程．【方法点睛】本题主要考查定义法求曲线的轨迹方程.熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键:（1）圆：到定点的距离等于定长；（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）；（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）；（4）到定点与定直线距离相等.21．(1)23(2)单调增区间为(,1)-∞-，(3,)+∞ 单调减区间为:(1,3)-【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；（2）求出函数导数，解相应不等式，可得函数的单调区间.【详解】（1）由321()33f x x x ax =-+，可得2()23f x x x a '=-+ 故由()f x 在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为4π得(1)1f '= 即21231,3a a -+==； （2）1a =-时321()33f x x x x =--，2()23f x x x '=-- 令2()230f x x x '=-->，则1x <- 或3x >令2()230f x x x '=--<，则13x -<<故()f x 的单调增区间为(,1)-∞-，(3,)+∞ 单调减区间为:(1,3)- .22．(1)222x cos y sin θθ⎧=⎨=⎩，其中θ为参数，0θπ≤< +1 【分析】（1）根据点P （x ，y ），可写成极坐标，然后代入圆的方程，即可得到ρ2θcos =，进而可解. （2）根据圆的参数方程，x +y =22θ2θcos sin +，根据三角函数即可求出最大值(1)P 为圆C 上任意一点，假设P （x ，y ），OP 长度为ρ，则由题可得x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩P 还在圆上，则22ρθρθ2ρθ0cos sin cos +-=（）（） 有ρ2θcos =；则222x cos y sin cos θθθ⎧=⎨=⎩，即222x cos y sin θθ⎧=⎨=⎩，其中θ为参数，0θπ≤< (2)x +y =2π2θ2θ2θ14cos sin ⎛⎫+=++≤ ⎪⎝⎭当ππ2θ42+=时，即πθ8=时，x +y 23．(1)(,1][1,)∞∞--⋃+；(2)13a <<.【分析】(1)利用分类讨论的方法解含绝对值符号的不等式作答.(2)利用绝对值三角不等式求出|23|()x f x --的最大值，再借助不等式恒成立求解作答.【详解】（1）当1a =时()21f x x =-，则不等式()|1|3f x x ++≥，即|21||1|3x x -++≥ 当1x ≤-时1213x x ---≥，解得1x ≤-，于是得1x ≤- 当112x -<<时1213x x -++≥，解得1x ≤-，无解 当12x ≥时2113x x -++≥，解得1x ≥，于是得1x ≥ 综上得：1x ≤-或1x ≥所以不等式()|1|3f x x ++≥的解集为(,1][1,)∞∞--⋃+.（2）R x ∀∈，不等式|23|()2x f x a --<成立，即R x ∀∈，不等式2|23||2|2x x a a ---<成立 而222|23||2||(23)(2)||3|x x a x x a a ---≤---=-因此，2|3|2a a -<，显然有0a >，2232a a a -<-<解得：13a <<所以实数a 的取值范围是13a <<.。
2024年内蒙古高三数学(文科)4月第二次模拟考试卷及答案解析
2024年内蒙古高三数学（文科）4月第二次模拟考试卷2024.04注意事项：1.考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}15U x x =-<<，集合A 满足{}03U A x x =≤<ð，则（）A ．0A ∈B ．1A ∉C ．2A∈D ．3A∉2．已知复数13=+z i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．3-B ．3i-C ．1-D ．i-3．设m ，n ∈R ，则“1mn =”是“lg 0lg m n +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若非零向量a b ､满足||||||a b a b ==+ ，则向量a 与向量a b +的夹角为（）A ．150B ．120C ．60D ．305．从分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率为（）A ．35B ．25C ．13D ．156．已知函数()222x x af x ++=的值域为M .若()1,M ∞+⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞7．已知数列{}n a 为等比数列，且11a =，916a =，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若55b a =，则9S =（）A ．－36或36B ．－36C ．36D ．188．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()()1sin 2R 2sin f x x x x =+∈，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 的最大值为32C ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在区间[]0,π上有2个零点9．在平面直角坐标系xOy 中，设()2,4A ，()2,4B --，动点P 满足1PO PA ⋅=-，则tan PBO ∠的最大值为（）A ．22121B ．42929C ．24141D ．2210．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BD 的中点，则直线1B E 与1A D 所成角的余弦值为（）A ．0B ．12C ．22D 311．设()g x 是定义域为R 的奇函数，且()()11g x g x -=+.若1233g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则133g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．23-B ．13-C ．13D ．2312．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线C 的离心率为e ，在第一象限存在点P ，满足12sin 1e PF F ⋅∠=，且1224F PF S a = ，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线21x y a=的准线方程为1y =，则实数a 的值为.14．在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a =4b =，cos 0c B a ⋅+=，则边c =.15．若实数,x y 满足约束条件502101x y x y x +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最小值为.16．已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为4π的球O 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入m （万元）与科技升级直接收益y （万元）的数据统计如下：序号1234567m234681013y13223142505658根据表格中的数据，建立了y 与m 的两个回归模型：模型①：;ˆ 4.111.8ym =+模型②：21.314.4ˆy m =.(1)根据下列表格中的数据，比较模型①､②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型；(2)根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.回归模型模型①模型②回归方程ˆ 4.111.8ym =+21.314.4ˆym =-()721ˆi i i y y=-∑182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数()()222121ˆ1iii nii y yR R y y ==-=--∑∑越大，模型的拟合效果越好）18．如图，在多面体DABCE 中，ABC 是等边三角形，2,2AB AD DB DC EB EC ======(1)求证：BC AE ⊥；(2)求三棱锥B ACD -的体积.19．已知函数()()()()22ln 120f x a x x a x a =-+-≥.(1)若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；(2)求函数()y f x =的单调区间.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点()0,1，且焦距为3(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点()1,0S 作两条互相垂直的弦,AB CD ，设弦,AB CD 的中点分别为,M N .证明：直线MN 必过定点.21．已知数列{}n a 为有穷数列，且*N n a ∈，若数列{}n a 满足如下两个性质，则称数列{}n a 为m 的k 增数列：①123n a a a a m +++⋯+=；②对于1i j n ≤<≤，使得<i j a a 的正整数对(),i j 有k 个.(1)写出所有4的1增数列；(2)当5n =时，若存在m 的6增数列，求m 的最小值.（二）选考题：共10分.请者生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所写的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1,cos 3sin cos x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数，2k παπ≠+），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)已知点()2,0P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB-的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知()223f x x x =++-．(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c a c m++≥+++．1．B【分析】根据全集和集合A 在全集中的补集易得集合A ，逐一判断选项即可.【详解】由{}15U x x =-<<，{}03U A x x =≤<ð，可得{|10A x x =-<<或35}x ≤<则0A ∉，1A ∉，2A ∉，3A ∈，故B 项正确，A,C,D 项均是错误的.故选：B.2．A【分析】由共轭复数以及虚部的概念即可得解.【详解】因为复数13=+z i ，所以13i z =的虚部为3.故选：A.3．B【分析】通过举反例说明“1mn =”不是“lg 0lg m n +=”的充分条件，再由对数的运算性质由lg 0lg m n +=推得1mn =，即得结论.【详解】由1mn =不能推出lg 0lg m n +=，如1m n ==-满足1mn =，但lg ,lg m n 无意义，故“1mn =”不是“lg 0lg m n +=”的充分条件；再由lg 0lg m n +=可得lg()0mn =，即得1mn =，故“1mn =”是“lg 0lg m n +=”的必要条件.即“1mn =”是“lg 0lg m n +=”的必要不充分条件.故选：B.4．C【分析】利用向量加法的三角形法则作出图象，根据图象得答案.【详解】如图：若||||||a b a b ==+，则ABC 为等边三角形则向量a 与向量a b +的夹角为60 .故选：C.5．A【分析】根据题意，用列举法分析“从六张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．【详解】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种取法，其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，共9种情况，则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率59315P ==；故选：A ．6．B【分析】化复合函数()222xx af x ++=为()2uf u =，22a u x x =++，根据已知条件()1,M ∞+⊆，确定u 的取值范围，再根据u 的取值范围确定a 的取值范围即可.【详解】因为()222xx af x ++=，令22a u x x =++，所以()2uf u =；令函数22a u x x =++的值域为N ，因为()1,M ∞+⊆，所以()0,N ∞+⊆，所以22x x a ++必须能取到()0,∞+上的所有值，2min4244044a a u ⨯--==≤，解得1a ≤.故选：B 7．C【分析】根据等比数列的通项公式求得44q =，继而求得55b a =的值，利用等差数列前n 项和公式进行计算即可.【详解】数列{}n a 为等比数列，设公比为q ，且11a =，916a =，则89116a q a ==，则44q =，则45514b a a q ===，则()199599362b b S b+⨯===，故选：C.8．D【分析】对于A ，考查函数sin y x =与1sin 22y x =的周期即可；对于B ，考查函数sin y x =与1sin 22y x=的最大值，验证同时取最大值时的条件即可判断；对于C ，利用中心对称的条件进行验证即可；对于D ，令()0f x =，解方程即可.【详解】对于A,因为sin y x =的周期为2π，1sin 22y x =的周期为π，所以()1sin sin 22f x x x =+的周期为2π，故A 错误；对于B,因为函数sin y x =的最大值为1,1sin 22y x =的最大值为12，故两个函数同时取最大值时，()f x 的最大值为32，此时需满足π2π,Z 2x k k =+∈且π22π,Z 2x k k =+∈，不能同时成立，故最大值不能同时取到，故()f x 的最大值不为32，则B 错误；对于C ，()()()1πsin πsin 2π2f x x x ⎡⎤-=-+-⎣⎦1sin sin 22x x =-，则()()π2sin 0f x f x x +-=≠，故()f x 的图象不关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 错误；对于D,因为()()1sin sin 2sin 1cos 02f x x x x x =+=+=时，sin 0x =，又[]0,πx ∈，所以0x =或者πx =；或者1cos 0x +=，此时cos 1x =-，又[]0,πx ∈，所以πx =，综上可知，()f x 在区间[]0,π上有2个零点，故D 正确，故选：D.9．C【分析】设出点(),P x y ，利用数量积的坐标表示得到点P 的轨迹，结合直线与圆的关系进行求解即可.【详解】设(),P x y ，则(),PO x y =-- ，()2,4PA x y =--，则()()241PO PA x x y y ⋅=----=-，即222410x x y y -+-+=，化为()()22124x y -+-=，则点P 的轨迹为以()1,2D 为圆心，半径为2的圆，又44222OB OD k k -====-，所以,,B O D 三点共线，显然当直线PB 与此圆相切时，tan PBO ∠的值最大.又223635,2BD PD +==,则2245441PB BD PD =--=则2241tan 4141PDPBO PB∠==故选：C.10．D【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量的夹角余弦公式求出答案.【详解】以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()()()()112,0,2,0,0,0,2,2,2,1,1,0A D B E，则直线1B E 与1A D 所成角的余弦值为()()1111112,0,21,1,263cos ,244114226A D B E A D B E A D B E⋅--⋅---====+⨯++⨯⋅ 故选：D 11．A【分析】结合抽象函数的奇偶性，周期性求解即可.【详解】若()()11g x g x -=+，且()g x 是定义域为R 的奇函数，故()()g x g x -=-，则()()2g x g x -=+，()()2g x g x -=+，变形得()()()42g x g x g x +=-+=，可得()g x 周期为4，则131123333g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 正确.故选：A12．A【分析】由题意设1PF t =，则22PF t a =-，而121sin aPF F e c∠==，122F F c =，由三角形面积公式可得14=PF a ，从而22PF a =，在12PF F △中，运用余弦定理可得2ba=，由此即可得解.【详解】设1PF t =，则22PF t a =-，而12sin 1e PF F ⋅∠=，所以121sin a PF F e c∠==，所以点P 到12F F 的距离为112sin a PF PF F t c∠=，又122F F c =，所以1221242F PF aS c t a c=⋅⋅= ，解得4t a =，即14=PF a ，从而22PF a =，又因为121sin a PF F e c∠==，所以212cos 1a bPF F c c ⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭，在12PF F △中，由余弦定理有()()()22212422cos 242a c a b PF F c a c+-∠==⋅⋅，所以22222444ab a c a b a =+-=+，即22440b ba a-+=，解得2ba=，双曲线C 的渐近线方程为20x y ±=.故选：A.13．14-##0.25-【分析】根据抛物线方程及准线方程列出方程，解出即可.【详解】依题可知114a-=，则14a =-，故答案为：14-.1410【分析】由余弦定理化角为边，化简整理后，代值计算即得.【详解】因cos 0c B a ⋅+=，由余弦定理，22202a c b c a ac+-⋅+=，化简得2223a c b +=，因2a =4b =，故22310c b a =-=1015．5【分析】利用约束条件画出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，结合图形即可得解．【详解】画出约束条件502101x y x y x +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩的可行域如下图所示阴影，由z x y =+，得y x z =-+，移动直线簇y x z =-+，当y x z =-+与50x y +-=重合时，z 取得最小值；联立50210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，则()3,2A ，此时点()3,2A 在直线z x y =+上，故325z =+=．故答案为：5.16．2π【分析】由题意，先求出球的半径，再由球和圆柱的位置关系得到圆柱的底面半径、母线和球的半径的关系，然后利用基本不等式求出圆柱的侧面积的最大值.【详解】设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，母线为l ，由题意可知，24π4πS R ==解得1R =，又圆柱的两个底面的圆周在表面积为4π的球O 的球面上，所以圆柱的两个底面的的圆心关于球心对称，且22212l r R ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，圆柱的侧面积2πS rl =，0l >，因为22242l l r r rl +≥⨯=，当且仅当2l r =，即2,22r l ==所以1rl ≤，2π2πS rl =≤.故答案为：2π.17．(1)模型①的相关指数小于模型②的相关指数，即模型②的拟合效果精度更高､更可靠.(2)198.6【分析】（1）利用相关指数的定义判断相关性即可.（2）将给定数值代入拟合模型中求预测值即可.【详解】（1）由表格中的数据，182.479.2>，()()()()777722221111182.479.2182.479.2,11i i i i i i i i i i i i y y y y y y y y ====∴>-<-----∑∑∑∑所以，模型①的相关指数小于模型②的相关指数，即模型②的拟合效果精度更高､更可靠.（2）当100m =万元时，科技升级直接收益的预测值为：ˆ21.310014.421314.4198.6y =-=-=（万元）18．(1)证明见解析3【分析】（1）首先取BC 中点O ，连接,AO EO ，根据题意易证AO BC ⊥，EO BC ⊥，从而得到BC ⊥平面AEO ，再根据线面垂直的性质即可得到BC AE ⊥.（2）首先连接DO ，易证DO BC ⊥，DO AO ⊥，即可得到DO ⊥平面ABC ，再根据B ACD D ABC V V --=求解即可.【详解】（1）取BC 中点O ，连接,AO EO.ABC 是等边三角形，O 为BC 中点，AO BC ∴⊥，又,EB EC EO BC =∴⊥，AO EO O ⋂= ，,AO EO ⊂平面AEO ，BC ∴⊥平面AEO ，又AE ⊂平面AEO ，BC AE ∴⊥.（2）连接DO ，如图所示：因为DB DC =，O 为BC 中点，则DO BC ⊥，由2,2AB AC BC DB DC EB EC =======得3,1AO DO ==，又2222,AD AO DO AD =∴+=，DO AO ∴⊥，又AO BC O = ，,AO BC ⊂平面ABC ，DO ∴⊥平面ABC ，所以21133213343B ACD D ABC ABC V V S DO --==⋅⨯⨯⋅== .19．(1)1(2)单调减区间为()0,a ，单调增区间为(),a +∞【分析】（1）由1x =是函数()y f x =的极值点，()01f '=，求解验证即可；（2）利用导函数求解函数的单调区间即可.【详解】（1）函数定义域为()0,∞+，()()22212ax a x af x x +--='，因为1x =是函数()y f x =的极值点，所以()21120f a a -'=+=，解得12a =-或1a =，因为0a ≥，所以1a =.此时()()()221121x x x x f x x x +---=='，令()0f x '>得1x >，令()0f x '<得01x <<，∴()f x 在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增，所以1x =是函数的极小值点.所以1a =.（2）()()()()2221221ax a x aax x a f x x x'+--+-==.因为0a ≥，所以20ax ≥，令()0f x '>得x a >；令()0f x '<得0x a <<；∴函数的单调减区间为()0,a ，单调增区间为(),a ∞+.20．(1)2214x y +=；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，求出,a b 即可求出椭圆E 的方程.（2）直线AB 不垂直于坐标轴时，设出直线方程并与椭圆方程联立求出中点坐标，求出直线MN 即得，再验证,AB CD 之一垂直于x 轴的情况即可.【详解】（1）依题意，椭圆半焦距3c =1b =，则2224a b c =+=，所以椭圆的方程为2214x y +=.（2）当直线AB 不垂直于坐标轴时，设直线AB 的方程为()10x my x =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，由CD AB ⊥，得直线CD 的方程为11x y m=-+，由22144x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得：22(4)230m y my ++-=，则21222Δ16480,4m m y y m -=+>+=+，故()12122824x x m y y m +=++=+，于是224(,44m M m m -++，由1m -代替m ，得2224(,1414m m N m m ++，当22244414m m m=++，即21m =时，直线MN ：45x =，过点4(,0)5K ，当22244414m m m ≠++，即21m ≠时，直线MN 的斜率为2222225144444(1)144m m m m m m m m m --++=--++，直线MN ：22254()44(1)4m m y x m m m +=-+-+，令222224(1)441640,5(4)(4)5(4)5m m y x m m m -+==+==+++，因此直线MN 恒过点4(,0)5K ，当直线,AB CD 之一垂直于x 轴，另一条必垂直于y 轴，直线MN 为x 轴，过点4(,0)5K ，所以直线MN 恒过点4(,0)5K .【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点.21．(1)所有4的1增数列有数列1,2,1和数列1，3(2)7【分析】（1）利用给定的新定义，求出所有符合条件的数列即可.（2）运用给定的新定义，分类讨论求出结果即可.【详解】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1增数列有数列1,2,1和数列1，3.（2）当5n =时，因为存在m 的6增数列，所以数列{}n a 的各项中必有不同的项，所以6m ≥且*N m ∈，若6m =，满足要求的数列{}n a 中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >若7m =，满足要求的数列{}n a 中有三项为1，两项为2，符合m 的6增数列.所以，当5n =时，若存在m 的6增数列，m 的最小值为7.22．(1)C ：2231y x -=，直线l ：320x -=(2)23【分析】（1）用消参数法化参数方程为普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程；（2）化直线方程为P 点的标准参数方程，代入抛物线方程利用参数几何意义结合韦达定理求解．【详解】（1）曲线C 的参数方程为1,cos 3sin ,cos x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数，2k παπ≠+），所以222221sin ,cos 3cos y x ααα==，所以22 1.3y x -=即曲线C 的普通方程为2231y x -=．直线l 的极坐标方程为πcos 13ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππcos cos sin sin 133ρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，转换为直角坐标方程为320x -=．（2）直线l 过点(2,0)P ，直线l 的参数方程为32,1,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）令点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，由32212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2231y x -=，得226390t t ++=，则1233t t +=-，1292t t =，即t 1、t 2为负，故21212211212121212()4||||||11112||||||||||||3t t t t t t t t PA PB t t t t t t t t +----=-====．23．(1)403x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭(2)证明见解析【分析】（1）将()f x 的解析式写出分段函数的形式，解不等式即可.（2）先求()f x 的最小值，方法1：运用多个绝对值之和最小值求法，方法2：运用函数单调性；再运用“1”的代换与基本不等式可证得结果.【详解】（1）223,1()223223,13223,3x x x f x x x x x x x x x --+-≤-⎧⎪=++-=++--<<⎨⎪++-≥⎩即：31,1()5,1331,3x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩①当1x ≤-时，43153x x -+≤⇒≥-，解得413x -≤≤-；②当13x -<<时，550x x +≤⇒≤，解得10-<≤x ；③当3x ≥时，3152x x -≤⇒≤，无解，综上：不等式的解集为403x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（2）方法1：()2131311304f x x x x x x x x =++-=++-++≥+-++=，当且仅当=1x -时等号成立．所以min ()4f x =，所以4m =，即4a b c m ++==.方法2：由（1）知，()f x 在(,1]-∞-上单调递减，在(1,3)-上单调递增，在[3,)+∞上单调递增，所以min ()(1)4f x f =-=,所以4m =，即4a b c m ++==.∴()()()11111118a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭3188b ca bb c c a a b c a a b b c c a b c c a a b ++++++⎛⎫=++++++ ⎪++++++⎝⎭319222888b c a b b c c a a b c aa b b c c a b c c a a b ⎛⎫++++++≥+⋅+⋅+⋅= ⎪ ⎪++++++⎝⎭，当且仅当a b b c c a +=+=+，即43a b c ===时，等号成立．。
内蒙古2020届高考数学一模试卷 文(含解析)
内蒙古2020年高考数学一模试卷(文科)一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.若复数满足，则 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由，得，∴．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.设集合，则( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】直接进行集合的并集、交集的运算即可．【详解】解：；∴．故选：B．【点睛】本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.3.已知实数，则的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】根据，利用指数函数对数函数的单调性即可得出．【详解】解：∵，∴，，．∴．故选：B．【点睛】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则 ( )A. B. 2 C. 4 D. 6【答案】C【解析】【分析】根据单位向量，的夹角为，可得．由向量，，且，可得，解得．进而得解．【详解】解：单位向量，的夹角为，∴．∵向量，，且，∴，∴，解得．则．故选：C．【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为，其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为．故选D．【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.6.已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若，则双曲线的离心率为( )A. B. C. 4 D. 2【答案】D【解析】【分析】设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．【详解】解：设，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．7.在中，角的对边分别为，若．则角的大小为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得，结合，可得，结合范围，可得，可得，即可得解的值．【详解】解：∵，∴由正弦定理可得：，∵，∴，∵，，∴，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8.如图所示的茎叶图(图一)为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图(图二)中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的分别是( )A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于和成绩不小于且小于的人数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个，故，．考点：程序框图、茎叶图．【思路点睛】本题主要考查识图的能力，通过对程序框图的识图，根据所给循环结构中的判断框计算输出结果，属于基础知识的考查．由程序运行过程看，两个判断框执行的判断为求个成绩中成绩不小于和成绩不小于且小于的个数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个．9.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（）A.B.C. 三棱锥的体积为定值D. 异面直线所成的角为定值【答案】D【解析】试题分析：∵AC⊥平面，又BE⊂平面，∴AC⊥BE．故A正确．∵EF垂直于直线，，∴⊥平面AEF．故B正确．C中由于点B到直线的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF的距离为，故VA-BEF为定值．C正确当点E在处，F为的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠FBC1，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠EAA1显然两个角不相等，D不正确考点：棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角【此处有视频，请去附件查看】10.已知函数，则( )A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】推导出，从而，由此能求出结果．【详解】解：∵函数，∴，．故选：C．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查对数函数的运算，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∵∴∵，∴∴故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.12.已知函数，在区间上任取三个实数均存在以为边长的三角形，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】【解析】试题分析：由条件可得2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论．解：任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可转化为2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0．令得x=1．当时，f'（x）＜0；当1＜x＜e时，f'（x）＞0；所以当x=1时，f（x）min=f（1）=1+h， ==e﹣1+h，从而可得，解得h＞e﹣3，故选：D．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则实数的值为______．【答案】【解析】【分析】函数的定义域为，求出导函数，利用曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线，解得，，联立解得的值．【详解】解：函数的定义域为，，，设曲线与曲线公共点为，由于在公共点处有共同的切线，∴，解得，．由，可得．联立，解得．故答案为：．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．14.设满足约束条件，若目标函数的值是最大值为12，则的最小值为______．【答案】【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如下图中的阴影区域所示，根据图形可知，目标函数在点处取得最大值，即，所以，则，当且仅当，即时等号成立.考点：1、线性规划；2、均值定理.【方法点晴】线性规划问题一般有截距型问题、斜率型问题、距离型问题、含参数问题、实际应用问题等几类常见的考法.这里重点考查截距型问题，即转化为，当时，直线在轴的截距越大则值越大，反之当时，直线在轴的截距越大则值越小，掌握这一结论便可以求出目标函数最优解.15.已知的终边过点，若，则__________．【答案】【解析】【分析】】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【详解】∵的终边过点，若，．即答案为-2.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题.16.如图，在三棱锥中，平面，，已知，，则当最大时，三棱锥的体积为__________．【答案】4【解析】设，则，，，，当且仅当，即时，等号成立.,故答案：4三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.等比数列中，．(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)记为的前项和．若，求．【答案】(Ⅰ)或 (Ⅱ)12【解析】【分析】(Ⅰ)根据等比数列的通项公式即可求出；(Ⅱ)根据等比数列的前项和公式，建立方程即可得到结论．【详解】解：(Ⅰ)设数列的公比为，∴，∴，∴或，(Ⅱ)由(Ⅰ)知或，∴或 (舍去)，解得．【点睛】本题主要考查等比数列的性质和通项公式以及前项和公式，考查学生的计算能力，注意要进行分类讨论．18.在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40,100]，分数在80以上(含80)的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求a的值，并计算所抽取样本的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)填写下面的2×2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与学生的文、理科有关”.附表及公式：【答案】（1），；（2）在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与学生的文、理科有关”【解析】试题分析：（1）利用频率和为1，求的值，利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，计算所抽取样本的平均值；（2）求出，与临界值比较，即可得出结论.试题解析：(1)，.(2)2×2列联表如下：因为，所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与学生的文、理科有关”．点睛：本题考查频率分布直方图，考查独立性检验知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题；在频率分布直方图中，注意纵轴的意义及所有条形的面积和为1，对于独立性检验解题步骤：（1）认真读题，取出相关数据，作出列联表；（2）根据列联表中的数据，计算的观测值；（3）通过观测值与临界值比较，得出事件有关的可能性大小.19.如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，分别是，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设，求三棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）取中点，连，，根据平行四边形，可得，进而证得平面平面，利用面面垂直的性质，得平面，又由，即可得到平面.（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，利用等积法，即可求解.【详解】（Ⅰ）取中点，连，，由，可得，可得是平行四边形，则，又平面，∴平面平面，∵平面，平面，∴平面平面，∵，是中点，则，而平面平面，而，∴平面.（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，得.【点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.20.已知点和椭圆. 直线与椭圆交于不同的两点.(Ⅰ) 求椭圆的离心率；(Ⅱ) 当时，求的面积；（Ⅲ）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值 .【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出a，c，然后求解椭圆的离心率即可；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为，与椭圆联立，求出坐标，然后求解三角形的面积；（Ⅲ）法一：设点C（x3，y3），P（x1，y1），B（0，﹣2），结合椭圆方程求出P（x1，y1），然后求解斜率．法二：设C（x3，y3），显然直线PB有斜率，设直线PB的方程为y＝k1x﹣2，与椭圆联立，利用韦达定理求出P的坐标，求解斜率即可．【详解】（Ⅰ）因为，所以所以离心率（Ⅱ）设若，则直线的方程为由，得解得设，则（Ⅲ）法一：设点，因为，，所以又点，都在椭圆上，所以解得或所以或法二：设显然直线有斜率，设直线的方程为由，得所以又解得或所以或所以或【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21.已知函数．(Ⅰ)当时，讨论函数的单调区间；(Ⅱ)若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可； (Ⅱ)将原问题进行等价转化为，，恒成立，然后构造新函数，结合函数的性质确定实数的取值范围即可．【详解】解：(Ⅰ)当时，，当时，在上恒成立，函数在上单调递减；当时，由得：；由得：．∴当时，函数的单调递减区间是，无单调递增区间：当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是．(Ⅱ)对任意的和，恒成立等价于：，，恒成立．即，，恒成立．令：，，，则得，由此可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴当时，，即又∵，∴实数的取值范围是：．【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性和恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．22.在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）过点且与直线平行的直线交于两点，求点到两点的距离之积.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）消去曲线的参数方程中的参数后可得普通方程，运用转化公式并结合直线的极坐标方程可得直线的直角坐标方程．（2）由题意得到直线的参数方程，代入曲线的普通方程后，再根据直线参数方程中参数的几何意义求解．【详解】（1）消去方程（为参数）中的参数，可得曲线的普通方程为．由，得，将代入上式可得，所以直线的直角坐标方程为．（2）由题意可得直线的倾斜角为，且过点，所以直线的参数方程为（为参数），把参数方程代入方程，化简得，设，两点所对应的参数分别为，，则，所以.即点到，两点的距离之积为1．【点睛】对于直线参数方程的标准形式中t的几何意义，有如下常用结论：①直线与圆锥曲线相交时，若两交点M1，M2对应的参数分别为，则弦长；②若定点M0是弦M1M2的中点, M1，M2对应的参数分别为，则；③设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值 (由此可求|M2M|及中点坐标)．23.设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．详解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2020年内蒙古第二次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年内蒙古第二次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合y x y x M ,|),{(=为实数,且}222=+y x ,y x y x N ,|),{(=为实数, 且}2=+y x ,则N M 的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．若复数满足3(1)12i z i +=-,则z 等于（ ）A ．32 C ．2D ．123. 已知直线l 和平面,αβ，且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 函数1tan()23y x π=+的最小正周期为（ ）A.4π B. 2πC. πD. 2π5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 966. 函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最小正周期和最小值分别是（ ） A. π，0B. 2π，0C. π，22-D. 2π，22-7.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A.36B.423C.433D.838. 已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）A. B.C. D.9. 若x 、y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值为（ ）A. B. C. D. 510. 设，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( ) A.B.C.D.12. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届内蒙古鄂尔多斯市第一中学高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020届内蒙古鄂尔多斯市第一中学高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．设集合(),2y x M x y y x ⎧⎫=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬=-+⎩⎪⎪⎩⎭，{}2320N x x x =-+≤，则M N =I （ ）A ．∅B ．{}2C ．{}1D ．{}1,2【答案】A【解析】根据集合中元素的意义判断即可. 【详解】由题,集合M 为点的集合,N 为数的集合.故M N ⋂=∅. 故选：A 【点睛】本题主要考查了集合的元素意义与交集运算,属于基础题.2．设,a b r r 是两个平面向量，则“a b =r r”是“a b =r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a b =r r ，则a b =r r 是成立的；反之，若a b =r r ，而a b =r r不一定成立，即可得到答案. 【详解】由题意,a b r r 是两个平面向量，若a b =r r，则a b =r r 是成立的； 反之，若a b =r r ，则向量,a b r r 可能是不同的，所以a b =r r不一定成立， 所以a b =r r是a b =r r 是成立的充分而不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的概念以及向量模的概念的应用，以及充分条件与必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．已知复数()313i z i +=-，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A ．z i =B ．z i =-C ．21z =D ．z 的虚部为i -【答案】B【解析】利用复数的除法求出z 后可得正确的选项. 【详解】因为()313i z i +=-，则()()133131031010i i i iz i i ----====-+，1z =，21z =-，z 的虚部为1-， 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法，计算时分子、分母同乘以分母的共轭复数，本题属于容易题. 4．已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21xf x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15【答案】A【解析】根据奇函数定义域关于原点中心对称,可求得m 的值.根据奇函数性质,即可求得()f m 的值.【详解】因为奇函数的定义域关于原点中心对称 则5120m m -+-=,解得4m =-因为奇函数()f x 当0x >时,()21xf x =-则()()()4442115f f -=-=--=-故选:A 【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称,奇函数的性质应用,属于基础题.5．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，又合而为一”.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N ≤∈个圆环所需的移动最少次数，{}na 满足11a =，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．10C ．12D ．18【答案】A【解析】利用给定的递推关系可求4a 的值，从而得到正确的选项. 【详解】因为11a =，故22111a =⨯-=，32124a =⨯+=，42417a =⨯-=， 故选：A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考虑数列指定项的计算，注意依据分段的递推关系来计算，本题属于基础题.6．若函数()y f x =的大致图像如图所示，则()f x 的解析式可以为（ ）A ．()22x xxf x -=+B ．()22x xxf x -=- C ．()22x xf x x-+=D ．()22x xf x x--=【答案】C【解析】通过奇偶性分析排除B ，D 两个选项，通过极限思想取值选出选项. 【详解】对四个选项解析式分析发现B ，D 两个均为偶函数，图象关于y 轴对称，与题不符，故排除；极限思想分析，0,222,022xxx xxx +--→+→→+，A 错误；220,222,x xxxx x-+-+→+→→+∞，C 符合题意.故选：C 【点睛】此题考查函数图象与解析式的关系，是对函数基本性质的综合应用，解题中需要注意观察函数定义域，单调性，奇偶性，周期性，特殊值等性质，对图像进行辨析，考查综合能力.7．已知()()cos 0,,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+><∈ ⎪⎝⎭两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则ϕ的值为（ ）A ．3π-B ．3πC ．6πD ．6π-【答案】A【解析】根据两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π,可求得周期与ω,再代入23x π=分析ϕ的值即可. 【详解】因为两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π可得周期为π,故22ππωω=⇒=. 故()()cos 2f x x ϕ=+,又当23x π=时,函数()f x 取得最小值, 故()2222,33k k k Z ππϕππϕπ⨯+=+⇒=-∈,又2πϕ<,故3πϕ=-. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像的性质求解参数的问题,需要根据题意分析所给的条件与周期等的关系列式求解,属于基础题.8．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为1A ，216,,A A ⋯，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（ ）A ．10B ．6C ．7D ．16【解析】先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于90分的学生人数，然后从茎叶图中将不低于90分的个数数出来，即为输出的结果． 【详解】176A =，1i =，16i ≤成立，190A ≥不成立，112i =+=； 279A =，2i =，16i ≤成立，290A ≥不成立，112i =+=；L L L792A =，7i =，16i ≤成立，790A ≥成立，011n =+=，718i =+=；L L L依此类推，上述程序框图是统计成绩不低于90分的学生人数，从茎叶图中可知，不低于90分的学生数为10，故选A ． 【点睛】本题考查茎叶图与程序框图的综合应用，理解程序框图的意义，是解本题的关键，考查理解能力，属于中等题．9．已知正方形ABCD 的边长为2，以B 为圆心的圆与直线AC 相切.若点P 是圆B 上的动点，则DB AP ⋅u u u v u u u v的最大值是（ ） A． B．C ．4D ．8【答案】D【解析】建立平面直角坐标系，圆B 的方程为：222x y +=,444DB AP sin πθ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v ，利用正弦型函数的性质得到最值. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()0,0B ，()A 0,2，()D 2,2， 圆B 的方程为：222x y +=,∴)Pθθ，∴()22DB =--u u u v，，)2AP θθ=-u u u v ，∴4444DB AP sin πθθθ⎛⎫⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v∴14sin πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，DB AP ⋅u u u v u u u v的最大值是8，【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10．有一个长方形木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为（ ） A ．2 B ．22C ．4D ．2【答案】B【解析】先求长方体从同一顶点出发的三条棱的长度，从而可得正四面体模型棱长的最大值. 【详解】设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c ，则81224ab ac bc =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故246a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，若能从该长方体削得一个棱长最长的正四面体模型， 则该四面体的顶点必在长方体的面内，过正四面体的顶点作垂直于长方体的棱的垂面切割长方体，含正四面体的几何体必为正方体， 故正四面体的棱长为正方体的面对角线的长， 而从长方体切割出一个正方体，使得面对角线的长最大， 需以最小棱长2为切割后的正方体的棱长切割才可， 故所求的正四面体模型棱长的最大值2. 故选：B. 【点睛】本题考查正四面体的外接，注意根据外接的要求确定出顶点在长方体的侧面内，从而得到正四面体的各顶点为某个正方体的顶点，从而得到切割的方法，本题属于中档题. 11．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，2220OB OA +=，若平面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r，则PO 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】C【解析】设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =u u u r u u u r可得262m x n y=-⎧⎨=-⎩，再根据2220OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值.【详解】设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--u u u r ，(),2PA x y =--u u u r. 由3PB PA =u u u r u u u r可得363m x x n y y-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y=-⎧⎨=-⎩，因为2220OB OA +=，故()22443420x y +-+=，整理得到()2234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2，故PO 的最大值为325+=， 故选：C. 【点睛】本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.12．函数()32231,20,?02x x x x f x ae x ⎧++-≤≤=⎨<≤⎩，若存在实数m ，使得方程()f x m =有三个相异实根，则实数a 的范围是（ ） A ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．210,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(],2-∞D ．21,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】先考虑20x -≤≤时()f x 的单调性，再就0,0a a >≤分类讨论求()f x 在(]0,2上的最值，结合存在实数m ，使得方程()f x m =有三个相异实根可得实数a 的取值范围.【详解】当20x -≤≤时，()()26661f x x x x x '=+=+，当21x -≤≤-时，()0f x '≥，()f x 在[]2,1--为增函数， 当10x -<≤时，()0f x '≤，()f x 在[]1,0-为减函数. 又()()()12,23,01f f f -=-=-=，因为存在实数m ，使得方程()f x m =有三个相异实根，所以当(]0,2x ∈时，()f x 的最小值小于2，()f x 的最大值大于或等于1.但当0a >，(]0,2x ∈时，()2a f x ae <≤，故221a ae <⎧⎨≥⎩，故212a e ≤<； 而当0a ≤，(]0,2x ∈时，任意(]0,2x ∈，()0f x ≤总成立，舍去. 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的零点，注意先研究不含参数的函数的单调性，再结合函数的零点的个数判断另一范围上函数的性质，本题属于难题.二、填空题13．已知向量a r ，b r 满足0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()1,b m =r ，且a r 在b r，则实数m =__________ 【答案】2±【解析】利用向量投影的计算公式可得关于m 的方程，其解即为所求的m 的值. 【详解】a r 在b r方向上的投影为2m a b b ==r rg r ，解得2m =±， 故答案为：2±. 【点睛】本题考查a r 在b r方向上的投影，其计算公式为a b br r g r ，本题属于基础题.14．数列{}n a 满足13a =，且对于任意的*n N ∈都有，12n n a a n +-=+，则39a =_______．【答案】820【解析】根据条件中的递推关系，利用累加法，求出数列{}n a 的通项公式，然后计算39a 的值. 【详解】因为12n n a a n +-=+， 所以213a a -=，324a a -=， 435a a -=，…，()112n n a a n n --=+≥，上面1n -个式子左右两边分别相加 得()()1412n n n a a +--=，即()()122n n n a ++=，所以3940418202a ⨯==. 【点睛】本题考查累加法求数列通项，求数列中的项.属于中档题.15．在四面体ABCD 中，ABD ∆与BDC ∆都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BDC ，则该四面体外接球的体积为_______．【答案】27【解析】先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积. 【详解】取BDC ∆的外心为1O ，设O 为球心，连接1OO ，则1OO ⊥平面BDC ，取BD 的中点M ，连接AM ，1O M ，过O 做OG AM ⊥于点G ，易知四边形1OO MG 为矩形，连接OA ，OC ，设OA R =，1OO MG h ==.连接MC ，则1O ，M ，C 三点共线，易知3MA MC ==，所以133OG MO ==，1233CO =.在Rt AGO ∆和1Rt OO C ∆中，222GA GO OA +=，22211O C O O OC +=，即()222333h R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，222233h R ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以3h =，253R =，得15R =.所以342015==3O V R ππ球.【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置，利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.16．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()12,0F -、()22,0F ，M 是C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若2=PQ C 的离心率为____.2【解析】根据切线长定理求出MF 1﹣MF 2，即可得出a ，从而得出双曲线的离心率． 【详解】设△MPF 2的内切圆与MF 1，MF 2的切点分别为A ，B ， 由切线长定理可知MA ＝MB ，P A ＝PQ ，BF 2＝QF 2， 又PF 1＝PF 2，∴MF 1﹣MF 2＝（MA +AP +PF 1）﹣（MB +BF 2）＝PQ +PF 2﹣QF 2＝2PQ ， 由双曲线的定义可知MF 1﹣MF 2＝2a ， 故而a ＝PQ 2=c ＝2，∴双曲线的离心率为e 2ca==． 2【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，利用双曲线的定义进行转化是解决本题的关键．三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+. （1）若4a =，ABC ∆15b ，c 的值；（2）若()sin sin 0B k C k =>，且角C 为钝角，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）4b =，2c =或2b =，4c =（2）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】先由正弦定理和三角恒等变换，同角的三角函数基本关系求出cosA 、sinA 的值；（1）利用余弦定理和三角形的面积公式列出方程组，求出b 、c 的值； （2）利用正弦定理和余弦定理，结合角C 为钝角，求出k 的取值范围． 【详解】△ABC 中，4acosA ＝ccosB +bcosC ，∴4sinAcosA ＝sinCcosB +sinBcosC ＝sin （C +B ）＝sinA ， ∴cosA 14=， ∴sinA 2151cos A =-=； （1）a ＝4，∴a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cosA ＝b 2+c 212-bc ＝16①； 又△ABC 的面积为： S △ABC 12=bc •sinA 12=bc •15154=，∴bc＝8②；由①②组成方程组，解得b＝4，c＝2或b＝2，c＝4；（2）当sinB＝ksinC（k＞0），b＝kc，∴a2＝b2+c2﹣2bc•cosA＝（kc）2+c2﹣2kc•c•14=（k212-k+1）c2；又C为钝角，则a2+b2＜c2，即（k212-k+1）+k2＜1，解得0＜k14＜；所以k的取值范围是1 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】主要考查了同角三角函数的基本关系式，三角恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用问题，是综合性题目．18．中国北京世界园艺博览会于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行．组委会为方便游客游园，特推出“导引员”服务．“导引员”的日工资方案如下：A方案：由三部分组成（表一）B方案：由两部分组成：（1）根据工作时间20元/小时计费；（2）行走路程不超过4公里时，按10元/公里计费；超过4公里时，超出部分按15元/公里计费．已知“导引员”每天上班8小时，由于各种因素，“导引员”每天行走的路程是一个随机变量．试运行期间，组委会对某天100名“导引员”的行走路程述行了统计，为了计算方便对日行走路程进行取整处理．例如行走1.8公里按1公里计算，行走5.7公里按5公里计算．如表所示：（表二）（Ⅰ）分别写出两种方案的日工资y （单位：元）与日行走路程x （单位：公里）()x ∈N 的函数关系（Ⅱ）①现按照分层抽样的方工式从(]4,8，(]8,12共抽取5人组成爱心服务队，再从这5人中抽取3人当小红帽，求小红帽中恰有1人来自(]4,8的概率；②“导引员”小张因为身体原因每天只能行走12公里，如果仅从日工资的角度考虑，请你帮小张选择使用哪种方案会使他的日工资更高？【答案】（Ⅰ）A 方案：19811y x =+，*x ∈N ，B 方案：16010,04,14015,4,x x x N y x x x N+<≤∈⎧=⎨+>∈⎩；（Ⅱ）①35，②建议选A 方案.【解析】（Ⅰ）根据题设条件可得两种方案的日工资y 与日行走路程x 的函数关系. （Ⅱ）①用列举法可得基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可得所求的概率.② 利用（Ⅰ）的函数可得小张的日工资，根据所得工资额的大小关系选择A 方案. 【详解】（Ⅰ）A 方案：150681119811y x x =+⨯+=+，x ∈N ，B 方案：()20810208104154x y x ⨯+⎧=⎨⨯+⨯+-⎩，即16010,04,14015,4,x x x Ny x x x N +<≤∈⎧=⎨+>∈⎩. （Ⅱ）（ⅰ）因为10:152:3=，依题意从(]4,8中抽取2人，分别设为A ，B ， 从(]8,12中抽取3人，分别设为a ，b ，c . 设“小红帽中恰有一人来自(]4,8”为事件M ，则基本事件有{},,A B a 、{},,A B b 、{},,A B c 、{},,A a b 、{},,A a c 、{},,A b c 、{},,B a b 、{},,B a c 、{},,B b c 、{},,a b c 共10种.M 中的基本事件有{},,A a b 、{},,A b c 、{},,B a b 、{},,B a c 、{},,B b c 、{},,a b c 共6种，所以()63105P M ==. （ⅱ）“A 方案”：1981112330y =+⨯=，B 方案：1401512320330y =+⨯=<.所以建议选A 方案. 【点睛】本题考查一次函数及分段函数在实际问题中应用，也考查了古典概型概率的计算，注意利用枚举法、树形图法或借助排列组合的方法来计数，本题属于中档题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点．（1）若F 为线段BC 上的动点，证明：平面AEF ⊥平面PBC ；（2）若F 为线段BC ，CD ，DA 上的动点（不含A ，B ），2PA =，三棱锥A BEF -的体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，23. 【解析】(1)利用,AE PB AE BC ⊥⊥,可得AE ⊥平面PBC ,根据面面垂直的判定定理可证平面AEF ⊥平面PBC ;(2) 由PA ⊥底面ABCD ，得平面PAB ⊥平面ABCD ．将问题转化为点F 到直线AB 的距离有无最大值即可解决. 【详解】（1）证明:因为PA AB =，E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥, 因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥, 又因为底面ABCD 为正方形，所以BC AB ⊥，PA AB A =I , 所以BC ⊥平面PAB ,因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥, 因为PB BC B ⋂=，所以AE ⊥平面PBC , 因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC . （2）由PA ⊥底面ABCD ，则平面PAB ⊥平面ABCD ,所以点F 到平面ABE 的距离（三棱锥F ABE -的高）等于点F 到直线AB 的距离, 因此，当点F 在线段BC ，AD 上运动时，三棱锥F ABE -的高小于或等于2, 当点F 在线段CD 上运动时,三棱锥F ABE -的高为2, 因为ABE △的面积为12112ABE S =⨯⨯=△,所以当点F 在线段CD 上，三棱锥F ABE -的体积取得最大值, 最大值为12233ABE V S =⨯⨯=△. 由于三棱锥A BEF -的体积等于三棱锥F ABE -的体积, 所以三棱锥A BEF -的体积存在最大值23. 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质,考查了直线与平面垂直的判定定理,考查了平面与平面垂直的判定定理,考查了三棱锥的体积公式,属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F =，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB u u u u v u u u v为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12,22143x y +=； （2）存在点P ，且0118x =.【解析】（1）由已知条件得1c =，2a =，即可计算出离心率和椭圆方程（2）假设存在点P ，分别求出直线BM 的斜率不存在、直线BM 的斜率存在的表达式，令其相等，求出结果 【详解】（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==，2223b a c =-=. 故C 的方程为22143x y +=.（2）假设存在点P ，使得·PM PB u u u u v u u u v为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则()209·14PM PB x u u u u v u u u v =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为()1y k x =-，设点()11,B x y ，()22,M x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22224384120kx k x k +-+-=，根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由于()202,PM x x y =-u u u u v ，()101,PB x x y =-u u u v， 则()212120012•PM PB x x x x x x y y =-+++u u u u v u u u v()()()()22200022221201202485312143x x k x k x x x k x x k x k --+-=+-++++=+因为·PM PBu u u u v u u u v 为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题，在解答定值问题时先假设存在，分别求出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式，令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握 21．设函数()()ln 1f x ax bx =++，()()2g x f x bx =-.（1）若1a =，1b =-，求函数()f x 的单调区间；（2）若曲线()y g x =在点()1,ln3处的切线与直线1130x y -=平行. ①求a ，b 的值；②求实数()3k k ≤的取值范围，使得()()2g x k x x >-对()0,x ∈+∞恒成立.【答案】（1）单调增区间为()1,0-，单调减区间为()0,∞+；（2）①23a b =⎧⎨=-⎩；②[]1,3.【解析】（1）求出()f x '后讨论其符号可得函数的单调区间. （2）根据函数在()1,ln3处切线的斜率可得23a b =⎧⎨=-⎩，构建新函数()()()2F x g x k x x =--，就1,13k k <≤≤分类讨论()F x 的单调性后可得k 的取值范围. 【详解】（1）当1a =，1b =-时，()()ln 1f x x x =+-，()1x >-， 则()1111xf x x x-'=-=++. 当()0f x '>时，10x -<<；当()0f x '<时，0x >； 所以()f x 的单调增区间为()1,0-，单调减区间为()0,∞+. （Ⅱ）（ⅰ）因为()()()()22ln 1g x f x bx ax b x x=-=++-，所以()()121ag x b x ax'=+-+. 依题设有()()()1ln 11113g a g ⎧=+='⎪⎨⎪⎩，即()ln 1ln 31113a a b a ⎧+=⎪⎨-=⎪+⎩.解得23a b =⎧⎨=-⎩. （ⅱ）由（ⅰ）得()()()2ln 123g x x x x=+--，1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. ()()2g x k x x >-对()0,x ∈+∞恒成立即()()20g x k x x -->对()0,x ∈+∞恒成立.令()()()2F x g x k x x =--.则有()()243112k x k F x x-+-'=+. ①当13k ≤≤时，当()0,x ∈+∞时，()0F x '>， 所以()F x 在()0,∞+上单调递增.所以()()00F x F >=，即当()0,x ∈+∞时，()()2g x k x x >-恒成立；②当1k <时，当x ⎛∈ ⎝时，()0F x '<，所以()F x在⎛ ⎝上单调递减，故当x ⎛∈ ⎝时，()()00F x F <=，即当()0,x ∈+∞时，()()2g x k x x >-不恒成立.综上，[]1,3k ∈. 【点睛】本题考查含参数的函数的单调性以及不等式的恒成立，前者利用导数的符号的正负来说明，后者需构造新函数，通过新函数的最值来讨论，本题属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），经过变换2x xy y=''⎧⎨=⎩，得曲线C .以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程.（Ⅱ）若A ，B 为曲线C 上的动点，且2AOB π∠=，证明：2211OAOB+为定值.【答案】（Ⅰ）2222cos sin 14ραρα+=；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）利用坐标关系求出,x y ''，消去θ后可得曲线C 的直角坐标方程，再利用cos sin x y ραρα=⎧⎨=⎩可得其极坐标方程 . （Ⅱ）根据2AOB π∠=可设,A B 的极坐标为()1,A ρα，2,2B πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将它们代入（Ⅰ）中得到的极坐标方程可证2211OAOB+为定值.【详解】（Ⅰ）圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），经过变换2x xy y=''⎧⎨=⎩，得曲线C 的参数方程cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨⎪='⎩'（θ为参数），也就是cos 2sin xy θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩.消去参数θ得到C 的直角坐标方程为2214x y +=，故曲线C 的极坐标方程为：2222cos sin 14ραρα+=.（Ⅱ）不妨设()1,A ρα，2,2B πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又曲线C 的极坐标方程可化为2221cos sin 4ααρ=+， 所以222122221cos sin 4cos 12sin 42ααρπαπαρ⎧=+⎪⎪⎪⎨⎛⎫+ ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎪=++ ⎪⎪⎝⎭⎩即222122221cos sin 41sin cos 4ααρααρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 两式相加得221154OAOB+=，故2211OA OB+为定值.【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化以及极坐标方程的应用，注意在解析几何中我们可以利用极坐标来沟通角与线段长度的关系，本题属于中档题. 23．已知函数()2f x x m x =-+，x ∈R .（Ⅰ）若不等式()2f x m ≥对x ∀∈R 恒成立，求正实数m 的取值范围；（Ⅱ）设实数t 为（Ⅰ）中m 的最大值.若正实数a ，b ，c 满足2tabc =，求()()()111a b c +++的最小值.【答案】（Ⅰ）(]0,2；（Ⅱ）8.【解析】（Ⅰ）利用绝对值不等式可求()f x 的最小值为m ，从而有2m m ≥，结合0m >可得m 的取值范围.（Ⅱ）利用基本不等式可求()()()111a b c +++的最小值. 【详解】（1）()222f x x m x x m x m =-+≥--=Q ，当且仅当()20x m x -≤时等号成立，22m m ∴≤，解得22m -≤≤，∴正实数m 的取值范围为(]0,2.（2）由（1）知，2t =，即1abc =.10a +≥>Q ，10b +≥>，10c +≥>()()()1118a b c ∴+++≥=，当且仅当1a b c ===时()()()111a b c +++取得最小值为8. 【点睛】本题考查绝对值不等式以及基本不等式的应用，注意绝对值不等式a b a b +≥+中，等号成立的条件是0ab ≥，而用基本不等式求最值时，注意验证等号成立的条件.。
内蒙古鄂尔多斯市2024年数学(高考)统编版模拟(综合卷)模拟试卷
内蒙古鄂尔多斯市2024年数学（高考）统编版模拟(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知数列满足，，，则以下说法不正确的是（）A．，B．，C．数列存在最大项D．数列不存在最小项第(2)题已知抛物线的焦点为为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（）A．5B．-4C．3D．-3第(3)题设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题已知为坐标原点，椭圆：，平行四边形的三个顶点A，，在椭圆上，若直线和的斜率乘积为，四边形的面积为，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．第(5)题已知直线与圆：（）交于A，两点，且线段关于圆心对称，则（）A．1B．2C．4D．5第(6)题若事件与相互独立，且，则的值等于A．0B．C．D．第(7)题已知对任意正数a、b、c，当时，都有成立，则实数m的取值范围是（）．A．B．C．D．第(8)题数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（）A．勒洛四面体最大的截面是正三角形B．若P、Q是勒洛四面体表面上的任意两点，则PQ的最大值为C．勒洛四面体的体积是D．勒洛四面体内切球的半径是二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题设函数的最小正周期，且，的极大值与极小值的差为2．若在内恰有3个零点，则的值可能是（ ）A．B．C．D．第(2)题已知函数，则（ ）A．是偶函数B．的最小正周期是C．的值域为D ．在上单调递增第(3)题下列说法正确的有（ ）A ．，且，则B．设有一个回归方程，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D．在某项测量中，测量结果服从正态分布，则三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
内蒙古鄂尔多斯市(新版)2024高考数学统编版模拟(综合卷)完整试卷
内蒙古鄂尔多斯市（新版）2024高考数学统编版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，.若函数，且在区间上有极大值，无极小值，则m的取值范围为（）A．B．C．D．第(2)题设是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是( )．A．(－1,0)B．(0, 1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)第(3)题已知双曲线的实轴为，对上任意一点，在上都存在点，使得，则的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题直线与曲线相切的一个充分不必要条件为（）A．B．C．D．第(5)题设函数由关系式确定，函数，则（）A．为增函数B．为奇函数C．值域为D．函数没有正零点第(6)题一个近似圆台形状的水缸，若它的上､下底面圆的半径分别为和，深度为，则该水缸灌满水时的蓄水量为（）A．B．C．D．第(7)题已知，且，，则（）A．2B．C．1D．第(8)题对于任意实数，，定义.已知函数，，，若恒成立，则的最小值为（）A．B．0C．D．1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题直线：与的图象交于、两点，在A､B两点的切线交于，的中点为，则（）A．B．点的横坐标大于1C．D．的斜率大于0已知椭圆的左､右焦点为､，点为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（）A．椭圆的长轴长为B．椭圆的离心率C．△的周长为D．的取值范围为第(3)题函数的图象向左平移个单位长度后与原图象关于轴对称，则下列结论一定正确的是（）A．B．的一个周期是C ．是偶函数D．在上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为__________万元.家庭年收入(以万元为单位)频率0.20.20.20.260.070.07第(2)题樱花如约而至，武汉疫后重生．“相约春天赏樱花”的诺言今年三月在武汉大学履行．武汉大学邀请去年援鄂的广大医护人员前来赏樱．某医院计划在援鄂的3名医生和5名护士（包含甲医生和乙护士）中任选3名作为第一批人员前去赏樱，则甲医生被选中且乙护士未被选中的概率为______．第(3)题如图是一个算法流程，则输出的值为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数（）．(1)当，求f（x）的极值．(2)当时，设，若存在，，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，）第(2)题如图，在四棱锥中，底面，，，，，.(1)证明：平面平面；(2)求与平面所成角的余弦值.已知数列是公差为2的等差数列，.是公比大于0的等比数列，，.(1)求数列和的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和.第(4)题已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数在有两个零点，求m的取值范围.第(5)题已知函数，.（1）设，，讨论函数的单调性；（2）若函数存在两个不同的极值点，，且，，求证：.。
内蒙古鄂尔多斯市(新版)2024高考数学部编版摸底(综合卷)完整试卷
内蒙古鄂尔多斯市（新版）2024高考数学部编版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数的定义域为，，若是奇函数，是偶函数，且，则（）A．B．C．D．第(2)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(3)题某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）A．小时B．小时C．小时D．小时第(4)题将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（）A．为偶函数B．C．当时，在上有3个零点D ．若在上单调递减，则的最大值为9第(5)题函数的定义域均为，且，关于对称，，则的值为（）A．B．C．D．第(6)题若，则（）A．B．C．D．第(7)题已知等差数列的公差为其前项和，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(8)题已知复数满足，则（）A．B．C．5D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，，动点P满足．设点P的轨迹为曲线C，直线l：与曲线C交于D，E两点，则下列结论正确的是（）A．曲线C的方程为B．的取值范围为C．当最小时，D．当最大时，第(2)题若定义在上的函数同时满足：①；②对，成立；③对，，，成立；则称为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（）A．，是“正方和谐函数”B．若为“正方和谐函数”，则C．若为“正方和谐函数”，则在上是增函数D．若为“正方和谐函数”，则对，成立第(3)题已知，是经过抛物线焦点的互相垂直的两条弦，若的倾斜角为锐角，，两点在轴上方，则下列结论中一定成立的是（）A．最小值为32B．设为抛物线上任意一点，则的最小值为C．若直线的斜率为，则D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为__________.第(2)题已知集合，则集合=________第(3)题若A，B是抛物线上不同的两点，斜率存在的线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为______________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题函数.(1)求函数在的值域；(2)记分别是的导函数，记表示实数的最大值，记函数，讨论函数的零点个数.第(2)题已知数列满足，，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）记为数列的前项和，求的最大值.第(3)题设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，，求的取值范围.第(4)题已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求a、b的值；(2)用定义证明在上为减函数；(3)若对于任意，不等式恒成立，求k的范围第(5)题对于函数，其中，．(1)求函数的单调增区间；(2)在锐角三角形中，若，，求的面积．。
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6．设等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，若 S2＝3，S4＝10，则 S6＝
A．21
B．22
C．11
D．12
7．已知抛物线 C : y2 6x 的焦点为 F，A、B 是抛物线上两个不同的点，若|AF |+|BF|=8，
则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为
A．5
B．3
C．3 2
D．5 2
8．在关于 x 的不等式 ax2+2x+1＞0 中，“a＞1”是“ax2+2x+1＞0 恒成立”的
A．充分不必要条件
C．充要条件
9．函数 y
1
的图象大致是
x ln x 1
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
文科数学第 2 页（共 6 页）
10．右边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.
把运算“正整数 N 除以正整数 m 所得的余数是 n”记
n=14
为“N ≡ n（mod m）”，例如 7 ≡ 1（mod 2）. 执行该
畜牧类行业：85，92，77，81，89，87； 化工类行业：79，77，90，85，83，91； 煤炭类行业：87，89，76，84，75，94，90，88． （Ⅰ）计算该辖区这三类行业中每类行业的单位个数； （Ⅱ）若从畜牧类行业这六个单位中，再随机选取两个单位进行生产效益调查，求选 出的这两个单位中既有“A 类”环保单位，又有“B 类”环保单位的概率. 18．（本小题满分 12 分）
为践行“绿水青山就是金山银山”的国家发展战略，我市对某辖区内畜牧、化工、 煤炭三类行业共 200 个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到 85 分及 其以上的单位被称为“A 类”环保单位，未达到 85 分的单位被称为“B 类”环保单位．现 通过分层抽样的方法确定了这三类行业共 20 个单位进行调研，统计考评分数如下：
13．若函数 f (x) (a 1)x3 ax2 +2x 为奇函数，曲线 y f (x) 在点(1，f（1）)处的切
线方程为________________. 14．某牧草种植基地 2019 年种植 A、B、C 三种牧草共 50 亩，
种植比例如右图所示.该基地计划在 2020 年扩大 A 品种和 C 品种的种植面积，同时保持 B 品种的种植面积不变，这样 B 品种的种植面积比例下降为 10%. 若 C 品种的种植面积比 例保持不变，那么 2020 年，C 品种的种植面积是 亩.
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15．在三棱锥 A－BCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的
面积分别为 6、3 2、3 ，则三棱锥 A—BCD 的外接球的表面积为__________.
16 ． 设 函 数
f
x
x 2x
， 点 An n, f n n N *
， A0 为 坐 标 原 点 ， 若 向 量
设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 2b cos B a cosC c cos A .
（Ⅰ）求 B；
（Ⅱ）若△ABC 是钝角三角形，且 b 3 ，求 a c 的取值范围.
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19．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，已知 AB∥CD，PA = AB = AD = 2，DC = 1，AD⊥AB，
1．已知集合
A
x
x
1 2
，
B
x
|
1
x
0，则
A
B
A．x x 0
B．x
x
1 2
C．x
1
x
1 2
D．x x 1
2．若复数 z 2 i1 i（i 是虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知向量 a = (1, 2 )，b =（4λ, －1），且 a⊥b，则 λ =
D． 2 2 1
log1 x, x 0
12．已知函数
f
(x)
3
a
1 3
x
,
x
0
，若关于
x
的方程
f[
f
(x)]
0 有且只有一个实数
根，则实数 a 的取值范围是
A． (,0) (0,1) C． (,0)
B． (,0) (1， ) D． (0，1) (1， )
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
C． 3 5
D． 4 5
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5．已知 m，n 是两条不重合的直线，α，β 是两个不重合的平面，下列命题正确的是
A．若 m //，m // ，n //，n // ，则 //
B．若 m // n，m ，n ，则 //
C．若 m n ， m ， n ，则
D．若 m n，m //，n ，则
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内蒙古鄂尔多斯市2020 年高考模拟考试
文科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号、考生号涂写在答题卡上。本试卷满分
150 分，考试时间 120 分钟。 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，只交答题卡。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
an A0 A1 A1A2 An1An ，设 i 1,0 ，且n 是 an 与 i 的夹角，记 Sn 为数列
tann的前 n 项和，则 tan3
， Sn
.
三、解答题：共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题ห้องสมุดไป่ตู้共 60 分。 17.（本小题满分 12 分）
A．1 4
B．1 2
C．1
D．2
4．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个
半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC. 已知以直角边 AC，
AB 为直径的半圆的面积之比为 1 ，记 ABC ，则 sin 2 4
A． 9 25
B． 12 25
程序框图，则输出的 n 等于
A．16
B．17
C．18
D．19
11．已知双曲线
C：ax22
－
y2 b2
=1
(
a
>
0，b
>
0
)的焦距为
2c，过左焦点
F1
作斜率为
1
的
直线交双曲线 C 的右支于点 P，若线段 PF1 的中点在圆 O: x2 y2 c2 上，则该双
曲线的离心率为
A． 2
B． 2 2
C． 2 1