最新-上海市2018年“新知杯”初中数学竞赛试卷0181 精品
2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)
2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为（）A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。
(C) $-\frac{1}{3}$。
(D) $-\frac{3}{5}$.答】B.解：由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，得$5x-3y=3xz-3xz^2$，即$y=\frac{5}{3}x-\frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$，所以$\frac{y+2z}{3x-y-z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$，故选（B）。
注：本题也可用特殊值法来判断。
2.当$x$分别取值$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时，计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A) $-1$。
(B) $1$。
(C) $0$。
(D) $2007$.答】C.解：$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}=\frac{1}{21}\left(\frac{21}{ 2007}+\frac{21x}{21+x^2}\right)=\frac{1}{21}\left(\frac{1}{1+x ^{-2}}\right)$，所以当$x=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{200 6},\frac{1}{2007}$时，计算所得的代数式的值之和为$0$，故选（C）。
2018年初中数学联赛试题参考答案和评分标准word版
5．对随意的整数x,y，定义x@yxyxy，则使得(x@y)@z(y@z)@x(z@x)@y
0的整数组(x,y,z)的个数为（）
A.1．B.2．C.3．D.4．
【答】D.
(x@y)@z(xyxy)@z(xyxy)z(xyxy)zxyzxyyzzxxyz，
由已知条件可得abbcca
11
[(abc)2(a2b2c2)]
22
，a3b3c33abc，所以
a5b5c5(a2b2c2)(a3b3c3)[a2(b3c3)b2(a3c3)c2(a3b3)]
3abc[a2b2(ab)a2c2(ac)b2c2(bc)]3abc(a2b2ca2c2bb2c2a)
3abcabc(abbcca)3abc
数组(a,b,c)的个数为（）
A.4．B.5．C.6．D.7．
【答】B.
由已知得，a2017bc2018，b2017ac2018，c2017ab2018，两两作差，可
得(ab)(12017c)0，(bc)(12017a)0，(ca)(12017b)0.
2018年初中数学联赛试题参照答案及评分标准第5页（共10页）
A.0．B.1．C.2．D.3．
【答】B.
令y9x，则y0，且xy29，原方程变成3y3y29，解得y1或y6，从
而可得x8或x27.
查验可知：x8是增根，舍去；x27是原方程的实数根.
所以，原方程只有1个实数根.
5．设a,b,c为三个实数，它们中任何一个数加上其他两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元
所以，知足条件的素数对(p,q)的个数为2.
最新-上海市2018初中数学 竞赛试卷 沪科版 精品
2018年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2018年12月12日 上午9:00~11:00）解答本试卷可以使用计算器一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）1. 已知31=+x x ，则=+++10551011x x x x _________。
2. 满足方程()()33222=-+++y x y x 的所有实数对()y x ，为__________。
3. 已知直角三角形ABC 中，3690===∠CA BC C ，，，CD 为C ∠的角平分线，则CD=_________。
4. 若前2018个正整数的乘积201121⨯⨯⨯ 能被k 2010整除，则正整数k 的最大值为________。
5. 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_________。
6. 如图，矩形ABCD 中，AB=5，BC=8，点E ，F ，G ，HOG F EH D C B A分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O 在线段HF 上，使得四边形AEOH 的面积为9，则四边形OFCG 的面积是_________。
7. 整数q p ，满足2010=+q p ，且关于x 的一元二次方程0672=++q px x 的两个根均为正整数，则=p ________。
8. 已知实数c b a ，，满足0=++≥≥c b a c b a ，且0≠a 。
设21x x ，是方程02=++c bx ax 的两个实数根，则平面直线坐标系内两点()()1221x x B x x A ，，，之间的距离的最大值为_______。
9. 如图，设ABCDE 是正五边形，五角星ACEBD （阴影部分）的面积为1，设AC 与BE 的交点为P ，BD 与CE 的交点为Q ，则四边形APQD 的面积等于_______。
历届 最近十年 (新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(含模拟试题及解答)
新 知 杯 模 拟 试 题一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1. 对于任意实数b a ,，定义b a *=b b a a ++)(，已知5.285.2=*a ，则实数a 的值是_________。
2. 在三角形ABC 中，，其中，，a CA a BC b AB 2122==-=b a ,是大于1的整数，则=-a b 。
3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。
4. 已知关于x 的方程02)2()3(2234=++++++k x k x k x x 有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。
5. 如图，直角三角形ABC 中1=AC ，2=BC ，P 为斜边AB 上一动点。
BC PE ⊥,CA PF ⊥，则线段EF 长的最小值为 。
6. 设b a ,是方程01682=++x x 的两个根，d c ，是方程01862=+-x x 的两个根，则()()()()d b d a c b c a --++的值为 。
7. 在平面直角坐标系中有两点()1,1-P ，()2,2Q ,函数1-=kx y 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。
8. 方程2009=xyz 的所有整数解有 组。
9. 如图，四边形ABCD 中CD BC AB ==,78=∠ABC ,162=∠BCD 。
设BC AD ,延长线交于E ，则=∠AEB _________________.EEC10. 如图，在直角梯形ABCD 中，90=∠=∠BCD ABC ,10==BC AB ,点M 在BC上，使得ADM ∆是正三角形，则ABM ∆与DCM ∆的面积和是________________。
二、（本题15分）如图，ABC ∆中，90=∠ACB ,点D 在CA 上，使得，，31==AD CD 并且，BAC BDC ∠=∠3求BC 的长。
上海初一初中数学竞赛测试带答案解析
上海初一初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.六位数由三位数重复构成，如256256，或678678等等，这类数能被何数整除(15届江苏初一2试)六位数六位数A．11;B．101;C．13;D．1001.2.两班学生参加一个测试，20名学生的一班，平均分是80分；30名学生的一班平均分是70分，两班所有学生的平均分是A．75分;B．74分;C．72分;D．77分.3.一个数被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余1，则此数为A．59 ;B．1259;C．2519;D．非以上结论.4.0.000000375与下列数不等的是A．;B．;C．;D．.5.若1+2+3+…+k之和为一完全平方，若n小于100，则k可能的值为A．8;B．1，8 ;C．8，49;D．1,8,49.6.若，则z等于(15届江苏初二1试)若A．;B．;C．;D．.7.一同学在n天假期中观察：（1）下了7次雨，在上午或下午；（2）当下午下雨时，上午是晴天；（3）一共有5个下午是晴天；（4）一共有6个上午是晴天。
则n最小为A．7;B．9;C．10 ;D．11.8.如表所示，则x与y的关系式为（）+x+1C．y=（x2+x+1）（x-1） D．非以上结论9.在下列图形中，各有一边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠.问哪一个重叠的面积最大（）10.运算※按下表定义，例如3※2=1，那么（2※4）※（1※3）=（）A．1 ;B．2;C．3;D．4.二、填空题1.计算： .2.(17届江苏初一1试)计算等式，式中的应为 .3.三个连续的自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和等于 .4.将1,2,3，…，49,50任意分成10组，每组5个数，在每组中取数值居中的那个数为“中位数”，则这10个中位数的最大值是 .5.(15届江苏初一1试)时钟在2点时，分针与时针所夹的角为60°.从0时到3时，会有个时刻，分针与时针也能构成60°的角.6.图中阴影部分占(15届江苏初二1试)图中图形的（填几分之几）.7.如图是由9个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长为1，则这个六边形的周长是 (17届江苏初一1试)如图如 .8.已知，点O在三角形内，且，则的度数是(17届江苏初一1试) 度．9.(17届江苏初三)在在在4点钟与5点钟之间，分钟与时钟成一条直线，那么此时时间是 .10.(15届江苏初一1试)一条一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k （k=1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米.A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼米处.上海初一初中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.六位数由三位数重复构成，如256256，或678678等等，这类数能被何数整除(15届江苏初一2试)六位数六位数A．11;B．101;C．13;D．1001.【答案】D【解析】析：六位数由三位数重复构成，说明这类数一定能被此三位数整除，不妨用构成的六位数除以三位数得到的数即所求的数．解答：解：256256÷256=1001，678678÷678=1001，设三位数abc，则重复构成的六位数为abcabc，abcabc÷abc=1001．故选D．点评：此题考查了学生对数的整除性问题的解答与掌握，此题解答的关键是用构成的六位数除以三位数得出要求的数．2.两班学生参加一个测试，20名学生的一班，平均分是80分；30名学生的一班平均分是70分，两班所有学生的平均分是A．75分;B．74分;C．72分;D．77分.【答案】B【解析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．解答：解：根据题意得：该组数据的平均数==74．故选B．点评：本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求80，70这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．3.一个数被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余1，则此数为A．59 ;B．1259;C．2519;D．非以上结论.【答案】C【解析】分析：这个最小正整数加上1是2、3、4、5、…10的最小公倍数，求得最小公倍数减1即可求得答案．解答：解：由题意可知所求最小正整数是2，3，4，5，…，10的最小公倍数减去1，2，3，4，5，…，10的最小公倍数是实际就是7，8，9，10的最小公倍数为2520，则所求最小数是2520-1=2519．故选C．点评：此题考查了带余数除法，主要利用求几个数的最小公倍数的方法解决问题．4.0.000000375与下列数不等的是A．;B．;C．;D．.【答案】D【解析】分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．注意小数和分数相互间的转化．解答：解：0.000 000 375=3.75×10-7=3×10-7=≠.故选D．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5.若1+2+3+…+k之和为一完全平方，若n小于100，则k可能的值为A．8;B．1，8 ;C．8，49;D．1,8,49.【答案】D【解析】分析：本题直接求解难度较大，故采用代入法，间接验证．解答：解：∵1+2+3+…+k=k(k+1)∴k(k+1)=n2，当k=1时，则k(k+1)=1，n=1，显然成立．当k=8时，则k(k+1)=36，此时n=6，成立；当k=49时，则k(k+1)=25×49，n=35，成立．故答案为D．点评：本题考查完全平方数．同学们对于做选择题目，采用将选项代入验证的方法，有时候起到事半功倍的效果，本题就是这样，如直接求解，难度非常大，这样求解简单多了．6.若，则z等于(15届江苏初二1试)若A．;B．;C．;D．.【答案】D【解析】略7.一同学在n天假期中观察：（1）下了7次雨，在上午或下午；（2）当下午下雨时，上午是晴天；（3）一共有5个下午是晴天；（4）一共有6个上午是晴天。
上海初中数学专业知识竞赛(试卷)
数学试卷（初中）(满分150分，考试时间90分钟)注意事项：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，请各位学科教师务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填在答题纸的相应位置上．】 1．小王在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ）A ．325a a a +=；B ．32622a a a ⋅=； C ．()23624aa -=； D ．()11a a --=--．2．面对目前楼市价格过高的局面，在2011年的“十二五”上，温总理提出：中央财政预算拟安排补助资金1030亿元，重点发展公共租赁住房，控制房价上涨．数据中1030亿元的有效数字有几个？（ ）A ．3个；B ．4个；C ．12个；D ．13个．3．在直角坐标系中，⊙O 的圆心在原点，半径为1，⊙A 的圆心A的坐标为()，直径为2．那么⊙O 与⊙A 的位置关系是（ ）A ．相离；B ．内切；C ．相交；D ．外切．4．张老师上班途中要经过3个十字路口，每个十字路口遇到红、绿灯的机会都相同．张老师希望上班经过每个路口都遇到绿灯．但实际上这样的机会是（ ）A ．12；B ．38；C ．18；D ．16．5．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点C 在第一象限，OC 与x 轴正半轴的夹角为15°，点B 在第四象限，且点B 在抛物线()20y axa =<的图像上．则a 的值为（ ）A ．23-； B．3-C ．-2；D ．12-．6．如图，两个反比例函数1k y x =和2ky x=（其中120k k >>）在第一象限内的图像依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC ⊥x 轴于点C ，交2C 于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交2C 于点B ．下列说法正确的是（ ）①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积等于21k k -；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的三等分点时，点B 一定是PD 的三等分点．A ．①②；B ．①②④；C ．①④；D ．①③④．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果填入答题纸的相应位置】7．当实数a = 时，253x ax ++是一个完全平方式． 8．当a 满足时，21a =-．9．如图所示，Rt △AOB 中，AOB ∠=90°，4OA =，2OB =，点B 在反比例函数2y x=图像上，则图中过点A 的双曲线的解析式为 ．10．一组数据1，-1,0，-1,1的方差和标准差分别是 ．11．正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为 ．12．如图，点A 是直线5y x =-+和双曲线6y x=在第一象限的一个交点，过A 作OAB AOX ∠=∠交x 轴于B 点，AC ⊥x 轴，垂足为C ，则△ABC 的周长为 ．13．如图，在一旗杆AB 上系一活动旗帜C ，在某一时刻，旗杆的影子落在平地BD和一坡度为的斜坡DF 上，拉动旗帜使其影子正好落在斜坡顶点D 处，若测得旗高=4BC m ，影长=8BD m ，影长=6DE m ，（假设旗杆AB 与底面垂直，B 、D 、G 三点共线，AB 、BG 、DF 在同一平面内）．则旗杆AB 的高度为 ．（精确到0.1m ）14．如图，圆内接四边形ABCD 是由四个全等的等腰梯形组成，AD 是⊙O 的直径，则sin BEC ∠= ．15．如图，点P 在边长为1的等边△ABC 的边AB 上，过点P 作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，且PA CQ =，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为 ．16．如图，A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O C D O ---路线作匀速运动．设运动时间为x （秒），APB y ∠=（度），右图函数图象表示y 与x 之间的函数关系，则点M 的横坐标应为 ．17．如图，1n +个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上．联结1AP 、2AP 、3AP 、......、n AP ，分别交11N Q 、22N Q 、33N Q 、......、n n N Q 于1M 、2M 、3M 、......、n M 设四边形1112PM N N 面积为1S ，四边形2223P M N N 的面积为2S ，......，四边形1n n n n P M N N +的面积为n S ．则n S = ．Q AP N 1Q 4Q 3Q 2Q 1P 4P 3P 2P 1N 5N 4N 3N 2M1M 2M 3M 4......18．如图，已知在正方形ABCD 外取一点E ，连接,,AE BE DE ．过点A 作AE 的垂线交ED 于点P．若1,AE AP PB ==①APD AEB ∆∆≌；②点B 到直线AE③EB ED ⊥；④1APD APB S S ∆∆+=； ⑤4ABCD S =正方形其中正确结论的序号是 ．三、解答题：（本大题共7题，其中19—22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：)114sin 6022-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．20．（本题满分10分）解不等式组：()5231131722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．21．（本题满分10分）本题共有3道小题：第1小题满分3分；第2小题满分3分；第3小题满分4分．吸烟有害健康！你知道吗？即使被动吸烟也大大危害健康．有消息称，某地区准备在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织同学们在某社区开展了“你支持哪种戒烟方式”的问卷调查，征求居民的意见，并将调查结果整理后制成了如下统计图：根据统计图解答：（1）同学们一共随机调查了多少人？ （2）请你把统计图补充完整；（3）如果在该社区随机咨询一位市民，那么该社区居民支持“强制戒烟”的概率是多少？假定该社区有1万人，请估计该地区大约有多少人支持“警示戒烟”这种方式．22．（本题满分10分）本题共有2道小题：第1小题满分5分；第2小题满分5分．如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向想、PQ 移动．已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B 市位于点P 的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处． （1）本次台风是否会影响B 市？如果有影响，请给出证明；如果没有影响，说明理由； （2）求这次台风影响B 市的时间．23．（本题满分12分）本题共有3道小题：第1小题满分3分；第2小题满分4分；第3小题满分5分． 已知：如图△ABC 内接于⊙O ，OH ⊥AC 于H ，过A 点的切线与OC 的延长线交于点D ，30B ∠=，OH =（1）AOC ∠的度数； （2）线段AD 的长； （3）求图中阴影部分的面积．24．（本题满分12分）本题共有3道小题：第1小题满分3分；第2小题满分4分；第3小题满分5分．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B ，且满足632a b -=． （1）求抛物线的解析式；（2）如果点P 由点A 出发沿AB 边以2/cm s 的速度向点B 运动，同时点Q 由点B 出发沿BC 边以1/cm s 的速度向点C 运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设()22S PQ cm =．①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；②当54S =时，在抛物线上是否存在点R 使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R 点坐标；如果不存在，请说明理由．25．（本题满分14分）本题共有3道小题：第1小题满分3分；第2小题满分3分；第3小题满分8分．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．ABCDERP H Q。
最新上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案(1)
2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知关于x 的两个方程： 032=+-m x x ①， 02=++m x x ②，其中0≠m 。
若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。
2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，︒=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ，则梯形ABCD 的面积为_______________。
3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为______________。
4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，使得()()22h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。
5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ，2=BF ，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。
6. 在等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，P 是ABC ∆内一点，使得11=PA ，7=PB ，6=PC ，则边AC 的长为______________。
7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得0分。
比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的54，则第2名选手的得分是_________。
8. 已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），且abcd是35个连续正整数的和，则d c b a +++的最小值为_________。
二、 解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）9. 如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知︒=∠60DAC ，角DAC 的平分线与边DC 交于点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。
2018全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >.<A ）24 <B ）25 <C ）10 <D ）12+2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：<a b ，）△<c d ，）＝<ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有<u v ，）△<x y ，）＝<u v ，），那么<x y ，）为( >.<A ）<0，1） <B ）<1，0） <C ）<﹣1，0） <D ）<0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( >.<A ）1 <B ）2 <C ）92 <D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( >.<A ）1324S S S S < <B ）1324S S S S = <C ）1324S S S S > <D ）不能确定5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( >. <A ）4 <B ）5 <C ）6 <D ）7 二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=<x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .9．若y a ，最为b ，则22a b +的值为 .小值10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.<第12题）13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ，Q 两点. <1）求证：∠ABP =∠ABQ ；<2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60o ，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解读式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC内，且52PA PB PC ===，，求△ABC 的面积．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：由于1a =-，1a +=， 262a a =-， 所以 2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得<x y ，）=<1，0）．3．C解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，<第13题）<第14题）所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．由于11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，由于()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即2<，164m ∆=-≥0，所以2<， 164m ∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.7．19解：在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=. 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 由于点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-， 又由于2BD AC =，于是 所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（）， 即224OC OD -=6.9．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+ 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AFCB AC=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49<另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又由于[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. 由于AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径.于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，. 又由于点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：<1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， .设点A 的坐标为<0，t ），则点B 的坐标为<0，-t ）.设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由得 2203x kx t --=， 于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又由于P Q x PC QD x =-，所以BC PCBD QD=. 由于∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .<2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由<1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC，BD，所以 AC2-，AD=2.由于PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ . 于是PC ACDQ AD=，即a b =，所以a b +=．由<1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以32ab a b =+=，于是可求得2a b ==将b =代入223y x =，得到点Q 的坐标，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得k = 所以直线PQ的函数解读式为1y =+. 根据对称性知，所求直线PQ的函数解读式为13y x =-+，或13y x =+. 解法二 设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,其中1t =. 由<1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故2Q x =将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以Q x =又由 (1>得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若Q x =代入上式得P x = 从而2()3P Q k x x =+=.同理，若Q x =可得P x = 从而2()3P Q k x x =+=.所以，直线PQ的函数解读式为1y =+，或1y +. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP .由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是224AQ AP BQ CP ====．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是3PQ ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒．于是222()28AB PQ AP BQ =++=+ .故 21sin 602ABC S AB AC AB ∆=⋅︒==． 申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
2018年新知杯上海市初中数学竞赛试题及答案
2018年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b ，定义,a ∗b=a (a +b ) +b, 已知a ∗2.5=28.5，则实数a 的值是 。
【答案】4，132-2、在三角形ABC 中，22b 1,,2a AB BC a CA =-==，其中a,b 是大于1的整数，则b-a= 。
【答案】03、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。
【答案】50,944、已知关于x 的方程4322(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实根，并且所有实根的乘积为−2，则所有实根的平方和为 。
【答案】55、如图，直角三角形ABC 中, AC=1，BC =2，P 为斜边AB 上一动点。
PE ⊥BC ，PF ⊥CA ，则线段EF 长的最小值为 。
6、设a ，b 是方程26810x x ++=的两个根，c ，d 是方程28610x x -+=的两个根，则(a+ c )( b + c )( a − d )( b − d )的值 。
【答案】2772第五题图BA7在平面直角坐标系中有两点P (-1,1) , Q (2,2)，函数y =kx −1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。
【答案】1332k <<8方程xyz =2018的所有整数解有 组。
【答案】729如图，四边形ABCD 中AB =BC =CD ，∠ABC =78°，∠BCD =162°。
设AD ,BC 延长线交于E ，则∠AEB = 。
【答案】21°10、如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =∠BCD = 90°，AB =BC =10，点M 在BC 上，使得ΔADM 是正三角形，则ΔABM 与ΔDCM 的面积和是 。
【答案】300-二、（本题15分）如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D 在CA 上，使得CD =1, AD =3，并且∠BDC =3∠BAC ，求BC 的长。
2018区域八年级数学竞赛
2018区域八年级数学竞赛(解析版)(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--222017学年第二学期八年级区域数学竞赛试卷(满分120分，时间120分钟)一、选择题（每小题4分，共32分．在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1. 在平面直角坐标系中，点(,22)P m m -，则点P 不可能在（ B ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2222x m y x y m =⎧→=-⎨=-⎩ 2．满足()2211n n n +--=的整数n 有（ D ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．422122211202,11100202n n n n n n n n n n n n n --=→--=→==---=-→-=→=+=→=-3. 不等式210a a->的解是（ B ） A. 0a ≠ B. 1a >或 1a <- C. 1a >或10a -<< D. 0a >或1a <-222111000111a a a a a a a a a-->→->→>→>→><-或4. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝8 cm ，AD ＝12 cm . 点P 在AD 边上以每秒1 cm的速度从点A 向点D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4 cm 的速度从点C 出发，在CB 间往返运动，两个点同时出发，当点P 达到点D 时停止（同时点Q 也停止）．在运动过程中，以P ，D ，Q ，B 四点为顶点组成平行四边形的次数有( B )A. 4次 B ．3次 C ．2次 D ．1次当点P 到达点D 时，Q 运动48cm ，即来回4次，当03t <≤时，不存在；当3612412 4.8t t t t <≤→-=-→=；第4题图第5题图S 1S 3S 2S 4第8题ABDEF 第7题图33当69123648t t t t <≤→-=-→= 当912124369.6t t t t <≤→-=-→=5. 如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD 于点E ，BD 12(0)y x x=>若ABE 与CDE 的面积之比为1︰3，则ABC 的面 积为（ A ）A. 2B. 52C. 3D. 42x+2k+a+b=12----(1)2x+6k+b=12-------(2)(1)-(2)→a=4k ∴b=4x代入（1）或（2）得：6x+6k=12→x+k=2→SABC =x+k=2baxx 3k3kk k6. 已知2310a a -+=，那么2294921a a a --++=（ A ） A. 3 B. 5 C. D. 2299492124921331363()6963a a a a a aa a a a --+=---++=+-=+-=-=7. 如图，矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，如果12341(S S )2S S ==+，则4S ＝（ C ）A. 23ab B. 34ab C. 38ab D. 12ab44y b-y a-xxS 1+S 2=S 3+S 4S 1+S 2+S 3+S 4=ab∴S 1+S 2=12ab∴S 1=S 2=14ab1214ab →x=12a →E 是AB 中点同理：F 是BC 的中点∴S 3=12•12•1218abS 4=12ab-18ab=38baF EDC B8. 实数x 满足31752233x xx -+-≥-，并且关于x 的函数22y x aa =-+的最小值为4，则常数a =（ C ）A. 2±B. 1±C. 2或 1-2- 或 1+317521233x xx x -+-≥-→> a ≤1x=1时，y 最小值=421-a+a 2=4a -2a+2=4a=1-3a>1x=a 时，y 最小值=4a 2=4a=2二、填空题(每小题5分，共30分) 9.1112++=原式10. 如图，在矩形OABC 中，A （0，2），C （4，0），点M 是直线y x =上的点，点N 是坐标平面内一点. 若四边形MBNC是平行四边形，则当MN取最小值时，点N的坐标是111 (,) 22-ABC O y=xMNPBC中点P(4, 1), 当NM⊥OM时，NM最小此时，NM: y=-x+5→M(52,52)→N(112, -12)11. 如图，在平面直角坐标系中，点(,)C x y是动点，以点C为旋转中心，将点(4,0)A-逆时针旋转90°到点(,4)B t，若22t-≤≤，则点C运动的路径长为22第10题图第12题5565432112345642246810121416182022BD=CE→t-x=yt-x=x+8x=t-82t=-2→x=-5→C(-5,3)t=2→x=-3→C(-3,5)点C运动的路径=22CD=AE→4-y=-4-x→y=x+8点C的轨迹是直线：y=x+8EDOC(x,y)B(t, 4)A(-4,0)12. 如果，，，12)206(27)39(4)4(===fff那么++++)4()3()2()1(ffff(99)100)____2116_____f f++=（仔细观察式子得到，原式＝（1＋2＋3＋…＋8＋9）＋（1＋1＋2＋3＋…8＋9）＋（2＋2＋4＋6＋…＋16＋18）＋（3＋3＋6＋9＋…＋24＋27）＋…＋（9＋9＋18＋27＋36＋…＋72＋81）＝45×1＋46×1＋46×2＋46×3＋…＋46×8＋46×9＝45×1＋46×45＝46×46＝2116.13. 已知a为常数，关于x的方程322(2)20x a a x a+--=在实数范围内只有一个解，则a的取值为08a≤<14. 如图，在等腰直角三角形ABC中，90C∠=︒，ABC内取一点P，且,()AP AC a BP CP b b a====<，则2222a ba b+-= 36677b补齐正方形ACBD →PBD ≅PCA →正PAD →∠PAC=30°→S PAC =14214a 2=12a 2=b 4a 2-b 2→a 4-4a (a 2+b 2)2=6a 2b 2(a 2-b 2)2=2a 2b 2∴a 2+b 2a 2-b2=3abbaa三、解答题（第15题13分，其余每題15分，共58分）15. 已知实系数一元二次方程220ax bx c ++=的两根为12,x x ，若a b c >>， 且 0a b c ++=，求12d x x =-的取值范围.解：ax 2+2bx+c=0→x 1+x 2=-b a 1•x 2=ca------2分∴d=x 1-x 2=(x 1+x 2)2-4x 1•x 2---------------------4分分a>b>c ，a+b+c=0→a>-a-c →2a>-c →ca >-2-------------8分-a-c>c →-a>2c →c a <-12--------------10分∴-2<c a <-12---------------11分∴3<d<23------------13分16. 如图，在矩形ABCO 中，点O 为坐标原点，点B 的坐标为（4，3），点A ，C 在坐标轴上，点P 在BC 边上，直线1:23l y x =+，直线2:23l y x =-.（1）分别求直线l 1与x 轴，直线l 2与AB 的交点坐标；（2）已知点M 在第一象限，且是直线2l 上的点，若∆APM 是等腰直角三角形，求点M 的 坐标.88（3）已知矩形ANPQ 的顶点N 在直线l 2上. Q 是坐标平面内的点，且N 点的横坐标为x ，请直接写出x 取值范围.--------------2分---4分----7分---10分-------------------------------13分 (3)x 的取值范围为：---------------15第16题图图2图199N 在直线l 2上, N(x, 2x-3)k AN •k BN =-1→2x-6x 2x-6x-4→5x 2-28x+36=0→x 1=185, x 2=2k AN •k CN =-1→2x-6x •2x-3=-1→5x 2-22x+18=0→x 12N在AB 上方，点P 从C →B 时x ≤185N 在AB 下方，点P 从C →B 时x ≤217. 如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，满足DF BE EF +=，AF AE ,分别与对角线BD 交于点N M ,．（1）求证：①45EAF ∠=︒； ②222DN BM MN += （2）求EF AB的最小值（1）①延长CB 到G ，使BG=DF可得ABG ≅ADF→AEG ≅AEF →∠EAG=∠EAF=45°-----------5分②在AG 取点H ，使AH=ANABH ≅ADN →AMH ≅AMN ∴BMH 中HM=MN, BH=DN ∠MBH=45°+45°=90°∴MN 2=BM 2+DN 2-------------10分A CDEFFEDC1010（2）设：AB=a, EF=b, BE=x Rt CEF 中CE 2+CF 2=EF 2→(a-x)2+(a-b+x)2=b 2→x 2-bx+a 2-ab=0BE 存在，方程有解→≥0=b 2-4(a 2-ab)≥0b 2-4a 2+4ab ≥0→(b a )2+4(ba)≥4→(ba 2≥8→ba≥22-2-------------------15分18. 计算机从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色：凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然数染成黄色（比如29可表示为两个不同合数20和9之和，29要染红色；1不能表示为两个不同合数之和，1染黄色）。
七年级数学竞赛试卷沪教
一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个数既是正整数又是质数？A. 16B. 21C. 25D. 292. 如果a+b=8，ab=24，那么a²+b²的值为：A. 40B. 64C. 72D. 963. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于原点的对称点是：A.（2，-3）B.（-2，3）C.（-2，-3）D.（2，3）4. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 正方形B. 长方形C. 平行四边形D. 梯形5. 一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为15cm，那么这个三角形的周长为：A. 25cmB. 30cmC. 35cmD. 40cm二、填空题（每题5分，共25分）6. 计算：-3 + 4 - 2 + 5 - 1 + 6 + ... + 100 的值。
7. 如果一个数是4的倍数，那么这个数也一定是2的倍数，这个结论是（）性质的体现。
8. 在直角坐标系中，点P（-3，4）在（）象限。
9. 一个长方形的长是12cm，宽是5cm，那么这个长方形的面积是（）平方厘米。
10. 如果一个等腰三角形的底边长是8cm，腰长是10cm，那么这个三角形的周长是（）cm。
三、解答题（每题15分，共30分）11. （解答题）已知：a² - 5a + 6 = 0，求a的值。
12. （解答题）在平面直角坐标系中，点A（3，4）和B（-2，1）的连线段AB的中点坐标是（，）。
四、附加题（10分）13. （附加题）一个梯形的上底长为10cm，下底长为20cm，高为15cm，求这个梯形的面积。
答案：一、选择题：1. D2. B3. C4. A5. C二、填空题：6. 25507. 因数与积8. 第二象限9. 6010. 34三、解答题：11. a的值为2或3。
12. 中点坐标为（0.5，2.5）。
四、附加题：13. 梯形的面积是325cm²。
2018初中数学竞赛试卷精选题10套含答案(华师大版)
2018初中数学竞赛试卷精选题10套含答案一一、选择题（每小题6分，共30分）1．如图，三个图形的周长相等，则（）（A）c<a<b （B）a<b<c （C）a<c<b （D）c<b<a2a2aa abc c2．已知a<b，那么)()(3bxax++--的值等于（）（A）))(()(bxaxax+++-（B）))(()(bxaxax+++（C）)()()(bxaxax++-+-（D）))(()(bxaxax++-+3．若关于x的方程||x-2|-1|=a有三个整数解，则a的值是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）34．AD与BE是△ABC的角平分线，D，E分别在BC，AC上，若AD=AB，BE=BC，则∠C=（）（A）69°（B）)9623(（C）)13900(（D）不能确定5．已知正数a,b满足a3b+ab3-2a2b+2ab2=7ab-8，a2-b2=（）（A）1 （B）3 （C）5 （D）不能确定二、填空题（每小题6分，共30分）6．如图，三角形数表第82行的第3个数是_____________.7.如图,16×9的矩形分成四块后可拼成一个正方形,该正方形的周长为_________.8.已知naaa,,,21是正整数,且n aaa≤≤≤21,,1021=+++naaa,2422221=+++naaa则=),,,(21naaa______________________________.9.今天是星期日,若明天是第一天,则第20033-20023+20013-20003+…-23+13天是星期__________________.10.在2×2的正方形表中填入4个不同的非零平方数,使每一行、每一列的和都是平方数。
（注：平方数是指一个整数的平方）三、解答题（每小题20分，共60分）11．数学集训队教练要将一份资料复印给23名队员，校内复印店规定300页以内每页1角5分，超过部分每页1角，这23份资料一起复印的费用正好是单份复印时的20倍，问这份ABCDE……12345678910111213141516（第6题）953351016第7题复印资料共有几页？12．在△ABC 中,∠ACB=90°，是AB 上一点，M 是CD 的中点，若BMD AMD ∠=∠，求证：ACD CDA ∠=∠2。
2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准【直接打印】精品
2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知21a ，32b，62c ，那么,,a b c 的大小关系是（）A.ab cB.ac b C.bacD.b ca【答】C. 因为121a，132b，所以110ab，故ba .又(62)(21)6ca(21)，而22(6)(21)3220，所以621，故ca .因此ba c .2．方程222334x xy y的整数解(,)x y 的组数为（）A ．3.B ．4.C ．5.D ．6.【答】B. 方程即22()234xy y，显然x y 必须是偶数，所以可设2x y t ，则原方程变为22217ty，它的整数解为2,3,t y从而可求得原方程的整数解为(,)x y ＝(7,3)，(1,3)，(7,3)，(1,3)，共4组.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为（）A ．63B ．53C ．263D ．253【答】D.过点C 作CP//BG ，交DE 于点P.因为BC ＝CE ＝1，所以CP 是△BEG 的中位线，所以P 为EG 的中点.又因为AD ＝CE ＝1，AD//CE ，所以△ADF ≌△ECF ，所以CF ＝DF ，又CP//FG ，所以FG 是△DCP 的中位线，所以G 为DP 的中点.因此DG ＝GP ＝PE ＝13DE ＝23.连接BD ，易知∠BDC ＝∠EDC ＝45°，所以∠BDE ＝90°. 又BD ＝2，所以BG ＝22225BDDG293.4．已知实数,a b 满足221a b ，则44a ab b 的最小值为（）PGFEBCADA ．18. B ．0. C ．1. D ．98.【答】B.442222222219()2122()48aabbab a bab a b ab ab .因为222||1ab a b ，所以1122ab ，从而311444ab，故2190()416ab，因此219902()488ab，即44908aabb.因此44a abb 的最小值为0，当22,22a b或22,22ab时取得.5．若方程22320x pxp 的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()xxxx ，则实数p的所有可能的值之和为（）A ．0.B ．34. C ．1.D ．54.【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p ，1232x x p ，所以2222121212()2464x x x x x x p p，332212121212()[()3]2(496)xxx x x x x x p pp.又由232311224()x x x x 得223312124()x x x x ，所以2246442(496)p p p pp ，所以(43)(1)0p pp ，所以12330,,14p p p .代入检验可知：1230,4p p 均满足题意，31p 不满足题意. 因此，实数p 的所有可能的值之和为12330()44p p .6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a cb d .这样的四位数共有（）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个.【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个.（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.因此，满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111abct b c a，则t_________．【答】1.由1a t b 得1bt a，代入1bt c得11t tac ，整理得2(1)()0ct ac ta c ①又由1c t a 可得1ac at ，代入①式得22()0ctatac ，即2()(1)0c a t，又c a ，所以210t，所以1t.验证可知：11,1a b caa时1t；11,1a bcaa时1t .因此，1t .2．使得521m是完全平方数的整数m 的个数为．【答】1．设2521mn （其中n 为正整数），则2521(1)(1)mnn n ，显然n 为奇数，设21n k （其中k 是正整数），则524(1)mk k ，即252(1)m k k .显然1k，此时k 和1k 互质，所以252,11,m k k 或25,12,m k k 或22,15,m k k 解得5,4k m .因此，满足要求的整数m 只有1个.3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BC AP＝．【答】3.设D 为BC 的中点，在△ABC 外作∠CAE ＝20°，则∠BAE ＝60°. 作CE ⊥AE ，PF ⊥AE ，则易证△ACE ≌△ACD ，所以CE ＝CD ＝12BC.又PF ＝PA sin ∠BAE ＝PA sin 60°＝32AP ，PF ＝CE ，所以32AP ＝12BC ，因此BC AP＝3.4．已知实数,,a b c 满足1abc，4a b c ，22243131319a b c aa bb cc ，则222abc ＝．【答】332.因为22313(3)(1)(1)(1)aa aa abc a bc a a bcbc a b c ，所以FEDBCAP2131(1)(1)a aa b c .同理可得2131(1)(1)b b b a c ，2131(1)(1)c cc a b .结合22243131319ab c aa bb cc 可得1114(1)(1)(1)(1)(1)(1)9b c a c a b ，所以4(1)(1)(1)(1)(1)(1)9a b c a b c .结合1abc，4a b c，可得14ab bc ac. 因此，222233()2()2a bca bc ab bc ac .实际上，满足条件的,,a b c 可以分别为11,,422.第二试（A)一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ），则30a b c .显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c 及30a b c 得303a b c c ，所以10c . 由a b c 及30a b c 得302a b c c ，所以15c . 又因为c 为整数，所以1114c .……………………5分根据勾股定理可得222abc ，把30ca b 代入，化简得30()4500ab a b ，所以22(30)(30)450235a b ，……………………10分因为,a b 均为整数且a b ，所以只可能是22305,3023,ab解得5,12.a b ……………………15分所以，直角三角形的斜边长13c ，三角形的外接圆的面积为1694.……………………20分二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D .证明：2ADBD CD .DPOABC2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共4页）证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PAPD PO ，2ADPD OD . ……………………5分又由切割线定理可得2PAPB PC ，∴PB PC PD PO ，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ，……………………20分∴PD BD CD OD，∴2AD PD OD BD CD .……………………25分三．（本题满分25分）已知抛物线216yxbx c 的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x ）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解易求得点P 23(3,)2b bc ，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c的两根，所以21396x b bc ，22396x bbc ，又AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE ＝296b c .……………………5分因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AEPE DE ，即2223(96)()||2bc b c m ，又易知0m，所以可得6m. ……………………10分又由DA ＝DC 得22DA DC ，即22222(96)(30)()bc mb mc ，把6m代入后可解得6c （另一解0c 舍去）.……………………15分又因为AM//BC ，所以OA OM OBOC，即223||3962|6|396b b c bbc.……………………20分把6c 代入解得52b （另一解52b舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y xx . ……………………25分2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共5页）精品文档强烈推荐2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有。
(完整版)2007--2011年“新知杯”上海市初中数学竞赛试题(设好格式,A4打印即可)
QP E DC BAF P E DCBA2008年“新知杯”上海市初中数学竞赛一、填空题：1、如图：在正ABC ∆中，点D 、E 分别在边BC 、CA 上，使得AE CD =，AD 与BE 交于点P ，AD BQ ⊥于点Q .则=QBQP_____________. 2、不等式a x x ≥-+622对于一切实数x 都成立.则实数a 的最大值为_____________. 3、设n a 表示数4n 的末位数.则=+++200821a a a _____________.4、在菱形ABCD 中，︒=∠60A ，1=AB ，点E 在边AB 上，使得12:EB :AE =，P 为对角线AC 上的动点.则PB PE +的最小值为_____________.5、关于x 的方程12122+=--a a x ax 的解为_____________. 6、如图：设P 是边长为12的正ABC ∆内一点，过P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足分别为D 、E 、F .已知321::PF :PE :PD =.那么，四边形B D P F 的面积是_____________.7、对于正整数n ，规定n !n ⨯⨯⨯= 21.则乘积!!!921⨯⨯⨯ 的所有约数中，是完全平方数的共有_____________个.8、已知k 为不超过2008的正整数，使得关于x 的方程02=--k x x 有两个整数根.则所有这样的正整数k 的和为_____________.9、如图：边长为1的正111C B A ∆的中心为O ，将正111C B A ∆绕中心O 旋转到222C B A ∆，使得1122C B B A ⊥.则两三角形的公共部分（即六边形ABCDEF ）的面积为_________. 第9题图 第10题图10、如图：已知︒=∠=∠9DAC BAD ，AE AD ⊥，且BE AC AB =+.则=∠B _____________.二、如图：在矩形ABCD 内部（不包括边界）有一点P ，它到顶点A 及边BC 、CD 的距离都等于1，求矩形ABCD 面积的取值范围.FEDC三、已知实数x 、y 满足如下条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+>->+4220202y x y x y x y x ，求y x -的最小值.四、如图：在凹六边形ABCDEF 中，A ∠、B ∠、D ∠、E ∠均为直角，p 是凹六边形ABCDEF 内一点，PM 、PN 分别垂直于AB 、DE ，垂足分别为M 、N ，图中每条线段的长度如图所示（单位是米），求折线MPN 的长度（精确到0.01米）.五、求满足不等式n n n n n <⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡131132的最大正整数n ，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数.2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题一、填空题（第1－5小题每题8分，第6－10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数a,b ，定义,a ∗b ＝a(a ＋b)＋b, 已知a ∗2.5＝28.5，则实数a 的值是 。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准 精品
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知$a=1+\frac{1}{2+1}$，$b=3-2$，$c=6-2$，那么$a,b,c$的大小关系是（）A。
$a<b<c$B。
$a<c<b$XXX<a<c$D。
$b<c<a$答】C.因为 $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$，所以$a=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$b=1$，$c=4$。
因为 $\frac{1}{3}<1$，所以$a<\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}<c$，所以 $b<a<c$。
2.方程$x^2+2xy+3y^2=34$的整数解$(x,y)$的组数为（）A。
3B。
4C。
5D。
6答】B.方程即$(x+y)^2+2y^2=34$，显然$x+y$必须是偶数，所以可设$x+y=2t$，则原方程变为$2t^2+y^2=17$。
因为$2t^2\leq 16$，所以$t=\pm 2$，从而可求得原方程的整数解为$(x,y)=(-7,3),(1,3),(7,-3),(-1,-3)$，共4组。
3.已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，$CE=1$，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A。
$\frac{65}{26}$B。
$\frac{3}{3}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{9}{4}$答】D.过点C作$CP\parallel BG$，交DE于点P。
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2018 年“新知杯”上海市初中数学竞赛
一、填空题（第1～5小题，每题8分，第6～10小题，每题10分，共90分）
1. 已知−1<2x −1<1，则12 x
的取值范围为 . 2. 在面积为1 的△ABC 中，P 为边BC 的中点，点Q 在边AC 上，且AQ=2QC 。
连接AP 、BQ 交于点R ，则△ABR 的面积是 .
3. 在△ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c 。
若关于x 的方程 c(x 2 +1)-22bx-a(x 2-1) = 0的两根平方和为10，则a
b 的值为 . 4. 数x 1 ，x 2 ，…， x 100 满足如下条件：对于k = 1，2，…，100，x k 比其余99个数的和小k 。
则x 25的值为 .
5. 已知实数a 、b 、c ，且b ≠ 0。
若实数x 1 ，x 2， y 1 ，y 2满足x 12+ax 22
=b ，x 2y 1-x 1y 2=a ， x 1y 1+ax 2y 2=c ，则y 12+ay 22的值为 .
6.如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1。
则四边形ABCD 的周长为 .
第6题图 第7题图
7. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ， DE ∥AC ，GF ∥AB.则梯形DEFG 面积的最大可能值为 .
8. 不超过1000 的正整数x ，使得x 和x+1 两者的数字和都是奇数。
则满足条件的正整数x 有 个.
9. 已知k 为不超过50 的正整数，使得对任意正整数n ，2×36n+k ×23n+1-1 都能被7 整除。
则这样的正整数k 有 个.
10. 使得
2
2)1(++p p 是完全平方数的所有质数p 为 . 二、（20 分）
如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，BC=2，AC=x ，点F 在边AB 上，点G 、H 在边BC 上，四边形EFGH 是一个边长为y 的正方形，且AE=AC.
（1）求y 关于x 的函数解析式.
（2）当x 为何值时，y 取到最大值？并求出y 的最大值.
三、（20 分）
求满足下列条件的正整数 n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a 、b ，使得函数 b ax x n
x f ++=
21)(对任意整数x ，f （x ）都是整数.
四、（20 分）
在一个盒子里有红、黄、黑三种颜色的小球共 88 个.已知从中任意取出24 个，就可以保证至少有10个小球是同色的.问在满足上述条件下，无论各种颜色的小球如何分配，至少要从盒子中任意取出多少个小球，才能保证至少有20 个小球是同色的？。