总复习第1节(8)《代数初步(二)正比例与反比例》教案-北师大版数学六年级下册

（8）代数初步（二）正比例与反比例
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⊙回顾与整理
1.（1）举例说一说什么是比，什么是比例，什么是比例尺以及它们的应用。

预设
生1：两个数相除又叫作两个数的比。

（如5÷2，可以写成5∶2）
生2：表示两个比相等的式子叫作比例。

（如8∶4＝24∶12）
生3：图上距离与实际距离的比叫作比例尺，比例尺可分为数值比例尺和线段比例尺。

（如
一幅地图的比例尺是1
200000
）
生4：配制农药会应用到比的知识；地图上一般都有比例尺。

（2）出示教材83页回顾与交流2题。

学生独立完成，思考比、分数、除法之间的关系，并全班交流。

预设
生1：除法算式中的被除数相当于分数的分子，相当于比的前项；除法算式中的除数相当于分数的分母，相当于比的后项；除号相当于分数的分数线，相当于比的比号。

生2：除法算式的商相当于分数的分数值，相当于比的比值。

强调：因为0不能做除数，所以，所有分数的分母及比的后项都不能为0。

（3）想一想什么是比的基本性质，然后应用比的基本性质化简下面的比。

30∶1201∶3
4
6
10∶0.1
2
3∶10
2.5∶60.5∶
3.225∶5
6
3
4∶
3
2
先思考比的基本性质，然后交流，最后独立完成，集体订正。

（4）复习按比例分配问题。

①什么是按比例分配应用题？
（引导理解：把一个数量按照一定的比进行分配的问题，叫作按比例分配应用题）
②按比例分配应用题有什么特点？
预设
生1：用比或者连比反映各部分占总数量的份数。

生2：直接给出各部分占总数量的份数。

③按比例分配应用题的一般解题步骤是什么？
预设
生1：找出或求出要分配的总数；
生2：根据已知的比求总份数；
生3：按照要分配的各部分数量占总数的几分之几，分别求出每一部分数量是多少。

（5）完成教材83页3题。

学生独立完成，然后交流订正，并说一说解决问题时都用到了哪些知识。

2.（1）说一说。

师：我们学习了正比例和反比例的知识，请你回忆一下，然后说一说你对这部分内容的了解。

预设
生1：我知道了什么是变化的量。

生2：我知道了什么是正比例什么是反比例。

师：举例说明什么是变化的量。

预设
生：比如上学时，我走的路程的多少是随着时间的增加而增加的。

路程和时间就是变化的量。

师：如果你走的速度是一定的，那么你走的路程和时间有什么关系？
生：成正比例关系。

师：你能说明理由吗？
生：我走的速度不变，走的路程随着时间的增加而增加，所以路程和时间成正比例关系。

（2）议一议。

正比例和反比例在生活中有着广泛的应用，请你想一想生活中有哪些是成正比例的量？有哪些是成反比例的量？（四人一组，同学互相举例说一说，并说明自己举的例子为什么是成正比例或者成反比例）
（3）全班交流。

师：每组举正、反比例实例各一个，其他小组注意不要重复，并把本组需要交流的问题展示出来。

预设
生1：买苹果时，苹果的单价一定，那么需要的钱数和买的数量成正比例。

如果花费总钱数一定，苹果越便宜，买的数量就越多，苹果越贵，买的数量就越少，这时苹果的单价和数量成反比例。

生2：一个人走一段路程，走的速度越快，需要的时间就越短，走的速度越慢，需要的时间就越长，这时，速度和时间成反比例。

生3：圆的周长总是它直径的π倍，π的值是一定的，所以圆的周长和直径成正比例。

生4：给一个房间铺地砖，需要地砖的块数和地砖的面积成反比例，地砖的面积越大，需要的块数越少，地砖的面积越小，需要的块数越多。

……
3.课件出示：一辆汽车在高速公路上行驶，速度保持在100千米/时，说一说汽车行驶的路程随时间变化的情况，并用多种方式表示这两个量之间的关系。

（1）提问1：这辆汽车行驶时，哪些量发生变化？哪些量是不变的？
预设
生：汽车行驶的速度是不变的；汽车行驶的路程随时间的增加而增加，汽车行驶的路程和行驶的时间是变化的量。

这时，汽车行驶的路程和行驶的时间成正比例。

（2）提问2：你能用哪些方式来表示这两个变量之间的关系？
预设
生1：可以用列表的方式。

生2：可以用式子来表示两者之间的关系。

生3：也可以用画图的方法。

（3）学生活动：学生先独立解决问题，如果有学生感觉困难，可让学生看教材83页的内容，根据教材中的提示来解决问题。

（4）组内进行交流，学生将自己的疑问记录下来。

教师巡视，并对有困难的学生和小组进行个别指导。

（5）全班交流。

①提问1：表格中汽车行驶2时的路程是200千米，对应的是图中的哪个点？行驶3时的路程是多少？对应的是图中的哪个点？……（教师提问，学生个别回答，集体寻找图中的
对应点）
②提问2：每增加1时，路程的变化在表格中如何看出？在图中如何看出？（学生指着表格和图进行说明）
③提问3：用式子怎样把这两个量之间的关系表示出来？
（学生回答：s÷t＝100，s∶t＝100，s＝100t）
④提问4：每增加1时，路程的变化在式子中是如何看出的？请对应表格和图象进行说明。

（6）判断路程与时间是否成正比例，并说一说你是怎么想的。

4.比较正比例和反比例的关系。

通过回顾与交流，你能找出成正比例的量和成反比例的量有什么相同点和不同点吗？小组内先进行交流，然后全班交流。

预设
相同点：
生1：都有两种变化的量，这两个量中一个量随着另一个量的变化而变化。

不同点：
生2：成正比例的两个量，一个量随着另一个量的增加而增加，减少而减少；成反比例的两个量，一个量随着另一个量的增加而减少。

生3：成正比例的两个量的比值（商）是一定的，成反比例的两个量的积是一定的。

……
5.应用正、反比例知识解决问题。

提问：应用正、反比例知识解决问题的关键和步骤是什么？
（1）关键：正确判断正、反比例是解决比例应用题的关键。

（2）步骤。

①分析数量关系，判断成什么比例。

②找等量关系。

如果成正比例，按“等比”找等量关系；如果成反比例，按“等积”找等量关系。

③列比例式。

设未知数为x，并带入等量关系式，得到正比例关系式或反比例关系式。

④解比例。

⑤检验并写答语。

⊙典型例题解析
1.课件出示典型例题1。

艺术小学平面图
（1）量一量艺术小学平面图的长是cm，宽是cm。

这所小学实际占地面积是m2。

（2）绕操场跑一圈大约是m，花坛的占地面积是m2。

（3）教学楼的占地面积是m2，是学校占地面积的%。

分析本题考查的是学生对比例尺知识的掌握情况。

（1）先动手量出教材84页图中学校平面图的长和宽，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出实际的长和宽，再用长方形的面积公式计算出学校的实际占地面积。

即：图上长为
14 cm，图上宽为5 cm，实际长为14÷1
2000＝28000（cm）＝280（m）；实际宽为5÷1
2000＝10000（cm）＝100（m），实际占地面积是280×100＝28000（m2）。

（2）第一问：先测量、估算出操场的边长，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出实际边长，再用正方形的周长公式计算操场的实际占地面积；即：图上边长为3 cm，实际边
长为3÷1
2000＝6000（cm）＝60（m）；绕操场跑一圈大约是60×4＝240（m）。

第二问：先测量、估算出花坛的半径，再求出实际半径，用圆的周长公式计算花坛的实
际占地面积；即图上半径是1厘米，实际半径为1÷1
2000＝2000（cm）＝20（m），花坛的占地面积＝20×20×3.14＝1256（m2）。

（3）先求出教学楼的实际占地面积，再用“教学楼的实际占地面积÷学校的实际占地面积×100%”或“教学楼的图上面积÷学校的图上面积×100%”，教学楼的占地面积是4200 m2，4200÷28000＝15%。

2.课件出示典型例题2。

一辆汽车从甲城开往乙城，3时行驶180千米，用这样的速度再行驶2.4时到达乙城。

甲、乙两城相距多少千米？
分析 根据题意可以知道汽车行驶的速度一定，即：路程时间
＝速度（一定）。

所以汽车行驶的路程和所用的时间成正比例。

汽车从甲城开往乙城用了（3＋2.4）时。

解答 解：设甲、乙两城相距x 千米。

1803＝x 3＋2.4
3x ＝180×5.4
3x ＝972
x ＝324
答：甲、乙两城相距324千米。

3.课件出示典型例题3。

硬糖每千克6.8元，软糖每千克11.6元，现要求把硬糖和软糖放在一起制成混合糖，混合糖的价格为每千克8.6元。

求硬糖和软糖应取怎样的质量比才合适。

分析 对硬糖来说，混合后每千克应提高8.6－6.8＝1.8（元），对软糖来说，混合后应降低11.6－8.6＝3（元），而提高的总价钱应等于降低的总价钱，所以软糖的质量×3＝硬糖的质量×1.8，即差价与质量成反比例。

解答 8.6－6.8＝1.8（元） 11.6－8.6＝3（元）
硬糖质量∶软糖质量＝3∶1.8＝5∶3
答：硬糖和软糖应取5∶3的质量比才合适。

⊙探究活动
1.课件出示探究内容。

甲数的45等于乙数的34，甲、乙两数的比是（ ）。

2.提出探究要求。

小组合作，讨论解题思路和解题过程，看哪组解法最多。

3.交流、汇报。

（小组代表发言，其他人补充）
预设
组1：根据题意，可列出下面的等式：
甲×45＝乙×34
方法一：根据比例的基本性质解答。

由两个外项的积等于两个内项的积，可以得到：甲∶乙＝34∶45＝15∶16。

方法二：可以用设数法解答。

设乙数为16，则甲×4
5＝16×
3
4，甲＝12÷
4
5＝15，所以甲∶乙＝15∶16。

组2：方法一：根据乘法各部分之间的关系解答。

把乙×3
4看作一个整体，它是甲×
4
5的积，则甲＝乙×
3
4÷
4
5＝乙×
3
4×
5
4＝乙×
15
16，也就是
甲数是乙数的15
16，所以甲∶乙＝15∶16。

方法二：根据倒数知识解答。

假设等号左右两边的结果都为“1”，则甲×4
5＝1，甲＝
5
4；乙×
3
4＝1，乙＝
4
3，所以甲∶
乙＝5
4∶
4
3＝
5
4×
3
4＝
15
16＝15∶16。

4.活动小结。

解答此类题可以灵活运用比例的基本性质、假设法等。

⊙课堂总结
通过本节课的学习，你有什么收获？
⊙布置作业
教材84页1、4、5题。

板书设计
正比例与反比例
比：两个数相除又叫作两个数的比。

比例：表示两个比相等的式子叫作比例。

比例尺：图上距离与实际距离的比叫作比例尺，比例尺可分为数值比例尺和线段比例尺。

正比例、反比例：
相同点：都有两种变化的量，这两个量中一个量随着另一个量的变化而变化。

不同点：
（1）成正比例的两个量，一个量随着另一个量的增加而增加，减少而减少；成反比例的
两个量，一个量随着另一个量的增加而减少。

（2）成正比例的两个量的比值（商）是一定的，成反比例的两个量的积是一定的。