二次函数的综合探究(压轴题)

专题八二次函数的综合探究（压轴题）（3）

题型18 二次函数与特殊图形的存在性探究

特征与方法：抛物线中特殊图形的存在性问题主要包括特殊三角形和特殊四边形存在性的探究，解决此类问题可按照找点—求点—代点的步骤进行分析思考，首先找到图形中关键点，如顶点、中点等等，再把这些点求出或用抛物线的解析式表示出来，最后把点的坐标转化为线段的长度，根据几何图形的性质代入得方程（组），如果求出的解满足题意，结果就存在，否则，就不存在.

【例1】（2016•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣4ax+1（a＞0）

与y轴交于点A，点D的坐标为（，1），过点D作DC∥y轴，交抛物线于点C，过点C 作CB∥x轴，交y轴于点B，连结AD．

（1）当点B的坐标为（0，2）时，求抛物线对应的函数表达式．

（2）当矩形ABCD的边AD被抛物线分成1：3两部分时，求点C的坐标．

（3）当矩形ABCD是正方形时，求a的值．

（4）在抛物线的对称轴上有一点P，当△ABP为等腰直角三角形时，求点P的坐标．

【思路点拨】本题考查了待定系数求二次函数解析式、矩形的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．

（1）由题意易得点C的坐标为：（，2），然后代入抛物线y=ax2﹣4ax+1，即可求得答案；（2）首先设抛物线交AD于点E，则点E的纵坐标为1，可求得点E的坐标，然后分别从AE=3DE或3AE=DE为相等关系列方程求解即可求得答案；

（3）若矩形ABCD是正方形，则AD=CD，可求得点C的坐标，然后分别从点C在点D上方与点C在点D下方，去分析求解即可求得答案；

（4）分别从∠BAP=90°，∠ABP=90°或∠APB=90°，去分析求解即可求得答案．

【解答】（1）∵CB∥x轴，DC∥y轴，点B的坐标为（0，2），点D的坐标为（，1），

∴点C的坐标为：（，2），

∵抛物线y=ax2﹣4ax+1（a＞0）过点C，

∴﹣8+1=2，

解得：a=，

∴抛物线对应的函数表达式为：y=x2﹣x+1；（2）设抛物线交AD于点E，则点E的纵坐标为1，由ax2﹣4ax+1=1，

解得：x1=0，x2=4，

∴点E的坐标为（4，1），

∵点D的坐标为（，1），

则DE=﹣4，

当AE=3DE时，4=3（﹣4），

解得：a=，

∴点C的坐标为：（，）；

当3AE=DE时，12=﹣4，

解得：a=，

∴点C的坐标为：（16，25）；

（3）若矩形ABCD是正方形，则AD=CD，

∵点D的坐标为：（，1），且DC∥y轴，

∴C（，﹣7），

若点C在点D上方，则CD=﹣8，

∴=﹣8，

解得：a=；

若点C在点D下方，则CD=8﹣，

∴=8﹣，

解得：a=；

综上可得：a=或；

（4）抛物线的对称轴方程为：x=﹣=﹣=2，

∵△ABP为等腰直角三角形，

∴若∠BAP=90°，则点P的坐标为：（2，1）；

若∠ABP=90°，则AB=BP=2，

∴点P的坐标为：（2，3）或（2，﹣1）；

若∠APB=90°，AB=2×2=4，

∴点P的坐标为：（2，3）；

综上所述：点P的坐标为：（2，1）或（2，3）或（2，﹣1）．

【变式训练】（2016·德州模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A（1，0）、B（4，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上存在点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？求点M的坐标．

【解析】（1）由已知得，

解得．

所以，抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．

（2）∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，

∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，

∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，

∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），

∴OA=1，OC=3，BC==5，

∴OC+OA+BC=1+3+5=9；

∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9．

（3）∵B（4，0）、C（0，3），

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

①当∠BQM=90°时，如图2，设M（a，b），

∵∠CMQ＞90°，

∴只能CM=MQ=b，

∵MQ∥y轴，

∴△MQB∽△COB，

∴=，即=，解得b=，代入y=﹣x+3得=﹣a+3，解得a=，

∴M（，）；

②当∠QMB=90°时，如图3，

∵∠CMQ=90°，

∴只能CM=MQ，

设CM=MQ=m，

∴BM=5﹣m，

∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，

∴△BMQ∽△BOC，

∴=，解得m=，

作MN∥OB，

∴==，即==，

∴MN=，CN=，

∴ON=OC﹣CN=3﹣=，

∴M（，）．

综上所述，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，

点M的坐标为（，）或（，）．

题型19 二次函数与规律探究性问题

特征与方法：抛物线中的规律探究性问题通常在题中字母的下标出现字母n或年份，题目新颖，考查的知识点较多，有很浓的初高中衔接的味道，成为了江西省中考数学试题的一道主菜.解决此类问题应遵循从特殊到一般的思维方法，也就是从简单情况出发探究抛物线上关键点满足的规律，然后归纳出一般情况.

例2．（2017·原创）在平面直角坐标系中，有一组有规律的点：

A1（0，1）、A2（1，0）、A3（2，1）、A4（3，0）、A5（4，1）….依此规律可知，

当n为奇数时，有点A n (n－1，1)，当n为偶数时，有点A n(n－1，0)．

抛物线C1经过A1，A2，A3三点，抛物线C2经过A2，A3，A4三点，抛物线C3经过A3，A4，A5三点，…抛物线C n经过A n，A n＋1，A n＋2．

（1）直接写出抛物线C n的解析式；