全等三角形、等腰三角形与直角三角形综合培优(2)

全等三角形、等腰三角形与直角三角形综合培优（2）

1．在△ABC中，AB=AC，D是线段BC的延长线上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图，点D在线段BC的延长线上移动，若∠BAC=30，则∠DCE= ．

（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．

①如图，当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．

②当点D在直线BC上（不与B、C重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．

2.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.

（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；

（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？

如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由.

3.如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由．

第15题图备用图1备用图2

4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，

求证：BD＝BA．

5．如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF＝a．

(1)E、F移动时，△BEF的形状如何? (2)E点在何处时，△BEF面积的最小值．

6．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．

（1）求证：△ABQ≌△CAP；

（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．

7.（1）如图11-157所示，在正方形ABCD 中，M 是BC 边（不含端点B ，C ）上任意一点，P 是BC 延长线上一点，N

是∠DCP 的平分线上一点．若 ∠AMN ＝90°，求证AM ＝MN ．

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB 上截取AE ＝MC ，连接ME ．在正方形ABCD 中，∠B ＝∠BCD ＝90° ∴∠NMC ＝180°－∠AMN －∠AMB ＝180°－∠B －∠AMB ＝∠MAB ． 下面请你完成余下的证明过程．（在同一三角形中，等边对等角）

（2）若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC ”（如图11-158所 示），N 是∠ACP 的平分线上一

点，则当∠AMN ＝60°时，结论AM ＝MN 是否还成立?请说明理由．

（3）若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“正n 边形ABCD … X ”，请你作出猜想：当∠AMN

＝ 时，结

论AM ＝MN 仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）

8.在图1至图3中，△ABC 是等边三角形，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC.

观察思考：

当点E 为AB 的中点时，如图1，线段AE 与DB 的大小关系是：AE DB(填“＞”，“＜”或“=”）； 拓展延伸：

当点E 不是AB 的中点时，如图2，猜想线段AE 与DB 的大小关系是：AE DB(填“＞”，“＜”或“=”），并说明理由（提示：在图2中，过点E 作EF ∥BC 角AC 于点F ，得到图3）。

F

E

D

C

B

A

图3

E

D

C

B

A

图2

D C

B

E

A 图1

9、（1）操作发现：如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．

（2）类比猜想：如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究：

Ⅰ．如图③，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合）连接DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF ′，连接AF 、BF ′，探究AF 、BF ′与AB 有何数量关系？并证明你探究的结论． Ⅱ．如图④，当动点D 在等边△边BA 的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．

10.如图，△ABC 中，∠ABC=90º，AB=CB ，AE 平分∠BAC ，过点C 作CD ⊥AD 于点D ， 求证：CD=2

1

AE

11．（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ，

A

E

D C

B

求证DE +BF =EF ．

感悟解题方法，并完成下列填空：

将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：

AB=AD ，BG=DE ， ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．

∵∠EAF =45° ∴∠2+∠3=∠BAD -∠EAF =90°-45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF =∠_________． 又AG =AE ，AF =AF ∴△GAF ≌_______．

∴_________=EF ，故DE +BF =EF ．

（2）方法迁移：如图②，将ABC Rt ∆沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF =2

1

∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．

（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，AB =AD ，E ，F 分别为DC ，BC 上的点，满足DAB EAF ∠=∠2

1

，试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得DE +BF =EF ．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

12.如图所示，△ABC 中，AB=AC ，在AB 上取一点E ，在AC 延长线上取一点F ，使BE=CF ，EF 交BC 于G ，求证：EG=FG

E

F

D

C

B

A

③

3

2

1G

E

F

D C

B

A ①

E

F

D

C B

A

②