数理逻辑史简析
20世纪数理逻辑的概貌【可编辑】
20世纪数理逻辑的概貌20世纪数理逻辑的概貌（李娜）分类:形式语义和数理逻辑在20世纪里，数理逻辑的发展极其迅速并取得了巨大的成就。
例如，1937年图灵提出了一个非常重要的关于计算的数学模型，现在人们称它为图灵机。
它能计算一切能行可计算的问题类，是一个能行可计算的模型。
还为现代通用计算机体系设计思想的产生提供了理论准备。
1931年哥德尔证明了：一个包括初等数论在内的形式系统，如果它是一致的，那么它就是不完全的；或者说如果这样的系统是一致的，那么它的一致性在本系统中不可证。
现在人们称这个结论为哥德尔不完全性定理。
这一定理为20世纪数理逻辑的发展带来了新的活力。
近年来，它对人工智能的研究也产生了巨大影响。
1933年塔斯基发表的《形式语言中的真值概念》一文是模型论的奠基著作，它为后来的逻辑语义学的发展奠定了基础。
这是20世纪30年代数理逻辑所取得的三项伟大成就。
笔者认为：20世纪30年代数理逻辑所取得的这三项伟大成就，不仅决定了20世纪逻辑学的面貌，而且也将影响着21世纪逻辑学的发展。
本文将从历史的视角回顾20世纪数理逻辑的面貌并展望21世纪数理逻辑或者21世纪早期数理逻辑的发展。
数理逻辑包括一阶逻辑(指命题逻辑和狭谓词逻辑，也称为经典逻辑)、高阶逻辑、公理化集合论、递归论、模型论和证明论等。
这部分内容基本上是数学化的，所以，它也是现代数学的基础。
数理逻辑方面的分支相对来说比较成熟，即便如此，20世纪中也出现了一些新的发展。
例如，在常见的经典命题逻辑系统中，联结词和括号总是兼而有之。
在这样的系统中，联结词和括号各自承担各自的作用。
实际上，它们的作用是可以互兼的。
20世纪20年代，卢卡西维奇采用前置法使联结词兼负起括号的作用，并建立了不用括号的系统。
我国学者在20世纪90年代中，建立了不用联结词的命题逻辑系统，这表明括号也能兼具联结词的作用。
不久，他又推广了他的这一结果，建立了不用联结词和量词的一阶逻辑系统，使括号发挥着更充分的作用。
数理逻辑的大发展
数理逻辑的大发展第一篇：数理逻辑的大发展数理逻辑的大发展1930年以后，数学逻辑开始成为一个专门学科，得到了蓬勃发展。
哥德尔的两个定理证明之后，希尔伯特的有限主义纲领行不通，证明论出现新的情况，主要有两方面：通过放宽有限主义的限制来证明算术无矛盾性以及把证明形式化、标准化，这些主要是在三十年代完成。
同时哥德尔引进递归函数，发展成递归论的新分支，开始研究判定问题。
而哥德尔本人转向公理集合论的研究，从此出现公理集合论的黄金时代。
五十年代模型论应运而生，它与数学有着密切联系，并逐步产生积极的作用。
1、证明论证明论又称元数学，它研究数学的最基本活动—证明的合理性问题。
研究这类数学基础的问题原来一直是哲学家的事，后来才成为数学家的事。
这个转变发生在1893年弗雷格发表《算术基础规则》之时，后来希尔伯特和他的许多合作者使这种思想发展成一门学科—元数学，目的是用数学方法来研究整个数学理论。
要使数学理论成为一个合适的研究对象，就必须使之形式化。
自从希尔伯特和阿克曼所著《理论逻辑纲要》第一版在1928年出版以来，在实践中用得最多的是具有等式的一阶谓词演算(以及高阶谓词演算)。
许多理论可以用一阶理论来表述，它比较简单方便，具有多种形式。
从基础的观点来看，有两个理论最为重要，因而研究也最多。
这两个理论就是形式化的皮亚诺算术理论与形式化的集合论。
因为大多数观代数学理论都可以在这两个理论范围内发展，所以这两个理论的合理性如果得到证实，也就是向数学的可靠性迈进了一大步。
“希尔伯特计划”无非就是要找到一个有限的证明步骤来证明算术的无矛盾性。
这里“有限”的意义是由法国年轻数学家厄布朗明确提出的，他认为下列条件必须满足：必须只讨论确定的有限数目的对象及函数；这些对象及函数要能确定它们的真值产生协调一致的计算结果；一个对象如不指出如何构造它就不能肯定其存在；必须永远不考虑一个无穷集体中所有对象的集合；一个定理对于一组对象都成立的意思是，对于每个特殊的对象，可以重复所讲的普遍论证，而这普遍论证只能看成是结果特殊论证的原型。
数理逻辑总结
数理逻辑总结数理逻辑总结一、概念数理逻辑（mathematical logic）是一门根据数学的思维模式和方法在表述语言和推理思维上进行分析和作用的逻辑学课程。
它是一门用来研究和分析与计算机科学有关的严谨思维和验证的逻辑学科。
数理逻辑从宏观意义上讲，是指用符号抽象的方法来描述，定义，表示和理解各种基础数学系统的知识，以及这些系统中定理的证明等。
二、历史数理逻辑（mathematical logic）由古典逻辑演化而来，它最早由古希腊的哲学家亚里士多德（Aristotle）创立，但是由于他的古典逻辑只涉及到了辩论中的质问和概括推理，并未涉及到像数学中的严谨性，所以不能科学地处理逻辑问题。
直到二十世纪中期，数理逻辑才发展到其现在的状态。
首先，德国数学家彼得拉多斯（Petr Lusitr）提出了系统性的作为符号逻辑学的主要著作被称为《符号逻辑学》。
随后，德国数学家卡尔·贝尔（Carl Brel）提出了一种新的逻辑秩序，用以把命题逻辑系统中的各个命题放置于命题结构之中，称为贝尔结构，他也提出了用来支持贝尔结构的证明系统。
在二十世纪五十年代，英国数学家霍华德·劳夫（Howard Lawford）引入了前言逻辑系统，并从多种角度改进了古典逻辑，使其变成一种非常完善的数学系统。
三、特点数理逻辑有它独特的特点，其一是抽象性。
数理逻辑采用抽象方法，把问题表达为一系列标准的符号，然后用逻辑证明的方法求解。
抽象的好处是可以把问题简化，可以有效地发现和解决复杂的问题。
其次，数理逻辑有其严谨性。
数理逻辑用符号语言来描述和表达问题，采用公理-定理的方法证明结果，使得结果更加准确可靠。
最后，它有其实用性。
数理逻辑可以被看作是一种被证明准确可靠的结构性思维规范，它可以用于描述，定义，表示，理解多种数学系统，以及证明系统中的定理，实际上也被广泛应用于计算机科学领域，极大地推动了计算机技术的发展。
四、应用数理逻辑在计算机科学中有着重要的应用。
数理逻辑发展史
数理逻辑发展史*数理逻辑主要包括5个部分: 逻辑演算, 证明论, 公理集合论, 递归论和模型论.*数理逻辑从十七世纪末叶莱布尼茨(G. Leibniz, 1646-1716, 德国)起, 至今约有三百年历史.*数理逻辑的发展分为三阶段.*第一阶段: 这是开始用数学方法研究和处理形式逻辑的时期, 是初始阶段.*莱布尼茨: 1646-1716, 德国*布尔(G. Boole): 1815-1864, 英国*德∙摩根(A. De Morgan): 1806-1876, 英国*E. SchrÖder: 1841-1902, 德国共延续二百年, 其成果是逻辑代数和关系逻辑.*戈特弗里德∙威廉∙莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)莱布尼茨生于莱比锡, 他的母亲是莱比锡大学哲学系副主任的第三个妻子. 虽然他的父亲在他6岁时就已去世, 但年幼的莱布尼茨经过父亲的谆谆教诲, 已经产生了读书和学习的愿望. 在他年轻时,他就自学了拉丁语并钻研了拉丁文的经典著作以及他父亲丰富藏书中的哲学和神学著作. 1661年, 他进入莱比锡大学学习, 在那里他用大部分时间学习哲学.他在1663年取得学士学位, 在1664年取得硕士学位, 但是尽管准备了法学博士的学位论文, 大学却拒绝授予他学位, 也许因为教师中的一些政治问题. 莱布尼茨因此离开了莱比锡并于1667年从纽伦堡的阿尔特多夫大学取得了学位.同时, 莱布尼茨在1663年在耶纳大学的一次短暂停留中接触到了高等数学, 并开始研究他希望是他对哲学最具创造性的贡献的细节问题, 创立一种人类思想的字母表, 即一种将所有基本概念用符号表示并通过符号的组合表示更复杂的思想的方法. 尽管莱布尼茨从未完成这一规划, 他的最初思想包含在他1666年的《论组合的艺术》里, 他在论文中独立推导出了帕斯卡的算术三角形以及其中包含的量的各种关系. 但这一寻找表达思想的适当符号和组合它们的方式的兴趣最终使他发明了我们今天使用的微积分的符号.莱布尼茨结束大学学业后不久, 他首先为美茵茨选帝侯从事外交方面的工作, 而在他以后的生涯的大部分时间他是汉诺威公爵的顾问. 虽然有许多时期他的工作使他极为忙碌, 但他总能找到时间钻研数学思想并在这一领域同遍及欧洲的同事们维持着活跃的通信交流.。
浅析数理逻辑的历史发展过程
浅析数理逻辑的历史发展过程作者：管芳笛来源：《新教育时代·教师版》2019年第37期摘要：本文将系统的介绍数理逻辑的发展历程，以及其对计算机科学发展带来的启迪意义，通过对数理逻辑发展的历程，了解其相关的背景内容，加强并加深我们对计算机科类的比较全面的详解，尤其是理论知识部分，而并非局限于将其看为是一个技术类或者工程类的科目。
并通过一些历史的事件，获悉在计算机科学中的一些基础的思维类型和问题。
[1]关键词：数理逻辑计算机历史发展一、定义所谓数理逻辑，即是用数学的方式来分析逻辑或形式逻辑的一门学科。
它是属于数学类研究推理的学科，它着重点在于推理的过程及推理是否正确的分析，研究的目标方向是针对证明和运算两个概念进行具体化后的符号形式系统。
具体来讲，它是一种形式逻辑，它具有精密化，数据化的特性。
它是现代计算机科学的基石，新时代将是数学大开展的时代，而数理逻辑也将会起到重要作用。
[2]二、过程1.总述对于数理逻辑最早历史，最早可追溯到公元前五世纪的古希腊，当时亚里士多德所创建的学说是早期古典传统的逻辑学说。
在初创阶段，就开始用数学的方式来分析处理解决形式逻辑的情况。
从莱布尼茨到19世纪末大概延续两百年。
在数理逻辑奠定阶段，随着数学的发展，又开始提出对于数学方法和数学基础的问题的相关探讨，对于这些问题，也创立出新方法并提出新理论。
从二十世纪三十年代开始为大发展阶段。
本阶段的主要实质概念是成为数学的分支，且和其他类的数学分支，诸如计算机科学、语言学、心理学等有着广泛的联系。
2.源头古希腊时期，亚里士多德研认为推理是通过前提作出最终结论的一种逻辑形式。
直言三段论是其研究推理的重要部分。
主要讲述为，分为三格，一共14个有效式。
这是一个比较完整的演绎，可以认为是一个初步的公理形式系统。
作为公理的是第一格的各个式。
然后由此来推出其他各格的各个式。
这是他的根本思想。
他主要从逻辑和本体论两面提出和建立逻辑思维规律理论。
数理逻辑的发展历史和应用
数理逻辑的发展历史和应用数理逻辑是一门研究推理、证明和计算的学科，它通过规定符号和公理系统来描述和分析自然和人工推理过程的规则。
数理逻辑的发展历史可以追溯到古希腊的亚里士多德逻辑，但其现代形式的基础是在19世纪末和20世纪初奠定的。
以下将对数理逻辑的发展历史和应用进行探讨。
1.古希腊的亚里士多德逻辑：亚里士多德逻辑是对自然推理进行形式化的第一个尝试。
他提出了命题逻辑中的“陈述”和“推理”的概念，并发展了一套符号系统来描述和分析逻辑关系。
2. 19世纪的布尔代数和形式逻辑：19世纪逻辑学家乔治·布尔开创了布尔代数，将逻辑符号化为真假值（0和1）。
同时，数学家戈特洛布·弗雷格和乔治·康托尔等人发展了形式逻辑，将逻辑推理的证明过程形式化。
3. 20世纪初的数学逻辑：20世纪初，一些数学家开始将逻辑作为数学的一部分来研究，奠定了数学逻辑的基础。
在这个过程中，罗素和怀特海等人提出了一套符号系统，称为“类型理论”，以解决数学中的自我指涉问题。
4. 20世纪中叶的模型论：模型论是数理逻辑的一个重要分支，它研究了语言和结构之间的关系。
模型论的发展使得可以对逻辑语句进行语义解释，从而使得逻辑符号有了更具体的意义。
5. 20世纪后期的计算逻辑：计算逻辑是一门研究计算过程和计算机科学中的逻辑的学科。
在20世纪后期，随着计算机的发展和应用，计算逻辑得到了快速发展。
一些计算机科学家和数学家提出了一些逻辑系统，如命题逻辑、一阶谓词逻辑、模态逻辑等，用于描述和分析计算过程。
除了数理逻辑的发展历史，数理逻辑在许多领域中都有重要的应用。
1.计算机科学：数理逻辑为计算机科学的算法和程序设计提供了基础。
通过使用逻辑语言和逻辑推理，可以对计算过程进行形式化描述和分析，并证明算法的正确性。
2.。
浅析数理逻辑的发展历史
浅析数理逻辑的发展历史摘要：以演绎方法为中心内容的形式逻辑已有2000多年的历史。
最早从形式结构来论述演绎推理的著作是古希腊亚里士多德的《工具论》。
自亚里士多德起至17世纪后期是形式逻辑的古典阶段。
古典形式逻辑包括几种常见的演绎推理和最简单的量词理论，也使用一些特有符号。
它没有探讨关系逻辑和公理系统的逻辑性质。
自17世纪后期G.W.莱布尼茨起是数理逻辑的萌芽和发展时期，是形式逻辑的现代阶段。
数理逻辑使用大量的特制表意符号，在不同部分应用不同程度的数学方法。
关键词：集合论公理方法逻辑演算数理逻辑开始于17世纪后期。
当时古典形式逻辑不足之处已为某些逻辑学者所理解。
数学方法对认识自然和发展科学技术已显示出重要作用。
人们感到演绎推理和数学计算有相似之处，希望能把数学方法推广到思维的领域。
德国唯理论哲学家莱布尼茨首先明确地提出了数理逻辑的指导思想。
他设想能建立一“普遍的符号语言”，这种语言包含着“思想的字母”，每一基本概念应由一表意符号来表示。
一种完善的符号语言又应该是一个“思维的演算”，他设想，论辩或争论可以用演算来解决。
莱布尼茨提出的这种符号语言和思维演算正是现代数理逻辑的主要特证。
他为实现其设想做了不少具体的工作。
他曾构成一个关于两概念相结合的演算，给与这种结合A叽B以内涵和外延的解释，得到了一些重要定理。
他成功地将古典逻辑的四个简单命题表达为符号公式。
他又提出了用素数代表初始概念并将复合概念表示为素数的乘积的配数法，但未能较好地应用。
莱布尼茨以后在18世纪前后，欧洲大陆有许多人继续了他的工作，没有得到重要结果。
19世纪中叶两个英国学者G.布尔和A.德摩根突破了沉闷的局面。
布尔是代数学家。
19世纪初期数的概念逐渐扩大，负数、分数、实数等和正整数一样都遵守一些相同的规律,他设想,给代数系统以逻辑的解释或可构成一个思维的演算。
鉴于四元数的发现，他也认为，思维的运算和一般代数的规律可以有差异，不能机械地推广。
数理逻辑发展简史
对数学基础的研究，产生了大量与逻辑 有关的问题。
计算机学院
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数理逻辑发展简介
史前时期 亚里土多德的三段论，斯多阿学派的命题逻辑和中世纪形式逻辑。 初创时期 莱布尼茨的数理逻辑思想 逻辑代数和关系逻辑 奠基时期
从弗雷格的《概念文字》到希尔伯特的元数学纲领 逻辑演算的建立，素朴集合论、公理集合论 逻辑类理论，直觉主义数学基础和逻辑，形式公理学和证明论。 发展初期 哥德尔的几项重大结果—完全性定理、不完全性定理和连续统假设的一致性等 计算机学院 形式语言中真值概念的定义 一般递归函数和图灵机理论，判定问题的重要成果等。 现代时期 各种非经典逻辑演算 模型论、集合论、递归论和证明论。
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史前时期
古代希腊最伟大的哲学家，古典形式 逻辑的创始人； 在命题中引进了主谓项的变元，建立 了三段论的理论； 在逻辑史上第一次应用了形式化、公 理化的的演绎系统，开创了逻辑的形 式化研究； 构造了模态三段论系统，开创了模态 逻辑的研究； 在《工具论》中，总结了正确的推理 计算机学院 方法，建立了形式逻辑；在《分析篇 》提出公理学理论的基础。
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DeMorgan 1806-1871
计算机学院
初创时期
布尔—英国数学家
1847年，发表了《逻辑的数学分 析，论演绎推理演算》，1854年 出版了《思维法则的探讨，作为 逻辑与概率的数学理论的基础》 建立了“布尔代数”，并创造一 套符号系统，利用符号来表示逻 辑中的各种概念，这是一种新的 逻辑。 计算机学院 建立了一系列的运算法则，利用 代数的方法研究逻辑问题，初步 奠定了数理逻辑的基础。
数理逻辑教程
数理逻辑教程数理逻辑是一门复杂而又有趣的学科，它既是哲学又是数学，属于学术思想和数学分析的独特组合。
近几十年来，数理逻辑得到了广泛的应用，它不仅用于哲学论文的写作，而且用于计算机编程，特别是程序设计。
本文将为您介绍数理逻辑的基本概念，以及其如何帮助您更好地理解和使用它。
一、数理逻辑的定义数理逻辑（Mathematical Logic）是一门研究逻辑的学科，它结合了哲学中的逻辑思维和数学中的形式化系统。
它的目的是将哲学中的概念与数学中的精确性结合起来，以更好地理解和使用逻辑推理。
数理逻辑的基本概念是逻辑推理，它是通过分析一系列前提，以推出一系列结论的方法。
二、数理逻辑的历史数理逻辑的发展可以追溯到古希腊时期。
当时，古希腊哲学家们，如柏拉图和亚里士多德，通过推理和论证来解释世界上发生的事情。
在中世纪，哲学家和数学家们继续研究逻辑，他们发现逻辑推理可以用来证明或否定一个命题的真实性。
到19世纪，英国数学家约翰·华生等人开始将逻辑与数学结合起来，形成了现代数理逻辑学。
三、数理逻辑的基本概念数理逻辑是一门复杂的学科，它涉及到许多基本概念，如定理、公理、演绎法、归纳法等。
其中，定理是一种用逻辑推理证明的命题，是一个被推论出来的结论；公理是构成定理的基本命题，也就是前提；演绎法是一种从公理中推断出结论的方法，也就是由具体到抽象的过程；而归纳法则是由一般性的结论推断出具体的命题的方法，也就是由抽象到具体的过程。
四、数理逻辑的应用数理逻辑的应用非常广泛，既可以用于哲学论文的写作，也可以用于程序设计。
例如，在程序设计中，数理逻辑可以用来帮助程序员更好地理解和使用程序控制和程序语言。
此外，数理逻辑还可以用于语言学、认知科学、计算机科学等领域，可以帮助我们更好地理解和使用这些学科。
五、数理逻辑的学习学习数理逻辑也许是一个挑战，因为它涉及到许多复杂的概念。
但要学习数理逻辑，首先要熟悉它的基本概念，如定理、公理、演绎法、归纳法等。
数理逻辑的概念与发展历程
数理逻辑的概念与发展历程【数理逻辑的概念与发展历程】数理逻辑是一门研究数学和逻辑相互关系的学科，旨在通过符号和形式化的方法研究和分析数学和逻辑的结构、原理和推理规则。
本文将探讨数理逻辑概念的起源、基本原理以及其发展历程。
一、数理逻辑的起源与概念数理逻辑的起源可以追溯到古代数学和哲学思想。
早在公元前4世纪，亚里士多德就开始研究命题逻辑，将数学与逻辑相结合。
然而，真正的数理逻辑学科的奠基者是19世纪的数学家和逻辑学家，如乔治·布尔、弗雷格、罗素和怀特海等。
通过引入符号语言和形式化方法，数理逻辑从传统的自然语言逻辑转向了一种更精确和形式化的表达方式。
数理逻辑的概念主要包括命题逻辑、一阶谓词逻辑和高阶逻辑。
命题逻辑研究命题之间的关系，通过逻辑符号和逻辑运算来表示命题和它们之间的推理。
一阶谓词逻辑引入了谓词和量词的概念，能够更加精确地描述现实世界中的对象和关系。
高阶逻辑进一步扩展了一阶谓词逻辑的表达能力，使得我们可以研究更加复杂的数学和逻辑结构。
二、数理逻辑的基本原理数理逻辑的研究建立在一些基本原理之上，其中最重要的原理是真值、推理规则和有效性。
1. 真值：数理逻辑研究命题的真假情况。
每个命题只能是真（True）或假（False）。
通过真值表和真值模型，我们可以确定命题的真值。
2. 推理规则：数理逻辑研究命题之间的推理关系。
通过逻辑连接词（如与、或、非等），我们可以建立命题之间的逻辑联系，并通过推理规则实现逻辑推理。
常见的推理规则有假言推理、析取范式、合取范式等。
3. 有效性：数理逻辑研究推理的有效性和无矛盾性。
一个推理是有效的，如果当所有前提为真时，结论一定为真。
无矛盾性要求一个理论或系统中不存在矛盾的陈述。
三、数理逻辑的发展历程数理逻辑在20世纪得到了广泛的发展和应用。
在数学和计算机科学的推动下，数理逻辑不断拓展了其研究范畴和方法。
早期的数理逻辑主要集中在命题逻辑和一阶谓词逻辑上，研究命题和谓词的形式化表示和推理规则。
数理逻辑的发展历史及其作用
数理逻辑的发展历史及其作用摘要：数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。
它既是数学的一个分支，也是逻辑学的一个分支。
是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
关键词：数理逻辑史命题演算谓词演算数学的主要内容是计算和证明。
在十七世纪，算术因符号化促使了代数学的产生，代数使计算变得精确和方便，也使计算方法系统化。
费尔马和笛卡儿的解析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而且使得少数天才的推理变成机械化的步骤。
这反映了代数学作为普遍科学方法的效力，于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。
与笛卡儿同时代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质，不过他并没有系统地发展这种思想。
简而言之，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑。
它是现代计算机技术的基础。
新的时代将是数学大发展的时代，而数理逻辑在其中将会起到很关键的作用。
逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创建的。
用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。
也叫做符号逻辑。
古典形式逻辑是演绎法研究的前数理逻辑时期。
数理逻辑史本身又可分为三个阶段。
第一阶段开始用数学方法研究和处理形式逻辑。
本阶段从莱布尼茨到19世纪末延续了约200年。
第二阶段是数理逻辑的奠基时期。
19世纪数学发展提出了探讨数学方法和数学基础的问题，数理逻辑围绕着这些课题，创建了新方法并提出了新理论。
从19世纪70年代到20世纪30年代约70年时间奠定了本身的基础。
第三阶段从20世纪30年代起为数理逻辑的发展时期。
本阶段数理逻辑的主要内容已成长为数学的分支，并与数学的其他分支、计算机科学、语言学和心理学有广泛的联系。
有少数部分内容如某些公理系统的研究与哲学问题有着相互的作用。
利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在十七世纪就有人提出过。
莱布尼茨就曾经设想过能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。
数学的数理逻辑分支
数学的数理逻辑分支数理逻辑是数学的一个重要分支，它研究逻辑思维和推理的基本规律，在解决问题和证明定理中起到了关键作用。
本文将从数理逻辑的定义、历史和应用等几个方面进行探讨，以全面展示数理逻辑在数学领域的重要性。
一、数理逻辑的定义数理逻辑是研究命题、推理和证明的数学分支。
它主要包括命题逻辑、一阶谓词逻辑和模型论等相关内容。
数理逻辑通过形式化的方法来研究推理和证明的规则，以符号化的方式表达命题和推理过程。
二、数理逻辑的历史数理逻辑的起源可以追溯到古希腊时代的亚里士多德。
他在《篇章》中提出了演绎推理的基本规则，奠定了逻辑学的基础。
随着时间的推移，逻辑学逐渐发展为一个独立的学科，并且在数学研究中发挥着越来越重要的作用。
19世纪末到20世纪初，数理逻辑得到了重大的发展。
哥德尔的不完备性定理揭示了数学系统的局限性，给数理逻辑带来了巨大的冲击和启示。
同时，罗素和怀特海等逻辑学家开创了数理逻辑的公理化方法，使得逻辑推理得以在形式化的框架下进行研究。
三、数理逻辑的应用数理逻辑在数学研究中扮演着重要的角色。
它为数学家提供了一种形式化的推理工具，使得数学证明可以更加准确和严谨。
通过应用数理逻辑的方法，数学家可以构建更复杂的数学系统，并在其中进行精确的论证。
此外，数理逻辑在计算机科学领域也有广泛的应用。
计算机程序设计需要精确的逻辑思维和推理能力，而数理逻辑为程序员提供了相应的思维工具。
通过数理逻辑的分析和证明，可以验证程序的正确性和可靠性，提高计算机系统的安全性。
四、数理逻辑的发展前景随着科技的不断进步和应用的拓展，数理逻辑在各个领域的发展前景非常广阔。
在人工智能领域，数理逻辑被应用于知识表示和推理，实现机器的自动推理和决策能力。
在通信和密码学领域，数理逻辑被用于设计和分析加密算法，保障信息的安全。
在金融和经济学领域，数理逻辑被用于建立和分析数学模型，预测和解释市场的变化。
总之，数理逻辑作为数学的数学分支，具有重要的理论和应用价值。
数学分支巡礼之二十：数理逻辑
数学分支巡礼之二十：数理逻辑数学分支巡礼之二十逻辑是探究、阐述和确立有效推理原那么的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创立的。
用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。
也叫做符号逻辑。
数理逻辑的产生利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在十七世纪就有人提出过。
莱布尼茨就曾经射向果能不能创造一种“通用的科学语言〞，可以把推理过程象数学一样利用公式来进展计算，从而得出正确的结论。
由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。
但是它的思想却是现代数理逻辑局部内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨的思想可以说是数理逻辑的先驱。
1847年，英国数学家布尔发表了?逻辑的数学分析?，建立了“布尔代数〞，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。
布尔建立了一系列的运算法那么，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的根底。
十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比拟大的开展，1884年，德国数学家弗雷格出版了?数论的根底?一书，在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。
对建立这门学科做出奉献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号。
从而使现代数理逻辑最根本的理论根底逐步形成，成为一门独立的学科。
数理逻辑的内容数理逻辑包括哪些内容呢？这里我们先介绍它的两个最根本的也是最重要的组成局部，就是“命题演算〞和“谓词演算〞。
命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。
命题是指具有详细意义的又能判断它是真还是假的句子。
假如我们把命题看作运算的对象，如同代数中的数字、字母或代数式，而把逻辑连接词看作运算符号，就象代数中的“加、减、乘、除〞那样，那么由简单命题组成复和命题的过程，就可以当作逻辑运算的过程，也就是命题的演算。
这样的逻辑运算也同代数运算一样具有一定的性质，满足一定的运算规律。
例如满足交换律、结合律、分配律，同时也满足逻辑上的同一律、吸收律、双否认律、狄摩根定律、三段论定律等等。
数理逻辑发展史PPT
01
1847年，发表了《逻辑的数学分析， 论演绎推理演算》 建立了“布尔代数”，并创造一套符 号系统，利用符号来表示逻辑中的各 种概念。
布尔——英国数学家
麦柯尔
用字母及字母的组合表示整个命题 沿用流行的符号把“A或B”表为A+B
使用相等记号来表示命题中的系词
耶芳斯
奠基时期
弗雷格，德国人，数学家，逻辑学家 1879年的《表意符号》引入和使用约束变元 第一次把谓词演算形式化， 完备地发展了命题演算
• 数字逻辑、计算机组成系统设计 • 软件验证、安全攸关软件设计
Thanks——————
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历史上第一个的关于逻辑规律的公理系统 接近于完成数理逻辑整个基础
02
集合论创立
康托尔创立了一门崭新的学科——集合论
外延原则与概括原则
外延原则：一个集合由它 的元素唯一地确定。 概括原则：每一性质产生 一个集合
具有伟大历史意义的证明
关于有理数集可数性的证 明 关于代数可数的证明 关于实数集不可数的证明
史前时期
斯多阿学派等命题逻辑
古希腊的一个哲学学派 创造了命题逻辑
传统逻辑也应运而生
欧布理得发现了说谎者悖论：
---一个说谎的人说“我正在说谎” ---他是在说谎，还是说真话？ ---这一悖论现在归属于语义悖论
初创时期
由莱布尼茨创建 德国哲学家和数学家。 建立一种理想的通用语言进行推理。
康托尔创立的集合 论是数学和数理逻 辑发展史上惊天动 地的伟业，开辟了 崭新的数学领域
Georg Cantor 1845-1918
结论
数理逻辑是计算机专业的理论基础；
数理逻辑是重要的理论工具
1 数理逻辑介绍
第2讲数理逻辑介绍1.若干哲学观点分析哲学也称为语言哲学和逻辑哲学，开始于德国数学家弗雷格对于自然语言的逻辑分析工作，后被奥地利哲学家维特根斯坦发扬光大，使得近代哲学研究成功转型为语言分析，并成为现代哲学研究的主流。
学习分析哲学有利于澄清我们对于一些常用概念的认识。
以下所列条目是基于本人的理解和独立思考而提出的观点，欢迎批评、指正。
认知对象：客观世界中存在的事物，这是第一认知对象。
人们在认知过程中所形成的抽象概念是第二认知对象。
概念是人们头脑中的观念，所反映的是对象的相似性（similarity）和不变性（invariance），也称为模式（mode），包括结构模式、行为模式和关系模式。
这些抽象模式称为概念的内涵（intension）或者所指（referent）。
概念是人们对于客观对象进行抽象所得的观念。
一旦形成就拥有不依赖于客观对象的独立存在性。
例如，“圆”这个概念来自于客观事物，又超越和独立于客观事物，有自己确定的内涵。
因此，概念不是客观事物的附属，而是思维世界中的独立存在。
柏拉图（Plato）称之为理念（idea），并且认为理念是独立于物质世界的另一种存在。
概念是没有真假对错之分的，它是一个模式，按照该模式可以对现实对象进行归类。
例如，我们可以用圆这个概念对事物进行归类，将所有近似圆形的事物归为一类。
同类事物具有相同的性质，相同的性质具有相同的作用。
因此，对事物进行归类有利于我们有效地认识和应用事物。
当然，我们的认知并不满足于获得一些概念，还会继续探索这些概念的属性和相互作用，等等。
因此，概念是人类认知的结果，也是进一步认知的对象。
命题：在思维中将某对象归于某模式，即认为某对象具有某性质或者模式，这种思维中的归属联系就是命题。
因此，命题也是人们头脑中的一种观念，不过，命题与概念不同，它不是一种模式，不是由客观对象身上升华而成的模式，而仅仅是将一个给定对象与某概念进行联接，将对象归于这个概念所划定的类。
数理逻辑的发展历史
数理逻辑的发展历史数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。
是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。
它既是数学的一个分支，也是逻辑学的一个分支。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
1.数理逻辑的发展概况迄今为止，数理逻辑仅仅有三百余年的历史，但他同任何一门科学一样，也经历了一个发生和发展的过程。
他最初是作为“运用数学方法的逻辑”产生的，主要是在数学等演绎科学发展的基础上为适应他们的表述和论证的需要而兴起的，随后数学的发展正式提出并要求认真解决数学的逻辑和哲学基础问题，于是数理逻辑又发展成了“关于数学的逻辑”，并且与数学基础理论相结合，形成了一门数学科学。
具体地讲：数理逻辑的产生和发展大致可分为以下所述的三个阶段。
2.数理逻辑的发展三阶段2.1第一阶段——从17世纪60年代至19世纪80年代此阶段开始采用用数学方法研究和处理形式逻辑。
当时的古典形式逻辑不足之处已为某些逻辑学者所理解。
人们感到演绎推理和数学计算有相似之处，希望能把数学方法推广到思维的领域。
数理逻辑的先驱莱布尼茨首先明确地提出了数理逻辑的指导思想。
他设想能建立一种“普遍的符号语言”，这种语言包含着“思想的字母”，每一基本概念应由一表意符号来表示。
一种完善的符号语言又应该是一个“思维的演算”，他设想，论辩或争论可以用演算来解决。
莱布尼茨提出的这种符号语言和思维演算正是现代数理逻辑的主要特证。
他成功地将古典逻辑的四个简单命题表达为符号公式。
而19世纪中叶，英国数学家和逻辑学家乔治布尔相当成功的建立了一个逻辑演算系统，被视为数理逻辑的第二个创始人。
他所建立的逻辑代数式数理逻辑的早期形式，他主张使用“类”来处理思维形式，判断则表示“类”与“类”之间的关系，他所创立的逻辑是“类”的逻辑，亦称“类的代数”。
他还创立了“命题代数”，而这两种代数是今天数理逻辑的基本部分，即有名的“布尔代数”。
数理逻辑
数理逻辑的发展前期
(4)布尔(G. Boole, 1815~1864)代数：将有 布尔(G 1815~1864)代数： 布尔(G. 关数学运算的研究的代数系统推广到逻辑 领域， 布尔代数既是一种代数系统， 领域 ， 布尔代数既是一种代数系统 ， 也是 一种逻辑演算。 一种逻辑演算。
数理逻辑的奠基时期
第1章
内容提要： 内容提要：
命题逻辑
1. 命题逻辑的基本概念、命题联结词 命题逻辑的基本概念、 2. 命题公式、自然语言的形式化 命题公式、 3. 命题公式的等值和蕴含 4. 范式 5. 联结词的完备集 6. 推理理论 7. 命题逻辑在计算机科学中的应用
1.1 命题与联结词
1.1.1 命题与命题变元
1.1 命题与联结词
定义1.2 真值确定的原子命题称为命题常 定义1.2 真值确定的原子命题称为命题常 元（Propositional Constant），真值不 ） 确定的原子命题称为命题变元 确定的原子命题称为命题变元 （Propositional Variable）。 ） 如果命题符号P 如果命题符号P代表命题常元则意味它 是某个具体命题的符号化，如果P 是某个具体命题的符号化，如果P代表命题 变元则意味着它可指代任何具体命题。 变元则意味着它可指代任何具体命题。如 果没有特别指明，通常来说命题符号P 果没有特别指明，通常来说命题符号P等是 命题变元，即可指代任何命题。 命题变元，即可指代任何命题。
数理逻辑的奠基时期
逻辑演算的发展： 甘岑(G Gentzen)的自 (G. 逻辑演算的发展 ： 甘岑 (G. Gentzen) 的自 然 推 理 系 统 (Natural Deduction System) ， 逻辑演算的元理论： 公理的独立性、 逻辑演算的元理论 ： 公理的独立性 、 一致 完全性等。 性、完全性等。 各种各样的非经典逻辑的发展：路易斯 1883~1964) 的模态逻辑， (Lewis, 1883~1964) 的模态逻辑 ， 实质 蕴含怪论和严格蕴含、 相干逻辑等， 蕴含怪论和严格蕴含 、 相干逻辑等 ， 卢卡 西维茨的多值逻辑等。 西维茨的多值逻辑等。
数理逻辑史简析
中国的哲学与数学
• 《九章算术》成书约在东汉初期( 约公元1 世 纪), 作为教材在民间流传. 魏晋时期的刘徽在 魏陈留王景元四年( 公元263 年) 完成了《九 章算术》注
• 在推求圆周率的过程中, 刘徽巧妙地导出一个 普遍公式, 从正六边形一直推求至九十六边形, 得到圆周率在3.14附近(徽率, 阿基米德数)
直觉主义: 数学概念是自主的智力活动
• 人具有先天的直觉能力, 能肯定这样能一个一个 地把自然数构造出来. 因此, 数学对象是人靠智 力活动构造出来的
• 布劳维尔认为不能考虑自然数总体. 因为直觉 可以不能想象构造出全体自然数的过程, 因为那 需要无穷的时间
• 直觉主义认为, 数学的对象, 必须能像自然数那
(2) 如何理解 “ 数学的存在 ” ？ (3) 有没有实无穷和如何认识实无穷 ？ (4) 数学的基础是什么 ？
逻辑主义: 算术是逻辑的一部分
• 逻辑主义的主要人物是罗素和弗雷格都是柏 拉图主义的支持者
• 自然数是客观存在的. 在逻辑的基础上建立算 术, 进而建立整个数学, 以证明数学是逻辑学 的一个分支
理论？ • 中国哲学有什么样的作用？ • 直觉主义（构造主义）逻辑有什么样的作用？
数学背景: 思想的启蒙
• 数理逻辑: 一切用特制符号和数学方法来 研究处理演绎方法的理论,也被称为符号 逻辑
• 形式逻辑自亚里士多德起到17 世纪后期 Aristotle (前384-前322, 希腊) 已有2000 余年的历史
Russell (1872-1970, 英国)
数学背景: 第三次数学危机
• 1902 年6 月, 他给致力于把算术化归于集合和逻辑的弗雷格写了一 封信, 叙述了他发现的悖论. 在集合论中存在着大漏洞. 把集合论作 为算术的基础, 整个数学的基础, 这一想法遭到严重的打击
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莫比乌斯带
哲学背景: 柏拉图主义
• 柏拉图( 公元前427 - 前347 年) 是有很 大影响的古希腊唯心主义哲学家
• 柏拉图主义: 数学研究的对象尽管是抽 象的, 但是却是客观存在的. 而且它们 是不依赖于时间, 空间和人的思维而永 恒存在的. 数学家提出的概念不是创造, 而是对这种客观存在的描述
Leibniz (1588-1679, 德国)
• 德国唯理论哲学家和数学家莱布尼茨 ( 1646 - 1716 ) 被认为是数理逻辑的创 始人
• 思维的演算: 遇到争论, 双方可以把笔 拿在手中说: “让我们来算一下”, 就可 以把问题解决
• 表意的符号语言和思维的演算是莱氏 提出的重要思想, 这二者也正是现代数 理逻辑的特征
数学背景: 集合论(1870s)
• 集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理 论. 数学里遇到的无穷有: 无穷过程, 无穷 小和无穷大. 必须能作数学的处理, 能进行 运算, 这样的无穷才能算作数学的对象
• 对无穷集合来说, 如果把一一对应作为是 否相等的标准, 则一个无穷集就会和它自 己的真部分相等. 这是和有穷领域里人们 的常识以及数学知识 “ 全体大于部分 ” 相 矛盾的.如 直觉主义逻辑否定了“ 排中律 ”, “反证法 ” • 布劳维尔在自己观点的指导下开始了庞大的工程. 他建立了构造性的数学: 构
造性实数, 构造性集合论, 构造性微积分 • 在计算机出现后, 构造性数学有了大用场. 因为计算机只处理可构造出来的具
体符号串. 直觉主义派不但没使数学受到损害, 反而用构造性数学使这一领域 大大丰富了 • 我国著名数学家吴文俊教授指出, 中国古代数学是构造性数学. 在每个问题中 都力求给出构造性的解答. 他还指出: 由于计算机技术的发展, 构造性数学将 出现大发展, 甚至成为数学的主流
• 刘徽的割圆术, 就必须计算出圆内接正 24576 边形的面积
• 直到一千年后, 才有阿拉伯数学家阿尔 卡西打破祖冲之的记录
• 例如直径10 公里, 用密率算出的圆周只 比真值大不到3 毫米
祖冲之 公元429年─公元500年
中国哲学与数学
• 唐朝: 算经十书, 王孝通的《缉古算 经》需要学三年(三次方程代数解 法)
• (圆和方)……故折矩, 以为勾广三, 股修四, 径隅五 • 禹治洪水, 决流江河. 望山川之形, 定高下之势, 除
滔天之灾, 释昏垫之厄, 使东注于海而无浸逆. 乃勾 股之所由生(赵爽《周髀算经》注) • 古时认为数出自“两仪”, 即阴阳之类, 表述事物的 两面性, 如正与反 • 古希腊毕达哥拉斯在商高六百年后才发现勾股定 理
中国的哲学与数学
• 《九章算术》成书约在东汉初期( 约公元1 世 纪), 作为教材在民间流传. 魏晋时期的刘徽在 魏陈留王景元四年( 公元263 年) 完成了《九 章算术》注
• 在推求圆周率的过程中, 刘徽巧妙地导出一个 普遍公式, 从正六边形一直推求至九十六边形, 得到圆周率在3.14附近(徽率, 阿基米德数)
形式主义: 把数学化为关于有限符号排列的操作
• 形式主义是一种唯心主义的形而上学观点
• 形式主义是支持柏拉图主义的. 目的是通过形 式化为柏拉图主义数学建立稳固可靠的基础. 形式主义者主张使用符号推演代替语言, 而符 号的使用方法要靠约定的规则
• 希尔伯特建立了元数学- 形式系统的数学
• 两大目标: 形式数学系统的完全性, 协调性
• 数学结论的客观性, 一个方程有多少根, Plato (前427－前347年, 希腊) 有哪几个根, 是客观的
哲学背景: 康德 (德国古典哲学)
Kant (1724-1804, 德国)
• 数是思维创造的抽象实体
• 康德把人的先天认识能力分为感性, 知 性和理性三种. 感性是掌握数学知识的 能力, 知性是掌握物理学知识的能力, 理 性企图超越现象世界去认识 “ 什么自在 之物 ”, 结果什么也得不到
• 康德认为人的先天感性直观形式有两种: 时间和空间. 用先天的时间观念整理关 于事物的多与少的经验, 便创造了数的 概念. 用先天的空间概念整理关于事物 的形状的经验, 便创造出了几何公理
三大学派
• 在1900 年后几年内, 数学基础问题的讨论和争议已经 展开. 当时主要的问题为:
(1) 如何解决已发现的悖论和如何进一步保证在公理系 统中不出现任何形式的自相矛盾 ？
直觉主义: 数学概念是自主的智力活动
• 人具有先天的直觉能力, 能肯定这样能一个一个 地把自然数构造出来. 因此, 数学对象是人靠智 力活动构造出来的
• 布劳维尔认为不能考虑自然数总体. 因为直觉 可以不能想象构造出全体自然数的过程, 因为那 需要无穷的时间
• 直觉主义认为, 数学的对象, 必须能像自然数那
数学背景: 数理逻辑的发展
• 第一阶段: 用数学方法研究和处理形式逻辑 • 从17 世纪70 年代的莱布尼茨到19 世纪末叶的布尔 , 德摩根, 施履德
等共延续了约二百年,其成果是逻辑代数和关系逻辑 • 第二阶段: 研究数学思想方法和数学基础问题 • 19 世纪中叶起, 康托尔, 希尔伯特, 弗雷格, 皮亚诺, 罗素, 布劳维尔等
(2) 如何理解 “ 数学的存在 ” ？ (3) 有没有实无穷和如何认识实无穷 ？ (4) 数学的基础是什么 ？
逻辑主义: 算术是逻辑的一部分
• 逻辑主义的主要人物是罗素和弗雷格都是柏 拉图主义的支持者
• 自然数是客观存在的. 在逻辑的基础上建立算 术, 进而建立整个数学, 以证明数学是逻辑学 的一个分支
• 如果能推出所有的真命题, 就说这个系统是完 全的
• 如果推不出矛盾, 就说这个形式系统是协调的
Hilbert (1862 – 1943, 德国)
哥德尔不完备定理
哥德尔和王浩 (左哥德尔)
• 遗憾的是, 在1931 年哥德尔不完备 定理说明了希尔伯特的构想是不可 能实现的
• 青年数学家哥德尔在1931 年发表了 一条定理: 在包含了自然数的任一 形式系统中, 一定有这样的命题, 它 是真的, 但不能被证明(系统协调)
Cantor (1845-1918, 德国)
数学背景: 第三次数学危机
• 1900 年在巴黎召开的第二次国际数学会议上, 庞加莱宣称: “数学的严格性到今天可以说已经 达到了”, 因为利用集合论可以定义自然数与实 数, 从而建立极限论, 为数学分析奠定了基础
• 罗素( 1872 - 1970 ), 英国著名的哲学家, 数学家 和社会改革家在会上结识了皮亚诺并得到很大 的启发. 两年后, 罗素准备《数学原理》的书稿 时, 发现一个悖论: 不以自己为元素的集合. 它 是不是自己的元素？
• 英国的唯物主义哲学家霍布士1655 年就 曾提出过这样的思想. 他说, 推理好像算术 中的加法和减法一样, 思维是可以计算的
• 符号逻辑这个名词是在数理逻辑发展的
Hobbes (1588-1679, 英国)
初期19 世纪80 年代提出的( 1881 年英国 逻辑学家文恩J. Venn)
数学背景: 数理逻辑的创立
• 长期以来,数学家和哲学家总觉得, 数学的真理总是可以证明的. 哥德 尔定理表明, “真”与“可证”是两回事
争论的结果: 计算机理论的产生
• 对数的本质的研究, 对数学对象本质的研究, 促进了数学基础和数学哲 学的大发展. 但是对“什么是数？ ” “ 数学的真理意味着什么？ ”这样的 问题, 依然没有一致的回答
数理逻辑史简析
——直觉主义逻辑
2010.12.16
主要内容
• 数学背景 - 莱布尼茨 - 第三次数学危机
• 哲学背景
- 柏拉图主义 - 康德的哲学
• 三大学派
- 逻辑主义 - 直觉主义 - 形式主义
• 中国的哲学与数学
- 周公问数 - 密率、徽率 - 算经十书 - 太极
思考
• 数的本质是什么？ • 思想有什么样的作用？ • 西方世界在第三次数学危机后如何产生了计算机
左图为二战德军使用的Enigma 右图为2008年Bletchley Park博物馆复制的 “图灵炸弹”, 原机二战后秘密销毁
中国的哲学与数学
周公问数 大禹治水
• 公元前1046年, 武王伐商, 建立了周朝. 武王驾崩后, 儿子姬诵年幼, 便由叔叔姬旦( 史称周公) 辅佐执政
• 窃闻乎大夫善数也, 请问古者包牺立周天历度. 夫 天不可阶而生, 地不可得尺寸而度, 请问数安从出?
Russell (1872-1970, 英国)
数学背景: 第三次数学危机
• 1902 年6 月, 他给致力于把算术化归于集合和逻辑的弗雷格写了一 封信, 叙述了他发现的悖论. 在集合论中存在着大漏洞. 把集合论作 为算术的基础, 整个数学的基础, 这一想法遭到严重的打击
• 弗雷格迅速给罗素回了信. 他说:“ 哎呀! 算术动摇了. ”弗雷格后来 甚至于放弃了他的从逻辑导出数学的说法
• 宋朝: 沈括《梦溪笔谈》, 秦九韶 “ 大衍求一术 ”
• 元朝: 阿拉伯数字, 朱世杰“ 三次内 插公式 ”《四元玉鉴》
• 1980年, 梁宗巨( 1942 - 1995年) 在 《世界数学史简编》中说: “自古以 来, 我国就是一个数学的先进国家, 但是朱世杰之后, 我国数学突然出 现中断的现象, 从朱世杰后的三个 世纪, 没有重要的创作.”
理论？ • 中国哲学有什么样的作用？ • 直觉主义（构造主义）逻辑有什么样的作用？
数学背景: 思想的启蒙
• 数理逻辑: 一切用特制符号和数学方法来 研究处理演绎方法的理论,也被称为符号 逻辑
• 形式逻辑自亚里士多德起到17 世纪后期 Aristotle (前384-前322, 希腊) 已有2000 余年的历史
• 弗雷格的工作, 由于罗素悖论的出现而受到挫 折. 罗素和怀海德从头重新做起, 建立了庞大 的结构, 总算实现了把算术还原为逻辑, 或者 说, 还原为集合论. 但为了使自己的层次理论 不太复杂, 罗素最后提出了一个“ 可化归公 理 ”. 这样, 就不是完全在逻辑上建立算术了