数理逻辑史简析

• 弗雷格的工作, 由于罗素悖论的出现而受到挫 折. 罗素和怀海德从头重新做起, 建立了庞大 的结构, 总算实现了把算术还原为逻辑, 或者 说, 还原为集合论. 但为了使自己的层次理论 不太复杂, 罗素最后提出了一个“ 可化归公 理 ”. 这样, 就不是完全在逻辑上建立算术了
Frege(1848-1925, 德国)
的“日方中方睨, 物方生方死”, “一尺之棰, 日取 其半, 万世不竭”
莫比乌斯带
哲学背景: 柏拉图主义
• 柏拉图( 公元前427 - 前347 年) 是有很 大影响的古希腊唯心主义哲学家
• 柏拉图主义: 数学研究的对象尽管是抽 象的, 但是却是客观存在的. 而且它们 是不依赖于时间, 空间和人的思维而永 恒存在的. 数学家提出的概念不是创造, 而是对这种客观存在的描述
• 数学结论的客观性, 一个方程有多少根, Plato (前427－前347年, 希腊) 有哪几个根, 是客观的
哲学背景: 康德 (德国古典哲学)
Kant (1724-1804, 德国)
• 数是思维创造的抽象实体
• 康德把人的先天认识能力分为感性, 知 性和理性三种. 感性是掌握数学知识的 能力, 知性是掌握物理学知识的能力, 理 性企图超越现象世界去认识 “ 什么自在 之物 ”, 结果什么也得不到
• 长期以来,数学家和哲学家总觉得, 数学的真理总是可以证明的. 哥德 尔定理表明, “真”与“可证”是两回事
争论的结果: 计算机理论的产生
• 对数的本质的研究, 对数学对象本质的研究, 促进了数学基础和数学哲 学的大发展. 但是对“什么是数？ ” “ 数学的真理意味着什么？ ”这样的 问题, 依然没有一致的回答
中国的哲学与数学
• 《九章算术》成书约在东汉初期( 约公元1 世 纪), 作为教材在民间流传. 魏晋时期的刘徽在 魏陈留王景元四年( 公元263 年) 完成了《九 章算术》注
• 在推求圆周率的过程中, 刘徽巧妙地导出一个 普遍公式, 从正六边形一直推求至九十六边形, 得到圆周率在3.14附近(徽率, 阿基米德数)
• 如果能推出所有的真命题, 就说这个系统是完 全的
• 如果推不出矛盾, 就说这个形式系统是协调的
Hilbert (1862 – 1943, 德国)
哥德尔不完备定理
哥德尔和王浩 (左哥德尔)
• 遗憾的是, 在1931 年哥德尔不完备 定理说明了希尔伯特的构想是不可 能实现的
• 青年数学家哥德尔在1931 年发表了 一条定理: 在包含了自然数的任一 形式系统中, 一定有这样的命题, 它 是真的, 但不能被证明(系统协调)
样明显地用有限步骤构造出来, 才可以认为是存
在的. 全体自然数, 全体实数, 统统无法考虑, 因
为构造不出来. 因此, 他们主张一种 “ 构造性数 学 ”. 于是, 直觉主义也被叫做构造主义
Brouwer (1881 – 1966, 荷兰)
直觉主义
• 这种否定实无穷的观点, 最早可以追溯到亚里士多德. 在数学家当中, 康托尔的 老师柯朗尼克也反对无穷集的观点, 主张数学研究的对象一定要能够在有限 步骤之内构造出来. 构造不出来的就不存在
数理逻辑史简析
——直觉主义逻辑
2010.12.16
主要内容
• 数学背景 - 莱布尼茨 - 第三次数学危机
• 哲学背景
- 柏拉图主义 - 康德的哲学
• 三大学派
- 逻辑主义 - 直觉主义 - 形式主义
• 中国的哲学与数学
- 周公问数 - 密率、徽率 - 算经十书 - 太极
思考
• 数的本质是什么？ • 思想有什么样的作用？ • 西方世界在第三次数学危机后如何产生了计算机
• (圆和方)……故折矩, 以为勾广三, 股修四, 径隅五 • 禹治洪水, 决流江河. 望山川之形, 定高下之势, 除
滔天之灾, 释昏垫之厄, 使东注于海而无浸逆. 乃勾 股之所由生(赵爽《周髀算经》注) • 古时认为数出自“两仪”, 即阴阳之类, 表述事物的 两面性, 如正与反 • 古希腊毕达哥拉斯在商高六百年后才发现勾股定 理
Cantor (1845-1918, 德国)
数学背景: 第三次数学危机
• 1900 年在巴黎召开的第二次国际数学会议上, 庞加莱宣称: “数学的严格性到今天可以说已经 达到了”, 因为利用集合论可以定义自然数与实 数, 从而建立极限论, 为数学分析奠定了基础
• 罗素( 1872 - 1970 ), 英国著名的哲学家, 数学家 和社会改革家在会上结识了皮亚诺并得到很大 的启发. 两年后, 罗素准备《数学原理》的书稿 时, 发现一个悖论: 不以自己为元素的集合. 它 是不是自己的元素？
理论？ • 中国哲学有什么样的作用？ • 直觉主义（构造主义）逻辑有什么样的作用？
数学背景: 思想的启蒙
• 数理逻辑: 一切用特制符号和数学方法来 研究处理演绎方法的理论,也被称为符号 逻辑
• 形式逻辑自亚里士多德起到17 世纪后期 Aristotle (前384-前322, 希腊) 已有2000 余年的历史
左图为二战德军使用的Enigma 右图为2008年Bletchley Park博物馆复制的 “图灵炸弹”, 原机二战后秘密销毁
中国的哲学与数学
周公问数 大禹治水
• 公元前1046年, 武王伐商, 建立了周朝. 武王驾崩后, 儿子姬诵年幼, 便由叔叔姬旦( 史称周公) 辅佐执政
• 窃闻乎大夫善数也, 请问古者包牺立周天历度. 夫 天不可阶而生, 地不可得尺寸而度, 请问数安从出?
数学背景: 数理逻辑的发展
• 第一阶段: 用数学方法研究和处理形式逻辑 • 从17 世纪70 年代的莱布尼茨到19 世纪末叶的布尔 , 德摩根, 施履德
等共延续了约二百年,其成果是逻辑代数和关系逻辑 • 第二阶段: 研究数学思想方法和数学基础问题 • 19 世纪中叶起, 康托尔, 希尔伯特, 弗雷格, 皮亚诺, 罗素, 布劳维尔等
• 刘徽的割圆术, 就必须计算出圆内接正 24576 边形的面积
• 直到一千年后, 才有阿拉伯数学家阿尔 卡西打破祖冲之的记录
• 例如直径10 公里, 用密率算出的圆周只 比真值大不到3 毫米
祖冲之 公元429年─公元500年
中国哲学与数学
• 唐朝: 算经十书, 王孝通的《缉古算 经》需要学三年(三次方程代数解 法)
Russell (1872-1970, 英国)
数学背景: 第三次数学危机
• 1902 年6 月, 他给致力于把算术化归于集合和逻辑的弗雷格写了一 封信, 叙述了他发现的悖论. 在集合论中存在着大漏洞. 把集合论作 为算术的基础, 整个数学的基础, 这一想法遭到严重的打击
• 弗雷格迅速给罗素回了信. 他说:“ 哎呀! 算术动摇了. ”弗雷格后来 甚至于放弃了他的从逻辑导出数学的说法
直觉主义: 数学概念是自主的智力活动
• 人具有先天的直觉能力, 能肯定这样能一个一个 地把自然数构造出来. 因此, 数学对象是人靠智 力活动构造出来的
来自百度文库
• 布劳维尔认为不能考虑自然数总体. 因为直觉 可以不能想象构造出全体自然数的过程, 因为那 需要无穷的时间
• 直觉主义认为, 数学的对象, 必须能像自然数那
• 英国的唯物主义哲学家霍布士1655 年就 曾提出过这样的思想. 他说, 推理好像算术 中的加法和减法一样, 思维是可以计算的
• 符号逻辑这个名词是在数理逻辑发展的
Hobbes (1588-1679, 英国)
初期19 世纪80 年代提出的( 1881 年英国 逻辑学家文恩J. Venn)
数学背景: 数理逻辑的创立
形式主义: 把数学化为关于有限符号排列的操作
• 形式主义是一种唯心主义的形而上学观点
• 形式主义是支持柏拉图主义的. 目的是通过形 式化为柏拉图主义数学建立稳固可靠的基础. 形式主义者主张使用符号推演代替语言, 而符 号的使用方法要靠约定的规则
• 希尔伯特建立了元数学- 形式系统的数学
• 两大目标: 形式数学系统的完全性, 协调性
• 直觉主义逻辑否定了“ 排中律 ”, “反证法 ” • 布劳维尔在自己观点的指导下开始了庞大的工程. 他建立了构造性的数学: 构
造性实数, 构造性集合论, 构造性微积分 • 在计算机出现后, 构造性数学有了大用场. 因为计算机只处理可构造出来的具
体符号串. 直觉主义派不但没使数学受到损害, 反而用构造性数学使这一领域 大大丰富了 • 我国著名数学家吴文俊教授指出, 中国古代数学是构造性数学. 在每个问题中 都力求给出构造性的解答. 他还指出: 由于计算机技术的发展, 构造性数学将 出现大发展, 甚至成为数学的主流
• 狄德金闻讯后, 把他的《什么是数》的再版推迟 • 罗素则直到1908 年找到解决悖论的类型论后, 才出版他的《数学
原理》
数学背景: 悖论
• 悖论是一种认识矛盾, 它既包括逻辑矛盾, 语义 矛盾, 也包括思想方法上的矛盾. 数学悖论作为 悖论的一种, 主要发生在数学研究中
• 古希腊说谎者悖论,阿基里斯追龟悖论 • 战国时期逻辑学家惠施（约370B.C. - 318B.C.）
• 在弓形面积的计算中, 刘徽又一次运用了极限 思想, 用 “ 割弧术 ” 进行面积逼近. “ 割之又割, 使至极细 ”
刘徽(生于公元250年左右)
中国哲学与数学
• 《隋书》记述了祖冲之的圆周率值, 准 确至小数点后七位;提出一个具有世界水 平的密率值355/113. 这个准确至小数点 后七位的数
Leibniz (1588-1679, 德国)
• 德国唯理论哲学家和数学家莱布尼茨 ( 1646 - 1716 ) 被认为是数理逻辑的创 始人
• 思维的演算: 遇到争论, 双方可以把笔 拿在手中说: “让我们来算一下”, 就可 以把问题解决
• 表意的符号语言和思维的演算是莱氏 提出的重要思想, 这二者也正是现代数 理逻辑的特征
人奠定了它的理论基础, 创建了特有的新方法, 成长为一门新学科. 其 成果是集合论, 公理化方法, 逻辑演算, 证明论
• 第三阶段: 研究逻辑系统的完全性, 协调性, 计算机理论等 • 1931 年哥德尔发表不完备性定理至今. 本阶段数理逻辑的主要内容大
致可以分为五个方面: 逻辑演算, 证明论, 公理集合论, 递归论, 模型论
• 不同观点的数学家, 沿着自己选定的道路前进, 发现大家不约而同地到 达同一个地方: 数学研究的对象是一些关系与形式,这些关系与形式可 以用有限符号来表达, 它又能包含着无限丰富的内容
• 数学的研究对象是抽象的形式与关系 • 各派最后都导致对“算法”的研究, 在此研究基础上出现了计算机理论
早期计算机雏形
数学背景: 集合论(1870s)
• 集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理 论. 数学里遇到的无穷有: 无穷过程, 无穷 小和无穷大. 必须能作数学的处理, 能进行 运算, 这样的无穷才能算作数学的对象
• 对无穷集合来说, 如果把一一对应作为是 否相等的标准, 则一个无穷集就会和它自 己的真部分相等. 这是和有穷领域里人们 的常识以及数学知识 “ 全体大于部分 ” 相 矛盾的.如果以“和真部分一一对应”为悖论, 就必须否认实无穷
(2) 如何理解 “ 数学的存在 ” ？ (3) 有没有实无穷和如何认识实无穷 ？ (4) 数学的基础是什么 ？
逻辑主义: 算术是逻辑的一部分
• 逻辑主义的主要人物是罗素和弗雷格都是柏 拉图主义的支持者
• 自然数是客观存在的. 在逻辑的基础上建立算 术, 进而建立整个数学, 以证明数学是逻辑学 的一个分支
• 康德认为人的先天感性直观形式有两种: 时间和空间. 用先天的时间观念整理关 于事物的多与少的经验, 便创造了数的 概念. 用先天的空间概念整理关于事物 的形状的经验, 便创造出了几何公理
三大学派
• 在1900 年后几年内, 数学基础问题的讨论和争议已经 展开. 当时主要的问题为:
(1) 如何解决已发现的悖论和如何进一步保证在公理系 统中不出现任何形式的自相矛盾 ？
• 宋朝: 沈括《梦溪笔谈》, 秦九韶 “ 大衍求一术 ”
• 元朝: 阿拉伯数字, 朱世杰“ 三次内 插公式 ”《四元玉鉴》
• 1980年, 梁宗巨( 1942 - 1995年) 在 《世界数学史简编》中说: “自古以 来, 我国就是一个数学的先进国家, 但是朱世杰之后, 我国数学突然出 现中断的现象, 从朱世杰后的三个 世纪, 没有重要的创作.”