初中数学竞赛辅导讲义(初三)

1 初中数学竞赛辅导讲义（初三）

第一讲 分式的运算

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1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。

2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。

3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。

[例题选讲]

例1．化简2312++x x + 6512++x x + 1271

2++x x

解：原式= )2)(1(1

++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1

++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41

+x

=)4)(1(3

++x x

例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x

z z y y x )

)()((+-+的值。

2

解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩

⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3

=-1 例3．设 12+-mx x x =1，求 1

2242

+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x m x x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x

- ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2

= 2ｍ -1 ∴原式=121-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2

+1整除，求ａ的值。 解：

3 13313232+++++x ax x X a

x

1- ａ=0 ∴ ａ=1

例5：设ｎ为正整数，求证

311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1

+-n n ＜ 21

证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51

+ …… + 121

-n - 121

+n ）

a

a

ax ax x

O x -++++11

33223

4 =2

1（1- 121+n ） ∵n 为正整数，∴

121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 2

1

[小结归纳]

1、部分分式的通用公式：)

(1k x x + = k 1 （x 1 - k x +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用

5 同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。

3、整体代换及倒数法是分式的的求值中常用的方法， 应熟练掌握。

[巩固练习]

1、若分式12

22-+m m 的值是正整数， 则整数m= 。

2、若1432a a a a ++ = 2431a a a a ++ = 3421a a a a ++ = 4

3

21a a a a ++ =ｋ

则k= 。

3、已知a 2-3b 2 = 2ab .(a ＞0，b ＞0),则b a b a -+2 = .

6 4、已知a 、b 、c 是有理数，且b a ab

+=31，c b bc

+ = 41，a c ca

+= 51，则ca bc ab abc

++= 。

5、若x 1 - y 1 = 2006，则y xy x y

xy

x 260192-+++-= 。

6、实数a 、b 满足ab=1，设A = a +11 +b +11

，B=a +1a + b +1b

+1，则A 、B 的关系

为 。

7、当ａ、ｂ、ｃ为何值时，多项式b ax x x x =++-23433能被除数232+-x x 整除？

8、计算 2007200720072007

2007752115++ = 。

9、已知)3)(23(322-+--+x x x x x = 1A -X + 2B -X + 3C

-X ， 求A 、B 、C 的值。

7 10、若对于±3以外的一切实数X ，等式3+x m - 3-x n = 982-x x

均成立，则mn =

11、已知b a = c b = a c ，则c b a c

b a +--+ = 。

第二讲 分式方程及应用

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1、 解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程；

2、 解分式的方程的常用方法有：换元法、整体法、通分法等；

3、 分式方程广泛应用于生活实际中，要注意未知数的值既要是原方程的根，又要与实际意义相符。

8 [例题选讲]

例1． 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---+=-++66

10

9

18

5

2x y y x y x y x 分析：令y x +1 =m, y x -1 =n ,则⎩⎨⎧=+=+66

10918

52n m n m 可得：⎪⎩⎪⎨⎧==566n m 易求：⎪⎪

⎩⎪⎪⎨⎧-==3

12

1

y x

例2． 解方程730

468157264-----=-----x x

x x x x x x 解：原方程可化为61

71

11

21---=---x x x x