第三部分扭转

(2)矩形Baidu Nhomakorabea面杆
矩形截面杆扭转时，由切应力互等定理可知，横截面周边上的切应力和周边相切，角点处切应力为零。横截面上最大切应力发生在长边的中点处。
设矩形截面杆长为l，承受扭矩T，矩形截面的长为h，宽为b。
最大切应力
杆两端的相时扭转角
式中α，β是与长宽比h/b相关的系数，计算时可查阅有关手册。
当长宽比 时，称为狭长矩形，α，β可近似为1/3。
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线，这就是切应力互等定理。
5、切应变剪切虎克定律
对于纯剪切的单元体，其变形是相对两侧面发生的微小错动，以γ来度量错动变形程度，即称切应变。
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力τ和切应变γ成正比，即
当两截面之间的扭矩或GIp为变量时则应通过积分或分段计算各段的扭转角，并求其代数和，即为全杆的扭转角。
单位长度扭转角 （rad/m）
把弧度换算为度，圆杆扭转时的刚度条件为
（0/m）
8、非圆截面杆的扭转
(1)非圆截面杆扭转的概念
非圆截面杆在扭转变形后横截面不再是平面，变成一个曲面并发生翘曲，这是非圆截面杆扭转时的一个重要特征。由于截面的翘曲，平面假设不再成立，因而圆杆的扭转公式不能应用于非圆截面杆。
己知各轮承担的扭矩后，由截面法可得各截面的扭矩，扭矩图如图。从扭矩图可知，最大扭矩应在DA、AB段，为
最大剪应力为
强度条件为
得到
(1)
由于轴为等截面的，最大单位长度的扭转角也应在DA、AB段，等圆截面杆的单位长度的扭转角
刚度条件为
得
(2)
从式(1)和式(2)中选择较大的作为轴的直径，可同时满足刚度和强度条件，轴的直径
τ=Gγ
G称材料的剪切弹性模量，常用单位是GPa。
6、圆杆扭转时的应力和强度计算
(1)圆杆扭转时，横截面上的切应力垂直于半径，并沿半径线性分布，距圆心为ρ处的切应力为
式中T为横截面的扭矩，Ip为截面的极惯性矩。
(2)圆形截面极惯性矩和抗扭截面系数
实心圆截面 ， （D为直径）
空心圆截面 ，
（D为外径，d为内径， ）
d=31mm
二、计算题
一为实心、一为空心的两根圆轴，材料、长度和所受外力偶均一样，实心直径d1，空心轴外径D2、内径d2，内外径之比α=d2/D2=0.8。若两轴重量一样，试求两轴最大相对扭转角之比。
解：两轴材料、重量和长度一样，则截面积也一样A1=A2，即
可得
因承受的外力偶矩相同，两轴截面上扭矩也应相等T1=T2。
二、重点与难点
1、受扭杆件所受的外力偶矩，常由杆件所传递的功率及其转速来换算。
2、圆杆扭转时，横截面上切应力沿半径线性分布，并垂直于半径，最大切应力在外表面处。
3、低碳钢材料圆杆扭转破坏时，将沿横截面被剪断。铸铁材料圆杆扭转破坏时，将沿与杆轴线成450螺旋面被拉断。
三、解题方法要点
1、
2、
4.2典型题解
实心轴和空心轴最大相对扭转角分别是
式中，l为轴的长度。故两轴最大相对扭转角之比
将 代入上式，则
再将α＝0.8代入上式，得
可见，空心轴的扭转角远小于实心轴的。因此，采用空心圆轴不仅强度高，而且刚度也远优于实心圆轴。
三、计算题
两个受扭薄壁杆截面，一个是开有纵向细缝的开口薄壁圆环，另一个是闭口薄壁圆环，如图所示。两杆的材料相同，尺寸相同，平均直径D=40mm，壁厚t=2mm，长度为l。两杆承受的扭矩相同。试求两杆最大切应力之比及扭转角之比。
铸铁材料抗压能力最强，抗剪能力次之，抗拉能力最差，因而铸铁材料圆杆扭转破坏是沿与杆轴线约成450的斜截面被拉断的。
7、圆杆扭转时的变形和刚度计算
圆杆扭转时的变形用一个横截面相对另一个横截面转过的角度 来度量，称为扭转角。
长度为l的等截面圆杆承受扭矩Mn时，圆杆两端的相对扭转角
（rad）
式中GIp称为圆杆的抗扭刚度。
一、计算题
等截面传动轴的转速n=150r/min，由A转输入功率NA=8kW，由B、C、D各轮输出功率分别为NB=3kW，NC=1kW，ND=4kW。己知轴的许用剪应力[τ]=60MPa，剪切弹性模量G=80GPa，[θ]=20/m。要求首先安排各轮的位置，然后绘出传动轴的扭矩图，并确定轴的直径。
解：四轮各位置如图，其中A轮应放在轴的中间位置，使得从A轮输入的扭矩由该轮的两侧分担，不会使轴的某段承担输入的全部扭矩。根据功率转化为扭矩关系，A、B、C、D各点的扭矩
3、扭矩和扭矩图
圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩，用T表示。扭矩的正负号，按右手螺旋法则判定。如扭矩矢量与截面外向法线一致，为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法。扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似
4、纯剪切切应力互等定理
单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力，此种单元体发生的变形称为纯剪切。
4.3 练习题
一、概念题
1、问答题
低碳钢、铸铁及木材（顺纹方向与轴线平行）的圆棒两端受力偶作用，如图所示，直到破坏。试画出三种棒破坏时裂纹的方向，并说明为什么从此方向破坏。
解(1)开口薄壁圆环
开口薄壁圆环可以看成一个长为 、宽为t的狭长矩形，则最大切应力
扭转角
(2)闭口薄壁圆环
最大切应力
扭转角
对于薄壁圆环，Ip可以写成
因此
(3)两杆最大切应力之比
两杆扭转角之比
讨论：由本题的计算结果可以看出，闭口薄壁圆环的切应力及扭转角要比开口薄壁圆环小得多，因而在薄壁构件中应尽量采用闭口薄壁杆件。
(3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处
式中Wt=Ip/R，称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。
圆杆扭转时的强度条件
(4)圆杆扭转时，圆杆各点处于“纯剪切”应力状态，如图3—1所示。其最大拉应力、最大压应力和最大切应力数值相等。
低碳钢材料抗拉与抗压的屈服强度相等，抗剪能力较差，所以低碳钢材料圆杆扭转破坏是沿横截面被剪断的。
第三部分扭转
4.1预备知识
一、基本概念
1、扭转变形
扭转变形是杆件的基本变形之一，扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴。此时，截面B相对于截面A转了一个角度 ，称为扭转角。同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度 变为螺旋线， 称为剪切角。
2、外力偶
杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩 。