线性控制理论总复习(2012)
线性系统理论复习题纲
《线性系统理论基础》复习提纲第1章线性系统的状态空间描述1、基本概念状态（向量）状态空间状态轨迹状态空间模型（表示）状态方程、输出方程系统矩阵、控制矩阵、前馈矩阵、输出矩阵状态结构（方框）图线性系统时不变（定常）系统、时变系统连续时间系统、离散时间系统 状态线性变换矩阵的特征值、矩阵的特征向量 对角线标准型、约当标准型 模态标准型 正则型矩阵 范德蒙矩阵 传递函数矩阵2、知识要点%%知识点1：根据物理规律建立状态空间模型♦ 简单机械系统 ♦简单电气系统参考例题：例2.1.1，例2.1.2（P8）%%知识点2：微分方程模型转化为状态空间模型♦微分方程中不含输入导数项给定 ()(1)110n n n y a ya y a y bu --++++=&L ，选取状态向量12(1)n n x y x y x y -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&M M ， 则有状态方程： 1122011010010n n n x x x x u x a a a x b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&M O M M M&L输出方程： []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x y M Λ21001 例2.1.3 (注意：方框图在没有要求时可以不画出) ♦微分方程中包含输入函数导数项，且m n <给定()(1)()(1)110110n n m m n m m ya y a y a yb u b u b u b u ----++++=++++&&L L ，m n <,将其转化为()(1)110()(1)110n n n m m m m y a y a y a y u y b yb y b y b y ----⎧++++=⎪⎨=++++⎪⎩&%%%%L &%%%%L ，选取状态向量12(1)n n x yx y x y-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦%&%M M %，则有状态方程 120110100101n n x x u x a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&M O M M &L 输出方程 12011[,,,,0,,0]m n m n x x y b b b x --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L 123M例2.1.4 ♦ 微分方程中包含输入函数导数项，且n m =若()(1)()(1)110110n n n n n n n ya y a y a yb u b u b u b u ----++++=++++&&L L ，让n y y b u =-%，则转化为如下微分方程的形式()(1)(1)(1)110111100()()()n n n n n n n n n y a y a y a y b a b u b a b u b a b u -----++++=-++-+-%%%%&L L 。
(完整word版)现代控制理论复习题库
一、选择题1.下面关于建模和模型说法错误的是( C )。
A．无论是何种系统，其模型均可用来提示规律或因果关系。
B．建模实际上是通过数据、图表、数学表达式、程序、逻辑关系或各种方式的组合表示状态变量、输入变量、输出变量、参数之间的关系。
C．为设计控制器为目的建立模型只需要简练就可以了。
D．工程系统模型建模有两种途径，一是机理建模，二是系统辨识。
2.系统()3()10()++=的类型是( B ) 。
y t y t u tA．集中参数、线性、动态系统。
B．集中参数、非线性、动态系统。
C．非集中参数、线性、动态系统。
D．集中参数、非线性、静态系统。
3.下面关于控制与控制系统说法错误的是( B )。
A．反馈闭环控制可以在一定程度上克服不确定性。
B．反馈闭环控制不可能克服系统参数摄动。
C．反馈闭环控制可在一定程度上克服外界扰动的影响。
D．控制系统在达到控制目的的同时，强调稳、快、准、鲁棒、资源少省。
x Pz说法错误的是( D )。
4.下面关于线性非奇异变换=A．非奇异变换阵P是同一个线性空间两组不同基之间的过渡矩阵。
B．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的特征值。
C．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的传递函数。
D．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的状态空间描述。
5.下面关于稳定线性系统的响应说法正确的是( A )。
A．线性系统的响应包含两部分，一部是零状态响应，一部分是零输入响应。
B．线性系统的零状态响应是稳态响应的一部分。
C．线性系统暂态响应是零输入响应的一部分。
D．离零点最近的极点在输出响应中所表征的运动模态权值越大。
6.下面关于连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是( A ) 。
A．能控且能观的状态空间描述一定对应着某些传递函数阵的最小实现。
B．能控性是指存在受限控制使系统由任意初态转移到零状态的能力。
C．能观性表征的是状态反映输出的能力。
D．对控制输入的确定性扰动影响线性系统的能控性，不影响能观性。
线性控制理论
研究
6．1 引言
综合问题的提法
系统的综合问题由受控系统，性能指标和控制输入三个要素组成。
对象
Ax Bu x(0) x0 t 0 0 : x y Cx
目标
手段 状态反馈输入：u (t) =－Kx(t)+(t) 输出反馈输入：u (t) =－Fy(t)+(t)
所谓系统综合，就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制u(t) ，使 所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标 。 系统综合 系统设计 工程设计－考虑各种实际问题
期望闭环极点为 1* 2 2* 1 j 3* 1 j 解：容易判断 系统能控
计算状态反馈阵K
0 0 0 s 3 18s 2 72s det(sI A) 1 s 6 0 1 s 12 0
0= 0，1= 72，2=18 计算由期望闭环极点组决定的特征多项式
3 2 (s) ( s * i ) ( s 2)(s 1 j )(s 1 j ) s 4s 6s 4 * i 1 3
0*= 4，1*= 6，2*=4
* * * k [ 0 0 ,1 1 , 2 2 ] [4,66,14]
理论“设计”－确定u(t)的形式和 构成
性能指标的类型 性能指标实质上是对所要综合的控制系统在运动过程行为上的一种规定。 （1）镇定问题 非优化型性能指标 (不等式型) （2）极点配置 （3）解耦控制 （4）跟踪问题
优化性型能指标 (极值型) 研究综合问题的思路 建立
J (u()) ( x T Qx uT Ru)dt
Step6：计算 Q = P
-1
P An 1b, , Ab, b
线性控制理论参考答案
线性控制理论参考答案线性控制理论参考答案线性控制理论是自动控制领域中的重要理论之一，它研究的是线性系统的建模、分析和控制方法。
在实际应用中，线性控制理论被广泛应用于工业自动化、航空航天、机器人等领域。
本文将从线性系统的基本概念、控制器设计和系统分析等方面，为读者提供一份线性控制理论参考答案。
1. 线性系统的基本概念线性系统是指系统的输入和输出之间存在线性关系的系统。
线性系统具有叠加性、齐次性和比例性等特点。
叠加性意味着系统对多个输入信号的响应可以通过对每个输入信号的响应的叠加来得到。
齐次性表示系统对于零输入信号的响应为零。
比例性意味着系统对于输入信号的响应与输入信号的幅度成比例。
2. 控制器设计控制器的设计是线性控制理论的核心内容之一。
常见的控制器设计方法包括比例控制、积分控制和微分控制。
比例控制是根据系统输出与期望输出之间的差异来调整系统输入的大小。
积分控制是根据系统输出与期望输出之间的积分误差来调整系统输入的大小。
微分控制是根据系统输出与期望输出之间的变化率来调整系统输入的大小。
3. 系统分析系统分析是线性控制理论的另一个重要内容。
系统分析的目的是评估系统的性能和稳定性。
常用的系统分析方法包括时域分析和频域分析。
时域分析是通过观察系统的时域响应来评估系统的性能和稳定性。
频域分析是通过将系统的输入和输出信号转换到频域来评估系统的性能和稳定性。
4. 线性控制理论的应用线性控制理论在实际应用中有着广泛的应用。
在工业自动化领域，线性控制理论被用于控制工业过程中的温度、压力、流量等参数。
在航空航天领域，线性控制理论被用于控制飞机的姿态和飞行轨迹。
在机器人领域，线性控制理论被用于控制机器人的运动和操作。
5. 线性控制理论的发展趋势随着科技的不断进步，线性控制理论也在不断发展。
目前，研究人员正在探索将线性控制理论与其他领域的理论相结合，如模糊控制、神经网络控制等。
同时，研究人员也在研究如何应用线性控制理论来解决非线性系统的控制问题。
线性系统理论复习提纲
线性系统理论复习提纲闭卷部分内容：（40分）题型：判断改错、填空、简答（证明，传递函数、特征值等计算）1、第一章P4：什么是线性系统？（，要求会证明）例子：是否线性系统？什么是定常系统？（参数不随时间变化）例子：和那个是定常系统？2、第二章P17：动态系统的内部和外部描述（外部——输入输出描述，内部——基于内部结构分析的数学模型）。
例子：传递函数是线性定常系统的外部描述模型还是内部描述模型？第2.5和2.6节：给定矩阵A，求特征多项式、特征值；转换为约当标准形。
例子：（特征值互异时）试求系统矩阵A的特征多项式、特征值，并转换为约当标准形。
例子：（存在重特征值时）试求系统矩阵A的特征多项式、特征值，并转换为约当标准形。
第2.7节：已知系统的状态空间描述（A，B，C，D），写出其传递函数表达式。
例子：试求系统的传递函数矩阵。
第2.8节：两个线性定常系统代数等价是什么意思？线性系统在坐标变换下，哪些量发生变化，哪些不变？例子：若，，，系统和是否代数等价？例子：坐标变换是否改变系统的传递函数？3、第三章第3.1节：已知系统的状态空间描述为（A，B，C，D），写出其状态响应和输出响应表达式，并指出哪部分是零输入响应，哪部分是零初态响应。
第3.2节：特征值与状态响应模式的关系（P101 中间（1））。
例子：系统的运动模式是否存在振荡？第3.4节：给定（A, B, C, D），求其脉冲响应矩阵。
4、第四章第4.1节：简述状态和系统能控性的定义，并简单解释其物理意义。
第4.1节：简述状态和系统能观测性的定义，并简单解释其物理意义。
第4.2、4.3节：能控性和能观测性判别矩阵的形式（秩判据）。
例子：试判断系统是否完全能控、是否完全能观测。
第4.7节：能控和能观测规范形。
例子：判断对错并改正：完全能控的任意两个代数等价系统必具有相同的能控规范形。
完全能观测的任意两个代数等价系统必具有相同的能观测规范形。
5、第五章第5.1节：内部和外部稳定性的定义及其相互关系。
线性系统部分总复习(2015)
2
总复习：现代控制理论
二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 1. 根据系统机理建立状态空间表达式 2. 由系统输入输出描述建立状态空间表达式
能控标准型实现 能观测标准型实现
y = Cˆxˆ
中， Cˆ 中与同一特征值的各约当块对应的各子 块的第一列组成的矩阵是列线性无关的。
31
总复习：现代控制理论
四、对偶性
1.对偶系统考：虑连续时间线性时变系统
： x& A(t)x B(t)u y C(t)x
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ：
&T AT (t) T CT (t)T T BT (t) T
22
总复习：现代控制理论
1. 秩判据
线性定常系统
x&(t) Ax(t) Bu(t) x(0) x0 t 0
完全能控的充分必要条件是
rankQc rank BMABML MAn1B n
其中: n为矩阵A的维数，Qc BMABML MAn1B 称为系统的能控性判别阵。
注：秩判据是一种方便，应用广泛的判别方法。 23
0
Ac
M 0
0
1 O
1 L
1
n-1
0
bc
M
0
1
则称此状态空间描述为能控规范形。
33
总复习：现代控制理论
约当规范形
状态方程中的 系统矩阵A具 有分块对角形 的形式。
9
总复习：现代控制理论
1) 对角线规范形
2012重大考研自动控制辅导班资料-8章
(c)状态矩阵A为对角阵且对角元素互异时，输入矩阵C矩阵
无全零列。 (d)当A阵为约当阵且重特征值只对应一个约当块时，C阵中 对应互异特征值的列元素不全为零，与约当块最前面一列所对 应列的元素不全为零(相同特征值分布在不同约当块时不适用)。 (e)单输入系统为可控标准型或可化为可控标淮型。
第8章 现代控制理论基础
AB
An1 B n
(b)(sI-A)-1B的行向量线性无关；
(c)状态矩阵A为对角阵且对角元素互异时，输入矩阵B矩阵 无全零行。 (d)当A阵为约当阵且重特征值只对应一个约当块时，B阵
中对应互异特征值的行元素不全为零，与约当块最后一行所对
应行的元素不全为零(相同特征值分布在不同约当块时不适用)。 (e)单输入系统为可控标准型或可化为可控标淮型。
解：系统的可控判别矩阵为 ：
1 a 2 AB , 1 1 a 1； QC B C b 0 V , CA ab 2 b b 0； 系统可控,det B AB 1 (a 2) a 1 0.
A.状态可控可观 C.状态可控但不可观
2010年12月
B.状态不可控但可观 D.状态不可控且不可观
第8章 现代控制理论基础
1 0 1 1.单项选择题 x x u (5).已知系统的状态空间表达式为 0 2 0 ，那么该系 统其传递函数矩阵为（ C ）。 y 1 1 x A.G( s ) C(A sI)1 B B.G( s ) B(A sI)1 C
数矩阵，可控性，可观测性均不变)。
(3)对偶原理 若系统S1(A，B，C，D)和系统S2(AT，BT， CT，DT)互为 对偶系统，则若 系统S1可控，则S2可观测，反之，若系统S1可 观测，则系统S2可控。
线性控制理论
线性控制理论
1 线性控制理论
线性控制理论，又称线性控制系统，是一种以技术来控制现实世界中系统性现象的工程学科，它描述了对角线容器进行控制才能定义稳定的制度。
由于它具有良好的统计特性，为工程控制领域的研究工作和诊断方法提供了基础。
线性控制理论的基本思想是建立控制系统模型，并用它来解决控制问题。
它通过建模系统过程，将系统从工程学上对其进行分析，然后依据其结构特点，确定其参数，最后将这些参数综合在一起，以实现控制目标。
线性控制理论广泛地应用于动力，机械，船舶，电力和能源系统的控制中，以及通信，电子，机器学习等领域的研究和应用。
它还可以用于网络控制，解决中断的系统，及系统的诊断等问题。
线性控制理论被广泛运用于航天技术，核能技术，自动化，机器人学，影像处理，网络系统等领域。
线性控制理论有着多种数学工具，其中包括拟合，非线性优化，微分方程，积分方程，回归模型，以及决策系统。
以上工具都可以帮助研究人员更好地理解控制系统，从而更加有效地控制它们。
线性控制理论的应用能够显著提高各种系统的性能，为大规模的系统的生产、优化和控制奠定基础，极大推动了工程布置和设计方面
的发展。
此外，它还为工业自动化，航空航天，空间技术的发展提供了重要的手段。
2 总结
线性控制理论历经不断进化，已经成为工程领域重要的一环，在运用技术来控制现实世界中系统性现象中有广泛的应用，涉及机械，船舶，机器学习等领域。
线性控制理论的使用不仅显著提高各种系统的性能，而且也为工业自动化，航空航天，空间技术的发展提供了重要的手段。
现代控制理论基础总复习
P 的符号性质
完全一致
V(x) xTP x的符号性质
希尔维斯特判据
21
李雅普诺夫第二法的主要结论：
V ( x ) 对所有 x 都具有连续的一阶偏导数；
V ( x ) 是正定的；
dV ( x) 分别满足下列条件： V ( x) dt
1 若V ( x ) 为半负定，则平衡状态 x e 为李雅普 诺夫意义下稳定。 这一条称为稳定判据。
18
李雅普诺夫第一法的三条主要结论；
如果系统的Jacobi矩阵 A 的所有特征值都具有 则原非线性系统在平衡状态 x 负实部，
e
是渐近
稳定的，而且系统的稳定性与R ( x ) 无关。 如果Jacobi矩阵 A 至少有一个特征值具有正实部， 则原非线性系统平衡状态
x
e
是不稳定的。
如果Jacobi矩阵 A 至少有一个特征值具有零实部，
9
第九章 线性定常系统状态空间综合法
知识要点
状态反馈闭环系统的概念、传递函数矩阵的结构；
u K x v
W () s C s I A B K K B
输出反馈闭环系统的概念、传递函数矩阵的结构；
1
u H yv
W ( s ) C s I A B H C H B
0
11
对于完全能控的单输入单输出系统
, ,c Ab
0
不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置。 系统镇定问题的概念；
系统极点配置问题与镇定问题的联系和区别；
,B ,C A ，采用状态反馈能镇定的 对于系统 0
充分必要条件是： 其不能控子系统渐近稳定。
12
系统
,B ,C A
现代控制理论复习
➢课程结构与内容
• 第2章 控制系统状态空间表达式的解
✓ 2.1 线性定常齐次状态方程的解 ✓ 2.2 矩阵指数函数—状态转移矩阵 ✓ 2.3 线性定常系统非齐次方程的解
eAt 的求法
(1)定义法: eAt I At 1 A2t2 1 A3t3
分离定理: 若被控系统（Ａ，Ｂ，Ｃ）可控可观测， 用状态观测器估值形成的状态反馈，其系统的极点配 置和观测器设计可以分别进行．
K阵的求法
（2）直接求状态反馈K:
①验证原系统的能控性。
②定义反馈增益矩阵K, 求闭环系统特征多项式。
K k1 k2
kn
f () I ( A BK ) n an1 n1 a1 a0
1.基本概念（状态、状态变量、状态空间表达式等） 2.模拟结构图 3.状态空间表达式的建立
方框图——状态空间表达式 物理系统——状态空间表达式 传递函数——状态空间表达式（实现）
4.状态变量的线性变换 将状态方程化为对角标准型 将状态方程化为约当标准型 线性变换后系统特征值、传递函数保持不变
5.由状态空间表达式求传递函数
p11
设实对称矩阵
P
p21
pn1
p12 p22
pn2
p1n
p2n
,
pnn
pij p ji
Δi (i 1,2,, n) 为其各阶顺序主子行列式：
pp
Δ1
p11
，
Δ2
11
p
12
p
21
22
，… ， Δn P
(1) 实对称矩阵P为正定的充要条件是P的各阶主
线性控制原理知识点整理
1.什么是传递函数（GH（s）开环传递函数）表示输入和输出之间的的关系称为传递函数，传递函数 transfer function 零初始条件下输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。
记作G（s）=Y（s）/U（s），其中Y（s）、U（s)分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。
是系统本质特征与输入输出量无关2.稳态性能指标：稳定性a.闭环传递函数极点：闭环传递函数的极点在虚轴右半边时系统不稳定，在虚轴左半边系统才稳定，在虚轴上系统临界稳定。
b.根轨迹：1.只要绘制的根轨迹全部位于S平面左侧，就表示系统参数无论怎么改变，特征根全部具有负实部，则系统就是稳定的。
2.）若在虚轴上，表示临界稳定，也就是不断振荡3.）假如有根轨迹全部都在S右半平面，则表示无论选择什么参数，系统都是不稳定的。
由此来确定增益K的值，保证系统稳定。
c.劳斯稳定判据（Routh’s Method 劳斯方法）：假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。
假若第一列系数有负数，则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。
将特征方程1+GH（s）=0写成多项式的形式如下：如果特征方程的系数有负的或零的，要么存在一个闭环极点在右半平面（不稳定），要么存在一个或多个闭环极点在虚轴上（临界稳定）。
如都是正系数列出劳斯阵：用劳斯判据进行判断。
d.奈奎斯特图（Nyquist Diagrams）选s平面内的一闭合曲线按逆时针移动（则在GH（s）面内就是按顺时针移动），包括整个右半平面但不过开环传递函数极点，做出频率右零到无穷大在GH（s）平面上的奈奎斯特图，如果在GH（s）平面内的封闭曲线没有包围临界点（-1,j0){闭环系统没有极点在平面的右半边}，则系统稳定，否则系统不稳定。
说明1：设想沿着频率增大方向切w>0时的开环频率响应一直行走。
如果临界点（critical point）（-1，j0）在曲线前进方向右边经过系统就不稳定，否则稳定。
江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第4章
间关系和因果关系，可将受扰运动表示为
x0u (t ) (t ; x0 , t0 ) , t [t0 ,)
式中， 表示向量函数，括号内分号前反映对时间t 的函
数关系，分号后用以强调导致运动的初始状态x0 及其作用 时刻t0 。显然，对 t=t0 ，受扰运动的向量函数满足
(t0 ; x0 , t0 ) 0
则称平衡状态 xe 是李雅普诺夫意义下的稳定。如果 xe 0 ，则称原点是李雅普诺夫意义下的稳定的。
第4章 控制系统的稳定性分析
江苏大学电气学院
这个定义的几何意义是：对给 定的实数 0 ，存在实数
( , t0 ) 0 (其大小依赖于 和 t0 )。在状态空间中以原点 xe
式中的A(t)为n×n时变矩阵，且满足解存在唯一性条件。
设系统的状态零输入响应 x0u (t )是由任意非零初始状态 x0
引起的状态响应。 定义2(内部稳定性) 对于连续时间线性时变系统，如果由 时刻t0 任意非零初始状态 x(t0 ) x0 引起的状态零输入响
)是有界的，并满足 应 x0u (t ) 对所有t [t0 ,
第4章 控制系统的稳定性分析
江苏大学电气学院
四. 李雅诺夫稳定性定义
1. 自治系统、平衡系统和受扰系统 系统运动的稳定性实质上归结为系统平衡状态的稳定 性。直观上，系统平衡状态的稳定性就是，偏离平衡状态
的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素，或者使之限
制在平衡状态的有限领域内，或者使之同时最终返回到平 衡状态。 定义1(自治系统) 没有外加输入作用即不受外部影响的系 统称为自治系统。自治系统的一般描述为
第4章 控制系统的稳定性分析
江苏大学电气学院
在几何上，受扰运动 (t ; x0 , t0 ) 呈现为状态空间从初始点
线性控制理论
线性控制理论
线性控制理论是用来模拟和控制、优化复杂系统的经典理论。
它以线性系统的性质为基础，建立在假设系统状态变量和控制变量之间具有线性关系的基础上。
线性控制理论的研究和应用在几乎所有的工程和技术领域都有广泛的应用，比如航空、航天、汽车制造、智能制造、自动控制等。
线性控制理论的核心思想是设计一个控制系统，使得反馈系统的性能满足用户的要求，以最优的方式控制系统的输出，从而达到控制系统的稳定性和高效性。
首先，要通过对系统的分析来确定系统的特性，然后根据系统的特性来设计控制器，最后，控制器将施加在系统上，以调整系统的输出，以达到所需的输出性能。
线性控制理论的核心技术包括系统分析技术、控制器设计技术和控制器实施技术。
系统分析技术是指从物理和数学的角度对系统进行分析，从而确定系统的性能参数。
控制器设计技术是指从理论上构建一个控制器，使其具有良好的性能和稳定性。
控制器实施技术是指将设计好的控制器实施到实际系统中，以改善系统的性能和稳定性。
线性控制理论是一种非常重要的理论，在实际系统中有广泛的应用。
它可以帮助我们理解复杂系统的行为，实现系统的优化控制，从而提高系统的运行效率。
此外，线性控制理论也可以帮助我们估计系
统的性能，以实现系统的质量控制，从而达到系统的最佳效果。
线性控制理论
线性控制理论以状态空间法为主要⼯具研究多变量线性系统的理论。
20世纪50年代以后，随着航天等技术的发展和控制理论应⽤范围的扩⼤，经典线性控制理论的局限性⽇趋明显,它既不能满⾜实际需要,也不能解决理论本⾝提出的⼀些新问题。
这种状况推动线性系统的研究，在1960年以后从经典阶段发展到现代阶段。
美国学者R.E.卡尔曼⾸先把状态空间法应⽤于对多变量线性系统的研究，提出了能控性和能观测性这两个基本概念，并提出相应的判别准则。
1963年他⼜和E.G.吉尔伯特⼀起得出揭⽰线性系统结构分解的重要结果，为现代线性系统理论的形成和发展作了开创性的⼯作。
1965年以后，现代线性系统理论⼜有新发展。
出现了线性系统⼏何理论、线性系统代数理论和多变量频域⽅法等研究多变量系统的新理论和新⽅法。
随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算⽅法和计算机辅助设计问题也受到普遍重视。
主要特点 与经典线性控制理论相⽐，现代线性系统理论的主要特点是： ①研究对象⼀般是多变量线性系统，⽽经典理论主要以单输⼊单输出系统为研究对象。
因此，现代线性系统理论具有⼤得多的适⽤范围。
②除输⼊变量和输出变量外，还着重考虑描述系统内部状态的状态变量，⽽经典理论只考虑系统的外部性能（输⼊与输出的关系）。
因此，现代线性系统理论所考虑的问题更为全⾯和更为深刻。
③在分析和综合⽅法⽅⾯以时域⽅法为主，兼⽽采⽤频域⽅法。
⽽经典理论主要采⽤频域⽅法。
因此，现代线性系统理论能充分利⽤这两种⽅法。
⽽时域⽅法对动态描述要更为直观。
④使⽤更多的数学⼯具，除经典理论中使⽤的拉普拉斯变换外，现代线性系统理论⼤量使⽤线性代数、矩阵理论和微分⽅程理论，对某些问题还使⽤泛函分析、群论、环论、范畴论和复变函数论等较⾼深的数学⼯具。
因此，现代线性系统理论能探讨更⼀般更复杂的问题。
数学模型 在线性系统理论中，输⼊变量、状态变量和输出变量三者之间的数学关系被看作是线性的。
系统数学模型具有标准形式。
江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第2章
t0 , t 上为时间
为存在且ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一。 x (t )
第2章 线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
从数学的观点上看，上述条件可能显得过强而可减弱 为如下3个条件： （1）系统矩阵A(t)的各个元 aij (t )在时间区间 t0 , t 上为 绝对可积，即有：
t aij (t ) dt , i, j 1, 2,, n
性质9 e 的相似变换 如果矩阵A的特征值互不相同，并且存在非奇异变换 矩阵P，使得 A PAP 1，由 e At定义可得到：
At
e At Pe At P 1
第2章 线性系统的运动分析
At e 三. 几种典型的矩阵指数函数
江苏大学电气学院
由于矩阵指数函数 e At在计算线性系统的响应起着十分
第2章 线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
二. 状态方程解的存在性和惟一性条件
当所选的状态变量不同时，所得状态方程不同，故状 态方程不是唯一的。对任意的初始状态，只有当线性系统 的状态方程的解存在且唯一时，对系统的分析才有意义。 从数学上看，这就要求状态方程中的系数矩阵和输入作用 满足一定的假设，它们是保证状态方程的解存在且唯一所
上式表明，条件（2）和（3）还可进一步合并为要求
B(t)u(t)的各元在时间区间上绝对可积。 对于连续时间线性定常系统，系数矩阵A和B为常数矩 阵且各元为有限值，条件（1）和（2）自然满足，存在惟
一性条件只归结为条件（3）。 在本章随后各节的讨论中，总是假定系统满足上述存 在性和惟一性的条件，并在这一前提下分析系统状态运动 的演化规律。
At e 性质7 积的关系式
d At e Ae At eAt A dt
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（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ： T AT (t ) T C T (t ) T T BT (t ) T
（2）
式中： —协状态, n维行向量； —输出, p维行向量；
如果其状态空间描述具有如下形式
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou
其中：
0 0 0 1 1 ˆ Ao 1 n-1
ˆ ˆ y co x
ˆ co 0 0 1
则称此状态空间描述为能观测规范形。
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总复习：现代控制理论
2．PBH秩判据
i I A rank n; C
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据
4．约当规范型判据
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总复习：现代控制理论
3. 对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x Ax x(0) x0 t0 y Cx
x (t ) L1 X ( s ) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s )]
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第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据（※） 1．秩判据
rankQc rank B AB An 1 B n
2．PBH秩判据
rank i I A B n
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
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3．对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型
总复习：现代控制理论
主要学习内容
Ch1 绪论
Ch2 线性系统的状态空间描述
Ch3 线性系统的运动分析
Ch4 线性系统的能控性和能观性
Ch5 系统运动的稳定性
Ch6 线性反馈系统的时间域综合
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第2章 线性系统的状态空间描述
一．系统数学描述的两种基本类型(※)
1、输入—输出描述（外部描述） (1) 用传递函数、微分方程等表征；(2)是系统的
其中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；设k为 正整数，定义如下(n×kp)矩阵：
Qk [ B AB Ak -1B]
定义系统的能控性指数为：
=使"rankQk n "成立的k的最小正整数
说明：对矩阵Qk将k依次由1增加直到有rankQk=n ， 则此时的k就是能控性指数μ 。
二．线性定常系统的状态转移矩阵的性质和计算（※） 1．性质：（7条） （※）
1 (t ) (t );
(t ) A (t ) (0) I
A (t ) t 0
(t ) e At 的计算方法（※） 2．
1）定义法 2）特征值法 3）拉氏反变换法（※）
完全能观测的充分必要条件是：其对角线规范型
1 2 x, x n y Cx
中，C 不包含元素全为零的列。
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4. 约当规范型判据
当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连
续系统
x Ax y Cx x(0) x0 t0
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结论1：对完全能控多输入连续时间线性时不变系
统, 状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，若 n
为矩阵A的最小多项式的次数，则系统能控性指数 满足如下估计： n min(n , n r 1) p 2. 能观测性指数：对完全能观测的线性定常系统 x Ax x(0) x0 t 0
(t ) L1[( s A) 1 ] （最常用）
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三．线性定常系统状态方程解x(t)的计算（※） (求线性定常系统的状态响应和输出响应) 1．积分法：
x(t ) t x0 Bu(t )d ,
t 0
t 0
2．拉氏变换法：
η —输入，q维行向量。
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说明：状态转移矩阵的对偶性：
轾- 1 (t , t0 ) = F T (t0 , t ) F d (t , t0 ) = F (t , t0 )逆的转置 = 犏 F 臌
T
2.对偶原理
线性时变系统的完全能控等同于其对偶系 统的完全能观测，线性时变系统的完全能观测 等同于其对偶系统的完全能控，即
4.化SISO能观测系统为能观测规范形
结论：对于完全能观测的单输入单输出线性时不变系统
x Ax bu y cx
其中：A为n×n常阵，b，c分别为n维列向量和n维行 向量。设系统的特征多项式为
( s) det( sI A) s n n1s n1 1s 0
引入非奇异线性变换阵Q：
1 n 1 1 cAn 1 1 n 1 1 c cA 1 Q n 1 cA n 1 n 1 1 c 1 cA
外部描述；(3)是对系统的不完全描述。
2、状态空间描述（内部描述）
(1)用状态空间表达式表征；(2)是系统的内部描 述；(3)是对系统的完全描述。
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二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 1. 根据系统机理建立状态空间表达式 2. 由系统输入输出描述建立状态空间表达式(※)
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总复习：现代控制理论 ˆ 作变换 x Qx ，即可导出能观测规范形为：
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou ˆ ˆ y co x
y Cx
其中：x为n维状态向量；y为q维输出向量；设k为 正整数，定义如下(kq×n)矩阵：
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C CA Qk k 1 CA
定义系统的能观测性指数为：
=使"rankQk n "成立的k的最小正整数
说明：对矩阵 Qk 将k依次由1增加直到有rankQk n， 则此时的k就是能控性指数ν 。
能控标准型实现(※)
能观测标准型实现(※) 对角型实现（了解） 约当规范型实现（了解）
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三、传递函数矩阵的计算（※）
设线性定常连续系统的状态空间描述为：
x (t ) Ax (t ) Bu(t ) y (t ) Cx (t ) Du (t )
在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达 式为：
1 2 x Bu x n
中，B 不包含元素全为零的行。
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4．约当规范型判据
当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连
续系统
x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0
完全能控的充分必要条件是：由其导出的约当
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作变换 x P1 x ，即可导出能控规范形为：
x Ac x bc u y cc x
1 0 0 0 0 1 Ac P 1 AP 0 0 0 0 1 2 cc cP 0 1 n 1 0 0 ; 1 n 1 0 0 1 bc P b 0 1
完全能观测的充分必要条件是：由其导出的约 当规范型
ˆˆ ˆ x Ax ˆˆ y = Cx
ˆ 中， C 中与同一特征值的各约当块对应的各子
块的第一列组成的矩阵是列线性无关的。
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三、能控性指数和能观性指数
1. 能控性指数：对完全能控线性定常系统 x Ax Bu x(0) x0 t 0
G( s) C ( sI A)1 B D
（※）
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四、 线性定常系统的坐标变换
1. 非奇异线性变换的不变特性
非奇异线性变换后系统特征值不变、传递 函数矩阵不变、能控性不变、能观测性、稳定 性不变. 2. 线性系统等价状态空间描述 3. 状态方程的对角规范形和约当规范形
线性定常系统
x Ax Bu, 的状态转移矩阵为： x (t0 ) x0 ,
t t0
t t0
(t t0 ) e A(t t0 ) ,
当t0 = 0时，可将其表为
(t ) e At , t 0
即对于线性定常系统来说，它的状态转移矩阵就是
矩阵指数函数。
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五、组合系统的状态空间描述（※）
组合系统：由两个或两个以上的子系统按一定方
式相互联接而构成的系统称为组合系统。 基本的互联方式有三种：并联、串联和反馈 三种组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵(※)
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第3章 线性系统的运动分析
一．线性定常系统的状态转移矩阵的定义
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其中：
0 Ac 0 0 1 1 n -1
1
则称此状态空间描述为能控规范形。
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2.化SISO能控系统为能控规范形
结论：对于完全能控的单输入单输出线性时不变系统