线性控制理论总复习(2012)
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G( s) C ( sI A)1 B D
（※）
4
总复习：现代控制理论
四、 线性定常系统的坐标变换
1. 非奇异线性变换的不变特性
非奇异线性变换后系统特征值不变、传递 函数矩阵不变、能控性不变、能观测性、稳定 性不变. 2. 线性系统等价状态空间描述 3. 状态方程的对角规范形和约当规范形
16
总复习：现代控制理论
结论1：对完全能控多输入连续时间线性时不变系
统, 状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，若 n
为矩阵A的最小多项式的次数，则系统能控性指数 满足如下估计： n min(n , n r 1) p 2. 能观测性指数：对完全能观测的线性定常系统 x Ax x(0) x0 t 0
η —输入，q维行向量。
20
总复习：现代控制理论
说明：状态转移矩阵的对偶性：
轾- 1 (t , t0 ) = F T (t0 , t ) F d (t , t0 ) = F (t , t0 )逆的转置 = 犏 F 臌
T
2.对偶原理
线性时变系统的完全能控等同于其对偶系 统的完全能观测，线性时变系统的完全能观测 等同于其对偶系统的完全能控，即
1 2 x Bu x n
中，B 不包含元素全为零的行。
11
总复习：现代控制理论
4．约当规范型判据
当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连
续系统
x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0
完全能控的充分必要条件是：由其导出的约当
26
总复习：现代控制理论 ˆ 作变换 x Qx ，即可导出能观测规范形为：
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou ˆ ˆ y co x
二．线性定常系统的状态转移矩阵的性质和计算（Βιβλιοθήκη Baidu） 1．性质：（7条） （※）
1 (t ) (t );
(t ) A (t ) (0) I
A (t ) t 0
(t ) e At 的计算方法（※） 2．
1）定义法 2）特征值法 3）拉氏反变换法（※）
引入非奇异线性变换阵Q：
1 n 1 1 cAn 1 1 n 1 1 c cA 1 Q n 1 cA n 1 n 1 1 c 1 cA
ˆˆ ˆ ˆ 规范型 x Ax Bu 中，ˆ 中与同一特征值的各 B
约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是 行线性无关的。
12
总复习：现代控制理论
二．线性定常连续系统的能观测性判据（※）
1．秩判据
C CA n rankQo rank n 1 CA
x (t ) L1 X ( s ) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s )]
9
总复习：现代控制理论
第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据（※） 1．秩判据
rankQc rank B AB An 1 B n
5
总复习：现代控制理论
五、组合系统的状态空间描述（※）
组合系统：由两个或两个以上的子系统按一定方
式相互联接而构成的系统称为组合系统。 基本的互联方式有三种：并联、串联和反馈 三种组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵(※)
6
总复习：现代控制理论
第3章 线性系统的运动分析
一．线性定常系统的状态转移矩阵的定义
完全能观测的充分必要条件是：由其导出的约 当规范型
ˆˆ ˆ x Ax ˆˆ y = Cx
ˆ 中， C 中与同一特征值的各约当块对应的各子
块的第一列组成的矩阵是列线性无关的。
15
总复习：现代控制理论
三、能控性指数和能观性指数
1. 能控性指数：对完全能控线性定常系统 x Ax Bu x(0) x0 t 0
其中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；设k为 正整数，定义如下(n×kp)矩阵：
Qk [ B AB Ak -1B]
定义系统的能控性指数为：
=使"rankQk n "成立的k的最小正整数
说明：对矩阵Qk将k依次由1增加直到有rankQk=n ， 则此时的k就是能控性指数μ 。
完全能观测的充分必要条件是：其对角线规范型
1 2 x, x n y Cx
中，C 不包含元素全为零的列。
14
总复习：现代控制理论
4. 约当规范型判据
当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连
续系统
x Ax y Cx x(0) x0 t0
其中：A为n×n常阵，b，c分别为n维列向量和n维行 向量。设系统的特征多项式为
( s) det( sI A) s n n1s n1 1s 0
引入非奇异线性变换阵P：
1 1 n1 1 1 1 n 1 b Ab An 1b P [ An 1b Ab b] n 1 1 n1 1 1
4.化SISO能观测系统为能观测规范形
结论：对于完全能观测的单输入单输出线性时不变系统
x Ax bu y cx
其中：A为n×n常阵，b，c分别为n维列向量和n维行 向量。设系统的特征多项式为
( s) det( sI A) s n n1s n1 1s 0
∑完全能控 ∑d 完全能观测
∑完全能观测 ∑d 完全能控
21
总复习：现代控制理论
五.能控能观规范形(重点在SISO)
1.能控规范形的定义：
对完全能控的单输入单输出线性时不变系统， 如果其状态空间描述具有如下形式
x Ac x bc u y cc x
0 bc 0 1
18
总复习：现代控制理论
结论2：对完全能观测多输出连续时间线性时不变 系统，状态维数为n，输出维数为q，设rankC=m， 若 n 为矩阵A的最小多项式的次数，则系统能观测性 指数还满足如下估计
n min(n , n m 1) q
19
总复习：现代控制理论
四、对偶性
1.对偶系统 考虑连续时间线性时变系统
如果其状态空间描述具有如下形式
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou
其中：
0 0 0 1 1 ˆ Ao 1 n-1
ˆ ˆ y co x
ˆ co 0 0 1
则称此状态空间描述为能观测规范形。
25
总复习：现代控制理论
(t ) L1[( s A) 1 ] （最常用）
8
总复习：现代控制理论
三．线性定常系统状态方程解x(t)的计算（※） (求线性定常系统的状态响应和输出响应) 1．积分法：
x(t ) t x0 Bu(t )d ,
t 0
t 0
2．拉氏变换法：
线性定常系统
x Ax Bu, 的状态转移矩阵为： x (t0 ) x0 ,
t t0
t t0
(t t0 ) e A(t t0 ) ,
当t0 = 0时，可将其表为
(t ) e At , t 0
即对于线性定常系统来说，它的状态转移矩阵就是
矩阵指数函数。
7
总复习：现代控制理论
2．PBH秩判据
i I A rank n; C
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据
4．约当规范型判据
13
总复习：现代控制理论
3. 对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x Ax x(0) x0 t0 y Cx
2．PBH秩判据
rank i I A B n
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
10
总复习：现代控制理论
3．对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型
22
其中：
0 Ac 0 0 1 1 n -1
1
则称此状态空间描述为能控规范形。
总复习：现代控制理论
2.化SISO能控系统为能控规范形
结论：对于完全能控的单输入单输出线性时不变系统
x Ax bu y cx
： x A(t ) x B(t )u y C (t ) x
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ： T AT (t ) T C T (t ) T T BT (t ) T
（2）
式中： —协状态, n维行向量； —输出, p维行向量；
y Cx
其中：x为n维状态向量；y为q维输出向量；设k为 正整数，定义如下(kq×n)矩阵：
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总复习：现代控制理论
C CA Qk k 1 CA
定义系统的能观测性指数为：
=使"rankQk n "成立的k的最小正整数
说明：对矩阵 Qk 将k依次由1增加直到有rankQk n， 则此时的k就是能控性指数ν 。
式中：
其中：
n 1 cb cAb cb n2 n 1 0 cAn 1b n 1cAn 2b 2cAb 1cb
24
总复习：现代控制理论
3.能观测规范形的定义： 对完全能观测的单输入单输出线性时不变系统，
外部描述；(3)是对系统的不完全描述。
2、状态空间描述（内部描述）
(1)用状态空间表达式表征；(2)是系统的内部描 述；(3)是对系统的完全描述。
2
总复习：现代控制理论
二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 1. 根据系统机理建立状态空间表达式 2. 由系统输入输出描述建立状态空间表达式(※)
23
总复习：现代控制理论
作变换 x P1 x ，即可导出能控规范形为：
x Ac x bc u y cc x
1 0 0 0 0 1 Ac P 1 AP 0 0 0 0 1 2 cc cP 0 1 n 1 0 0 ; 1 n 1 0 0 1 bc P b 0 1
能控标准型实现(※)
能观测标准型实现(※) 对角型实现（了解） 约当规范型实现（了解）
3
总复习：现代控制理论
三、传递函数矩阵的计算（※）
设线性定常连续系统的状态空间描述为：
x (t ) Ax (t ) Bu(t ) y (t ) Cx (t ) Du (t )
在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达 式为：
总复习：现代控制理论
主要学习内容
Ch1 绪论
Ch2 线性系统的状态空间描述
Ch3 线性系统的运动分析
Ch4 线性系统的能控性和能观性
Ch5 系统运动的稳定性
Ch6 线性反馈系统的时间域综合
1
总复习：现代控制理论
第2章 线性系统的状态空间描述
一．系统数学描述的两种基本类型(※)
1、输入—输出描述（外部描述） (1) 用传递函数、微分方程等表征；(2)是系统的
（※）
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总复习：现代控制理论
四、 线性定常系统的坐标变换
1. 非奇异线性变换的不变特性
非奇异线性变换后系统特征值不变、传递 函数矩阵不变、能控性不变、能观测性、稳定 性不变. 2. 线性系统等价状态空间描述 3. 状态方程的对角规范形和约当规范形
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结论1：对完全能控多输入连续时间线性时不变系
统, 状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，若 n
为矩阵A的最小多项式的次数，则系统能控性指数 满足如下估计： n min(n , n r 1) p 2. 能观测性指数：对完全能观测的线性定常系统 x Ax x(0) x0 t 0
η —输入，q维行向量。
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总复习：现代控制理论
说明：状态转移矩阵的对偶性：
轾- 1 (t , t0 ) = F T (t0 , t ) F d (t , t0 ) = F (t , t0 )逆的转置 = 犏 F 臌
T
2.对偶原理
线性时变系统的完全能控等同于其对偶系 统的完全能观测，线性时变系统的完全能观测 等同于其对偶系统的完全能控，即
1 2 x Bu x n
中，B 不包含元素全为零的行。
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4．约当规范型判据
当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连
续系统
x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0
完全能控的充分必要条件是：由其导出的约当
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总复习：现代控制理论 ˆ 作变换 x Qx ，即可导出能观测规范形为：
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou ˆ ˆ y co x
二．线性定常系统的状态转移矩阵的性质和计算（Βιβλιοθήκη Baidu） 1．性质：（7条） （※）
1 (t ) (t );
(t ) A (t ) (0) I
A (t ) t 0
(t ) e At 的计算方法（※） 2．
1）定义法 2）特征值法 3）拉氏反变换法（※）
引入非奇异线性变换阵Q：
1 n 1 1 cAn 1 1 n 1 1 c cA 1 Q n 1 cA n 1 n 1 1 c 1 cA
ˆˆ ˆ ˆ 规范型 x Ax Bu 中，ˆ 中与同一特征值的各 B
约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是 行线性无关的。
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二．线性定常连续系统的能观测性判据（※）
1．秩判据
C CA n rankQo rank n 1 CA
x (t ) L1 X ( s ) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s )]
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第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据（※） 1．秩判据
rankQc rank B AB An 1 B n
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总复习：现代控制理论
五、组合系统的状态空间描述（※）
组合系统：由两个或两个以上的子系统按一定方
式相互联接而构成的系统称为组合系统。 基本的互联方式有三种：并联、串联和反馈 三种组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵(※)
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总复习：现代控制理论
第3章 线性系统的运动分析
一．线性定常系统的状态转移矩阵的定义
完全能观测的充分必要条件是：由其导出的约 当规范型
ˆˆ ˆ x Ax ˆˆ y = Cx
ˆ 中， C 中与同一特征值的各约当块对应的各子
块的第一列组成的矩阵是列线性无关的。
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三、能控性指数和能观性指数
1. 能控性指数：对完全能控线性定常系统 x Ax Bu x(0) x0 t 0
其中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；设k为 正整数，定义如下(n×kp)矩阵：
Qk [ B AB Ak -1B]
定义系统的能控性指数为：
=使"rankQk n "成立的k的最小正整数
说明：对矩阵Qk将k依次由1增加直到有rankQk=n ， 则此时的k就是能控性指数μ 。
完全能观测的充分必要条件是：其对角线规范型
1 2 x, x n y Cx
中，C 不包含元素全为零的列。
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总复习：现代控制理论
4. 约当规范型判据
当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连
续系统
x Ax y Cx x(0) x0 t0
其中：A为n×n常阵，b，c分别为n维列向量和n维行 向量。设系统的特征多项式为
( s) det( sI A) s n n1s n1 1s 0
引入非奇异线性变换阵P：
1 1 n1 1 1 1 n 1 b Ab An 1b P [ An 1b Ab b] n 1 1 n1 1 1
4.化SISO能观测系统为能观测规范形
结论：对于完全能观测的单输入单输出线性时不变系统
x Ax bu y cx
其中：A为n×n常阵，b，c分别为n维列向量和n维行 向量。设系统的特征多项式为
( s) det( sI A) s n n1s n1 1s 0
∑完全能控 ∑d 完全能观测
∑完全能观测 ∑d 完全能控
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五.能控能观规范形(重点在SISO)
1.能控规范形的定义：
对完全能控的单输入单输出线性时不变系统， 如果其状态空间描述具有如下形式
x Ac x bc u y cc x
0 bc 0 1
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总复习：现代控制理论
结论2：对完全能观测多输出连续时间线性时不变 系统，状态维数为n，输出维数为q，设rankC=m， 若 n 为矩阵A的最小多项式的次数，则系统能观测性 指数还满足如下估计
n min(n , n m 1) q
19
总复习：现代控制理论
四、对偶性
1.对偶系统 考虑连续时间线性时变系统
如果其状态空间描述具有如下形式
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou
其中：
0 0 0 1 1 ˆ Ao 1 n-1
ˆ ˆ y co x
ˆ co 0 0 1
则称此状态空间描述为能观测规范形。
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总复习：现代控制理论
(t ) L1[( s A) 1 ] （最常用）
8
总复习：现代控制理论
三．线性定常系统状态方程解x(t)的计算（※） (求线性定常系统的状态响应和输出响应) 1．积分法：
x(t ) t x0 Bu(t )d ,
t 0
t 0
2．拉氏变换法：
线性定常系统
x Ax Bu, 的状态转移矩阵为： x (t0 ) x0 ,
t t0
t t0
(t t0 ) e A(t t0 ) ,
当t0 = 0时，可将其表为
(t ) e At , t 0
即对于线性定常系统来说，它的状态转移矩阵就是
矩阵指数函数。
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总复习：现代控制理论
2．PBH秩判据
i I A rank n; C
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据
4．约当规范型判据
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总复习：现代控制理论
3. 对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x Ax x(0) x0 t0 y Cx
2．PBH秩判据
rank i I A B n
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
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总复习：现代控制理论
3．对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型
22
其中：
0 Ac 0 0 1 1 n -1
1
则称此状态空间描述为能控规范形。
总复习：现代控制理论
2.化SISO能控系统为能控规范形
结论：对于完全能控的单输入单输出线性时不变系统
x Ax bu y cx
： x A(t ) x B(t )u y C (t ) x
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ： T AT (t ) T C T (t ) T T BT (t ) T
（2）
式中： —协状态, n维行向量； —输出, p维行向量；
y Cx
其中：x为n维状态向量；y为q维输出向量；设k为 正整数，定义如下(kq×n)矩阵：
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总复习：现代控制理论
C CA Qk k 1 CA
定义系统的能观测性指数为：
=使"rankQk n "成立的k的最小正整数
说明：对矩阵 Qk 将k依次由1增加直到有rankQk n， 则此时的k就是能控性指数ν 。
式中：
其中：
n 1 cb cAb cb n2 n 1 0 cAn 1b n 1cAn 2b 2cAb 1cb
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3.能观测规范形的定义： 对完全能观测的单输入单输出线性时不变系统，
外部描述；(3)是对系统的不完全描述。
2、状态空间描述（内部描述）
(1)用状态空间表达式表征；(2)是系统的内部描 述；(3)是对系统的完全描述。
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二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 1. 根据系统机理建立状态空间表达式 2. 由系统输入输出描述建立状态空间表达式(※)
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总复习：现代控制理论
作变换 x P1 x ，即可导出能控规范形为：
x Ac x bc u y cc x
1 0 0 0 0 1 Ac P 1 AP 0 0 0 0 1 2 cc cP 0 1 n 1 0 0 ; 1 n 1 0 0 1 bc P b 0 1
能控标准型实现(※)
能观测标准型实现(※) 对角型实现（了解） 约当规范型实现（了解）
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三、传递函数矩阵的计算（※）
设线性定常连续系统的状态空间描述为：
x (t ) Ax (t ) Bu(t ) y (t ) Cx (t ) Du (t )
在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达 式为：
总复习：现代控制理论
主要学习内容
Ch1 绪论
Ch2 线性系统的状态空间描述
Ch3 线性系统的运动分析
Ch4 线性系统的能控性和能观性
Ch5 系统运动的稳定性
Ch6 线性反馈系统的时间域综合
1
总复习：现代控制理论
第2章 线性系统的状态空间描述
一．系统数学描述的两种基本类型(※)
1、输入—输出描述（外部描述） (1) 用传递函数、微分方程等表征；(2)是系统的