第五章测量误差重点内
第五章 测量误差的基本知识
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
第5章-测量误差的基本知识(091023)
[例6-8]
∴ m A = ± 1.64 = ±1.28(m)
已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角 α=15°00′00″±30″ 2 ′ m D = [(c o s α ) ⋅ m D ′ ] 2 求：水平距离D 及其中误差 m + [( D ′ ⋅ s in α ) α ] 2 解：1.函数式 D = D′ cos α , ρ 2.全微分 = [(c o s 1 5 o ) ⋅ 0 .0 5 ] 2 dα dD′ = (cos α ) dD′ + ( D′ ⋅ sin α ) o 3 0 ′′ 2 + [(5 0 ⋅ s in 1 5 ) ] ρ ρ 3.化为中误差
四、线性函数 线性函数 Z = K1 X 1 ± K 2 X 2 ± ⋅ ⋅ ⋅ ± K n X n ，则有
mZ = ± K1 m X1 + K 2 m X 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + K n m X n
2 2 2 2 2 2
[例6-5] 设对某一个三角形观测了其中α、β两 个角，测角中误差分别为mα=±3.5″，mβ =±6.2″， 现按公式γ=180°-α-β求得γ角，试求γ角的中 = 误差mγ。 解：
2 2 2 2 mZ = m X1 + m X 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + m X n
n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观 测值中误差平方之和。 在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差， 与观测值个数n的平方根成正比，即 m = m n
Z
m读 ≈ ±2mm [例6-4] 已知水准仪距水准尺75m时，一次读数中误差为 (包括照准误差、气泡置中误差及水准标尺刻划中误差)， 若以三倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n 站所得高差闭合差的容许误差。
测量学第5章测量误差的基本知识
之差称为真误差，用Δ 表示。设三角形内角和的观测值为li，真值为X，则
三角形的真误差可由下式求得
用式（5.1）算得358个三角形内角和的真误差，现将358个真误差按3″为一 区间，并按绝对值大小进行排列，按误差的正负号分别统计出在各区间的误
差个数k，并将k除以总个数n（本例n＝358）误差来看，其误差的出现在数
值大小和符号上没有规律性，但观察大量的偶然误差就会发现其存在着一定 的统计规律性，并且误差的个数越多这种规律性就越明显。下面以一个测量
实例来分析偶然误差的特性。
某测区在相同的观测条件下观测了358个三角形的内角，由于观测值存在误 差，故三角形内角之和不等于理论值180°（也称真值）。观测值与理论值
值（有界性）；
②绝对值较小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小（单峰性）； ③绝对值相等的正、负误差出现的概率大致相等（对称性）；
④当观测次数无限增加时，偶然误差算术平均值的极限为零（补偿性）。即
式中，“［］”为总和号，即
为了更直观地表达偶然误差的分布情况，还可以用图示形式描述误差分布， 图5.1就是按表5.1的数据绘制的。其中以横坐标表示误差正负与大小，纵坐
1)仪器及工具由于测量仪器制造和仪器校正不完善，都会使测量结果产生测
量误差。 2)观测者由于观测者的技术水平和感觉器官鉴别能力的限制，使得在安置仪
器、瞄准目标及读数等方面都会产生误差。
3)外界条件观测过程所处的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光照射等因 素会给观测结果造成影响，而且这些因素随时发生变化，必然会给观测值带
第5章 测量误差的基本知识
1．观测误差
测量误差的基本知识
§5-1 概述
在各项测量工作中，对同一个量进行多次重复的观测 其结果是不一致的；对若干个量进行观测，如果知道 这几个量所构成的某个函数应等于某个理论值，而实 际上用观测值计算的函数值与理论值不相符（如三角 形的内角和）。这就是存在观测误差的原因。
2．产生观测误差的原因
例3：水平角观测限差的制定
水平角观测的精度与其误差的综合影响有关，对于 J6光学经纬仪来说，设计时考虑了有关误差的影响， 保证室外一测回的方向中误差为±6″。实际上，顾 及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影 响，设计精度一般小于±6″，新出厂的仪器，其野 外一测回的方向中误差小于±6″，在精度上有所富 裕。
Δ2 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1 130
0 -4 +3 +2 -3 24
+1 +8 0 +3 -1 24
2
中误差Biblioteka m1 2 2 .7 n
m
2
n
3 .6
1 2
n
2.4
正态分布
1 f ( x) e 2 x 0 ( x )2 2 2
1 1
√2π m 1 √2π m 2
y = f (Δ )
f 1 (Δ ) f 2 (Δ )
若 0, 1 1 则f ( x) e 2
( x) 2
2
-
-m1
+m1 +
x =Δ
m2
m2
两组观测值中误差图形的比较：
m1=2.7 m2=3.6
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
测量误差基本知识(全面实例)
频率直方图
偶然误差具有正态分布的特性
四个特性：有界性，趋向性，对称性，抵偿性：
1 2 n 0 lim lim n n n n
(5-1-2)
y
正态分布曲线
-ห้องสมุดไป่ตู้4
-21 -15 -18 -12
-9 -6
-3 +3 +9 +15 +21 0 +6 +12 +18 +24
第五章第六章
第五章 测量误差基本知识
内容提要：
第五章 测量误差基本知识
学习要点
◆建立测量误差的基本概念 ◆观测值的中误差 ◆观测值函数的中误差
内容提要第 六章
——误差传播定律 ◆权的概念
#测量误差的基 本概念
5.1 测量误差的分类
讨论测量误差的目的：
用误差理论分析、处理测量误差，评定 测量成果的精度，指导测量工作的进行。
2
2
2
(5-5-10)
三.几种常用函数的中误差
求观测值函数中误差的步骤：
三.几种常用函数 的中误差
(1).列出函数式； (2).对函数式求全微分； (3).套用误差传播定律，写出中误差式。 例3：已知某矩形长a=500米，宽b=440米。如边长测量 的相对中误差为1/4000，求矩形的面积中误差mp。 解：由题意 ma 500 / 4000 0.125米, mb 440 / 4000 0.11米
平均
表5-3 算
vv
计
854245[ 0 ]
16算术平均值: 25 l1 l2 l3 l4 l5 x 854245 9 5 1 观测值的中误差： 9 [vv] 60 m 3". 9 n 1 5 1 [ 60 ]
工程测量-第5章误差基础知识
5.2.1、中误差 、
设对某一未知量进行了n次等精度观 设对某一未知量进行了 次等精度观 未知量的真值 真值为 ，其观测值为l 测，未知量的真值为X，其观测值为 1、 l2、……、ln，相应的真误差为： 相应的真误差 真误差为 、
郑州大学土木工程学院 宋建学
∆ 1 = l1 − X
∆ n = ln − X … …
K=
D往 − D返 D平均
从实质上看，上式的计算结果是“较差率” 而非“ 从实质上看，上式的计算结果是“较差率”，而非“相 对误差” 但工程中也常将它称为距离测量的相对误差。 对误差”，但工程中也常将它称为距离测量的相对误差。 特别需要指出的是， 特别需要指出的是，由于角度测量的误差与角度大 小无关，因此不能用相对误差来评定测角精度 不能用相对误差来评定测角精度。 小无关，因此不能用相对误差来评定测角精度。
郑州大学土木工程学院 宋建学
2
5.1 测量误差分类
测量误差（ 仪器不可能绝 测量误差（error）的产生，主要是由于仪器不可能绝 ）的产生，主要是由于仪器 的鉴别能力有限， 对准确，观测者的鉴别能力有限 观测是在一定的外界条 对准确，观测者的鉴别能力有限，观测是在一定的外界条 如风力，温度、气压、照度等) 进行的。通常把仪器 仪器、 件(如风力 ，温度、 气压、照度等)下进行的。通常把仪器、 观测者和外界条件三个方面综合起来 称为观测条件 三个方面综合起来， 观测条件。 观测者和外界条件三个方面综合起来， 称为观测条件。 观 测条件相同的各次观测，其误差出现的规律相同，称为等 测条件相同的各次观测，其误差出现的规律相同， 称为 等 精度观测（ 精度观测 （ equal observations） ， 观测条件不同的各次观 ） 测称为非等精度观测 非等精度观测。 测称为非等精度观测。 在观测结果中，有时还会出现错误 例如， 在观测结果中，有时还会出现错误。例如，读数错误 错误。 或记录错误等，统称为粗差 粗差。 或记录错误等，统称为粗差。粗差在观测结果中是不允许 出现的。为了杜绝粗差，除认真仔细作业外， 出现的。 为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取 检核措施 必要的检核措施。例如，对距离进行往、返测量， 必要的检核措施。例如，对距离进行往、返测量，对角度 进行多测回观测等，这是测量的基本原则。 进行多测回观测等，这是测量的基本原则。 观测误差按其自身规律性，可分为系统误差和偶然误差。 系统误差和偶然误差。 观测误差按其自身规律性，可分为系统误差和偶然误差
第5章 测量误差的基本知识
结论
在观测过程中，系统误差和偶然误差往往是同时存在 的。当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居 于次要地位，观测误差呈现出系统误差的性质；反之， 呈现出偶然误差的性质。因此，对一组剔除了粗差的 观测值，首先应寻找、判断和排除系统误差，或将其 控制在允许的范围内，然后根据偶然误差的特性对该 组观测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的估 值，称为最或是值；同时，评定观测结果质量的优劣， 即评定精度。这项工作在测量上称为测量平差，简称 平差。
2 相对误差
对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观 测结果的质量。 例如，测得某两段距离，一段长200m，另一段长1000m， 观测值的中误差均为±0.2m 。从表面上看，似乎二者精 度相同，但就单位长度来说，二者的精度并不相同。这 时应采用另一种衡量精度的标准，即相对误差。 相对误差：是中误差与观测值之比，是个无量纲数，在 测量上通常将其分子化为1。即用K=1/N的形式来表示。 上例前者的相对中误差为0.2/200=1/1000，后者为 0.2/1000=1/5000。显然，相对中误差愈小（分母愈 大），说明观测结果的精度愈高，反之愈低。
解：水准测量每一站高差： hi ai bi (i 1,2....,n)
则每站高差中误差
m站 m读 m读 m读 2
2 2 2.8m m
观测n站所得总高差 h h1 h2 hn 则n站总高差h的总误差
2
2
m总 m站 n 2.8 nmm
2
第二组观测 观测值 l Δ 0 180°00ˊ00" +1 159°59ˊ59" -7 180°00ˊ07" -2 180°00ˊ02" -1 180°00ˊ01" 179°59ˊ59" 179°59ˊ52" 180°00ˊ00" 179°59ˊ57" 180°00ˊ01" +1 +8 0 +3 -1 24
第5章 误差基本知识
例如：
水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角 误差或交叉误差。
水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。
3
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。
3、外界条件
例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素 的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置 不稳定等。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
⑤ 随着 n 的增大，m 将趋近于σ 。
17
必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标 准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次 观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为
第一组： +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″； 第二组： 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.
2
n
lim
n
n
13
•
从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 • 2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之， △愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误 差的第一和第二特性。 • 3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐 点横坐标： △拐=± • 如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭， 即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差 分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特 征。
第5章 测量误差理论的基础知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的指标 5.3 误差传播定律及其应用 5.4 等精度直接观测平差 5.5 不等精度观测的最或然值及其中误差
§5.1 测量误差概述
大量实践表明，当对某一未知量进行多次 观测时，无论观测仪器多么精密，观测进行得
多么仔细，观测值之间总是存在着差异。例如，
2 2 2 2 mZ A12 m12 A2 m2 An mn
§5.3.2 误差传播定律的应用
例1 量得某圆形建筑物得直径 D=34.50m, 其中误差mD 0.01m,
求建筑物得圆周长及其中误差。
解：圆周长：
P D 3.1416 34.50 108.38 中误差：
将以上各式两边平方、取平均，可得
Z 2 x12 x22 xn 2 n f2 f 2 ... f 2 xi x j 1 fi f j k 1 2 n k k k k i, j
i j
因 x 的观测值 l 彼此独立，则 xi x j 在 i j 时亦为偶 i i 然误差。根据偶然误差第4特性，上式末项当 k 时趋近于 零，故：
测量某一平面三角形的三个内角，其观测值之
和常常不等于理论值180°。这说明测量结果
不可避免地存在误差。
§5.1.1 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都 可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者 的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测 条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差 的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为 等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精 度观测。
第五章 测量误差的基本知识
第七章测量误差基本知识内容：了解测量误差来源及产生的原因；掌握系统误差和偶然误差的特点及其处理方法；理解精度评定的指标（中误差、相对误差、容许误差）的概念；了解误差传播定律的应用。
重点：系统误差和偶然误差的特点及其处理方法。
难点：中误差、相对误差、容许误差的概念；误差传播定律的应用。
§ 5.1 测量误差的概念测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。
一、系统误差 (system error)1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2、特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
二、偶然误差 (accident error)1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。
但具有一定的统计规律。
2、特点：（1）具有一定的范围。
（2）绝对值小的误差出现概率大。
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（4）数学期限望等于零。
即：误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。
此外，在测量工作中还要注意避免粗差 (gross error) （即：错误）的出现。
偶然误差分布频率直方图§ 5.2 衡量精度的指标测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。
一、中误差方差：——某量的真误差， [] ——求和符号。
规律：标准差估值（中误差 m ）绝对值愈小，观测精度愈高。
在测量中，n为有限值，计算中误差 m 的方法，有：1、用真误差（ true error ）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。
真误差Δ——观测值与其真值之差，有：标准差中误差（标准差估值）， n 为观测值个数。
[ 例题 ] ：对 10 个三角形的内角进行了观测，根据观测值中的偶然误差（三角形的角度闭合差，即真误差），计算其中误差。
第5章测量误差的基本知识
1、仪器 三、观测条件
2、观测者
3、外界条件
仪器的质量，人的水平及外界条件的综合 四、等精度观测 在相同观测条件下进行的观测 五、不等精度观测 观测条件不相同的观测 六、误差的分类（按其对观测结果影响性质的不同） 1、系统误差 在相同观测条件下对某一量进行一系列观测，所出现的误差在大小，符号上表现出一致性或按 一定规律变化的为常数。 2、偶然误差 所出现的误差从表面上看没有规律。 3、系统误差对待方法（检校仪器、用一定的观测方法、加改正数） 七、多余观测：多于必要观测次数的观测。 可以及时发现错误，据所评定精度，提交最后成果精度。 八、偶然误差的物性 在 相 同 观 测 条 件 下 ， 独 立 地 观 测 了 某 测 区 内 365 个 的 全 部 内 角 ， 内 角 和 的 真 误 差
180 ，将正、负误差分开，以误差区间 d 2 对误差个数及频率进行统计。
1、绝对值超过一定限值的误差出现的频率为零 2、小误差出现的频率比大误差出现的频率大 3、正负误差出现的频率相等 4、当观测次数无限增大时，误差的算术平均值→0。 有界性 单峰性 对称性
mx
n
0.71
0.50 0.41 0.35 0.32 0.29
0.20
0.18
0.17
0.16
m 增多观测次数可提高算术平均值的精度
n 25 精度的提高缓慢，提高仪器的等级
四、应用定律注意事项 1、观测值仅含偶然误差。 2、观测值必须相互独立。 3、仅需取两个有效数字。 4、单位统一。 5、有时先取自然对数方便得多。
2 mz (
30 三、举例 1、和差函数
z x1 x2 xn dz dx1 dx2 dxn
《测量学》第05章 测量误差的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
第五章测量误差的基本知识
mC
试求 中误差
5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中 误差
▪ 当观测次数n趋于无穷大时，算术平均值趋 于未知量的真值。当n为有限值时，通常取 算术平均值做为最可靠值。
▪ 利用观测值的改正数vi计算中误差：
m [vv] (n 1)
▪ 算术平均值中误差：
M m [vv] n n(n 1)
例：对某直线丈量了6次，丈量结果如表，求算术
▪ 4相同的观测条件下,一测站高差的中误差为 _______。
▪ 5衡量观测值精度的指标是_____、_______和 ______。
▪ 6对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值的中 误差是观测值中误差的______倍。
▪ 7在等精度观测中,对某一角度重复观测多次,观测 值之间互有差异,其观测精度是______的。
第五章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差基本知识
5.1 测量误差与精度 5.2误差传播定律 5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中误 差 5.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中 误差
第五章 测量误差基本知识
▪ 主要内容：测量误差的概念、来源、分类 与处理方法；精度概念及评定标准；误差 传播定律；观测值中误差计算；直接观测 值的最可靠值及其中误差
Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差
▪ 经纬仪对中误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 尺长误差和温度误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 下面是三个小组丈量距离的结果，只有（ 测量的相对误差不低于1/5000的要求
）组
▪ Ａ.100m 0.025m； Ｂ.200m 0.040m； Ｃ.150m 0.035m
第五章 测量误差基础知识
5.1.3
观测误差的分类及其处理方法
②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的 改正。如对距离观测值进行尺长改正、温度改正和倾斜改正，对竖 直角进行指标差改正等。 ③将系统误差限制在允许范围内。有的系统误差既不便计算改 正，又不能采用一定的观测方法加以消除，例如，经纬仪照准部管 水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水平角的影响，对于这类系统 误差，则只能按规定的要求对仪器进行精确检校，并在观测中仔细 整平将其影响减小到允许范围内。
表5-1 误差绝对值 K K/n 91 0.254 81 0.226 66 0.184 44 0.123 33 0.092 26 0.073 11 0.031 6 0.017 0 0
正误差 K K/n 46 0.128 41 0.115 33 0.092 21 0.059 16 0.045 13 0.036 5 0.014 2 0.006 0 0
[] X [l ] n n 根据偶然误差第（4）特性 [ ] 0 [l ] lim n n
lim
n
[l ] X n
n
x
27
§5-4 测量值的精度评定
若被观测对象的真值不知，则取平均数 l 为最优解x （最或然值） 改正值：
vi l li x li
标准差可按下式计算
2
v
i 1
n
2
i
n 1
m
白塞尔公式
v
i 1
n
2
i
n 1
28
证明：
1 X l1 2 X l2 n X ln
v1 x l1 v1 x l1 v1 x l1
容许误差
第五章测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识第五章测量误差的基本知识本章摘要：本章主要介绍测量误差的种类；偶然误差的统计特征和处理⽅法；精度的含义；评定测量精度的指标；不同精度指标表达的意义及其适⽤范围。
§5-1 测量误差及分类摘要内容：学习误差理论知识的⽬的，使我们能了解误差产⽣的规律，正确地处理观测成果，即根据⼀组观测数据，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度；同时，根据误差理论制定精度要求，指导测量⼯作选⽤适当观测⽅法，以符合规定精度。
讲课重点：测量误差的概念、测量与观测值分类、测量误差及其来源、测量误差的种类、偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲课难点：偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲授重点内容提要：⼀、测量误差的概念⼈们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差，这种误差在对变量进⾏观测和量测的过程中反映出来，称为测量误差。
⼆、测量与观测值通过⼀定的仪器、⼯具和⽅法对某量进⾏量测，称为观测，获得的数据称为观测值。
三、观测与观测值的分类1.同精度观测和不同精度观测观测条件：构成测量⼯作的要素包括观测者、测量仪器和外界条件，通常将这些测量⼯作的要素统称为观测条件。
同精度观测：在相同的观测条件下，即⽤同⼀精度等级的仪器、设备，⽤相同的⽅法和在相同的外界条件下，由具有⼤致相同技术⽔平的⼈所进⾏的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度观测值或等精度观测值。
反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值。
2.直接观测和间接观测直接观测：为确定某未知量⽽直接进⾏的观测，即被观测量就是所求未知量本⾝，称为直接观测，观测值称为直接观测值。
间接观测：通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观测，观测值称为间接观测值。
（说明：例如，为确定两点间的距离，⽤钢尺直接丈量属于直接观测；⽽视距测量则属于间接观测。
）3.独⽴观测和⾮独⽴观测独⽴观测：各观测量之间⽆任何依存关系，是相互独⽴的观测，称为独⽴观测，观测值称为独⽴观测值。
测量误差基本知识
第五章测量误差基本知识5－1 测量误差概述一、测量误差产生的原因对某一个量进行多次重复观测，例如重复观测某一水平角或往返丈量某段距离等，其多次测量的结果总存在着差异，这说明观测值中含有测量误差。
产生测量误差的原因很多，概括起来有下列三个方面：1．仪器的原因测量工作是采用经纬仪、水准仪等测量仪器完成的，测量仪器的构造不可能十分完善，从而使测量结果受到一定影响。
例如，经纬仪的视准轴与横轴不垂直、度盘刻划不均匀，都会使所测角度产生误差；水准仪的视准轴不平行于水准管轴、望远镜十字丝不水平，都会使高差产生误差。
2．观测者的原因由于观测者感觉器官的鉴别能力存在局限性，所以对仪器的各项操作，如经纬仪对中、整平、瞄准、读数等方面都会产生误差。
此外，观测者的技术熟练程度和工作态度也会对观测成果带来不同程度的影响。
3．外界环境的影响测量所处的外界环境(包括温度、风力、日光、大气折光等)时刻在变化，使测量结果产生误差。
例如，温度变化会使钢尺产生伸缩，风吹和日光照射会使仪器的安置不稳定，大气折光会使瞄准产生偏差等。
人、仪器和外界环境是测量工作的观测条件，由于受到这些条件的影响，测量中的误差是不可避免的。
观测条件相同的各次观测称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
二、测量误差的分类测量误差按其对观测结果影响性质的不同分为系统误差和偶然误差两类。
1．系统误差在相同的观测条件下对某一量进行一系列观测，若误差的出现在符号和数值上均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
例如，用名义长度为30.000m，而实际鉴定后长度为30.006m的钢卷尺量距，每量一尺段就有0.006m的误差，其量距误差的影响符号不变，且与所量距离的长度成正比。
所以，系统误差具有积累性，对测量结果的影响较大；另一方面，系统误差对观测值的影响具有一定的规律性，且这种规律性总能想办法找到，因此系统误差对观测值的影响可用计算公式加以改正，或采用一定的测量措施加以消除或削弱。
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样，其中最常见的是测量设备误差，如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外，环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差，可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值，并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合，通过测量组合量来得到被
测量的值，并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中，如果发现异常值， 应进行识别、判断和处理，以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ，使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定，其中A类评定基于统计分析，B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时，需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ，以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
根据测量不确定度对数据进行修约， 以确保数据的完整性和一致性。
第五章测量误差基本知识
§5.2衡量精度的标准
一、精度的含义 所谓精度，是指误差分布的集中与离散程度。
如误差分布集中（曲线a），则观测精度高；若 误差分布离散（曲线b），则观测精度就低。
第五章测量误差基本知识
二、平均误差
θ＝［｜∆｜］/n θ越小，精度越高
三、中误差 m
n m越小，精度越高 例1、设甲乙两组观测，真误差为： 甲：＋4″，＋3 ″ ，0 ″ ，－2 ″，－4 ″ 乙：＋6″，＋1 ″ ，0 ″ ，－1 ″ ，－5 ″ 试比较两组的精度。第五章测量误差基本知识
二、特殊函数的中误差
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：m z m 1 2m 2 2.. .m n 2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差： m z (k1)2m 1 2 (k2)2m 2 2 . .(.kn )2m n 2
第五章测量误差基本知识
例4：在△ABC中，测量得a＝137.285±0.012m
第五章测量误差基本知识
①过失误差（粗差）：观测者错误引起
问题（1）：甲建筑公司在郑州大学行 政楼施工中进行变形观测，一次用DS3仪器 测量A点的沉降量为＋1.3mm，请问这次测 量结果是不是过失误差？
第五章测量误差基本知识②系统误差：误差的大小符号按 Nhomakorabea定的规律
变化 产生的原因：外界条件、仪器设备、观测
四、相对误差
例2、假设现在丈量了两段距离：
甲：100±0.01米；乙： 200±0.01米
到底那组的精度高些呢？
如果从中误差来看，两组的精度相等，但这样显 然不合理。因为实际上距离测量的误差与长度相 关，距离越大，误差的累积就越大,这就需要引 入相对误差：
测量学自学教程5
第五章 测量误差的基本知识一、本章重点1．测量误差概念。
2．算术平均值原理。
3．评定观测值的精度标准二、本章难点1．观测值中误差及算术平均值中误差的概念。
2．偶然误差及特性。
3．观测值函数中误差的概念及其应用。
三、课时分配第一节 概 述在测量工作中，对某量(如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等)进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量误差，即:测量误差 = 真值 - 观测值观测误差按其性质可分为两类： 1．系统误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若观测误差的符号及大小保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
这种误差往往随着观测次数的增加而逐渐积累。
如某钢尺的注记长度为30 m ，经鉴定后，它的实际长度为30.016 m ，即每量一整尺，就比实际长度量小0.016 m ，也就是每量一整尺段就有 + 0.016 m 的系统误差。
这种误差的数值和符号是固定的，误差的大小与距离成正比，若丈量了五个整尺段，则长度误差为5 ⨯ (+ 0.016) = + 0.080 m 。
若用此钢尺丈量结果为167.213 m ，则实际长度为：167.213 + 30213.167 ⨯ 0.0016 = 167.213 + 0.089 = 167.302 (m)由此可见，系统误差对观测结果影响较大，因此必须采用各种方法加以消除或减少它的影响。
比如用改正数计算公式对丈量结果进行改正。
再例如，角度测量时经纬仪的视准轴不垂直于横轴而产生的视准轴误差，水准尺刻划不精确所引起的读数误差，以及由于观测者照准目标时，总是习惯于偏向中央某一侧而使观测结果带有误差等都属于系统误差。
系统误差除可用改正数计算公式对观测结果进行改正加以消除外，也可以用一定的观测方法来消除其误差影响。
如经纬仪视准轴不垂直于横轴造成的误差，可以用盘左、盘右观测角度，取其平均值的方法加以消除；在水准测量中，采用前、后视距离相等来消除水准仪的视准轴不平行于水准管轴造成的误差。
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第五章测量误差重点内容
1．名词解释
误差：测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实值，简称真值。
对该量进行观测得到一个观测值。
观测值与真值之差，称为真误差。
系统误差：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
偶然误差：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。
但具有一定的统计规律。
偶然误差特点：1）偶然误差有界，它的绝对值不会超过一定限值。
（2）绝对值小的误差出现概率大，绝对值大的误差出现概率小。
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（4）当观测次数n无限增大时，偶然误差的平均值趋近零
中误差：在相同的观测条件下，对同一量进行n次观测，则各真误差平方的平均值的平方根称为该组观测值的中误差，以m表示。
2．测量误差的来源、、
3．测量误差分为粗差、系统误差、偶然误差
4．粗差通过多余观测来发现，通过重新观测含有粗差的观测值来消除。
5．系统误差特点具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过对观测值施加改正或用一定的观测方法加以消除或削弱。
6．衡量精度的指标中误差、方差、极限误差、相对误差、平均误差。
7．偶然误差的特点，偶然误差能否消除？
8．运用误差传播定律解题
9．为什么算术平均值最可靠？
10．算术平均值的中误差
11．用改正数计算中误差的公式
12．用DJ6经纬仪观测某角度８个测回，结果如下：863613、863621、863617、863614、863619、863623、863621、863618。
试求该角最或是值及其中误差。
13．已知一测回观测角度中误差为12"，则四测回观测算术平均值中误差为（±6″）；要想使观测值精度达到3"，则应观测（16 ）测回。
14．测A、B两点高差测了20站，每站的中误差m站= ±3mm则高差h AB的中误m hAB
(±13.4mm )
15．测量某段距离，往测为123.456米，返测为123.485米，则相对误差为（A ）。
A. 1/4300
B.1/4200
C. 0.000235
D. 0.029
16．在1：5000地形图上量得A、B两点间的距离d=234.5±0.2mm。
求A、B两点间的实地水平距离D及其中误差m D（D=1172.5m ±1.0m）
17．对一个三角形观测了其中A、B两个角，测角中误差分别为m A =±3″m B=±4″,求另一
个角C的中误差m C （±5″）
18．水准测量中，视距为75m时在标尺上读数中误差m读=±2mm，若以3倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n站所得高差闭合差的容许误差。
=±3×2.8≈±8√n mm
容
19．视线倾斜时视距测量的精度分析（水平距离的精度分析高差的精度分析）20．本章后的前1---12思考与练习题。