信号与系统-卷积积分
信号与系统试题五(1)
期末考试试题五一、选择题（共10题，每题3分 ，共30分，每题给出四个答案，其中只有一个正确的） 1、 卷积f 1(k+5)*f 2(k-3) 等于 。
（A ）f 1(k)*f 2(k) （B ）f 1(k)*f 2(k-8)（C ）f 1(k)*f 2(k+8)（D ）f 1(k+3)*f 2(k-3) 2、 积分dt t t ⎰∞∞--+)21()2(δ等于 。
（A ）1.25（B ）2.5（C ）3（D ）5 3、 序列f(k)=-u(-k)的z 变换等于 。
（A ）1-z z （B ）-1-z z（C ）11-z （D ）11--z4、 若y(t)=f(t)*h(t),则f(2t)*h(2t)等于 。
（A ）)2(41t y （B ）)2(21t y （C ）)4(41t y （D ）)4(21t y 5、 已知一个线性时不变系统的阶跃相应g(t)=2e -2t u(t)+)(t δ,当输入f(t)=3e —t u(t)时，系统的零状态响应y f (t)等于（A ）(-9e -t +12e -2t )u(t) （B ）(3-9e -t +12e -2t )u(t)（C ）)(t δ+(-6e -t +8e -2t )u(t) （D ）3)(t δ +(-9e -t +12e -2t )u(t)6、 连续周期信号的频谱具有（A ） 连续性、周期性 （B ）连续性、收敛性 （C ）离散性、周期性 （D ）离散性、收敛性7、 周期序列2)455.1(0+k COS π的 周期N 等于（A ） 1（B ）2（C ）3（D ）4 8、序列和()∑∞-∞=-k k 1δ等于（A ）1 (B) ∞ (C) ()1-k u (D) ()1-k ku 9、单边拉普拉斯变换()se s s s F 2212-+=的愿函数等于 ()()t tu A ()()2-t tu B ()()()t u t C 2- ()()()22--t u t D 10、信号()()23-=-t u tet f t的单边拉氏变换()s F 等于()A ()()()232372+++-s e s s ()()223+-s e B s()()()2323++-s se C s ()()332++-s s e D s二、填空题（共9小题，每空3分，共30分）1、卷积和[（0.5）k+1u(k+1)]*)1(k -δ=________________________2、单边z 变换F(z)=12-z z的原序列f(k)=______________________ 3、已知函数f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)=1+s s，则函数y(t)=3e -2t ·f(3t)的单边拉普拉斯变换Y(s)=_________________________4、频谱函数F(j ω)=2u(1-ω)的傅里叶逆变换f(t)=__________________5、单边拉普拉斯变换ss s s s F +++=2213)(的原函数f(t)=__________________________ 6、已知某离散系统的差分方程为)1(2)()2()1()(2-+=----k f k f k y k y k y ，则系统的单位序列响应h(k)=_______________________7、已知信号f(t)的单边拉氏变换是F(s),则信号⎰-=20)()(t dx x f t y 的单边拉氏变换Y(s)=______________________________8、描述某连续系统方程为()()()()()t f t f t y t y t y +=++''''52该系统的冲激响应h(t)=9、写出拉氏变换的结果()=t u 66 ，=kt 22三、（8分）已知信号()()()⎪⎩⎪⎨⎧><==↔./1,0,/1,1s rad s rad jw F j F t f ωωω设有函数()(),dt t df t s =求⎪⎭⎫⎝⎛2ωs 的傅里叶逆变换。
信号与系统 期末复习试卷1
， 22t k
第2页共4页
三、（10 分）如图所示信号 f t，其傅里叶变换
F jw F
f t，求（1）
F
0
（2）
F
jwdw
四 、（ 10
分）某
LTI
系统的系统函数
H s
s2
s2 2s 1
，已知初始状态
y0 0, y 0 2, 激励 f t ut, 求该系统的完全响应。
参考答案 一、选择题（共 10 题，每题 3 分 ，共 30 分，每题给出四个答案，其中只有一 个正确的）1、D 2、A 3、C 4、B 5、D 6、D 7、D 8、A 9、B 10、A
二、填空题（共 9 小题，每空 3 分，共 30 分）
1、 0.5k uk 2、 (0.5)k1u(k)
3、
s s
2 5
5、 (t) u(t) etu(t)
8、 et cos2tut
三、（10 分）
6、 1 0.5k1 uk
9、 66 ， 22k!/Sk+1 s
解：1）
F ( ) f (t)e jt dt
Atut Btut 2 Ct 2ut Dt 2ut 2
10、信号 f t te3tut 2的单边拉氏变换 Fs等于
A
2s
s
7 e 2s3 32
C
se
s
2 s 3
32
B
e 2s
s 32
D
e 2s3
ss 3
二、填空题（共 9 小题，每空 3 分，共 30 分）
1、卷积和[（0.5）k+1u(k+1)]* (1 k) =________________________
信号与系统练习题
练习题一、 单项选择题（共35题）1.下列信号中为周期信号的是【 B 】(A) t t t f πsin 2cos )(+= (B) t t t f 3cos 2sin )(+=(C) t t t f πsin 2cos 3)(+=(D))(cos )(t t t f επ=2. 积分dt t t e t ∫∞∞−−+)]()(['2δδ等于【 D 】(A) -1 (B)1 (C) 2 (D) 3 3. 卷积积分)()(t t t εε∗等于【 C 】(A) )(2t t ε (B) )(t t ε (C) )(212t t ε (D) )(2t t ε4. 卷积和)]1()([)(−−∗k k k δδε等于【 A 】(A) )(k δ (B) )1(−k δ (C) )2(−k δ (D) )(k ε5. 信号)()(2t e t f t ε−=的频谱函数)(ωj F 等于【 B 】(A)ωj 1 (B) ωj +21 (C) ωj −21 (D) ωj +−21 6. 系统的幅频特性|H (j ω)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是【 B 】(A) f (t ) = cos(t ) + cos(8t ) (B) f (t ) = sin(2t ) + sin(4t ) (C) f (t ) = sin(2t ) sin(4t ) (D) f (t ) = cos 2(4t )7. 象函数ses F −+=11)(的原函数)(t f 是t=0接入的有始周期信号，其第一个周期（0<t<T ）的时间函数表达式=)(0t f 【 D 】(A) )(t δ (B) )1(−t δ (C) )1()(−+t t δδ (D) )1()(−−t t δδ8.函数)]()[sin()(22t t dt d t f επ=的拉普拉斯变换=)(s F 【 C 】(A) 222π+s s (B) 22ππ+s (C) 222ππ+s s (D) 22ππ+s s 9. 序列)1(2)(2)(−−+=−k k k f k k εε的双边Z 变换=)(z F 【 B 】 (A)221,)2)(12(3<<−−z z z z (B) 221,)2)(12(3<<−−−z z z z(C)21,)2)(12(3>−−−z z z z (D) 2,)2)(12(3<−−−z z z z10. 象函数)2)(1()(2−+=z z z z F 其收敛域为2>z ，则其原序列=)(k f 【 A 】(A) )(])2(32)1(31[k k k ε+− (B) )(])2(3231[k k ε+(C) )(])2(32)1(31[k k k ε−+− (D) )1(])2(32)1(31[−−+−k k k ε11. 积分dt t t )(4sin(91δπ∫−−等于【 B 】(A)22(B) 22− (C) 2 (D) 2− 12. 卷积积分)()(t t εε∗等于【 C 】(A) )(2t ε (B) )(t ε (C) )(t t ε (D) 1 13. 卷积和)1()1(−∗−k k δε等于【 A 】(A) )2(−k ε (B) )(k ε (C) )1(−k δ (D) )2(−k δ 14. 信号t t f 2cos )(=的频谱函数)(ωj F 等于【 D 】(A) )1()1(++−ωδωδ (B) )]1()1([++−ωδωδπ (C))2()2(++−ωδωδ (D) )]2()2([++−ωδωδπ15. 已知)()(ωj F t f ↔，则函数)()2(t f t −的频谱函数为【 C 】(A))(2)(ωωωj F d j dF − (B) )(2)(ωωωj F d j dF +(C) )(2)(ωωωj F d j dF j− (D) )(2)(ωωωj F d j dF j + 16. 信号)1()()(−−=t t t f εε的拉普拉斯变换等于【 D 】(A))1(se − (B))1(1s e s − (C) )1(se −− (D) )1(1s e s−− 17. 象函数)1(1)(2s e s s F −+=的原函数)(t f 是t=0接入的有始周期信号，其第一个周期（0<t<T ）的时间函数表达式=)(0t f 【 D 】(A) )(t ε (B) )2(−t ε (C))2()(−+t t εε (D))2()(−−t t εε18. 序列)()1()(k k k f ε+=的双边Z 变换=)(z F 【 A 】(A) 1,)1(22>−z z z (B) 1,)1(22>+z z z(C) 1,)1(22<−z z z (D) 1,)1(22<+z z z 19. 象函数)2)(1()(2−+=z z z z F 其收敛域为1<z ，则其原序列=)(k f 【 D 】(A) )(])2(32)1(31[k k k ε+− (B) )(])2(32)1(31[k k k ε−−−(C))1(])2(32)1(31[−−+−k k k ε (D) )1(])2(32)1(31[−−−−−k k k ε20.)]([)1(t e dtdt t δ−−等于【 A 】 (A) )()('t t δδ+ (B) )()('t t δδ−(C) )(2)('t t δδ+ (D) )(2)('t t δδ−21.积分dt t t )1()4sin(03−−∫−δπ等于【 B 】(A) 1 (B) 0 (C)2 (D)322.)]([2t e dtdt ε−等于【 C 】(A) )()(2t et tεδ−− (B) )()(2t et tεδ−+ (C) )(2)(2t et tεδ−− (D) )(2)(2t et tεδ−+23. 积分dt t t ∫∞∞−−)('2)2(δ等于【 D 】 (A) 1 (B)2 (C) 3 (D) 424. 积分dt t t t ∫∞∞−)()2sin(δ等于【 B 】 (A) 1 (B)2 (C) 3 (D) 425. 卷积积分)]2()([)(−−∗t t t εεε等于【 D 】(A) )2()(−−t t t t εε (B) )2()(−+t t t t εε (C) )2()2()(−−+t t t t εε (D) )2()2()(−−−t t t t εε 26. 卷积积分)(')(t t δε∗等于【 C 】(A) )(2t δ (B) )(2t δ− (C) )(t δ (D) )(t δ− 27. 卷积积分)1()1(+∗−t t εε等于【 A 】(A) )(t t ε (B) )()1(t t ε− (C) )()2(t t ε− (D) )()1(t t ε+ 28. 卷积和)2()1(−∗−k k δδ等于【 D 】(A) )2(−k δ (B) )(k δ (C) )1(−k δ (D) )3(−k δ29. 已知卷积和)()1()()(k k k k εεε+=∗，则)4()3(−∗−k k εε等于【 B】(A) )6()6(−−k k ε (B) )7()6(−−k k ε (C) )6()7(−−k k ε (D) )7()7(−−k k ε 30.)]()2[cos(t t dtdε 的拉普拉斯变换等于【 C 】 (A)442+s (B) 442+−s(C)422+ss (D) 422+−ss31. 信号)()(t t t f ε=的拉普拉斯变换等于【 D 】(A)22s− (B)22s (C)21s− (D)21s32. 序列)(3)(2)(k k k f εδ+=的双边Z 变换=)(z F 【 A 】(A) 1,132>−+z z z (B) 1,132>−−z z z(C) 1,132>−+−z z z (D) 1,132>−−−z z z33. 序列)()(k k k f ε=的双边Z 变换=)(z F 【 A 】(A)1,)1(2>−z z z (B) 1,)1(2>+z z z(C) 1,)1(22>−z z z (D) 1,)1(22>+z z z 34. 象函数)3)(2(1)(−−=z z z F 其收敛域为3>z ，则其原序列=)(k f 【 C 】(A) )()32()(61k k k k εδ−− (B) )()32()(61k k k k εδ−+(C) )()32()(6111k k k k εδ−−−− (D) )()32()(6111k k k k εδ−−−+35. 序列)(])1(1[21)(k k f k ε−+=的双边Z 变换=)(z F 【 C 】(A)1,12>−z z z (B)1,12>+z z z(C) 1,122>−z z z (D) 1,122>+z z z二．填空题（共23题）：1. 已知信号)(t f 的波形如图所示，画出信号)2(t f −的波形为 )2(t f −O t2. 周期信号623sin(41)324cos(211)(ππππ−+−−=t t t f 的基波角频率=Ω s rad /.12π3. 信号11)(+=jt t f 的傅里叶变换等于 . 4. 频谱函数)3cos(2)(ωω=j F 的傅里叶逆变换=)(t f .)3()3(−++t t δδ5.信号)1()]1(sin[)()sin()(−−−=t t t t t f επεπ的拉普拉斯变换=)(s F . 22)1(ππ+−−s e s 6. 已知信号)(t f 的波形如图所示，画出信号)42(−t f的波形为 )42(−t fO t7. 序列)5.0cos()43sin()(k k k f ππ+=的周期为 . 88. 信号t tt f sin )(=的傅里叶变换等于 . )(2ωπg9.信号)1()()1(−=−−t et f t ε的拉普拉斯变换=)(s F .1+−s e s10.已知信号)(t f 的波形如图所示，则)(t f 的傅里叶变换等于 . )(2)(2ωωπδSa −11.若信号)(t f 的频谱函数为)(ωj F ，则)(b at f −的频谱函数为 ， 其中a 为非零常数。
信号与系统卷积和及几类常见题目
⏹卷积☐卷积的定义☐卷积的物理意义☐卷积的性质☐卷积的计算⏹信号的分解☐信号分解为基本信号之和☐…δ(t )是卷积的单位元δ(t-t 0)是卷积的延迟器u (t )是卷积的积分器δ’(t )是卷积的微分器温故知新，上讲回顾第二章信号的时域分析§2.1常用信号及其基本特性§2.2信号的时域运算Array§2.3信号的时域分解§2.4卷积积分§2.5卷积和信号分类；基本信号特性；信号分解与运算；卷积/卷积和周期/非周期判断；奇异函数运算；信号展缩平移；卷积/卷积和1. 掌握卷积和的定义/性质并进行计算（解析法、图解法、竖式法、性质求解）2. 习题课（信号时域分析几类常见题目）§2.5卷积和一、卷积和的定义及物理意义二、卷积和的性质三、卷积和的计算设x 1(n ) 和x 2(n )是两个序列，则1212()()()()k k k x n x n x x n ∞=−∞∗=−∑如果x 1(n ) 和x 2(n )都是因果序列，则11202()()()()nk x n x n x k x n k =∗=−∑1212()()()()d f t f t f f t τττ∞−∞∗=−⎰卷积和：卷积积分：1. 定义任意序列x (n ) 可以表示为单位样值信号δ(n ) 的移位加权和。
{}()=+(1)(1)+(0)()+(1)(1)+(2)(2)+()()()()k x n x n x n x n x n x k n k x k n k δδδδδδ∞=−∞−+−−+−+=− LTI 系统δ(n )h (n )x (n )?2. 物理意义输入δ(n-k )h (n-k )输出时不变x (k )δ(n-k )x (k )h (n-k )齐次性()=()()k x n x k n k δ∞=−∞−∑zs =()()()*(())k y n x k h n k h x n n ∞=−∞−∑ 可加性系统特性LTI 系统δ(n )h (n )卷积和卷积和的物理意义：揭示了LTI离散系统零状态响应与输入信号和系统单位样值响应之间的关系。
信号与系统 卷积积分的性质
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
信号系统 卷积积分
∞ f (τ )H[δ(t −τ )]dτ = ∫ −∞
( = ∫ f (τ )h t −τ ) dτ
∞ −∞
这就是系统的零状态响应。 这就是系统的零状态响应。
( ( yzs (t) = f (t) ⊗h t) = f (t) ∗h t)
三．卷积的计算
卷积的一般步骤
f (t) = ∫ f1(τ ) f2(t −τ ) dτ
0
f 1 (τ )
t
f1 (τ )
2
f 2 ( −τ )
2
f 2 (t − τ )
f1 (τ )
2
1
f 2 (t − τ )
1
1
0
1
t
τ
0
0 t
1
τ
0
1 t
τ
0 < t ≤ 1, f (t ) = ∫ 2 × e − (t −τ ) dτ = 2(1 − e − t )ε (t ) t > 1, f (t ) = ∫ 2 × e − (t −τ ) dτ = 2(e − (t −1) − e −t )ε (t − 1)
二．利用卷积求系统的零状态响应
任意信号f(t)可表示为冲激序列之和 任意信号 可表示为冲激序列之和
f (t) = ∫ f (τ )δ(t −τ ) dτ
∞ −∞
把 作 于 激 应h L IS, 响 为 若 它 用 冲 响 为 (t)的 T 则 应
∞ f (τ )δ(t −τ ) dτ y(t) = H[ f (t)] = H ∫ −∞
§2.3卷积积分 2.3卷积积分
•卷积 卷积 •利用卷积积分求系统的零状态响应 利用卷积积分求系统的零状态响应 •卷积图解说明 卷积图解说明 •卷积积分的几点认识 卷积积分的几点认识 卷积积分的
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
理工类专业课复习资料-信号与系统-复习知识总结
重难点1.信号的概念与分类按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号；连续信号和离散信号；周期信号和非周期信号；能量信号与功率信号；因果信号与反因果信号；正弦信号是最常用的周期信号，正弦信号组合后在任一对频率（或周期）的比值是有理分数时才是周期的。
其周期为各个周期的最小公倍数。
①连续正弦信号一定是周期信号。
②两连续周期信号之和不一定是周期信号。
周期信号是功率信号。
除了具有无限能量及无限功率的信号外，时限的或或 T3,仏）=°的非周期信号就是能量信号，当t *，丰0的非周期信号是功率信号。
1.典型信号①指数信号： f (t) = Ke at，a e R②正弦信号：f (t) = K sin(破 + O')③复指数信号：f (t) = Ke st，s = a + j①④抽样信号：Sa(t)=乎奇异信号（1）单位阶跃信号/八(0 (t v0)u(t) = {1 t = 0 是u(t)的跳变点。
（2）单位冲激信号1「5(t)dt=1I 5(t)= 0 （当t丰0时）单位冲激信号的性质：(1)取样性j f(t)5(t)dt = f(0) j 5(tf f(t)dt = f仏)J—8 J—8相乘性质：f(岡)=f(0R(t)f(t')3(t-10)= f (t0)S(t- t)(2)是偶函数d(t )= 5 -1(3)比例性5(at) =15(t)l a l（4）微积分性质5（t）=迎）；d tf 5(丁) d 丁 = u (t)J—8(5)冲激偶 f (t )5(t) = f (0)5(t) - f r(0)5(t)d —8d —85'(—t ) = —5'()f 5'(t )d t = 0J —8带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。
正跳变对应 着正冲激；负跳变对应着负冲激。
重难点2.信号的时域运算 ① 移位：f (t +10)， t 0为常数当t 0>0时，f (t +10)相当于f (t)波形在t 轴上左移t 0 ；当t 0 <0时，f (t +10)相当于f (t ) 波形在t 轴上右移t 0。
信号与系统信号的时域分解与卷积积分
28
三、卷积的性质及卷积计算
(2) (t-t0 ) 是卷积的延迟器
y(t) f (t) (t t0 )=f (t t0 )
物理意义
f (t)
有用推论
(t t0 )
f (t t0 )
f (t t1) (t t2 ) f (t t1 t2 )
若：f1(t) f2 (t) y(t) 则： f1(t t1) f2(t t2) y(t t1 t2)
s 平面和z平面的对应关系
×
衰减振荡信号
j
×虚指数信号 ×
增长振荡信号
指数×衰减信号
×
直流信号
×
指数增长信号
jIm[z]
z esT rej r eT , T
× 虚指数信号
衰减振荡信号
×
×
× 指×数增长
指数衰减信号 直流 Re[z]
增长振荡信号
× 2
温故知新，上讲回顾
信号波形的翻转、展缩与平移
)
f3 (t
)]d
f1( )
f2 (t
)d
f1 (
)
f3 (t
)d
f1(t) f2 (t) f1(t) f3 (t)
物理意义：两个LTI系统并联，其总的单位冲激响应等
于各个子系统的单位冲激响应之和。也可通过交换律/
线性系统性质证明
f1 (t )
f2 (t) f3 (t)
f1(t) [ f2 (t) f3 (t)]
f1(t) f2 (t ) f3 (t) yzs (t) f1 (t) [ f2 (t) f3 (t)]
表明:两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激响 应等于各个子系统单位冲激响应的卷积。
第二章第3讲 卷积
[ f () * f ()]d f (t) * f ()d f (t) * f ()d
1 2 1 2 2 1
t
t
t
证明：
[ f ( ) * f
1 t 1
t
2
( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d
结合律应用于系统分析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积
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卷积的微分与积分
df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt
t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d
t1 t t2
t
积分限是： 例：
f1(t ) 2e u(t )
g (t )
f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
f1( ) 1 f2(1-) 2
f1( ) 1 f2(2-) 2
f1( )
f2(3-)
2
c
c
c
c
-1
0
f1() f2(-)
《信号与系统》中卷积积分教案设计
《信号与系统》中卷积积分教案设计信号与系统中卷积积分教案设计第一节：引言信号与系统是电子工程及通信工程等领域的重要基础课程，对于学生理解和掌握信号与系统的基本概念和理论具有重要意义。
其中，卷积积分是信号与系统中的重要概念之一，是深入理解信号处理与系统分析的基础。
本文基于《信号与系统》课程，设计了一份卷积积分的教案，旨在帮助学生理解和掌握卷积积分的概念、性质及应用。
第二节：教学目标本教案旨在达到以下几个教学目标：1. 理解卷积积分的基本概念；2. 掌握卷积积分的运算规则与性质；3. 熟悉卷积积分的常见应用领域；4. 培养学生的分析思维和问题解决能力。
第三节：教学内容与方法3.1 教学内容：本教案的教学内容包括以下几个方面：1. 卷积积分的定义与基本性质；2. 卷积积分的运算规则与性质；3. 卷积积分的时域与频域表达；4. 卷积积分在时域滤波与频域滤波中的应用。
3.2 教学方法：本教案将采用以下教学方法：1. 课前预习与课后复习，巩固基础知识；2. 理论讲解结合实例分析，提高学生的理论理解能力；3. 开展小组讨论与交流，激发学生的思维能力；4. 设计实际案例和实验，培养学生的应用能力。
第四节：教学流程安排4.1 教学环节：1. 第一次课：介绍卷积积分的基本概念和定义；2. 第二次课：讲解卷积积分的运算规则与性质；3. 第三次课：引入卷积积分的时域与频域表达；4. 第四次课：探讨卷积积分在滤波领域的应用。
4.2 教学安排：1. 第一次课：引入卷积积分的基本概念和定义，通过具体例子解释卷积积分的概念，让学生理解其含义和作用；2. 第二次课：讲解卷积积分的运算规则与性质，使用数学推导和实例演示，帮助学生掌握卷积积分的计算方法；3. 第三次课：引入卷积积分的时域与频域表达，通过数学公式和图表展示，让学生理解卷积积分在不同域的表达方式；4. 第四次课：探讨卷积积分在滤波领域的应用，介绍卷积积分在时域滤波和频域滤波中的应用实例，并组织学生进行案例分析和讨论。
信号与系统试验----信号卷积
一、 实验目的1. 理解卷积的概念及物理意义；2. 通过实验的方法加深对卷积运算的图解方法及结果的理解。
二、实验设备1.信号与系统实验箱 1台2.双踪示波器1台三、实验原理卷积积分的物理意义是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，求解系统对任意激励信号的零状态响应。
设系统的激励信号为)t (x ，冲激响应为)t (h ，则系统的零状态响应为)(*)()(t h t x t y =⎰∞∞--=ττd t h t x )()(。
对于任意两个信号)t (f 1和)t (f 2，两者做卷积运算定义为：⎰∞∞--=ττd t f t f t f )(2)(1)(=)t (f 1*)t (f 2=)t (f 2*)t (f 1。
1. 两个矩形脉冲信号的卷积过程两信号)t (x 与)t (h 都为矩形脉冲信号，如图9-1所示。
下面由图解的方法（图9-1）给出两个信号的卷积过程和结果，以便与实验结果进行比较。
0≤<∞-t210≤≤t 1≤≤t 41≤≤t ∞<≤t 2124τ（b)(a)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)2卷积结果2. 矩形脉冲信号与锯齿波信号的卷积信号)t (f 1为矩形脉冲信号，)t (f 2为锯齿波信号，如图9-2所示。
根据卷积积分的运算方法得到)t (f 1和)t (f 2的卷积积分结果)t (f ，如图9-2(c)所示。
图9-2 矩形脉冲信号与锯齿脉冲信号的卷积积分的结果3. 本实验进行的卷积运算的实现方法在本实验装置中采用了DSP 数字信号处理芯片，因此在处理模拟信号的卷积积分运算时，是先通过A/D 转换器把模拟信号转换为数字信号，利用所编写的相应程序控制DSP 芯片实现数字信号的卷积运算，再把运算结果通过D/A 转换为模拟信号输出。
结果与模拟信号的直接运算结果是一致的。
数字信号处理系统逐步和完全取代模拟信号处理系统是科学技术发展的必然趋势。
图9-3为信号卷积的流程图。
信号第二章3卷积
若将此信号作用到冲激信号为h(t)的线性时不 变系统，则系统的响应为
r (t ) H [e(t )] H [ e( ) (t )d ]
e( ) H [ (t )]d
e( )h(t )d
零状态响应：rzs (t ) e( )h(t )d h(t ) e(t )
def
2.算子符号基本规则
(1)算子多项式可以进行因式分解 ( p 2)( p 3) p 2 5 p 6 例如： (2)等式两端的算子符合因式不能相消 ( p 2) r (t ) ( p 1) e(t ) ( p 2)( p 3) r (t ) ( p 2 4 p 3) e(t ) 不能简化为： (3)算子的乘除顺序不能随意颠倒
（3）结合律： f1(t) f2 (t) f3 (t) f1(t) f2 (t) f3 (t)
e(t)
h1(t)
h2(t)
r(t)
串联系统 r (t ) e(t ) h1 (t ) h2 (t )
2.卷积的微分与积分
d f1 (t ) f 2 (t ) df 2 (t ) （4）微分性： f1 (t ) dt dt df1 (t ) (适于高阶微分） f 2 (t ) dt
r (t ) e( )h(t )d
1 (a) t 2
e(t ) * h(t ) 0
h(t )
e( )
1
1 2
t 2
(b)
0
1 t 1 2
相乘
t
1
1 t 1 2 t 1 e(t ) * h(t ) 1 1 (t )d 2 2 t2 t 1 4 4 16 (b)
信号与系统实验报告
信号与系统实验报告一、信号的时域基本运算1．连续时间信号的时域基本运算两实验之一实验分析：输出信号值就等于两输入信号相加（乘）。
由于b=2，故平移量为2时，实际是右移1，符合平移性质。
两实验之二心得体会：时域中的基本运算具有连续性，当输入信号为连续时，输出信号也为连续。
平移，伸缩变化都会导致输出结果相对应的平移伸缩。
2.离散时间信号的时域基本运算两实验之一实验分析：输出信号的值是对应输入信号在每个n值所对应的运算值，当进行拉伸变化后，n值数量不会变，但范围会拉伸所输入的拉伸系数。
两实验之二心得体会：离散时间信号可以看做对连续时间信号的采样，而得到的输出信号值，也可以看成是连续信号所得之后的采样值。
二、连续信号卷积与系统的时域分析1.连续信号卷积积分两实验之一实验分析：当两相互卷积函数为冲激函数时，所卷积得到的也是一个冲激函数，且该函数的冲激t值为函数x，函数y冲激t值之和。
两实验之二心得体会：连续卷积函数每个t值所对应的卷积和可以看成其中一个在k值取得的函数与另外一个函数相乘得到的一个分量函数，并一直移动k值直至最后，最后累和出来的最终函数便是所得到的卷积函数。
3.RC电路时域积分两实验之一实验分析：全响应结果正好等于零状态响应与零输入响应之和。
两实验之二心得体会：具体学习了零状态，零输入，全响应过程的状态及变化，与之前所学的电路知识联系在一起了。
三、离散信号卷积与系统的时域分析1.离散信号卷积求和两实验之一实验分析：输出结果的n值是输入结果的k号与另一个n-k的累和两实验之二心得体会：直观地观察到卷积和的产生，可以看成连续卷积的采样形式，从这个方面去想，更能深入地理解卷积以及采样的知识。
2.离散差分方程求解两实验之一实验分析：其零状态响应序列为0 0 4 5 7.5，零输入响应序列为2 4 5 5.5 5.75，全状态响应序列为2 4 9 10.5 13.25，即全状态=零输入+零状态。
两实验之二心得体会：求差分方程时，可以根据全状态响应是由零输入输入以及零状态相加所得，分开来求，同时也加深了自己对差分方程的求解问题的理解。
信号与系统-时域 卷积定理
τ δ (ω ) = lim Sa(ωτ ) τ →∞ π
FT[cosω1t ] = π [δ (ω + ω1 ) + δ (ω − ω1 )]
f 0 (t )
F0 (ω )
τ
τ 2
1
−τ 2
2
−1
− ω1
πδ (ω + ω 0 )
− ω1
F (ω )
ω1
ω
πδ (ω − ω 0 )
ω
ω1
四、周期单位冲激序列的FS δ T (t ) =
l 取f(t)的一个周期 f 0 (t )
，其FT为 F0(ω)
2 2
F 0 (ω ) =
l 所以
∫
T1
− T1
f 0 ( t ). e
ω = nω1
− jω t
dt
1 Fn = F0 (ω ) T1
三、正余弦信号的傅立叶变换 ——用频移特性 F0 (ω ) = FT [ 1 ] = 2πδ (ω )
三 频域抽样
l 设连续频谱函数 F (ω ) 对应的时间函数为f(t),
抽样冲激序列 δ ω1 (ω ) =
l 抽样后的频率函数 l 根据卷积定理可得
2π – 其中 ωs = T1
∑
∞ n =−∞
δ (ω − nω1 )
F1 (ω ) = F (ω ) δ ω1 (ω )
∞ 1 f1 (t ) = ∑ n =−∞ f (t − nT1 ) ω1
∞
FT
nω1τ F (ω ) = Eτω1 ∑ Sa δ (ω − nω1 ) 2 1 n = −∞
∞
小结——单脉冲和周期信号的傅
立叶变换的比较 是连续谱， 它的大小是有限值； l 周期信号的谱 F(ω) 是离散谱， 含谱密度概念，它的大小用冲激 表示； 1 l F0 (ω) 是 F(ω) 的包络的 ω 1 。
信号与系统第二章(3)卷积积分
y(t) 1 f1(τ ) f2( t - ) τ y(3)
0 (e) t >3
3
t
τ
0 (f )
3
t
例2 求下图所示函数 f1(t )和 f2 (t )的卷积积 分.
2
f1 (t ) f 2 (t )
3 4
2
0 2
2
f1 (τ )
t
0
2
f 2 ( τ )
3 4
t
解(1) )
2
0
2
τ -2
0
τ
(2) )
由前面分析知: 由前面分析知:
y zs (t ) = ∫ f (τ )h(t τ )dτ
0
tHale Waihona Puke = f (t ) h(t )
这是求解零状态响 应的另一种方法. 应的另一种方法
二,卷积的图示法
第一步, 波形,将波形图中的t轴 第一步,画出 f 1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 波形,将波形图中的 轴 ) 改换成τ轴 的波形. 改换成 轴,分别得到 f1 ( τ) f 2 ( τ的波形. 和 第二步, 波形以纵轴为中心轴翻转180° 第二步,将 f 2 (τ)波形以纵轴为中心轴翻转180°, 波形. 得到 f 2 ( τ)波形. 第三步,给定一个t值 波形沿τ轴平移 轴平移|t|. 第三步,给定一个 值,将 f 2 ( τ) 波形沿 轴平移 . 在t<0时, 波形往左移;在t>0时,波形 时 波形往左移; 时 往右移. 的波形. 往右移.这样就得到了 f 2 ( t τ) 的波形.
2
2
-1
0
t
f2 (t )
1
-1
0
1
信号与系统§2.4 卷积积分的性质
∫ −∞ f1(t) f2 (t +τ ) dt
∞
互相关是表示两个不同函数的相似性参数。 互相关是表示两个不同函数的相似性参数。 可证明， 可证明，R12(τ)=R21(–τ)。 。 若f1(t)= f2(t) = f(t)，则得自相关函数 ，
R(τ ) = ∫
∞ −∞
f (t) f (t −τ ) dt = ∫
证：δ ' (t) * f (t) = δ ' (τ ) f (t −τ ) dτ = f ' (t) ∫
−∞ ∞
f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t) 3. f(t)*ε(t)
= ∫ f (τ )ε (t −τ ) dτ = ∫ f (τ ) dτ
−∞ −∞
▲ ■ 第 3页
∞
t
ε(t) *ε(t) = tε(t)
第 5页
五、相关函数
相关函数是鉴别信号的有力工具， 相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应 用于雷达回波的识别， 用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领 域。 相关是一种与卷积类似的运算。 相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同 的是没有一个函数的反转。 的是没有一个函数的反转。 • 相关函数的定义 • 相关与卷积的关系 • 相关函数的图解
例1
▲
t
t
t
例2
■
第 4页
四、卷积的时移特性
f(t) = f1(t)* f2(t)， 若 ， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)
例
求卷积是本章的重点与难点。 求卷积是本章的重点与难点。
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§2.4.1 卷积
信号与系统
卷积定义
1．定义与物理意义
①历史：19世纪，欧拉，泊松，杜阿美尔
②卷积与反卷积互逆
i)卷积
e(t)√ h(t)√ r(t)?
ii)反卷积1：系统辨识
e(t)√ h(t)? r(t)√
iii)反卷积2：信号检测
e(t)? h(t)√ r(t)√
信号与系统
卷积定义
t 1
2
1 (t
2
) d
t2 4
t 4
1 16
当 t 3 时 rzs (t) 0
当 1t 3/2 时
rzs (t)
1 1
2
1 2
(t
) d
3t 4
3 16
信号与系统 卷积图解过程
0
t 1 2
t2 4
t 4
1 16
1 t 1 2
rzs
(t )
3t
4
3 16
1t 3 2
t2 4
t 2
f 2 (t )
[C,D]
+ f2(t) 0 3
rzs (t ) 1 4
r (t ) f1(t)* f2 (t) [A+C,B+D]
一般规律：
卷积结果所占的时宽＝两卷积函数所占的时宽之和
信号与系统 卷积图解过程
例： e(t) u(t 1) u(t 1)
2
求：rzs (t )
e(t )
1
1 O t 3 1
t
t 3 1
t
3
1
即 2 t <4
f (t) 1 1(t )d t 2 t 2
t3 2
42
)
f2 (t )
1 O 1 t 3
t
即： t 3 1
两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0
f 1( ) f2 (t ) 0 f (t ) f 1(t ) f2 (t ) 0
积分结果为t 的函数
1. f1(t ) f1( ) 积分变量改为
2.
f2(t)
f2 ( ) 反折
时延
f2 ( )
f2(t
)
3.相乘 f1 ( ) f2 (t )
4.乘积的积分 f1( ). f2 (t )d
信号与系统 卷积图解过程
例 ：f1 (t )
f1
(Gt )2
(t
),
f2
t
1 f1 ( ) f2 (t )d
t 1 t
1 2
d
2
t
2
4
t 1
t2
4
t 1 24
信号与系统 卷积图解过程
1 t <2
f2
(t
1
)
f1(
)
t 3 1 O 1t
t 3 1
t 1
即 1 t <2
f
(t )
1
1
1 (t
2
)d
t
信号与系统 卷积图解过程
2t<4
1 f1( )f2 (t )
信号与系统 卷积图解过程
卷积结果
f1(t )
1
1 O 1 t
f2(t )
3 2
O
3t
t2 t 1 4 24
f
(t)
t
t2 4
t 2
2
0
f (t)
1 t 1
2
1t 2
2t4 1 O 其它
1
2
4t
信号与系统 卷积结果区间的确定
卷积结果非零区间的确定
f1 (t )
[A,B]
f1(t ) -1 1
1 0 1 t 2
h(t) 1 t u(t) u(t 2)
2
h(t)
1
0
2t
信号与系统 卷积图解过程
解： 图解法
i)t
e( )
1
1 0 1 2
ii)h( ) h( )
h( )
1
2
0
h( )
1
0
2
iii)h( ) h(t )
h(t )
1
t2 0 t
信号与系统 卷积图解过程
iv)相乘；v)求积分
信号与系统
卷积的计算
可直接利用函数的解析表达式代入卷积积分定义式计算。
其中，积分限的确定是非常关键。 1、借助于阶跃函数 u (t) 确定积分限
2、利用图解说明确定积分限
用图解法直观，用图形分段求出定积分限尤为方便准确对τ延时t，
f (t) f1( ) f2 (t )d
－(τ- t)= t- τ
3
f2(t )
2
1 O 1 t3
t
下限
上限
f2(t )
t-3
t
f1( ) f2 (t ) -1
1
当
t从
到
变化时，3对应的 2
f2(t )
从左向右移动。
1 O 1 t 3
t
信号与系统 卷积图解过程
t -1
f2(t )
1 f1( )
t3
t 1 O
1
t 1 两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0
e( )
h(t ) h(t h()t ) h(t h)(t )
t2 t2
当t 1/ 2 时
t t 21
2
t t 21 tt 2 t
当 3/2t 3 时
t
rzs (t) 0 当 1/ 2 t 1时
rzs (t)
1 1 (t ) d t2 t 3
t2 2
4 24
rzs (t)
③定义： 设有两个 函数 f1(t) f2 (t) ，积分
f (t) f1( ) f2 (t )d
称为 f1(t) f2 (t) 的卷积积分，简称卷积，记为
f (t) f1(t) f2(t) 或 f (t) f1(t) f2(t)
信号与系统
利用卷积求系统的零状态响应
④物理意义：将信号分解成冲激信号之和，借助系统的 冲激响应h(t)，求出系统对任意激励信号的零状态响应，即：
任意信号 f (t) 可表示为冲激信号加权和 f (t) f ( ) (t )d
若把它作用于冲激响应为h(t)的LTI系统，则响应为
r(t) H f (t)
H
f
(
)
(t
)
d
f ( )H (t )d
f ( )h(t )d
这就是系统的零状态响应。
rzs (t ) f (t ) h(t )
(t)
t 2
[u(t )
u(t
3)]
f1( )
1
1 O 1 t
f2(t )
3 2
t
t
1
1 O
f
1(
2
)
3
2
O
3t
f2(t ) 3
O0
3
2
t
t 3
Ot
信号与系统 卷积图解过程
f2 (t ) 的坐标是浮动的。
t ：移动的距离
t0 , t0 , t0 ,
f2 ( )未移动 f2 ( ) 右移 f2 (t ) f2 ( ) 左移 f2 (t )
3 4
3 t 3 2
0
t 3
信号与系统
由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性， 卷积的积分限会有所变化，不是一定从-∞到+∞。卷积 积分中积分限的确定是非常关键的。
f 1( ) f2 (t ) 0 f (t ) f 1(t ) f2 (t ) 0
信号与系统 卷积图解过程
-1 t <1
f2 (t )
1 f1( ) f2 (t )向右移
t3
1 tO
1
1 t 1 时两波形有公共部分，积分开始不为0，积
分下限-1，上限t。
( ) f (t)