信号与系统-卷积积分

t 1
2
1 (t
2
) d
t2 4
t 4
1 16
当 t 3 时 rzs (t) 0
当 1t 3/2 时
rzs (t)
1 1
2
1 2
(t
) d
3t 4
3 16
信号与系统 卷积图解过程
0
t 1 2
t2 4
t 4
1 16
1 t 1 2
rzs
(t )
3t
4
3 16
1t 3 2
t2 4
t 2
③定义： 设有两个 函数 f1(t) f2 (t) ，积分
f (t) f1( ) f2 (t )d
称为 f1(t) f2 (t) 的卷积积分，简称卷积，记为
f (t) f1(t) f2(t) 或 f (t) f1(t) f2(t)
信号与系统
利用卷积求系统的零状态响应
④物理意义：将信号分解成冲激信号之和，借助系统的 冲激响应h(t)，求出系统对任意激励信号的零状态响应，即：
3 4
3 t 3 2
0
t 3
信号与系统
由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性， 卷积的积分限会有所变化，不是一定从-∞到+∞。卷积 积分中积分限的确定是非常关键的。
f 2 (t )
[C,D]
+ f2(t) 0 3
rzs (t ) 1 4
r (t ) f1(t)* f2 (t) [A+C,B+D]
一般规律：
卷积结果所占的时宽＝两卷积函数所占的时宽之和
信号与系统 卷积图解过程
例： e(t) u(t 1) u(t 1)
2
求：rzs (t )
e(t )
1
任意信号 f (t) 可表示为冲激信号加权和 f (t) f ( ) (t )d
若把它作用于冲激响应为h(t)的LTI系统，则响应为
r(t) H f (t)
H
f
(
)
(t
)
d
f ( )H (t )d
f ( )h(t )d
这就是系统的零状态响应。
rzs (t ) f (t ) h(t )
(t)
t 2
[u(t )
u(t
3)]
f1( )
1
1 O 1 t
f2(t )
3 2
t
t
1
1 O
f
1(
2
)
3
2
O
3t
f2(t ) 3
O0
3
2
t
t 3
Ot
信号与系统 卷积图解过程
f2 (t ) 的坐标是浮动的。
t ：移动的距离
t0 , t0 , t0 ,
f2 ( )未移动 f2 ( ) 右移 f2 (t ) f2 ( ) 左移 f2 (t )
信号与系统
§2.4.1 卷积
信号与系统
卷积定义
1．定义与物理意义
①历史：19世纪，欧拉，泊松，杜阿美尔
②卷积与反卷积互逆
i)卷积
e(t)√ h(t)√ r(t)?
ii)反卷积1：系统辨识
e(t)√ h(t)? r(tHale Waihona Puke Baidu√
iii)反卷积2：信号检测
e(t)? h(t)√ r(t)√
信号与系统
卷积定义
1 O t 3 1
t
t 3 1
t
3
1
即 2 t <4
f (t) 1 1(t )d t 2 t 2
t3 2
42
信号与系统
t >4
1 f1( )
f2 (t )
1 O 1 t 3
t
即： t 3 1
两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0
f 1( ) f2 (t ) 0 f (t ) f 1(t ) f2 (t ) 0
1 0 1 t 2
h(t) 1 t u(t) u(t 2)
2
h(t)
1
0
2t
信号与系统 卷积图解过程
解： 图解法
i)t
e( )
1
1 0 1 2
ii)h( ) h( )
h( )
1
2
0
h( )
1
0
2
iii)h( ) h(t )
h(t )
1
t2 0 t
信号与系统 卷积图解过程
iv)相乘；v)求积分
信号与系统 卷积图解过程
卷积结果
f1(t )
1
1 O 1 t
f2(t )
3 2
O
3t
t2 t 1 4 24
f
(t)
t
t2 4
t 2
2
0
f (t)
1 t 1
2
1t 2
2t4 1 O 其它
1
2
4t
信号与系统 卷积结果区间的确定
卷积结果非零区间的确定
f1 (t )
[A,B]
f1(t ) -1 1
f 1( ) f2 (t ) 0 f (t ) f 1(t ) f2 (t ) 0
信号与系统 卷积图解过程
-1 t <1
f2 (t )
1 f1( ) f2 (t )向右移
t3
1 tO
1
1 t 1 时两波形有公共部分，积分开始不为0，积
分下限-1，上限t。
( ) f (t)
信号与系统
卷积的计算
可直接利用函数的解析表达式代入卷积积分定义式计算。
其中，积分限的确定是非常关键。 1、借助于阶跃函数 u (t) 确定积分限
2、利用图解说明确定积分限
用图解法直观，用图形分段求出定积分限尤为方便准确对τ延时t，
f (t) f1( ) f2 (t )d
－(τ- t)= t- τ
e( )
h(t ) h(t h()t ) h(t h)(t )
t2 t2
当t 1/ 2 时
t t 21
2
t t 21 tt 2 t
当 3/2t 3 时
t
rzs (t) 0 当 1/ 2 t 1时
rzs (t)
1 1 (t ) d t2 t 3
t2 2
4 24
rzs (t)
t
1 f1 ( ) f2 (t )d
t 1 t
1 2
d
2
t
2
4
t 1
t2
4
t 1 24
信号与系统 卷积图解过程
1 t <2
f2
(t
1
)
f1(
)
t 3 1 O 1t
t 3 1
t 1
即 1 t <2
f
(t )
1
1
1 (t
2
)d
t
信号与系统 卷积图解过程
2t<4
1 f1( )f2 (t )
积分结果为t 的函数
1. f1(t ) f1( ) 积分变量改为
2.
f2(t)
f2 ( ) 反折
时延
f2 ( )
f2(t
)
3.相乘 f1 ( ) f2 (t )
4.乘积的积分 f1( ). f2 (t )d
信号与系统 卷积图解过程
例 ：f1 (t )
f1
(Gt )2
(t
),
f2
3
f2(t )
2
1 O 1 t3
t
下限
上限
f2(t )
t-3
t
f1( ) f2 (t ) -1
1
当
t从
到
变化时，3对应的 2
f2(t )
从左向右移动。
1 O 1 t 3
t
信号与系统 卷积图解过程
t -1
f2(t )
1 f1( )
t3
t 1 O
1
t 1 两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0