二项式定理测试卷
二项式定理测试题
二项式定理测试题一、选择题1．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫33x ＋1x n 的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P＋S ＝272，则n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．82.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x n 的展开式中，常数项为15，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．63．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．44．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B.154 C ．－38D.385．C 331＋C 332＋C 333＋…＋C 3333除以9的余数是( ) A ．7B ．06．已知C n 0＋2C n 1＋22C n 2＋…＋2n C n n ＝729，则C n 1＋C n 3＋C n 5的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63D ．317．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝( ) A ．32 B ．－32 C ．－33D ．－318．(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5二、填空题(每小题5分，共10分)9．若(1－2x )2 004＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 004x 2 004(x ∈R )，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 004)＝________.(用数字作答)10．若多项式x 3＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝________.11．(1－x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为__________． 12．若⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．三、解答题(每小题10分，共20分)13．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －124x n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，(1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项．14．求0.9986的近似值，使误差小于0.001.15．(10分)已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含x 2项的系数最小值．16．在(x －y )11的展开式中，求 (1)通项T r ＋1；(2)二项式系数最大的项； (3)项的系数绝对值最大的项； (4)项的系数最大的项； (5)项的系数最小的项； (6)二项式系数的和； (7)各项系数的和．17．已知(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…a9y9，求：(1)各项系数之和；(2)所有奇数项系数之和；(3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．18．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，若a1＋a2＋…＋a n－1＝29－n，求n.。
二项式定理高考试题及其答案总
二项式定理历年高考试题荟萃(一)一、选择题 ( 本大题共 58 题)1、二项式的展开式中系数为有理数的项共有………（）A.6项B.7项C.8项D.9项2、对于二项式（＋x3）n（n∈N），四位同学作出了四种判断：…（）①存在n∈N，展开式中有常数项；②对任意n∈N，展开式中没有常数项；③对任意n∈N，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N，展开式中有x的一次项.上述判断中正确的是（A）①与③（B）②与③（C）②与④（D）④与①3、在（+x2）6的展开式中，x3的系数和常数项依次是…………（）（A）20，20 （B）15，20（C）20，15 （D）15，154、（2x3－）7的展开式中常数项是………………………………………………………（）A.14B.－14 C.42 D.－425、已知(x－)8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是……………………………………………………………()(A)28 (B)38 (C)1或38 (D)1或286．若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是…………（）A.8B.9C.10D.127 .(2x+)4的展开式中x3的系数是……………………………………()A.6B.12C.24D.488、（－）6的展开式中的常数项为…………………………………（）A.15B.－15 C.20 D.－209、（2x3－）7的展开式中常数项是…………………………………………（）A.14B.－14 C.42 D.－4210、若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是………………（）A.8B.9C.10D.1211、若展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则n等于A．4 B．6 C．8D．1012、的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A.4项B.3项C.2项D.1项13.(x-y)10的展开式中x6y4项的系数是（A）840 （B）-840 （C）210 （D）-21014.的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A．4项 B．3项 C．2项 D．1项15、若展开式中含的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于（）A.5B.7C.9D.1116、3.若的展开式中的系数是( )A B C D17、在的展开式中的系数是（）A.－14B.14C.－28 D.2818、如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）（A）7 （B）（C）21 （D）19、如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）（A）7 （B）（C）21 （D）20、设k=1,2,3,4,5,则（x+2）5的展开式中x k的系数不可能是（A）10 （B）40 （C）50 （D）8021、7.在()n的二项展开式中，若常数项为60，则n等于A.3B.6C.9D.1222、已知()的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是(A)-1 (B)1 (C)-45 (D)4523、的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有A．3项 B．4项 C．5项 D．6项24、在二项式(x+1)6的展开式中，含x3的项的系数是(A)15 (B)20 (C)30 ( D)4025、(若多项式,则（A）9 （B）10 （C）-9 （D）-1026、(的值为（）Ａ．61 Ｂ．62 Ｃ．63Ｄ．6427、在(x-)2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=时，S等于A．23008B．-23008C．23009D．-2300928.在（）24的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有A．3项 B.4项 C.5项 D.6项29、的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（A）0 （B）2 （C）4 （D）630、在（x-）的展开公式中，x的系数为（A）-120 （B）120 （C）-15 （D）1531、（2x-3）5的展开式中x2项的系数为（A）-2160 （B）-1080 （C）1080 （D）216032．若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是A．-2 B．2 C．D．233、的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（A）－540 （B）－162 （C）162 （D）54034、已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为-，其中i2＝-1，则展开式中常数项是(A)-45i (B)45i (C)-45(D)4535.若对于任意的实数x，有x3=a0+a1（x-2）+a2（x-2）2+a3（x-2）3，则a2的值为A.3B.6C.9D.136、在的二项展开式中，若只有的系数最大，则A.8B. 9C.10 D.1137、.的展开式中，常数项为15，则n=A.3B.4C.5D.638、若(x+)n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为A.10B.20C.30D.12039、.已知(＋)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于A.4B.5C.6D.740、设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为A.－2B.－1 C.1 D.241、展开式中的常数项是(A) -36 (B)36 (C) -84 (D) 8442、如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为A.3B.5C.6D.1043、如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为A.10B.6C.5D.344、((2x+1)6展开式中x2的系数为(A)15 (B)60 (C)120(D)24045、（-）12展开式中的常数项为（A）-1320 （B）1320 （C）-220 (D)220 46、在的展开式中，含的项的系数是（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274 47、展开式中的常数项为A．1 B．C．D．48、在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x4的项的系数是（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）27449、设则中奇数的个数为（）A．2 B．3 C．4D．550、的展开式中含的项的系数为（A）4 （B）6 （C）10 （D）1251、展开式中的常数项为A．1 B．46 C．4245 D．424652、的展开式中的系数是（）A． B． C．3 D ．453、的展开式中含的项的系数为（A）4 （B）6 （C）10 （D）1254、的展开式中的系数为（）A．10 B．5 C．D．155、的展开式中的系数是（）A． B． C．3 D ．456、设则中奇数的个数为（）A．2 B．3 C．4D．557、若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中x4项的系数为( )A.6B.7C.8D.958、的展开式中常数项是A.210B.C.D.-105二项式定理历年高考试题荟萃(二)一、填空题 ( 本大题共 55 题)1、在二项式（x－1）11的展开式中，系数最小的项的系数为.（结果用数值表示）2、展开式中的常数项是.3、在二项式（x－1）11的展开式中，系数最小的项的系数为 .（结果用数值表示）4、在代数式(4x2－2x－5)(1+)5的展开式中，常数项为______________.5、在(x－)6的二项展开式中，常数项为 .6、.(x+1)10的二项展开式中x3的系数为.7、若在（）n的展开式中，第4项是常数项，则n= .8、（x2+1）（x－2）7的展开式中x3项的系数是.12、（x2－）9展开式中x9的系数是.17.若（1－2x）2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）= .（用数字作答）18、已知a为实数，（x+a）10展开式中x7的系数是－15，则a= .19、若在(1+ax)5展开式中x3的系数为－80，则a= .20、的展开式中各项系数的和是128,则展开式中x5的系数是 .(以数字作答)21.（x2+）9的展开式中的常数项为（用数字作答）.22、若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 .(结果用分数表示)23、（x－）8展开式中x5的系数为 .24、若在(1+ax)5展开式中x3的系数为－80，则a= .25、若（x3+）n的展开式中的常数项为84，则n= .26、若(x＋－2)n的展开式中常数项为－20,则自然数n＝.27、（x－）8展开式中x5的系数为 .28、如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第行中从左至右第14与第15个数的比为2∶3.29、.在（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）6的展开式中，x2项的系数是.（用数字作答）30、二项式的展开式中常数项为__________（用数字作答）.31、. 若，且，则.32、（展开式中的常数项是（用数字作答）.33、的展开式中，常数项为。
(完整版)二项式定理测试题及答案
二项式定理测试题及答案1.有多少个整数n 能使(n+i)4成为整数（B ） A.0 B.1 C.2 D.3 2. ()82x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为（B ）A.-1B.0C.1D.23．若S=123100123100A A A A ++++L L ，则S 的个位数字是（C ）A 0B 3C 5D 8 4．已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ C ） A.28B.38C.1或38D.1或285．在3100(25)+的展开式中，有理项的个数是（ D ） Ａ．15个Ｂ．33个Ｃ．17个 Ｄ．16个6.在2431⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（C ） A ．3项 B ．4项C ．5项D ．6项7．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是（ C ）A 、－5B 、 5C 、10D 、－10 8．35)1()1(x x +⋅-的展开式中3x 的系数为（ A ）A ．6B ．-6C ．9D ．-9 9．若x=21，则(3+2x)10的展开式中最大的项为（B ） A.第一项 B.第三项 C.第六项 D.第八项 10.二项式431(2)3nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ A ） A ．7B ．12C ．14D ．511.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式2x 项的系数为（Ｃ ）A ．1440B ．-1440C ．-2880D ．2880 12．在51(1)x x+-的展开式中，常数项为（ B ） （A ）51 （B ）－51 （C ）－11 （D ）1113．若32(1)1()n n x x ax bx n *+=+++++∈N L L ，且:3:1a b =，则n 的值为（ Ｃ ） Ａ．9Ｂ．10Ｃ．11Ｄ．1214．若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++⋅⋅⋅+++x a x a x a a ，则=9a （ ）（A ） 9 （B ）10 （C ）9- （D ）10- 解：根据左边x10的系数为1,易知110=a ，左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为0109910109=+=+a C a a ,∴109-=a故选D 。
(完整版)二项式定理练习题
二项式定理练习题一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在()103x -的展开式中,6x 的系数为（ )A ．610C 27-B ．410C 27 C ．610C 9-D ．410C 92． 已知a 4b ,0b a =>+， ()n b a +的展开式按a 的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n 等于（ ）A ．4B ．9C ．10D ．113．已知（n a a )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2,则n 是 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 4．5310被8除的余数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．7 5． (1。
05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ) A ．1.23 B ．1。
24C ．1。
33D ．1.346．二项式n4x 1x 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （n ∈N)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展开式有理项的项数是（ ) A ．1B ．2C ．3D ．47．设(3x 31+x 21）n 展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t+h=272，则展开式的x 2项的系数是( )A ．21B ．1C ．2D ．38．在62)1(x x -+的展开式中5x 的系数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．nx x)(5131+展开式中所有奇数项系数之和等于1024,则所有项的系数中最大的值是（ ） A ．330 B ．462 C ．680 D ．790 10．54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为（ ）A ．－40B ．10C ．40D ．4511．二项式（1+sinx)n的展开式中,末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x 在［0，2π]内的值为（ )A ．6π或3πB ．6π或65πC ．3π或32πD ．3π或65π12．在（1+x )5+(1+x ）6+（1+x ）7的展开式中，含x 4项的系数是等差数列 a n =3n －5的 ( ）A ．第2项B ．第11项C ．第20项D ．第24项二、填空题：本大题满分16分,每小题4分,各题只要求直接写出结果.13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 。
二项式定理训练题（含答案）
⼆项式定理训练题（含答案）⼆项式定理训练题⼀、单选题（共4题；共8分）1.若⼆项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 202.已知⼆项式的展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，则的系数为（）A. 14B.C. 240D.3.若，则的值为（）A. B. C. D.4.在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（）A. ﹣40B. 160C. 120D. 200⼆、填空题（共13题；共15分）5.⼆项式的展开式中常数项为________.6.展开式中常数项为________.7.的展开式中，x3的系数为________．8.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________.9.的⼆项展开式中，含项的系数为________．10.若，则的展开式的第4项的系数为________.（⽤数字作答）11.⼆项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．12.已知的展开式中的系数为108，则实数________.13.的展开式中，的系数是20，则________.14.展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的⼆项式系数和为________.15.在的展开式中，的系数是________.16.的展开式中的系数为________.17.在的展开式中，的系数为15，则实数________．三、解答题（共3题；共25分）18.已知展开式中各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．19.设.（1）求；（2）求及关于的表达式.20.已知⼆项式的⼆项展开式中所有奇数项的⼆项式系数之和为128.（1）求的展开式中的常数项；（2）在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果⽤数字作答)答案解析部分⼀、单选题1.【答案】C【解析】【解答】由令得，解得，⼆项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.故答案为：C.【分析】令，结合展开式中各项的系数和为234列⽅程，求得n的值，再利⽤⼆项式展开式的通项公式，即可求得含x项的系数.2.【答案】C【解析】【解答】⼆项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故答案为：C【分析】由⼆项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5可得：，令展开式通项中x的指数为3，即可求得，问题得解．3.【答案】C【解析】【解答】展开式的通项为：，故，，根据对称性知：.故答案为：C.【分析】计算，根据⼆项式系数的对称性即可得到答案.4.【答案】C【解析】【解答】∵（x2﹣x﹣2）5＝（x+1）5（x﹣2）5，∴x3的系数为.故答案为：C.【分析】先把（x2﹣x﹣2）5变形为（x+1）5（x﹣2）5，再利⽤⼆项式定理中的通项公式求出结果.⼆、填空题5.【答案】60【解析】【解答】⼆项式的展开式的通项公式为,令，解得，所以该⼆项式展开式中常数项为，故答案为：60。
二项式定理练习题与答案
二项式定理练习题一、单选题A．252B．426二、多选题5．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（）A ．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想11C C C r r rn n n-+=+B ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：012C C C C 2n n n n n n +++⋅⋅⋅+=C ．第20行中，第10个数最大D ．第15行中，第7个数与第8个数的比为7：9四、单空题五、双空题二项式定理练习题一、单选题【答案】B【分析】根据二项式系数的性质分析求解.【详解】二项式612x ⎫⎪⎭的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.故选：B.2．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中所选数1,1,2,3,6,10,20, 1，构成的数列{}n a 的第n 项，则12a 的值为（）A ．252B ．426C ．462D ．924【答案】C式的二项式系数的性质，即可求解【分析】根据题意，结合数字的构成规律，得到a 12即第11行的第6项，结合二项展开.【详解】由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中所选数1,1,2,3,6,10,20, ，构成的数列{}n a 的第n 项，根据数字的构成规律，可得数列的奇数项为每行数列的2n项，偶数项为每行的第12n +项，则12a 即第11行的第11162+=项，结合二项展开式的二项式系数的性质，可得61211C 462a ==.故选：C.【答案】C【分析】利用二项展开式通项即可得解.【详解】8141x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为418C r r r T x +=，0,1,2,,8r = ，当0,4,8r =时，159,,T T T 为有理项，故3m =.故选：C.4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a ，b ，m ()0m >均为整数，若a 和b 被m 除得的余数相间，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡，如9和21被6除得的余数都是3，则记()921mod 6≡.若()mod10a b ≡，且0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅ ，则b 的值可以是（）A ．2019B ．20C ．2021D ．2022【答案】C【分析】确定()10203101a ==-，展开计算得到()1mod10a ≡，对比选项得到答案.【详解】()()201001222020201020202020C C 2C 2C 21239101a =+⋅+⋅++⋅=+===- ，()100101991010101010101C 10C 10C 10C -=⋅-⋅+-⋅+ ，故()1mod10a ≡，依次验证选项知()20211mod10≡，故选：C.二、多选题5．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（）A ．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想11C C C r r rn n n-+=+B ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：012C C C C 2n n n n n n +++⋅⋅⋅+=C ．第20行中，第10个数最大D ．第15行中，第7个数与第8个数的比为7：9【答案】ABD【分析】对于A 选项，根据“杨辉三角”的规律进行判断即可；对于B 选项，根据二项式系数之和的性质进行计算即可；对于C 选项，第20行的数为()20C 0,1,2,,20ii =⋅⋅⋅，进而求解其最大项即可；对于D 选项，根据规律找到第7、8个数，直接计算即可.【详解】对于A 选项，由“杨辉三角”的规律可得A 正确；对于B 选项，由二项式系数的性质知012C C C C 2n nn n n n +++⋅⋅⋅+=，B 正确；第20行的数是()20C 0,1,2,,20ii =⋅⋅⋅，最大的1020C 是第11个数，C 错误；第15行中，第7个数与第8个数分别是615C 和715C ，615615771515A C 76!A C 97!==，D 正确.故选：ABD.【答案】AD【分析】利用赋值法解决，对于A ：通过给x 赋值0和1即可作出判断；对于B 和C ：通过给x 赋值1和1-，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断；对于D ：2202120211212202122021111222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过给x 赋值12得到结果即可作出判断.【详解】由题意，当0x =，2021011a ==，当1x =时，202101232021(1)1a a a a a +++++=-=- ；A 正确；当=1x -时，2021012320213a a a a a -+-+-= ，所以20211352021312a a a a +++++=- ，20210242020312a a a a -++++= ，BC 错误；2202120211212202122021111222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x =时，2202101220211110222a a a a ⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2202112202101111222a a a a ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯++⨯=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．D 正确.故选：AD ．【答案】960【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解．【详解】因为，()1021x +展开式的第8项为()37310C 2960=x x ，所以，()1021x +的展开式的第8项的系数为960.故答案为：960【答案】4或4【分析】根据二项展开式的通项公式结合二项式系数运算求解.【详解】因为()1sin nx +的展开式的通项公式为()1C 1sin C sin ,0,1,2,,rr n r r rr n n T x x r n -+=⨯⨯==⋅⋅⋅，令1=-r n ，可得111C sin sin n n n n n T x n x ---==⋅；令r n =，可得1C sin sin n n nn n T x x +==；由题意可得：19n +=，解得8n =，所以二项式系数最大的为第5项，则4445835C sin 70sin 2T x x ===，且()0,πx ∈，则sin 0x >，可得sin x =所以π4x =或3π4x =.故答案为：π4或3π4.【答案】240【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即得.【详解】二项式61(x -的展开式通项为36621661C ()((2)C ,N,6r r r r r rr T xr r x --+=-=-∈≤，由3602r -=，得4r =，所以所求常数项为4456(2)C 1615240T =-=⨯=.故答案为：240【答案】3【分析】利用二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出a 值.【详解】52()x x +的展开式的通项5521552C ()2C (0,1,2,3,4,5)r r r r r rr T x x r x--+===，令521r -=-得3r =，令520r -=，无解，所以52(2)()ax x x-+的展开式中的常数项为3352C 80240a a ⋅==，所以3a =.故答案为：3【答案】2或2-【分析】分别令0x =和2x =-可得系数的和与奇数项与偶数项系数的差，进而利用平方差公式整体代入可得关于m 的方程，求解即可.【详解】在()()()()20232202301220231111x m a a x a x a x ++=+++++++L 中，令0x =得()202301220231m a a a a +=++++L ，令2x =-得()2023012320231m a a a a a -+=-+-+-L ，所以()()2220230220221320233a a a a a a +++-+++=L L ()0123202301232023()a a a a a a a a a a =-+-+-+++++ ()()()202320232023220231113m m m =+-+=-=，所以213m -=，实数m 的值为2±,故答案为：2±.【答案】82【分析】用二项式定理展开，注意合并相反项再求和.【详解】(554321001122334455555551C 1C 1C 1C 1C 1C 1=+++++((((((5543210011223344555555551C 1C 1C 1C 1C 1C 1=+++++可得两式和的结果为82，故答案为：82【答案】8【分析】令1,2x y =-=，可得答案.【详解】注意到()()()()3232248112122a b c d a b c d -+-+=⋅-+⋅-⨯+⋅-⨯+⋅.又33223(106)x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-+=()3101628⎡⎤⨯-+⨯=⎣⎦.故答案为：8【答案】16【分析】根据二项式展开式结合其常数项组成形式即可得到答案.【详解】因为)61展开式的通项为()()662166C1C 1r rrrr r r T x--+=-=-，06,N r r ≤≤∈，)6111x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项由两项构成，即()6661C 11⨯-=与()24461C 115x⨯⨯-=，所以)6111x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为11516+=.故答案为：16.15．在2nx ⎫⎪的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之【答案】729/63【分析】根据二项式系数之和求出n 的值，进而设出各项的系数，然后采用赋值法即可求得答案.【详解】由题意2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有的二项式系数之和为64，即264,6n n =∴=，设62x ⎫⎪⎭的各项的系数为0126,,,,a a a a ，则各项的系数的绝对值之和为0126||||||||a a a a ++++ ，即为62x ⎫⎪⎭中各项的系数的和，令1x =，660126||||||||(12)3a a a a ++++=+= ，即各项的系数的绝对值之和为63729=，故答案为：729【答案】270【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】令()5523211332322a x x a a x ⎛⎫=⇒+=+=⇒=- ⎪⎝⎭，则()552233233a x x x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，设()5233x x --的通项为()()()5235102355C 3C 31rrrrrr r r r T x x x -----=-=⋅⋅-⋅，当2r =时，()55C 311027270rrr -⋅⋅-=⨯=，即展开式中的常数项为270.故答案为：270【答案】35-【分析】由条件利用二项式定理，分类讨论求得5221x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中x 项的系数.【详解】5221x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示5个因式221x x -+的乘积，在这5个因式中，有1个因式选x ，其余4个因式选1，相乘可得含x 的项；或者有3个因式选x ，1个因式选22x-，1个因式选1，相乘可得含x 的项；故x 项的系数为：()1431154521C C C C 2C 35⨯+⨯⨯-⨯=-.故答案为：35-.【答案】4【分析】由二项展开式通项公式可确定04,a a ，可构造关于n 的方程，解方程求得结果.【详解】()12nx -展开式的通项公式为：()C 2rr n x -，分别令0,4r r ==，01a ∴=，4416C n a =，则0417a a +=，即4116C 17n +=，解得：4n =.故答案为：4.【答案】10【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可．【详解】由522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为5535522C C 2kk k kk k x x x --⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，0,1,,5k = ，令532k -=，得1k =，所以展开式中2x 的系数为115C 210⨯=．故答案为：10．五、双空题【答案】1-364【分析】通过赋值的思路计算即可.【详解】令0x =得，()6011a -==；令1x =得，65432101a a a a a a a =++++++，令=1x -得，6543210729a a a a a a a =-+-+-+，两式相减得，()5317282a a a -=++，解得531364++=-a a a .故答案为：1；-364.。
二项式定理测试题及答案
二项式定理测试题及答案二项式定理测试题一、选择题1.(x-1)的10次方的展开式的第6项的系数是（）．A。
C10B。
-C10C。
C10D。
-C102.(2x+x)的展开式中x的3次方的系数是（）．A。
6B。
12C。
24D。
483.(1-x的3次方)(1+x)的10次方的展开式中x的5次方的系数是（）．A。
-297B。
-252C。
297D。
2074.(Ax+B)的展开式中，各项都含有x的奇次幂，则n（）．A。
必为偶数B。
必为奇数C。
奇偶数均可D。
不存在这样的正整数5.二项式的展开式中二项式系数最大的项为（）．A。
第6项B。
第5、6项C。
第7项D。
第6、7项6.设(2+x) = a + a1/x + a2/x的10次方 + a10/x的10次方，则(a+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2的值是（）A。
1B。
-1C。
0D。
(2-1)7.把(x-1)的9次方按x降幂排列，系数最大的项是（）A。
第四项和第五项B。
第五项C。
第五项和第六项D。
第六项8.若(3x-4)的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）A。
-540B。
-162C。
162D。
540二、填空题9.9192被100除所得的余数为92.+3Cn+5Cn+n+(2n+1)Cn=2n+3Cn。
11.在(x2+x-1)的7次方(2x+1)的4次方的展开式中，奇数项的系数的和为0.12.(x+4)的展开式中系数最大的项为C4.三、解答题13.(3x+4)的展开式为：81x的4次方+108x的3次方+54x 的2次方+12x+1.14.已知二项式(3x-1/3)：1) 展开式第四项的二项式系数为35.2) 展开式第四项的系数为-80/27.15.在(5x-2y)的20次方的展开式中，系数最大的项是C10*(5x)的10次方*(-2y)的10次方，系数最小的项是C20*(-2y)的20次方。
2.由题意可得，4-r+r=3，解得r=2.因此，223x的系数为C4-2=6，乘以2得到答案为12.3.展开(1-x)(1+x)，得到1-x^2.展开式中含x项的系数为-1，因此，1-x^2中含x项的系数为0.而1-x^2=(1+x)-(x^2)，因此，含x项的系数为1，含x^2项的系数为-1.因此，x项系数为-C10=-207.4.展开式中的一般项为Tr+1=C(Ax)^r+1，其中A=5，x=-1.要使展开式中含有x^10，必须使n为奇数。
(完整版)二项式定理练习题(含答案)
二项式定理单选题（x+1）4的展开式中x的系数为A.2B. 4C. 6D.8答案B解析分析：根据题意，（x+1）4的展开式为T r+1=C4r x r；分析可得，r=1时，有x的项，将r=1代入可得答案．解答：根据题意，（x+1）4的展开式为T r+1=C4r x r；当r=1时，有T2=C41（ x）1=4x；故答案为：4．故选B．点评：本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简．2 （x+2）6的展开式中x3的系数是A.20B.40C.80D. 160答案D解析分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数．解答：设含x3的为第r+1，则Tr+1=C6rx6-r•2r，令6-r=3，得r=3，故展开式中x3的系数为C63•23=160．故选D．点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具3在（1+数学公式）4的展开式中，x的系数为A.4B.6C.8D.10答案B解析分析：根据题意，数学公式的展开式为Tr+1=C4r（数学公式）r；分析可得，r=2时，有x的项，将x=2代入可得答案．解答：根据题意，数学公式的展开式为Tr+1=C4r（数学公式）r；当r=2时，有T3=C42（数学公式）2=6x；故选B．点评：本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简．4（1+x）7的展开式中x2的系数是A.21B.28C.35D.42答案A解析分析：由题设，二项式（1+x）7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数是数学公式，计算出答案即可得出正确选项解答：由题意，二项式（1+x）7的展开式中x2的系数是数学公式=21故选A点评：本题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键4 填空题二项式（2x-1）9的展开式中的第八项为________．答案-144x2解析分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，令通项中的x取7，求出展开式中的第八项．解答：二项展开式的通项为Tr+1=（-1）r29-rC9rx9-r令r=7得T8=22C97x2=-144x2故答案为：-144x2点评：求二项展开式的特定项问题常用的工具是二项展开式的通项公式．5 （数学公式-数学公式）6的展开式中常数项是________．答案-160解析分析：据二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项．解答：展开式的通项为Tr+1=（-2）rC6rx3-r令3-r=0得r=3所以展开式的常数项为（-2）3C63=-160故答案为：-160．点评：二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．6 数学公式的展开式中x的系数为________．答案数学公式解析分析：由数学公式的展开式中的通项公式即可求得展开式中x的系数．解答：∵数学公式的展开式的通项公式Tr+1=数学公式数学公式，令r=1，得T2=数学公式•数学公式=数学公式x，∴数学公式的展开式中x的系数为数学公式．故答案为：数学公式．点评：本题考查二项式定理的应用，考查二项展开式中的通项公式的应用，属于中档题。
高中数学二项式定理综合测试题(有答案)
高中数学二项式定理综合测试题（有答案）选修 2-3 1.3.1 二项式定理一、选择题1．二项式 (a＋b)2n 的睁开式的项数是()A ．2n B． 2n＋ 1C．2n－ 1D． 2(n＋ 1)[答案]B2． (x－y)n 的二项睁开式中，第r 项的系数是 ()A ．CrnB ．Cr＋ 1nC．Cr－ 1n D ． (－ 1)r－ 1Cr－1n[答案] D3．在 (x－ 3)10 的睁开式中， x6 的系数是 ()A ．－ 27C610B ． 27C410C．－ 9C610 D ． 9C410[答案] D[ 分析 ]∵Tr＋1＝Cr10x10－r(－3)r.令10－r＝6，解得 r＝ 4.系数为 ( －3)4C410 ＝9C410.4． (2019 全国Ⅰ理， 5)(1＋ 2x)3(1 －3x)5 的睁开式中x 的系数是 ()A．－4 B．－2C．2 D．4[答案] C[ 分析 ](1＋ 2x)3(1 －3x)5 ＝(1＋6x ＋ 12x＋8xx)(1 － 3x)5，故(1＋ 2x)3(1 － 3x)5 的睁开式中含 x 的项为 1C35( －3x)3 ＋12xC05 ＝－ 10x＋ 12x＝ 2x，因此 x 的系数为 2.5．在 2x3 ＋ 1x2n(nN*) 的睁开式中，若存在常数项，则n 的最小值是 ()A．3 B．5C．8 D．10[答案]B[ 分析 ]Tr＋ 1＝ Crn(2x3)n － r1x2r ＝ 2n－ rCrnx3n －5r.令 3n－5r＝ 0，∵ 0n， r、nZ.n 的最小值为 5.6．在 (1－ x3)(1 ＋ x)10 的睁开式中 x5 的系数是 ()A ．－ 297 B．－ 252C．297 D ．207[答案] D[ 分析 ] x5 应是 (1＋ x)10 中含 x5 项与含 x2 项．其系数为 C510＋C210( －1)＝ 207.7． (2009 北京 )在 x2－ 1xn 的睁开式中，常数项为15，则 n 的一个值能够是()A．3 B．4C．5 D．6[答案] D[ 分析 ] 通项 Tr＋ 1＝ Cr10(x2)n － r(－ 1x)r ＝ (－1)rCrnx2n －3r，常数项是 15，则 2n＝ 3r，且 Crn＝ 15，考证 n＝ 6 时， r＝4 合题意，应选 D.8． (2019 陕西理， 4)(x ＋ ax)5(xR) 睁开式中x3 的系数为 10，则实数 a 等于 ()A ．－ 1 B.12C．1 D．2[答案] D[ 分析 ]Cr5xr(ax)5 － r＝ Cr5a5－ rx2r － 5，令 2r－ 5＝3，r＝ 4，由 C45a＝ 10，得 a＝ 2.9．若(1＋ 2x)6 的睁开式中的第 2 项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是 ()A.112 ＜x＜ 15B.16＜ x＜ 15C.112＜ x＜ 23D.16＜ x＜ 25[答案]A[ 分析 ]由T2T3得C162x1C162xC26(2x)2112＜x＜15. 10．在 32x －1220 的睁开式中，系数是有理数的项共有() A．4 项 B．5 项C．6 项 D．7 项[答案]A[ 分析 ]Tr＋ 1＝ Cr20(32x)20 －r－ 12r＝－ 22r(32)20 －rCr20x20 － r，∵系数为有理数，(2)r 与 220－r3 均为有理数，r 能被 2 整除，且 20－ r 能被 3 整除，故r 为偶数， 20－r 是 3 的倍数， 020.r＝ 2,8,14,20.二、填空题11． (1＋ x＋ x2)(1 － x)10 的睁开式中， x5 的系数为____________．[答案 ]－16212． (1＋ x)2(1 － x)5 的睁开式中x3 的系数为 ________．[答案] 5[ 分析 ]解法一：先变形(1＋ x)2(1 －x)5＝ (1－ x)3(1 － x2)2＝(1－x)3(1 ＋ x4 － 2x2)，睁开式中x3 的系数为－ 1＋( －2)C13( － 1)＝ 5；解法二： C35(－1)3 ＋C12C25( － 1)2＋ C22C15(－ 1)＝ 5. 13．若 x2 ＋ 1ax6 的二项睁开式中x3 的系数为52，则 a＝________(用数字作答 )．[答案] 2[ 分析 ]C36(x2)31ax3 ＝ 20a3x3＝52x3， a＝ 2.14． (2019 辽宁理， 13)(1 ＋x ＋x2)(x － 1x)6 的睁开式中的常数项为 ________ ．[答案 ]－5[ 分析 ](1＋ x＋x2)x － 1x6＝x－1x6＋ xx － 1x6＋ x2x －1x6，要找出 x－ 1x6 中的常数， 1x 的系数， 1x2 的系数，Tr＋ 1＝Cr6x6 －r( －1)rx － r＝ Cr6(－ 1)rx6 － 2r，令 6－ 2r＝0， r＝ 3，令6－ 2r＝－ 1，无解．令 6－ 2r＝－ 2， r＝ 4.常数－ C36＋ C46＝－ 5.三、解答15．求二式 (a＋ 2b)4 的睁开式．[ 分析 ]依据二式定理(a＋b)n＝C0nan＋ C1nan－ 1b＋⋯＋ Cknan－kbk ＋⋯＋Cnnbnn 得(a＋2b)4＝C04a4＋ C14a3(2b)＋ C24a2(2b)2＋ C34a(2b)3＋C44(2b)4 ＝ a4＋ 8a3b＋24a2b2＋ 32ab3＋ 16b4.16． m、 nN* ， f(x) ＝ (1＋ x)m ＋ (1＋ x)n 睁开式中 x 的系数19，求 x2 的系数的最小及此睁开式中x7 的系数．[ 分析 ]由m＋n＝19，∵ m，nN*.m＝1n＝ 18，m＝ 2n＝ 17，⋯， m＝ 18n＝1.x2 的系数 C2m＋ C2n＝ 12(m2－ m)＋ 12(n2－ n)＝ m2－ 19m＋171.当 m＝ 9 或 10 ，x2 的系数取最小81，此 x7 的系数C79＋ C710＝ 156.17．已知在 (3x－ 123x)n 的睁开式中，第 6 项为常数项．(1)求 n；(2)求含 x2 的项的系数；(3)求睁开式中全部的有理项．[ 分析 ](1)Tr ＋ 1＝ Crn(3x)n － r(－ 123x)r＝C rn(x13)n －r( －12x －13)r＝(－12)rCrnxn －2r3.∵第 6 项为常数项，r＝ 5 时有 n－2r3 ＝ 0， n＝ 10.(2)令 n－ 2r3＝ 2，得 r＝12(n －6) ＝ 2，所求的系数为C210( －12)2＝454.(3)依据通项公式，由题意得：10－ 2r3r10rZ令 10－2r3＝k(kZ) ，则 10－2r＝ 3k，即 r＝ 10－3k2 ＝5－32k.∵ rZ，k 应为偶数， k 可取 2,0，－ 2，r＝ 2,5,8，第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项．它们分别为C210( －12)2x2 ，C510( －12)5，C810( －12)8x －2.18．若 x ＋124xn 睁开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．[ 分析 ]通项为：Tr＋1＝Crn(x)n－r124xr.由已知条件知：C0n＋ C2n122＝2C1n12，解得： n＝ 8.记第 r 项的系数为tr，设第 k 项系数最大，则有：tktk ＋ 1 且 tktk － 1.又 tr ＝Cr－ 182－ r＋1，于是有：Ck－ 182－k＋ 1Ck82 － kCk － 182－ k＋ 1Ck－ 282－ k＋ 2即 8！ (k －1)！(9 － k)！8！k ！(8－ k) ！，8！ (k －1)！(9－ k)！8！ (k－2)！(10－ k) ！2.教师范读的是阅读教课中不可以缺乏的部分，我常采纳范读，让少儿学习、模拟。
二项式定理练习(带答案)
1.3.1二项式定理一、选择题1．在(x －12x )10的二项展开式中，x 4的系数为( )A ．－120B ．120C ．－15D ．15[答案] C[解析] T r ＋1＝C r 10x 10－r (－12x )r ＝(－12)r ·C r 10x 10－2r 令10－2r ＝4，则r ＝3.∴x 4的系数为(－12)3C 310＝－15.2．在(x 2－2x)6的二项展开式中，x 2的系数为( ) A ．－154B.154 C ．－38 D.38[答案] C[解析] ∵T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·(－2x )r ＝C r 6(－1)r 22r －6x 3－r (r ＝0,1,2，…，6)， 令3－r ＝2得r ＝1.∴x 2的系数为C 16(－1)1·2－4＝－38，故选C. 3．在(2x 2－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－40[答案] D[解析] 本小题考查二项式展开式的系数求法，考查运算能力．(2x 2－1x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r (－1x )r ＝C r 525－r (－1)r x 10－3r ，令10-3r ＝1得，r ＝3，∴T 4＝C 3522(－1)3x ＝－40x .∴x 的系数是－40.[点评] 把二项式系数等同于项的系数是易犯的错误．4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6[答案] D[解析] 通项T r ＋1＝C r 10(x 2)n －r (－1x)r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D.5．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项[答案] A [解析] T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22r ·(32)20－r C r 20·x 20－r ， ∵系数为有理数，∴(2)r与220－r 3均为有理数， ∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除，故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20.∴r ＝2,8,14,20.二、填空题6. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．[答案] －160x[解析] ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中第4项为 T 4＝C 3623·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝－160x . 7．x (x －2x )7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)[答案] 84[解析] x 4的系数，即(x －2x )7展开式中x 3的系数， T r ＋1＝C r 7·x 7－r ·(－2x )r＝(－2)r ·C r 7·x 7－2r ， 令7－2r ＝3得，r ＝2，∴所求系数为(－2)2C 27＝84.8．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a 、b 为有理数)，则a ＋b 等于________．[答案] 70 [解析] ∵(1＋2)5＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292＝a ＋b 2，又a 、b 为有理数，∴⎩⎨⎧ a ＝41，b ＝29.∴a ＋b ＝41＋29＝70.。
二项式定理相关练习题
二项式定理相关练习题一、基础题1. 已知 $(x + y)^5$ 的展开式中，$x^2y^3$ 的系数是多少？2. 求 $(a 2b)^4$ 的展开式中，$a^3b$ 的系数。
3. 已知 $(x \frac{1}{x})^6$ 的展开式，求其中 $x^3$ 的系数。
4. 计算 $(3x 4y + 5z)^2$ 的展开式中，$x^2$ 的系数。
5. 已知 $(2x + 3y 4z)^5$ 的展开式，求其中 $y^3z^2$ 的系数。
二、提高题1. 在 $(x + \frac{1}{x})^8$ 的展开式中，求常数项和$x^4$ 的系数。
2. 已知 $(a + b + c)^3$ 的展开式，求其中 $a^2b^2$ 的系数。
3. 计算 $(x^2 + \frac{1}{x})^5$ 的展开式中，$x^3$ 的系数。
4. 在 $(2x 3y + 4z)^4$ 的展开式中，求 $x^2y^2$ 的系数。
5. 已知 $(3a 4b + 5c)^6$ 的展开式，求其中 $a^3b^3c^3$ 的系数。
三、应用题1. 设 $(x + \frac{1}{x})^n$ 的展开式中，常数项为 40，求$n$ 的值。
2. 已知 $(a + b)^n$ 的展开式中，$a^3b^2$ 的系数为 60，求$n$ 的值。
3. 在 $(2x 5y)^7$ 的展开式中，求 $x^5y^2$ 的系数，并判断该系数是奇数还是偶数。
4. 计算 $(x^2 \frac{1}{x})^6$ 的展开式中，$x^4$ 的系数，并说明该系数的正负性。
5. 已知 $(3a + 4b)^n$ 的展开式中，$a^2b^3$ 的系数为 144，求 $n$ 的值。
四、综合题1. 若 $(x \frac{1}{2x})^8$ 的展开式中，$x^4$ 的系数为$70$，求 $x^6$ 的系数。
2. 在 $(a + b)^{10}$ 的展开式中，找出系数最大的项。
二项式定理测试题及答案汇编
二项式定理测试题及答案1.有多少个整数n 能使(n+i)4成为整数（B ） A.0 B.1 C.2 D.32. (82-展开式中不含．．4x 项的系数的和为（B ）A.-1B.0C.1D.23．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（C ）A 0B 3C 5D 8 4．已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ C ） A.28B.38C.1或38D.1或285．在100的展开式中，有理项的个数是（ D ） Ａ．15个Ｂ．33个Ｃ．17个 Ｄ．16个6.在2431⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（C ） A ．3项 B ．4项C ．5项D ．6项7．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是（ C ）A 、－5B 、 5C 、10D 、－10 8．35)1()1(x x +⋅-的展开式中3x 的系数为（ A ）A ．6B ．-6C ．9D ．-9 9．若x=21，则(3+2x)10的展开式中最大的项为（B ） A.第一项 B.第三项 C.第六项 D.第八项 10.二项式431(2)3nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ A ） A ．7B ．12C ．14D ．511.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式2x 项的系数为（Ｃ ）A ．1440B ．-1440C ．-2880D ．2880 12．在51(1)x x+-的展开式中，常数项为（ B ） （A ）51 （B ）－51 （C ）－11 （D ）11 13．若32(1)1()n n x x ax bx n *+=+++++∈N ，且:3:1a b =，则n 的值为（ Ｃ ）Ａ．9Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．1214．若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++⋅⋅⋅+++x a x a x a a ，则=9a （ ）（A ） 9 （B ）10 （C ）9- （D ）10- 解：根据左边x10的系数为1,易知110=a ，左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为0109910109=+=+a C a a ,∴109-=a故选D 。
《二项式定理》练习题
《二项式定理》练习题一、单选题1．在5(21)x -的展开式中，2x 的系数为（ ）A ．20B ．20-C ．40-D ．402．6(x 的展开式中的常数项为（ ）A ．58B ．1116C ．34D ．15163．6(2)x y -+的展开式中，22x y 的系数为（ ）A ．360B ．180C ．90D ．180-4．在6(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（ ）A ．2B ．6C ．15D ．205．二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，4x 的系数是（ ） A ．40B ．10C ．-40D ．10-6．在6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数为12，则a 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-7．已知二项式nx⎫⎪⎭展开式中的常数项为第4项，则该二项式的展开式中的常数项为（ ）A ．84-B ．42-C ．42D ．848．若22)nx 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（ ） A ．360B ．180C ．90D ．459．二项式6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为20-，则含4x 项的系数为（ ） A ．6-B ．15-C ．6D ．1510．已知二项式51()ax x-的展开式中含x 的项的系数为270，则实数a =（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．3243A ．12-B ．12 C ．1 D ．212．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（ ）A ．6-B ．5-C ．9D ．1513．多项式()()())2112(3x x x x ++++展开式中 3x 的系数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．1314．在na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含6x 的项系数为（ ） A ．45B ．-45C ．120D ．-12015．已知等差数列{}n a 的第5项是612x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则28a a +=（ ）A ．20B ．20-C ．40D ．40-16．()()5321x x -+展开式中3x 的系数为（ ）A ．15-B ．10-C ．10D ．1517．若5a x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数为15，则a =（ ）A ．2B ．3.C ．4D ．518．()611a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为35，则实数a 的值为（ ） A ．25-B ．45-C ．35D ．15-19．已知()()()()52501251121212x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++，则1a =（ ）A ．516B ．532C ．15D ．520．若4701(1)(2)x x a a x ++=++2727(2)(2)a x a x +++⋅⋅⋅++，则3a =（ ）A ．27B ．35C ．8-D ．43-21．设0612620126172m m m m x a x a x a x a x x ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，则0126m m m m ++++=（ ）A ．21B ．64C ．78D ．15622．5(1-的展开式中，2x 的系数为___________.(用数字作答)23．512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 与1x -的系数之比为___________ 24．二项式72x ⎛- ⎝的展开式中第4项的系数为___________.25．344x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是___________.(用数字作答) 26．5(2x -的展开式中2x 的系数为80，则a =______ 27．若()()61x x a -⋅+与()()610ax a +≠的展开式中3x的系数相等，则实数a 的值为________．28．已知()()()()65601563111x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅++++，则5a =___________.29．已知nx ⎛+ ⎝的展开式中的第二项和第三项的系数相等，则展开式中所以二项式系数的和为__________．30．已知()2na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为________．31．212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中所有二项式系数之和为8，则该展开式中的常数项为_______（用数字作答） 32．已知()626012613x a a x a x a x +=++++，则246a a a ++=______．（结果用数字表示）33．()()541213x x -+的展开式中按x 的升幂排列的第3项的系数为___________. 34．()62121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为______． 35．()()5211x x y z -+++的展开式中2x y 的系数为____________． 36．()6x y z +-的展开式中23xy z 的系数是______．37．5(2)(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为______________38．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为160，则a =___________. 39．54(12)(1)x x -+展开式中3x 的系数为__________．40．()5212x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为______，常数项为__________． 41．若()na x +的展开式中2x 项的二项式系数为10，则n =______；若展开式中的常数项为32-，则实数a 的值为______．42．已知2012(1)n n n x a a x a x a x -=++++，则0a =______，若340a a +=，则n =______．43．已知()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+=______．3a =______．44．已知523450123451322x a a x a x a x a x a x ⎛⎫-=+++++ ⎪⎝⎭，则2a =______，123452345a a a a a ++++=______．45．已知4na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a 的值为______，展开式中的常数项为______．46．已知72ax ⎛⎝的展开式中的常数项为14，则a =______，展开式中x 的整数次幂项的个数为______． 47．已知()()257017121...,x x a a x a x -+=+++则0a =_____，1357a a a a +++=_____．48．二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为270，则：（1）a =_____，（2）该二项式展开式中所有项的系数和为_____．《二项式定理》练习题参考答案1．C 【解析】由题得()521x -的展开式的通项为555155(2)(1)(1)2.r r r r r r rr T C x C x ---+=-=-令5-r =2,则r =3,所以2x 的系数为33535(1)240.C --=-2．D 【解析】6(x 的通项公式为3662216611(1)()(1)()22rr r rrr r rr r T C xx C x ---+=⋅⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅，令3602r -=，解得4r =，故44456115(1)()216T C =⋅-⋅=，故选：D 3．A 【解析】()6622(2)2,x y x y x y -+=+-∴⎡⎤⎣⎦的系数为42264(2)360C C -=.故选：A. 4．C 【解析】展开式的通项为16r rr T C x +=．令2r得到展开式中2x 的系数是2615C =．故选：C ．5．A 【解析】二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为25152()()r rr r T C x x -+=-1035(2)r r r C x -=-，0,1,2,3,4,5r =，令1034r -=，得2r，所以展开式中，4x 的系数是225(2)40C -=.故选：A6．B 【解析】6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()66216611r r r r r r r r rr T C x a x a C x ---+=-=-，∵4x 的系数为12，∴当6-2r =4时，解得r =1，有()61=12rr ra C -，即-6a =12，解得：a =-2.故选：B7．A 【解析】n x ⎫⎪⎭展开式通项公式为：()()3211n rr n r rr rr n nT C x C x--+=-=-，9324nn T C x-∴=-，展开式常数项为第4项，902n -∴=，解得：9n =，∴常数项34984T C =-=-.故选：A. 8．B 【解析】展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中第6项为中间项，所以总共11项，故n ＝10，通项公式为5105211010222rr rrr r r T C C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭当5502r -=，即2r 时为常数，此时223102180T C ==，所以展开式的常数项是180，故选：B9．A 【解析】二项式6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式生的通项公式为()662166rr r r r rr a T C x a C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．当3r =时，为常数项.则()336201C a a -=-⇒=，令624r -=，得1r =，所以含4x 项的系数()15616C -=-.故选：A10．D 【解析】二项式51()ax x-的通项公式55552155(1)(1)r r r r r r r r r r T C a x x C a x-----+=⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-，当D .11．A 【解析】4(2)x -的展开式的通项公式为4142(1)r r r rr T C x -+=⋅⋅-⋅，则41(2)x ⨯-的展开式中含有3x 的项为3133342(1)8C x x ⋅⋅-⋅=-，24(2)ax x ⨯-的展开式中含有3x 的项为21311342(1)32ax C x ax ⨯⋅⋅-⋅=-，则8328a --=，解得12a =-，故选：A ．12．C 【解析】()61x -的展开式通项为()()1661r rr rr r A C x C x +=⋅-=⋅-，且()()()666111111x x x x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，所以，()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式通项为()()()()11,1666611111rk r k rrk k r r k k r k T C x C x C x C x x -++=⋅-⋅+⋅-⋅=⋅-⋅+⋅-⋅，由111r k =⎧⎨-=⎩，可得12r k =⎧⎨=⎩，因此，()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为12666159C C -+=-+=.故选：C. 13．C 【解析】原式()()()()()()2123123xx x x x x x =+++++++，所以展开式中含3x的项包含()()()123x x x +++中x 项为12231311x x x x ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，和()()()123x x x +++中3x的项为3x ，这两项的系数和为11112+=.故选：C14．A 【解析】∵在na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，∴在na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式有11项，即n =10；而展开式的所有项的系数和为0，令x =1，代入=0na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即()101=0a +，所以a = -1.∴101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式的通项公式为：()101021101011rr r r r rr T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，要求含6x 的项，只需10-2r =6，解得r =2，所以系数为()221010914521C ⨯-==⨯.故选：A 15．D 【解析】由二项式定理，612x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是33361()20C x x ⨯-=-，即520a =-，因为{}n a 是等差数列，所以285240a a a +==-．故选：D ． 16．C 【解析】()51x +展开式通项公式为：55r rC x-，()()5321x x +∴-展开式中3x 的系数为：235532302010C C -=-=.故选：C.17．B 【解析】5a x ⎫⎪⎭的展开式中x 的项为4455aC ax x⋅=，则515a =，故3a =.故选：B 18．D 【解析】()6a x +的二项展开式的通项616rrr r T C ax -+=，()611a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含4x 的项包含两部分，即42424615C a x a x =，554616C ax ax x =，故()611a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为231565a a +=-，所以15a =-.故选：D ．19．B 【解析】令12x t +=，则111122t t x -++=+=，所以525012512t a a t a t a t +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，所以541515232a C ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故选：B ． 20．A 【解析】由47270127(1)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++＝()()472221x x +-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()4143472183527a C C =-+-=-+=.故选：A. 21．A 【解析】62172x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()612316217,0,1,2,,6k k kk k T C x k --+=⋅⋅-⋅=…，所以()()0126166127312+6=843212m m m m +⨯++++=⨯-++-⨯=…故选：A22．5【解析】5(1-的展开式的通项公式为12155((1)r rrrr r T C C x +==-，0,1,2,3,4,5r =，令122r =，得4r =，所以2x 的系数为445(1)5C -=. 23．2-【解析】因为()()()55521551221rrr r rrr r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．令521r -=，则2r ，所以x的系数为()()522252180C --=，令521r -=-，则3r =，所以1x -的系数为()()533352140C --=-，所以x 与1x -的系数之比为2-，24．560-【解析】()335443224723516560T C x x x -⎛=⋅⋅=-⨯⨯=- ⎝.因此，二项式72x ⎛⎝的展开式中第4项的系数为560-.25．160-【解析】由题意，化简33263444(2)4x x x x x x x ⎛⎫-+-⎛⎫-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又由6(2)x -展开式的通项为6666(2)(2)r rr rr rC xC x---=-，当3r =时，可得33336(2)160C x x -=-，所以344x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是33160160x x-=-. 26．±1【解析】其通项公式为35552155(2)(1)(1)2r r rrrr r r r rr T C x a C a x ---+=⋅⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅，令3522r -=，则2r ，则22235(1)280C a ⋅-⋅⋅=，解得1a =±.27．83【解析】()6x a +的展开式通项为()616,06r r rr A C x a r N r -+=⋅⋅∈≤≤，且()()()()6661x x x a x a x a +=--⋅++，所以，()()61x x a -⋅+的展开式通项为66761,16666k kkr rrk kkr rrk r T xC xa C xa C xa C xa ----++=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅，由7363k r -=⎧⎨-=⎩，解得43k r =⎧⎨=⎩，所以，()()61x x a -⋅+的展开式中3x 的系数为443366C a C a ⋅-⋅，()61ax +的展开式的通项为()666166mmmm m m B C ax C a x ---+=⋅=⋅，由63m -=可得3m =，所以，()61ax +的展开式中3x 的系数为336C a ⋅，所以，443333666C a C a C a ⋅-⋅=⋅，解得3646283C a C ==．28．12【解析】因为()()()()()66560156321111x x a a x a x a x +=++=+++⋅⋅⋅++++⎡⎤⎣⎦，此二项式的展开式的通项为()61621r r r r T C x -+=⨯⨯+，当=5r 时()556621T C x =⨯⨯+，所以556212a C =⨯=29．24332【解析】32112rn r r n r r r n n r T C x C x --+==，由题意1221122n n C C =，解得5n =，令1x =，则系数和为51243(1)232+=． 30．7、8、9【解析】由题意()2na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，当n 为偶数时，8n =，当n 为奇数时，中间两项二项式系数最大，则7n =或9n =．31．6【解析】∵212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中所有二项式系数之和为8，∴28,3n n =∴=，∴展开式的常数项为()12232126C xx ⎛⎫⎪⎝⎭-=.32．2079【解析】令()()613f x x =+，则()001f a ==，由题意可得()()()60123456601234561412f a a a a a a a f a a a a a a a ⎧=++++++=⎪⎨-=-+-+-+=-⎪⎩，所以，()()()661150246114222204832208022f f a a a a +-+-+++===+=+=，因此，246208012079a a a ++=-=.33．26-【解析】按x 的升幂排列的第3项为含2x 项，∴22113554(2)(2)(3)T C x C x C x =⋅-+⋅-⋅⋅＋224(3)C x ⋅＝2222401205426x x x x -+=-，∴该项的系数为26-.34．45【解析】由二项式定理可得()61x +的通项为616rrr T C x-+=，所以()61x +的展开式中含2x 项的系数为46C 15=，含4x 项的系数为2615C =，故()62121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为1515245+⨯=．35．10【解析】由二项展开式的性质和组合数的计算，可得()()5211x x y z -+++的展开式中2x y 项为：11332212222254353221(1)1403010x C x C y C C x C y C x y x y x y ⋅⋅⨯⨯+-⨯⋅⋅⨯⨯=-=，所以()()5211x x y z -+++的展开式中2x y 的系数为10.36．60-【解析】()()66x y z x y z +-=+-⎡⎤⎣⎦，所以，()6x y z +-的展开通项为()616rrr r A C x y z -+=⋅⋅-，()ry z -的展开式通项为()()11kkk r k k r k k k r r B C y z C y z --+=⋅⋅-=⋅-⋅⋅， 所以，()6x y z +-的展开式通项可以为()61,161kr kr r k k r k r T C C x y z --++=⋅⋅⋅-，其中06k r ≤≤≤且k 、r N ∈，令6123r r k k -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得53r k =⎧⎨=⎩，因此，()6x y z +-的展开式中23xy z 的系数是()35365160C C ⋅-=-.37．120【解析】由题意得5(2)x y -展开式的通项公式为555155(2)()2(1)k k k k k k k k k T C x y C x y ---+=-=-．令2k =，23232352(1)T C x y =-，令3k =，32323452(1)T C x y =-，所以33x y 的系数为232323552(1)22(1)16040120C C -⨯+-=-=.38．2【解析】展开式的通项公式为：()62123166,0,1,2,3,4,5,6kkk k k kk a T C x a C x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，因为3x 的系数为160 ，故令1233k -=，解得3k =.所以336160a C =，即：38a =，所以2a =.39．24【解析】由多项式乘法及二项展开式的通项可知，含3x 的项分别为03354C C x ，33054(2)C x C -，12254(2)C x C x -，22154(2)C x C x -，合并同类项，则含3x 的项为33(48060160)24x x --+=，所以系数为24.40．120- 20 【解析】()512x -的展开式的通项为()()5155122r rrr r r r T C x C x -+=⋅⋅-=-⋅，则()5212x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为()()242455222120C C --⨯-=-，常数项为()1152220C -⨯-=.41．5 2- 【解析】由题意得()n a x +的展开式中2x 项的二项式系数2C 10n =，则5n =，因此()5a x +的展开式中的常数项为0555C 32a a ==-，所以2a =-．故答案为：5；2-42．1 7 【解析】因为2012(1)n n n x a a x a x a x -=++++，所以令0x =可得01a =，因为3434,n n a C a C =-=，340a a +=，所以34n n C C =，所以7n =，43．2- 280-【解析】令1x =，得01271a a a a -=+++⋅⋅⋅+，令0x =，得01a =，所以1272a a a ++⋅⋅⋅+=-．二项展开式的通项()()17722rrr r r r T C x C x +=-=-，令3r =，得()33372280a C =-=-．44．13516- 52【解析】由二项式定理知，2332513135C 2216a ⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．对已知等式两边同时求导可得42341234511352345222x a a x a x a x a x ⎛⎫⨯-=++++ ⎪⎝⎭，令1x =，得12345523452a a a a a ++++=． 45．1 45 【解析】因为4na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的所有项的二项式系数之和为2n ，且奇数项和偶数项的二项式系数之和相等，所以12512n -=，解得10n =，所以展开式中第四项3374104C a T x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3310C 120a =，解得1a =，所以1041x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项101051101041C C rr r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1050r -=，解得2r ，所以展开式中的常数项为210C 45=．46．2 3【解析】72ax ⎛ ⎝的展开式的通项公式为()7147273177rr r r r r r T C ax C a x ---+=⋅=．令71403r -=，得6r =，则展开式中的常数项为6767714C a a -==，故2a =．易知当0,3,6r =时，7143r -的值分别为14，7，0，均为整数，故展开式中x 的整数次幂项的个数为3． 47．1 2 【解析】在()()257017121...,x x a a x a x -+=+++中，令0x =，得250111a =⨯=．设25()(1)(21)f x x x =-+，则017(1)0f a a a =+++=，201237(1)24f a a a a a -=-+-+-=-=-，则1357(1)(1)0(4)222f f a a a a ----+++===． 48．3 32 【解析】二项式25()a x x-的展开式中，通项公式为53515(1)r r r r r T C a x --+=⋅-⋅⋅，令351r -=，可得2r ，故x 的系数为235270C a ⋅=，3a ∴=．令1x =，可得二项式25()ax x-的展开式中所有项的系数和为5232=，。
高考数学《二项式定理》真题含答案
高考数学《二项式定理》真题含答案一、选择题1．(x ＋1)6的展开式中的第二项为( )A ．6xB ．15x 2C ．6x 5D ．15x 4答案：C2.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3 5 的展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80C ．40D ．－40答案：C解析：由二项展开式通项知T k ＋1＝(－2)k C k 5 ·(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎫1x 3 k＝(－2)k C k 5 x 10－5k ，令10－5k ＝0，得k ＝2.∴常数项为T 3＝(－2)2C 25 ＝40.3．(多选)已知(a ＋2b )n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的值可能为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案：BCD4．若(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为80，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．±2D ．4答案：B解析：⎝⎛⎭⎫a x －x 5 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5 ·(－1)k ·a 5－k ·x 2k －5，显然，2k －5为奇数，故(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为C 25 ·a 3＝80，所以a ＝2. 5．若(x －2y )6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则P S为( ) A ．152 B ．154C ．120D ．240答案：B解析：由题意得S ＝26＝64，P ＝C 46 (－2)4＝15×16＝240，∴P S ＝24064 ＝154. 6．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案：B解析：在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中令x ＝1，得A ＝4n ，各项二项式系数之和为B ＝2n ，由 4n ＋2n ＝72，得n ＝3，∴⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3 ，其通项为T k ＋1＝C k 3 (x )3－k ⎝⎛⎭⎫3x k ＝3k C k 3 x 3－3k 2，令3－3k 2＝0，得k ＝1，故展开式的常数项为T 2＝3C 13 ＝9. 7.⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10C ．15D ．20答案：C解析：要求⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数，只要分别求出(x ＋y )5的展开式中x 2y 3和x 4y 的系数再相加即可，由二项式定理可得(x ＋y )5的展开式中x 2y 3的系数为C 35 ＝10，x 4y 的系数为C 15 ＝5，故⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为10＋5＝15.故选C. 8．设S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1，则S ＝( )A ．(x －2)4B ．(x －1)4C ．x 4D ．(x ＋1)4答案：C解析：S ＝C 04 (x －1)4＋C 14 (x －1)3＋C 24 (x －1)2＋C 34 (x －1)1＋C 44 (x －1)0＝(x －1＋1)4＝x 4.9．(多选)已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则( )A ．a 0的值为2B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120答案：ABC解析：对于A ，令x ＝0，得a 0＝2×1＝2，故A 正确；对于B ，(1－2x )5的展开式的通项T k ＋1＝C k 5 (－2x )k ＝(－2)k C k 5 x k ，所以a 5＝2×(－2)5C 55 ＋1×(－2)4C 45 ＝－64＋80＝16，故B 正确；对于C ，令x ＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ①，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－3－a 0＝－3－2＝－5，故C 正确；对于D ，令x ＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ②，由①②解得a 1＋a 3＋a 5＝－123，故D 不正确．综上所述，选ABC.二、填空题10．[2024·全国甲卷(理)](13＋x )10的展开式中，各项系数中的最大值为______． 答案：5解析：方法一 二项式(13 ＋x )10的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10 (13)10－k x k . 由⎩⎨⎧Ck 10 （13）10－k >C k －110 （13）11－k ，C k 10 （13）10－k >C k ＋110 （13）9－k ，解得294 <k <334. 又k ∈N *，所以k ＝8.所以所求系数的最大值为C 810 (13 )2＝5.方法二 展开式中系数最大的项一定在下面的5项中：C 510 (13 )5x 5，C 610 (13)4x 6，C 710 (13 )3x 7，C 810 (13 )2x 8，C 910 (13 )1x 9，计算可得，所求系数的最大值为C 810 (13)2＝5. 11．在二项式(2 ＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是______________.答案：162 5解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9 (2 )9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2 )9＝162 ；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.12．在(x －1x)7的展开式中，系数最大的是第________项． 答案：5解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 7的展开式的通项为T k ＋1＝C k 7 ·x 7－k ·(－1)k x －k ＝(－1)k C k 7 x 7－2k ，故第k ＋1项的系数为(－1)k C k 7 ，当k ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 67 <C 27 <C 47 ，所以当k ＝4时，系数最大，是第5项．。
高中试卷-专题28 二项式定理(含答案)
专题28 二项式定理一、单选题1．（2020·北京高三一模）在的展开式中，常数项是（ ）A ．B ．C ．20D ．160【答案】A 【解析】展开式的通项公式为，令，可得，故展开式的常数项为，故选：A.2．（2020·江苏省邗江中学高二期中）在的二项展开式中，含的项的系数是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】B 【解析】的二项展开式的通项为．令，解得．含的项的系数是．故选：B3．（2020·北京大峪中学高二期中）的展开式的常数项是（ ）A ．B ．C ．3D ．4【答案】D 【解析】612x x æö-ç÷èø160-20-612x x æö-ç÷èø()()()66621662112r r r r rr r r r T C x x C x ----+=××-×=-×××620r -=3r =612x x æö-ç÷èø368160C -×=-10212x x æö+ç÷èø11x 10212x x æö+ç÷èø2102031101011()22r rr r r r r T C x C x x --+æöæö==ç÷ç÷èøèø20311r -=3r =11x 33101152C æö=ç÷èø()522111x x æö+-ç÷èø3-4-展开式中的第项为，当，即时，此时；当，即时，此时.则.故选:D.4．（2020·江苏省邗江中学高二期中）已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】当取 时， 取8个，则，当 取时， 取7个，则，所以 .故选：A5．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）的展开式中系数最大的项为（ ）A ．第项B ．第项C ．第项D ．第项【答案】B 【解析】的展开式的通项公式为：，要使系数最大，则r 为偶数，且r 只可能从2，4，6中选，故，且，所以，且，所以，且，经验证：当时，符合，所以的展开式中系数最大的项为第五项，5211x æö-ç÷èø1k +()()52101552111kkkk k k k T C C x x --+æö=-=-ç÷èø2102k -=-4k =()44515C -=2100k -=5k =()55511C -=-514-=()()92100121011...x x a a x a x a x --=++++8a =45-2727-45()1x -1()91-x x 1891a C =-´()1x -x -()91-x x ()278911a C =-´´-()27189911145a C C =-´´--´=-()712x -4578()712x -()()17722+=-=-r rrr r r T C x C x ()()227722---³-rr rr C C ()()227722++-³-rr rr C C ()()()7!7!4!7!2!9!r r r r ´³×--×-()()()7!7!4!7!2!5!r r r r ³´×-+×-()()()41198³---r r r r ()()()()147621³--++r r r r 4r =()712x -6．（2020·阳江市第三中学高二期中）的展开式中，系数最小的项为（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【答案】C 【解析】由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为，当为奇数时展开式中项的系数最小，则，即第8项的系数最小，应选答案C.7．（2020·辽宁省高三其他（理））已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）A ．240B ．120C ．48D ．36【答案】A 【解析】由题意，解得，则，则二项式的展开式的通项公式为，令即，则.故选：A.8．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高二期中）在的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）A ．第6项B ．第5项C ．第5、6项D ．第6、7项【答案】A 【解析】因为的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第4项与第8项的系数相等所以，所以所以展开式里系数最大的项是第6项()131x -11313()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-13(1)r rC -r 13(1)r rC -7r =121(2)n x x+264n=6n =1162211(2(2)n x x x x+=+1621(2)x x +6133622166122rrr r rr T C x C x x ---+æöæö=××=××ç÷ç÷èøèø3302r -=2r =6426622240r r C C -×=×=()nx y +()nx y +37n n C C =10n =二、多选题9．（2020·江苏省扬州中学高二期中）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】ABC 【解析】∵已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则或n ＝8或n ＝9故选：ABC .10．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】CD 【解析】由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为，又因为其相等，则所以该展开式中二项式系数最大的项为与项即为第5项；第6项.故选：CD11．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）关于的展开式，下列结论正确的是( )A ．所有项的二项式系数和为32B ．所有项的系数和为0C ．常数项为D ．二项式系数最大的项为第3项【答案】BC 【解析】解：二项式展开式的通项为()na b +()na b +4n C 7n =1(nx x+27,n n C C 9n =91152-+=91162++=61x x æö-ç÷èø20-61x x æö-ç÷èø()66216611rr r r r r r T C x C x x --+æö=-=-ç÷èø令，解得，则常数项为，故C 正确；且二项式系数最大的项为第4项，故D 错误；二项式系数和；令，得所有项的系数和为0，故A 错误，B 正确；故选：BC12．（2020·江苏省高二期中）下列组合数公式中恒成立的有（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】对于，因为，，所以，即正确；对于，，故正确；对于，当时，左边，右边，等式不成立，故不正确；对于，因为，等式左边的系数为：，等式右边的系数为：，所以，故正确.故选：ABD620r -=3r =()3346120T C =-=-012345666666666264C C C C C C C ++++++==1x =mn mn nC C -=11m m n n mC nC --=111m mmn n n C C C +++=+()()()()22220122nn nn nn nC C C C C +++×××+=A !!()!mn n C m n m =-!!()![()]!!()!n m n n n C n m n n m m n m -==----m n mn n C C -=AB !(1)!!()!(1)!()!mn n n n mC m m m n m m m n m ×-=×=×-×-×-(1)!(1)![(1)(1)]!n n m n m -=×-×---11m n nC --=BC 1m n ==221C ==1112123C C =+=+=C D 2(1)(1)(1)n n n x x x +×+=+n x 011220nn n n n n n nn n n nC C C C C C C C --×+×+×++×L 001122n n n n n n n n n n C C C C C C C C =×+×+×++×L =0212222()()()()n n n n n C C C C ++++L n x 2nn C ()()()()2222122n n nn n n n C C C C C +++×××+=D三、填空题13．（2020·上海复旦附中高二期中）若，则=__________.【答案】64【解析】在中，令可得，.所以故答案为：64.14．（2020·上海交大附中高三期中）计算：_____.【答案】【解析】由题得原式=.故答案为：15．（2020·山东省高二期中）二项式的展开式中的系数是 【答案】40【解析】依题意，二项式展开式的通项公式为，当，故的系数是.16．（2020·浙江省高三三模）二项式的展开式中，所有二项式系数的和是__________，含x 的项的系数是__________．【答案】128 84 【解析】由题意所有二项式系数的和为，题中二项式展开式通项公式为，令，，6226016(1)x a a x a x a x +=+++×××+0126a a a a +++×××+=6226016(1)x a a x a x a x +=+++×××+1x =()6012611a a a a +=+++×××+60126264a a a a +++×××+==012393n nn n n n C C C C ++++=L 4n 0011223333(13)4n n n nn n n n C C C C ++++=+=L 4n252(x x-4x ()()()52110315522rrrrr r r T C x x C x ---+=×-=-××1034,2r r -==4x ()225240C -×=722x x æö+ç÷èø72128=77317722(2r rrr r r r T C xC x x--+==731r -=2r =所以含x 的项的系数是．故答案为：128；84．四、解答题17．（2020·延安市第一中学高二期中（理））已知，求（1）的值； （2）的值.【答案】（1）；（2）1093【解析】（1）令，则；（2）令，则①令，则②由①②得，即18．（2020·北京大峪中学高二期中）已知展开式中的第三项的系数为，求：（1）含的项；（2）二项式系数最大的项．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）展开式的通项为，由于展开式中第三项的系数为，即，即，整理得，，解得，则展开式通项为，227284C =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a ++¼+0246a a a a +++1-1x =()7017121a a a ++¼=--=1x =-0123672187a a a a a a -+-+¼+-=0x =01a =12372a a a a \+++¼=-+()02462218722185a a a a +++=-=2461092a a a =++0246110921093a a a a \+++=+=1nx x æö+ç÷èø454x 4120x 2521n x x æö+ç÷èø211n rr r rr n r nn T C x C x x --+æö=×=×ç÷èø45245n C =()1452n n -=2900n n --=n N *ÎQ 10n =210110rr r T C x-+=×令，解得，因此，展开式中含的项为；（2）由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为.19．（2020·湖北省高二期中）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由题意知，又展开式的通项为：展开式中共有8项，其中二项式系数最大的项为第4，第5项所以，（2）展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生，即在，，，时，也即在，，，中产生，而，， ，故系数最大的项为第5项20．（2020·怀仁市第一中学校高二月考（理））已知（xn 的展开式中的第二项和第三项的系数相等．（1）求n 的值；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）；（2）,,．【解析】2104r -=7r =4x 744810120T C x x =×=5610252T C ==2nx ö-÷ø14280T x -=-525560T x-=525560T x-=34n n C C =7n \=72x ö÷ø()()773221777222rr rrr r r rr r r T C C xC x x ---+æö=-=-=-ç÷èø()793312472280T C xx--=-=-()71254422572560T C xx--=-=0r =2461T 3T 5T 7T 721T x =12384T x =525560T x -=1127448T x -=525560T x-=5n =51T x =2352T x =5516T x=二项式展开式的通项公式为，；（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得，即,解得；（2）二项式展开式的通项公式为，；当时,对应项是有理项,所以展开式中所有的有理项为,,．21．（2020·江西省上高二中高二月考（理））在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求系数最大的项．【答案】（1），，（2）和【解析】(nx 32112rrn r n rr r nn T C x C x--+æö=××=××ç÷èø()0,1,2r n =×××2121122nn C C æö×=×ç÷èø()111242n n n -=×5n =3521512rrr r T C x -+æö=××ç÷èø()0,1,2r n =×××0,2,4r =00551512T C x x æö=××=ç÷èø22532351522T C x x -æö=××=ç÷èø44565515216T C x x -æö=×=ç÷èøn +（1）∵由题设可知解得n=8或n=1（舍去）当n=8时，通项据题意，必为整数，从而可知r 必为4的倍数，而0≤r≤8∴ r=0，4，8，故x 的有理项为，，（2）设第r+1项的系数t r+1最大，显然t r+1>0，故有≥1且≤1∵， 由≥1得r≤3又∵，由≤1得：r≥2∴ r=2或r=3所求项为和22．（2020·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知展开式前三项的二项式系数和为22．（1）求的值；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中二项式系数最大的项．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】由题意，展开式前三项的二项式系数和为22．1二项式定理展开：前三项二项式系数为：，解得：或舍去．即n 的值为6．2nx æçèn 66032160x (2nx ()()01211222n n n n n C C C n -++=++=6n =7(n =-)2由通项公式，令，可得：．展开式中的常数项为；是偶数，展开式共有7项则第四项最大展开式中二项式系数最大的项为．()36662166(2)2k k k k k k k T C x C x ---+==3602k -=4k =\1264642416260T C x --+==()3n Q .\936363223162160T C x x --+==。
二项式定理试题
二项式定理专项测试题一、选择题1．6)x 2x (+展开式中常数项是（ ）A.第4项B.464C 2C.46CD.22．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是（ ）A.-2048B.-1023C.-1024D.10243．7)21(+展开式中有理项的项数是（ ）A.4B.5C.6D.74．若n 17C 与m n C 同时有最大值，则m 等于（ ） A.4或5 B.5或6 C.3或4 D.55．设(2x-3)4=44332210x a x a x a x a a ++++，则a 0+a 1+a 2+a 3的值为（ ） A.1 B.16 C.-15 D.156．113)x1x (-展开式中的中间两项为（ ） A.5125121111,C x C x - B.695101111,C x C x - C. 513591111,C x C x - D.5175131111,C x C x - 7．n xx )(5131+展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是 （ ）A ．330B ．462C ．680D ．790 8．54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为（ ）A ．－40B ．10C ．40D ．45 二、填空题（每小题5分，共30分）9．=++++n n n 2n 21n 0n C 3C 3C 3C10．(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是 11．1032)x x 3x 31(+++展开式中系数最大的项是 12．0.9915精确到0.01的近似值是 .三、解答题13. 求(1+x+x 2)(1-x)10展开式中x 4的系数14.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数15. 若)N n m ()x 1()x 1()x (f n m ∈⋅+++=展开式中，x 的系数为21，问m 、n 为何值时，x 2的系数最小？16. 已知n 2)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项参考解答：一、选择题 1．B 简解: 通项r r 236r 6r r 6r 61r 2x C )x 2(x C T --+==，由4r 0r 236=⇒=-，常数项是 44652C T =，选（B ）2．C 简解: 设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是10242/)2(2)1(f )1(f 11-=-=-+，选（C ） 3．A 简解: 通项2r r 7r r71r 2C )2(C T ==+，当r=0，2，4，6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选（A ）4．A 简解: 要使n 17C 最大，因为17为奇数，则2117n -=或8n 2117n =⇒+=或n=9，若n=8，要使m 8C 最大，则m=28=4，若n=9，要使m 9C 最大，则219m -=或4m 219m =⇒+=或m=5，综上知，m=4或m=5，故选（A ）5.C6.C7.B 简解：显然奇数项之和是所有项系数之和的一半，令x =1 即得所有项系数之和，.11,210242101=∴==-n n 各项的系数为二项式系数，故系统最大值为611C 或511C ，为462． 8.D 简解：54)1()1(-+x x =45444)1()1()1()1()1()1(+-=-+-+x x x x x x=+-x x ()1(52)12+x =)1464()1(25++++-x x x x x x4x 的系数为.45)1(6)1(1525335=-+⋅+-C C C二、填空题9.n4;10．简解: (2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为3511．简解: (1+3x+3x 2+x 3)10=(1+x)30,此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T 16=151530x C . 12. 简解: 0.9915=(1-0.009)5=96.0009.0C C 1505≈+- 三、解答题13．解:93102)x 1)(x 1()x 1)(x x 1(--=-++,要得到含x 4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项449)x (C -作积，第一个因式中的－x 3与(1-x)9展开式中的项)x (C 19-作积，故x 4的系数是135C C 4919=+ 14．解:)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（ =x x x )1()1(11+-+，原式中x 3实为这分子中的x 4，则所求系数为7C 15．解:由条件得m+n=21，x 2的项为22n 22m x C x C +，则.4399)221n (C C 22n 2m +-=+因n ∈N ，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x 2的系数最小16．解:依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒=∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10 设第r+1项为常数项，又 2r 510r 10r r 2r 10r 101r x C )2()x 2()x (C T --+-=-= 令2r 02r 510=⇒=-，.180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180。