高考零距离一轮复习考试理科电子版正文2

第17讲微积分基本定理与定积分

知识 整合

【基础知识】

1．求曲边梯形的面积的步骤： (1)分割；(2)近似数；(3)求和；(4)取极限．

2．求变速直线运动的物体在某段时间运动的路程的步骤： (1)分割；(2)近似代替；(3)求和；(4)取极限．

3．如果函数f (x )在区间[a, b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b ，将区间[a, b]等分成n 个小区间，在每个区间[x i －1, x i ]上取一点ξi (i ＝1, 2, …， n )，作和式∑i ＝1n

f (ξi )Δx i

＝∑i ＝1

n

b －a n f (ξi )，当n →＋∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,

b]上的定积分，记作⎠⎛

a

b f (x )d x ，即

⎠

⎛a

b f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1n b －a

n f (ξi )．这里a 与b 分别叫做积分下限与

积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)d x 叫做被

积式．

4．定积分的几何意义

如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a

b f (x )d x 表示由直线x ＝a,

x ＝b (a ＜b )和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．

5．定积分的物理意义

如果物体作变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，当t ∈[t 1, t 2]时，v (t )≥0，那么定积分∫t 2t 1v (t )d t 表示物体在t 1到t 2这段时间内运动的路程．

6．定积分的性质

(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a

b f (x )d x (k 为常数)；

(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a

b g (x )d x ；

(3)⎠⎛a

b f (x )d x ＝⎠⎛a

c f (x )

d x ＋⎠⎛c

b f (x )d x (其中a ＜

c ＜b )．

7．微积分基本定理

如果f(x)是区间[a, b]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a

b f (x )d x ＝F (b )－F (a )，微积

分基本定理也叫牛顿—莱布尼兹公式，利用牛顿—莱布尼兹公式求定积分的关键是求被积函数的原函数，可将基本初等函数的导数公式逆向使用．

为了方便起见，我们常把F(b)－F(a)记作F (x )|b a ，即⎠⎛a

b f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．

【基础自测】

1．定积分∫ln20e x

d x 的值为( ) A ．－1 B ．

e 2 C ．e 2－1 D ．1

2．已知自由落体的速度v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所走过的路程为( )

A .13gt 20

B ．gt 2

0 C .12gt 20 D .14

gt 2

0 3．已知M ＝⎠

⎛1－1|x |d x ，N ＝cos 215°－sin 215°，则( )

A ．M

B ．M>N

C M ＝N

D ．以上都有可能

4．(13山东模拟)∫π2－π

2

(sin x ＋cos x)dx ＝________.

5．(13山东模拟)曲线y ＝2x 2与x 轴及直线x ＝1所围成图形的面积为________．

重难点 突破

考点1 微积分基本定理求定积分

重点阐述

1．求定积分的方法

(1)利用定义求定积分(定义法)．

(2)利用微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式)求定积分步骤如下：①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a)．

2．求定积分的常用技巧

(1)对被积函数，要先化简，再求积分． (2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号才能积分．

(1)⎠⎛12⎝

⎛⎭⎫2x 2－1

x d x ； (2)⎠⎛23

⎝

⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ；

(3)∫π

30(sin x －sin2x )d x ；

【解】

【点评】 利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的性质⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c

b

f (x )d x ，根据函数的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可．

(1)⎠⎛1

(2)求函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x 3(0≤x ≤1)x (1＜x ≤4)，在区间上定积分

2x －14(4＜x ≤5)

.

【解】

【点评】 对于被积函数含有绝对值(或平方根)时，须按绝对值内的正、负号将定积分区间分段，然后按区间的可加性逐段积分，同样当被积函数为分段函数时，须按函数定义的分段情形相应的逐段积分．

(1)⎠⎛02(4x 3＋3x 2－x )d x ；

(2)⎠⎛1

2⎝

⎛⎭⎫e 2x ＋1

x d x ； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2，x ∈1x ，x ∈(1，e]，⎠⎛0

e f (x )d x .

考点2 定积分的几何意义

重点阐述

定积分的几何意义常用于求解直线与曲线所围成的曲边梯形的面积．求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤如下：

(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分的上、下限； (2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；

(3)用位置在上的函数减去位置在下的函数，写出平面图形面积的定积分的表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．