高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

------------------------------------ 旳器0吋 --------------------------------------------

平面向量

【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】

1. 向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a 。

3. 单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|1| 1。

4. 零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】

5. 平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量。

6. 相等向量：长度和方向都相同的向量。

7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。

8. 三角形法则：

AB B C Ac ；AB B C CD D E A E；AB A C C B (指向被减数)

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

题型1.基本概念判断正误

(1) 共线向量就是在同一条直线上的向量。

(2) 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

(3) 与已知向量共线的单位向量是唯一的。

(4)四边形ABCD是平行四边形的条件是

2.向量的模：向量的大小(或长度)

9.平行四边形法则

10.共线定理:

Ta

b a / /b。当

12.向量的模: (x, y)，则|a| 2

—

□

■

——

a

13. 数量积与夹角公式：

■ ■

14. 平行与垂直：a//b

| COS

x°2

；cos

X2% ；

a

X1X2 yy 0

(5)若A B CD，则A B、c、D四点构成平行四边形。

(6)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。(7)若ma mb，贝U a

Jla

或

4

—

a

时,

反

向。

Jrb

Jra

|a| |b|

2.

已知 a (1, 4),b ( 3,8)，则 3? -b

2

题型4.根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在 ABC 中，D 是BC 的中点，请用向量

题型5.向量的坐标运算 1. 已知 AB (4,5) 2. 已知 PQ ( 3,

5.已知 A(1,2), B(3,2),向量

，3a 2b 。

(x 2, x 3y 2)与 AB

3.若物体受三个力

F ； (1,2),

2

( 2,3), 3 ( 1, 4),则合力的坐标为

(8 )若 ，则m

.V 器 ------------- --- -

i

i

i

i

(9)若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。

(10)若 a

|a| |b|，则 a//

4b

Jra

►Hu

贝

Jrb

题型2.向量的加减运算

i

i

1.设a 表示"向东走8km" , b 表示"向北走6km ” ,则| JJD

—a

2.化简(AB MB) (B O B C)

3.已知|O A 15, |

| 3,则 |AB |的最大值和最小值分别为

4.已知A

C 为A B 与 A

D 的和向量，且

5.已知点C 在线段AB 上，且 AC

题型3.向量的数乘运算 1.计算：2(2a 5b 3C)

3b 2C)

2. 在平行四边形 ABCD 中，已知 AC a,BD b ，求 7B 和 A

D 。

，A(2,3)，则点B 的坐标是

5)，P(3,7)，则点Q 的坐标是

4.已知 a 「( 3,4)，b (5,2)，求 相等，求x,y 的值。

(11)若 |

Jla

►Hu

贝

O

题型8.求数量积

1. 已知|孑| 3,|b | 4，且a 与b 的夹角为60，求（1） （3） a ©b ，（4）（2a b ）（a 晶。

2

i I

2. 已知 a （2, 6）,b （ 8,10），求（1）曲詁|，（ 2） （4） （2b ） （j 3b ）。

题型9.求向量的夹角

I

I

-------------- 旳器…

(2,3)，BC (m, n)，C D

( 1,4)，则 D A

7.已知0是坐标原点， A(2, 1),B( 4,8)，且AB 6.已知 ，求oC 的坐标。 题型6.判断两个向量能否作为一组基底 1.已知H 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： i

3e 2和 e 2 3e 1 D.

Ay e> B. 3ei 2e 2 和 4e 2 6e C. e 禾

2.已知a （3,4）

，能与a 构成基底的是（ 3 4 4 3 A. ( , ) B. ( , )

C.( 5 5 5 5 3 4 4

5, F D. (1, # 题型7.结合三角函数求向量坐标 1.已知0是坐标原点，点 A 在第二象限, |oA| 2， xOA

2.已知0是原点，点 A 在第一象限,

xOA 60；，求0A 的坐

标。

，（3）a （2a b ），