高中数学：几种常用的换元法
高中数学解题方法-换元法
高中数学解题方法2013年高考数学二轮复习 换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：代数换元、三角换元、均值换元等。
例如解不等式：0224≥-+x x ，先变形为设)0(2>=t t x ，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现[]1,0∈x ，设α2sin =x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈22,0α，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
如变量y x ,适合条件)0(222>=+r r y x 时，则可作三角代换θθsin ,cos r y r x ==化为三角问题。
均值换元，如遇到S y x =+形式时，设t S y t S x -=+=2,2等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
题型一：代数换元例1：（1）方程1313++-xx＝3的解是_______________ （2）x x x f --=2)(的值域是___________. (3)2log log )12(2)22(2<⋅--x x 的解为_____________________________. 变式练习：已知221)1(x x x x f +=-，则=)(x f _________________。
高中数学-求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可.例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.x ≥0， x ＜0. 四、消去法例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x1去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可. 解：∵ f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x1（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32－3x （x ≠0）. 五、特殊值法例5 设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ， 有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到f （x ）函数解析式，只有令x = y.解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.六、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例6 已知是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2，求f （x ）函数解析式.解：∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴y=f （x ）的图象关于原点对称. 当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），因此当x<0时，y=2)1(+x －1= x 2 +2x.故 f （x ）=⎩⎨⎧+-xx x x 2222 评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.。
高中数学 换元法(附答案)
二、换元法（课时10）一、知识提要解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.二、例题讲解例1．（1）已知：x xf lg )12(=+，求)(x f . （2）设实数x 、y 满足0122=-+xy x ，则y x +的取值范围是_________. （3）方程2)22(log )12(log 122=+⋅++x x的解集是______________.解：（1）)1)(1lg(2lg )(>--=x x x f ；（2）设k y x =+，则1044,01222≥⇒≥-=∆=+-k k kx x 或1-≤k ； （3）令)12(log 2+x=t ，可得原方程的解集为}0{.例2．（1）函数223)1(x x x y +-=的值域是_____________. (2)已知：数列}{n a 的11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S .求}{n a 的通项公式.解：（1）令θtan =x ，)2,2(ππθ-∈，则θθθθθθsin )tan 1(cos )tan 1(tan tan 23223-=+-=y θθθθθθθθ4sin 412cos cos sin )sin (cos sin cos 22=⋅=-=， ∴]41,41[-∈y . （2）由241+=+n n a S ，知)2(241≥+=-n a S n n ，∴)2)((411≥-=--+n a a S S n n n n ，即)2)((411≥-=-+n a a a n n n∴)2)(2(2211≥-=--+n a a a a n n n n ，令n n n a a b 21-=+，则)2(21≥=-n b b n n∵11=a ，52=a ，∴31=b ，123-⨯=n n b ，即n n n a a 22311+⨯=-+.两边除以12+n 得：432211=-++n n n n a a ，令nn n a c 2=，则有431=-+nn c c ， ∴)13(41-=n c n ，代入nn n a c 2=得： 22)13(-⋅-=n n n a . 例3．实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求m ax1s ＋m in1s 的值.（93年全国高中数学联赛题）方法1：设⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin cos s y s x 代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5解得 S ＝α2sin 5810- ；∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴1013≤1085-sin α≤103∴m ax1s ＋m in1s ＝310＋1310＝1610＝85方法2：由S ＝x 2＋y 2，设x 2＝2s ＋t ，y 2＝2s －t ，t ∈[－S 2，S 2]，则224t s xy －±=代入①式得：4S ±5224t s －=5， 移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 .∴ 39S 2－160S ＋100≤0 解得：1013≤S ≤103∴m ax1s ＋m in1s ＝310＋1310＝1610＝85方法3：（和差换元法）设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，代入①式整理得3a 2＋13b 2＝5 ，求得a 2∈[0,53]，所以S ＝(a －b)2＋(a ＋b)2＝2(a 2＋b 2)＝1013＋2013a 2∈[1013,103]，再求m ax1s ＋m in1s 的值.三、同步练习1．x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值是__12＋2___. 2．已知数列}{n a 中，n n n n a a a a a -=⋅-=++111,1a 1＝－1，则数列通项n a ＝_____n1____. 3．已知x 2＋4y 2＝4x ，则x ＋y 的范围是_____]25,25[---______.4．设等差数列}{n a 的公差21=d ，且145100=s ，则99531a a a a ++++ 的值为（C ）A. 85B. 72.5C. 60D. 52.55．已知0,0≥≥b a ，1=+b a ，则a +12＋b +12的范围是__]2,226[+__. 6．函数12++=x x y 的值域是_____),2[+∞-_____.7．已知正四棱锥ABCD S -的侧面与底面所成的角为β，相邻两侧面所成的角为α 求βα2cos cos +的值.解答：08．如图，已知椭圆1925:22=+y x C ，圆∈=+P y x O ,4:22椭圆C 而PA 、PB 是圆O 任意切线，A 、B 为切点.（1）求AB 中点M 的轨迹方程；（2）设AB 所在直线交x 轴于C ，交y 轴与D ，求COD S ∆的最小值.解：（1）)(225)169(162222y x y x +=+；（2）1516)(min=∆COD S .x。
换元法高中数学思想方法
换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t〔t>0〕，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用代数式中与三角知识中有某点联系进展换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2〔r>0〕时，那么可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原那么，换元后要注重新变量围的选取，一定要使新变量围对应于原变量的取值围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。
Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4) 〔a>1〕，那么f(x)的值域是_______________。
高中数学 双变量不含参不等式证明方法之换元法(教师版)
nm
mnm
mnm
令 n ＝x，构造函数 m
g(x)＝ln
x－1＋x(x≥1)，则 x
g′(x)＝1x＋x12＋1．
因为 x∈[1，＋∞)，所以 g′(x)＝1x＋x12＋1＞0，故 g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
n
由已知 n＞m＞0，得 n ＞1，所以 g m ＞g(1)＝0，即证得 ln n －m＋ n ＞0 成立，所以命题得证．
ln a－ln b
ln a－ln b 2
总结提升
两个正数
a
和b
的对数平均定义：
L(a,
b)
a
ln a
b ln b
(a
b),
a(a b).
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： ab L(a, b) a b （此式记为对数平均不等式） 2
取等条件：当且仅当 a b 时，等号成立．
[例 3] 已知 f (x) ln x, g(x) f (x) ax2 bx ，其中 g(x) 图像在 (1, g(1)) 处的切线平行于 x 轴．
t 1 t 1
∴ g(t) 在 (1, ) 上是减函数，所以 g(t) g(1) 0 ．
∴
t
ln
2t 1
t
ln
1
2
t
t
1 得证．所以 kAB
f
( x1
x2 ) 成立． 2
总结提升
(1)本题考验不等式的变形，对于不等式 x2 ln
2 x2 x1 x2
x1 ln
2 x1 x1 x2
x2
∴ f (x) 的单调增区间是 (1 , ) ，单调减区间是 (0, 1) ，
e
e
f x 的极小值为 f (1) 1 ln 1 1 ，无极大值．
换元法在中学中的应用
初等数学中的换元法及其应用罗 伟(数学与信息科学学院2006级1班)指导老师 刘妮副教授1.换元法及其相关的定义1.1换元法的一些基本概念换元法(substitution method;substitution;changing yuan)这种引辅助未知元素解题的方法我们称为换元法。
解数学问题时，如果直接解决原问题有困难，或原问题不易下手，或由原问题的条件难以直接得出结论时，往往需要引入一个或若干个“新元”代换问题中原来的“元”，使以“新元”为基础的问题求解比较容易，解决以后将结果恢复为原来的元，即可得原问题的结果。
这种解决问题的方法称为换元法。
又称变量代换法或辅助元素法。
1.2换元的实质换元的实质就是转化，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，使问题得到简化的一种解题方法。
换元法的基本思想是通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，使问题发生有利的转化，从而达到解题目的[1]。
常见的换元法有两种：(1)设()x F 是一个比较复杂的表达式 ,如果()x F 可以表示为一个以()t ψ为中间变量的复函数 ,则可以设()u t =ψ，于是()()()()u G t G x F =ψ=。
如果()u G 比()x F 容易解决 ,这里的换元就起了化繁为简的作用。
这是第一种换元法。
(2)设()x F 是一个比较复杂的表达式 ,为了解题的需要 ,设()t x Φ=,于是()()()()t t F x F Γ=Φ=。
只要()t Γ比较容易解决 ,同样也能起到化难为简的作用。
这是第二种换元法。
1.3 换元法的关键利用换元法解数学题的关键在于适当地选择“新元”，引进适当的代换，找到较容易的解题思路，能使问题简化。
1.4换元法的基本思想即把未知问题转化为已知问题，把复杂问题转化为简单问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。
1.5换元法的一般步骤①设元（或构造元） ②求解 ③回代 ④检验 转化 等量代换 等价原则2.常见的换元法的类型2.1 从结构上分类 2.1.1整体换元法例2.1 已知()43+=x x f ,求()[]x f f 和()[]{}x f f f 。
浅析换元法的几种常见用法
浅析换元法的几种常见用法作者：范文钊来源：《新教育时代·学生版》2018年第31期摘要：换元法是一种非常巧妙的解题方法，适用于高中数学甚至整个数学的很多领域，换元法有简化运算，联系条件等神奇效果。
换元法使用的关键是如何引入新元和引入的新元的定义域，不注意新元范围往往会导致出错。
整体换元，三角换元和均值换元是高中数学中常用的三种基本换元方法，本文整体介绍换元法，并具体介绍整体换元，三角换元和均值换元在高中阶段的用法，适用条件和注意事项，通过例题总结使用的规律，对换元法的应用有更深一步的理解和掌握。
关键词：换元法定义域整体换元三角换元均值换元定积分引言换元法是我们高中的数学学习中常用的一种解题方法，换元法又称辅助元素法或者变量代换法。
在使用换元法时，我们可以通过引进新的变量，把不容易关联的条件联系起来，或者把陌生的形式熟悉化，复杂的关系式简单化，通过换元法，我们也可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式，从而达到方便求解的目的[3]。
换元法涉及高中数学的各个方面，在方程、不等式、函数、数列、三角等问题的研究中都有广泛应用。
换元法从定义上看好像没有很大难度，但真正运用时，也需要一定的技巧和经验，好的换元可以在解答中收获奇效。
在实际应用中，换元法一般可以简单分为整体换元、局部换元、三角换元、均值换元等几类[2]，不同的换元方法适用不同的题目，有不同的侧重点，采用合适的换元方法才能更加简便地求解正确答案。
同时在适用换元法时，要始终遵循利于运算，利于标准化的原则，并且需要格外注意新元的取值范围，才能避免出错[4]。
本文我们就换元法在高中数学学习中的运用加以分析，进一步了解和熟悉掌握整体换元和三角换元的方法，并对换元法求解定积分做一个初步的认识与学习。
一、换元法求解定积分定积分在高中数学中是比较基础的一部分，主要是利用牛顿莱布尼茨公式用来求解曲边图形的面积，但在解题中，我们有时会遇到积分式复杂，难以找到对应原函数的题目，对于这样的题目，我们可以利用换元法来求解定积分[1]。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是一种在数学解题中常用的方法，它主要用于将复杂的数学问题转化为更简单的形式来解决。
这种方法在高中数学中的应用非常广泛，下面我将详细介绍换元法在高中数学解题中的应用。
最常见的换元法是代数换元法。
在代数换元法中，我们会将一个或多个变量用新的变量来表示，从而简化问题的解答过程。
我们来看一下代数换元法在高中数学中常见的应用之一——代数方程的解法。
在解代数方程的过程中，我们经常会遇到一些复杂的方程，例如含有平方根、三角函数等。
为了简化方程的求解，我们可以通过换元法来转换方程的形式。
举个例子，如果我们要求解方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以令y = x - 2，从而将方程转化为y^2 - 3 = 0。
这样一来，我们就可以更容易地求解出y的值，再通过反代得到x的值。
这个例子展示了换元法在代数方程解法中的重要作用。
另一个常见的应用是积分运算中的换元法。
在高中数学中，我们学习了很多不同种类的函数和曲线图像。
在计算函数的积分时，我们经常会遇到需要进行换元的情况。
通过进行合适的变量替换，可以将复杂的积分化简为简单的形式。
对于定积分∫(1+x^2)dx，我们可以通过换元法将x^2替换为tan^2θ，从而将积分转化为∫(1+tan^2θ)sec^2θdθ，这样一来，我们就能更容易地求解出积分的值。
换元法在积分运算中的应用非常广泛，是求解复杂积分的重要技巧。
除了代数方程和积分运算，换元法在高中数学的其他领域也有广泛的应用。
在三角函数的证明中，我们经常需要通过换元法将一个复杂的三角函数化简为一个简单的形式，以便于我们进行进一步的推导和证明。
在概率与统计的计算中，我们也常常需要使用到换元法来简化问题的解答过程。
换元法在高中数学解题中的应用非常广泛，无论是代数方程的解法、积分运算还是其他数学领域，都离不开这一重要的方法。
通过合理地选取变量替换，我们可以将复杂的数学问题转化为更简单的形式，从而更便于我们进行解题。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用
换元法是解决函数积分问题的一种常用方法，它通过对被积函数中的自变量进行代换，使得原来复杂的积分问题简化为一个更容易求解的形式。
在高中数学中，换元法主要应用
在以下几个方面：
1. 解决含有平方根的积分问题：
在高中数学中，我们经常遇到含有平方根的函数积分问题，如∫√(x^2 + 1)dx。
由
于被积函数中含有平方根，直接对其进行积分是比较困难的。
此时，可以通过对被积函数
中的自变量进行代换来简化问题。
假设令x = tanθ，则dx = sec^2θdθ，被积函数可以转化为∫secθsecθdθ = ∫sec^2θdθ。
这是一个比较容易求解的积分问题。
将θ代
回x，即可得到最终结果。
4. 解决指数函数的积分问题：
指数函数是高中数学中另一个常见的函数类型，如∫e^xsinx dx。
对于这类问题，可以通过换元法将其转化为利用分部积分法求解的形式。
假设令u = e^x，即可将被积函数中的e^x和sinx转化为u和u的导数的形式，从而简化问题的求解。
对新的积分式进行求解，并将u代回x，即可得到最终结果。
换元法在高中数学解题中的应用不仅限于上述几个方面，还可以应用于其他类型的函
数积分问题。
通过合理选择适当的代换，可以大大简化问题的求解过程，提高解题的效率。
在高中数学学习中，掌握换元法的理论和应用方法，对于解决复杂的函数积分问题具有重
要的意义。
高中数学3(换元法)
第 7 讲 换元法（高中版）（第课时）换元法⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧三角代换均值代换整体代换策略化超越式为代数式化无理式为有理式化分式为整式降次复杂问题简单化非标准问题标准化用途 重点：1．；2．；3．。
难点：1．；2．；3．；。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子。
换元的关键是构造元和设元。
换元的实质是转化，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式。
换元后要注意新变量的取值范围，它既不能缩小也不能扩大。
换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用。
换元的常用策略有：整体代换（有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换、复变量代换）、三角代换、均值代换等。
整体代换：在条件或者结论中，某个代数式反复出现，那么我们可以用一个字母来代替它，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角代换：如果把代数式换成三角式更容易求解时，可以利用代数式中与三角知识的联系进行换元。
例如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2α ，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
又如变量x 、y 适合条件x 2＋y 2＝r 2（r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。
均值代换：对两个类似的式子，可令其算术平均值为t 进行换元；如果遇到形如 S y x =+ 或S y x =+22 这样的对称结构，可设 x ＝S 2＋t ，y ＝S 2－t 或 t S x +=22 ，t Sy +=22等等。
高中数学中的换元法及转化方法
方 程 的 问题 ． 就 三 角 换 元 ，均 值 换 元 ，和 差 换 元 等 的 特 征 ，应 用
形 式 在 数 学 中 的 应 用 简 单 介 绍 如 下 ：
三 角 换 元 ，特 征 是 多应 用 于 去 根 号 ，或 者 变 换 为 三 角 形 式 易 求 时 ，主 要 利 用 已 知 代 数 式 中 与 三 角 知 识 中
换 元 以后 ，新 元 的 特 殊 性 质 ，特 殊 特 点 ，会 使 原 先 分 散 的 条 件 联 系 起 来 ，原 先 隐 含 的 条 件 显 露 出 来 ，使 数 学 问 题 变 得 豁 然 开 朗 ．
应 用 换 元 法 的关 键 是 在 于 通 过 观 察 、联 想 ，选 择 适 当 的 辅 助 未 知 数 ，构 造 出变 换 关 系 式 ．
Ｌ
０
Ｃ
广
］
一 号 ＋ｔ， 一号 一ｔ，ｔ∈Ｊ一号 ，号 ｊ，等等．
Ｌ
一
就 以上 的几 种换 元 法 稍 举 简 单 的 例 子 就 会 理 解 ①
三 角 代 换 ，例 如 ３２ ＋ Ｙ 一 １，则 — ｃｏｓＯ， — ｓｉｎＯ，０∈
ｆ２～ １
Ｅｏ．２ｎ）．又 例 如 ｓｉｎｘ＋ ｃｏｓＯ￣ ｔ，则 ｓｉｎｘｃｏｓｘ一 等 ． ‘
『 ＿一
一 — 三塑
一 一 ２ ，
例 ５ 解不等式 ：￣—３ｌｏｇｏｘ—－２＜２ｌｏｇ Ｘ一１（口＞Ｏ，ａ
Ａ－ Ｃ
ｊ ｃｏｓａ 一一 亏 ∞—— — 一 芎
例 题 由 已知 “Ａ＋ Ｃ一 ２Ｂ”和 “三 角 形 内 角 和 等 于
解 ：令 ３，一 ＾， ：
ｊ，≥ ０
ｒ－ｙ≥ Ｏ
高中数学解题方法梯度训练(2)换元法
换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量X围的选取，一定要使新变量X围对应于原变量的取值X围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2]。
一、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
高中数学换元法
被积函数含有形如
1 dx ( a > 0). 例16 求 ∫ 2 2 x +a − π, π 2 解 令 x = a tan t ⇒ dx = a sec tdt t ∈ 2 2 1 1 dx = ∫ ⋅ a sec 2 tdt ∫ x2 + a2 a sec t
= ∫ sec tdt = ln | sec t + tan t | + C
例9 求 原式= ∫
∫
(
1 dx . 2x + 3 + 2x − 1
2x + 3 − 2x − 1 dx 2 x + 3 + 2 x − 1 )( 2 x + 3 − 2 x − 1 )
1 1 = ∫ 2 x + 3dx − ∫ 2 x − 1dx 4 4 1 1 = ∫ 2 x + 3d ( 2 x + 3) − ∫ 2 x − 1d ( 2 x − 1) 8 8 1 1 3 3 = ( 2 x + 3 ) − ( 2 x − 1) + C . 12 12
1 例5 求 ∫ 2 dx . 2 a +x 1 1 dx = 2 ∫ 解 ∫ 2 2 a +x a
1 dx 2 x 1+ 2 a
1 = ∫ a
1 x x 1 d = arctan + C . 2 a x a a 1+ a
1 例6 求∫ 2 dx . x − 8 x + 25 1 1 解 ∫ 2 dx = ∫ dx 2 x − 8 x + 25 ( x − 4) + 9 1 1 1 1 x − 4 dx = ∫ = 2∫ d 2 2 3 x − 4 3 x − 4 3 +1 +1 3 3 1 x−4 = arctan + C. 3 3
高中数学换元法
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越 式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛 的应用。
3、方法具体分析
• 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知 或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候 要通过变题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使 问题得到简化，这叫换元法。
其实质是转化，关键是构造元，原则是等量代换，目的是变换研究 对象，将问题移至新函数的知识背景中去研究，使非标准型问题标准化、 复杂问题简单化，变得容易处理。
又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的 条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或 者变为熟悉的形式
• 例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等 式求解和指数方程的问题。
• 使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的 选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
4、典型例题
5、变式
• 1.已知f(x3)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。
• A. 2lg2
B. lg2 C. lg2 D. lg4
6、总结
发现给定函数或式子之间的联系，再实施换元，这是我们思考解法时的关键。 换元目的为了简便计算； 换元后要注重新变量范围的选取一定要对应于原变量的取值范围。
浅谈高中数学中换元法的应用
浅谈高中数学中换元法的应用【摘要】换元法是高中数学中比较常见也很重要的一种数学方法，灵活地运用换元法对数学问题进行转换，从而使得问题能够迎刃而解。
换元法可分为局部换元、均值换元和三角换元等，对换元法的应用的探究是教育发展的很重要的一个方向。
【关键词】换元转换解题数学方程1前言在解数学题时，用一个变量代替某个可以看成一个整体的复杂式子，进而使得问题得到了进一步的简化，这就称为换元法。
换元法的实质是转化，依据是等量代换，关键是构造元以及设元，目的是变换变量，使得问题简单化，易于处理。
事实上，换元法就是引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，然后对新变量求出某种结果，再代回求出关于原变量的结果。
但是，换元法的的难点及关键是如何作出合理又正确的变量代换。
教学中必须多用启发式，充分注意学生的分析思维过程，使学生知其然亦知其所以然，逐渐形成解题的技巧及能力。
2.换元法的基本特点换元的基本思想就在于引入新变量，从而把零散的条件结合起来，挖掘出隐含的条件，从而有效的将条件与结论相联系，把陌生的条件转换成熟悉的形式，把复杂的计算和证明简单化。
换元可以分为几个基本的方法，例如均值换元、局部换元以及三角换元等。
2.1均值换元如遇到x+y=2S形式时，设x=S+t，y= S-t等。
这是最基本的转换。
具体的例题如:已知a，b为非负实数，M=a4+b4，a+b=1,求M的最值。
可令a=1/2-t,b=1/2+t(0≤t≤1/2),代入M，化简有：M=2×(t2+3/4)2-1，由二次函数性质知Mmin =1/8,Mmax=1.2.2.局部换元指的是在已知或未知的条件下，某个代数式多次出现，采用的方法就是用某个特定的字母或符号来代替，使得问题得到简单化，或者在复杂的条件下也可以通过变形。
2.3 三角换元在去根号或转换为三角形式时，运用得比较广泛。
方法主要是利用已知代数式里和三角知识里相关系的形式进行换元。
如求函数y=2x -1的值域时，若x ∈[-1,1]，设x=sin α，sin α∈[-1,1]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
高中数学复习指导：三角函数中常见的三种换元类型
π
2
+
π
4
)
= sin( 2θ +
π
4
)=
2 (sin 2θ + cos 2θ ) 2
=
2 (2 sin θ cosθ + cos 2 θ − sin 2 θ ) 2
=
2 4 3 3 4 31 2 [2 × (− ) × + ( ) 2 − (− ) 2 ] = − . 2 5 5 5 5 50
二、三角式换元： 三角式换元： 例 3、已知 f ( x) = −2a sin(2 x +
sin x + cos x = a + b 是关于 a、b 的一次式，而 sin x cos x = ab 是关于 a、b 的二次式，根
据用“低次”表示“高次”的思想，可设 sin x + cos x 为一个新元. 解：设 sin x + cos x = t ，两边平方得：1 + 2sin x ⋅ cos x = t 2 ，
sin x ⋅ cos x =
t2 −1 π ，又 t = sin x + cos x = 2 sin(x + ), 2 4
∴ t ∈ [ − 2, 2] .
f ( x) = t +
t 2 − 1 t 2 + 2t − 1 (t + 1)2 − 2 = = ， 2 2 2
(t + 1) 2 − 2 g(t) = 的对称轴为 t = −1 ， 2
y 3 x y = cos θ， = sin θ ， 5 3
解： C即 : ( ) 2 + ( ) 2 = 1 ，因此令
x 5
于是 C 上一点可以设为 P(5cosθ ,3sinθ ) ， P 到 l : 4 x − 5 y + 40 = 0 的距离