数字信号处理知识总结

1. 傅里叶变换

有限长序列 可看成周期序列

的一个周期； 把 看成 的以N 为周期的周期延拓。 有限长序列的离散傅里叶变换（DFT ）：

① 长度为N 的有限长序列 x(n) ，其离散傅里叶变换 X(k) 仍是一个长度为N 的有限

长序列；

② x(n)与X(k)是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知x(n) 就能唯一地确定 X(k)；

同样已知X(k)也就唯一地确定x(n)。实际上x(n)与 X(k) 都是长度为 N 的序列（复序列）都有N 个独立值，因而具有等量的信息； ③ 有限长序列隐含着周期性。

)(n x )(n x )(~n x )(~n x

2.循环卷积（有可能会让画出卷积过程或结果）

循环卷积过程为：

最后结果为：

3.（见课本）

课本

3、线性卷积（有可能会让画出卷积过程或结果）

以下为PPT上的相关题目：

4.计算分段卷积：重叠相加法和重叠保留法（一定会考一

种）

重叠相加法解题基本步骤:

将长序列均匀分段，每段长度为M；

基于DFT快速卷积法，通过循环卷积求每一段的线性卷积；

依次将相邻两段的卷积的N-1个重叠点相加，得到最终的卷积结果。

4.级联、并联、直接形（画图） 以下为课后作业相关题目：

1. 已知系统用下面差分方程描述:

)

1(31

)()2(81)1(43)(-+--n x n x n y n y n y ＋－＝

试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。 式中x (n )和y (n )分别表示系统的输入和输出信号。

解： 将原式移项得

)

1(31

)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y

将上式进行Z 变换， 得到

1

21)(31)()(81)(43)(---+=+-z

z X z X z z Y z z Y z Y

2

11

8

1431311)(---+-+=

z z z z H

(1) 按照系统函数

H(z)， 根据Masson 公式， 画出直接型结构如

题1解图（一）所示。

(2) 将H (z )的分母进行因式分解：

)411)(211(31181431311)(111

211--------+=+-+=z z z z z z z H

按照上式可以有两种级联型结构: 画出级联型结构如题1解图（二）（a)所示

画出级联型结构如题1解图（二）（b)所示

(3) 将H (z )进行部分分式展开：

)

4

11)(211(3

1

1)(111

-----+=

z z z z H 4121)41)(21(31

)(-+-=--+

=z B z A z z z z

z H 4137

21310)(-

--=z z z

z H 114

11372113104137)21(3

10)(----

+-=---=z z z z z z z H

1

114

1

11

211311)(----⋅-+=z z z z H 11

14

11311 2111)(----+⋅-=z z z z H 11

14

11311 2111)(----+⋅-=z z z z H

根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。

3. 设系统的差分方程为

y (n )=(a +b )y (n －1)－aby (n －2)+x (n －2)+(a +b )x (n －1)+ab

式中, |a |<1， |b |<1, x (n )和y (n )分别表示系统的输入和输出信号, 试画出系统的直接型和级联型结构。

解： (1) 直接型结构。 将差分方程进行Z 变换， 得到 Y (z )=(a +b )Y (z )z －1－abY (z )z －2+X (z )z －2－(a +b )X (z )z －1+ab

2

12

1)(1)()()()(-----+-++-=

=abz z b a z

z b a ab z X z Y z H

按照Masson 公式画出直接型结构如题3解图（一）所示。

(2) 级联型结构 。 将H (z )的分子和分母进行因式分解， 得到

)()()1)(1()

)(()(211

111z H z H bz az z b z a z H =----=----

按照上式可以有两种级联型结构:①

画出级联型结构如题3解图（二）(a)所示

画出级联型结构如题3解图（二）(b)所示

1

111)(----=

az a z z H 1

121)(----=

bz b

z z H 1

1

11)(----=bz

a

z z H 1

1

21)(----=az

b

z z H

四．设计模拟滤波器（考试时不能编代码） 一般步骤：

根据A p 、A s 、Ωs 、Ωp ，确定滤波器阶次N 和截止频率Ωc 。

P161 【例6.2.2】

设计一个模拟低通巴特沃斯滤波器，指标如下：

(1) 通带截止频率：Ωp=0.2π；通带最大衰减：A p=7 dB 。 (2) 阻带截止频率：Ωs=0.3π；阻带最小衰减：A s=16dB 。 解：

由Ωp ，得:

由Ωs ，得：

在上面两个Ωc 之间选Ωc=0.5。 最后可得（级联型） ：

五、脉冲响应不变法（P177 第6.3节） 156-158页

脉冲响应不变法的优点：

● 时域逼近。使数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，即时域逼近良好。

● 线性频率关系。

)

25.05.0)(5.0(125

.0)(2+++=s s s s H a