层次分析法详解

构建风险层次结构
通过选取的指标可以看出这是一个多目标的且问题涉及到许多因素，各种因素
的作用相互，情况复杂。

依据层次分析法处理这类复杂的问题就需要对所涉及的因素指标进行分析：哪些是需相互比较的；哪些是需相互影响的。

把那些需相互比较的因素归成同一类，构造出一个各因素类之间相互联结的层次结构模型。

各因素类的层次级别由其与目标的关系而定：
第一层是目标层，也就是国家风险的评价排序
第二层是准则层，这一层中是国家风险排序所涉及的国家风险类型，即政治风险、经济风险、社会风险。

第三层是子准则层，这一层是评价衡量准则层中各要素的影响因素及评价指标，即政权凝聚力、腐败状况、相关法律政策、国际关系、官僚主义、经济政策、汇率稳定性、金融环境、内部冲突、外部冲突、民族差异等。

第四层也就是我们要选择的方案即所要选择的并购方案国家。

图5.1风险层次结构模型
Fig.5.1 The hierarchical structure model of country risk
为了方便计算以及模型的理解，层次结构中各层次均用字母代替，目标层为i
A ，
准则层为B i ，子准则层为C i ，方案层为D i 。

5.2.2 重要性程度描述
为了将上述复杂的多因素综合比较问题转化为简单的两因素相对比较问题。

首先找出所有两两比较的结果，并且把它们定量化；然后再运用适当的数学方法从所有两两相对比较的结果之中求出多因素综合比较的结果。

进行定性的成对比较时，我们将比较结果分为5种等级：相同、稍强、强、明显强、绝对强并将我们所做出的比较结果应用1～9个数字尺度来进行定量化，比较具体含义及相应数字对应如下表：
表5.2 AHP重要程度描述表
Table 5.2 Described table of AHP important degree 定性比较结果数字定量
因素1相较于因素2具有相同的重要性 1
因素1与因素2相比，前者重要性稍强 3
因素1与因素2相比，前者重要性强 5
因素1与因素2相比，前者重要性明显强7
因素1与因素2相比，前者重要性绝对强9
因素1与因素2相比，相对重要性处于上述等级之间2、4、6、8
（续表5.2）定性比较结果数字定量
因素1与因素2相比，后者的重要性要稍强、强、明显强、绝对强于前者1/3、1/5、1/7、1/9
例如：在准则层中有三个因素政治风险B1、经济风险B2以及社会风险B3，假设如果政治风险B1相较于经济风险B2在风险中的重要性稍强那么就是B1：B2=3:1也就是3。

假设社会风险B3与经济风险B2相比，社会风险的重要性要强于经济风险B2但是是弱于政治风险，那么B3:B2=2:1也就是数字2，相反如果假设经济风险B2的重要性要强于政治风险B1那么B1:B2=1:3也就是1/3。

5.2.3层次单排序
由层次模型可以看出含有层。

为了进行有效的判断，依据层次分析法的方法我们要分别对不同的层次进行层次单排序，现在我们就拿准则层为例，在准则层，有3个因素指标分别为B1，B2，B3，相关的上一层因素为A，则可针对因素A，对
所有因素B1，B2，B3进行两两比较，每次取两个因素Bi 与Bj 进行两两比较，用b ij 表示Bi 与Bj 对A 的影响之比，b ij 为比较结果，比较依据表5.2所示。

全部比较结果即可构成一个3⨯3的比较矩阵，即因素指标B1，B2，B3相应于上一层因素A 的判断矩阵：
⎪⎭⎪⎬
⎫⎪⎩⎪⎨⎧333231232221131211,,,,,,321321b b b b b b b b b B B B B B B A
(5.1)
同理，按照相同的方法，可以依次构造子准则层到准则层、方案层到子准则层的判断矩阵以及子准则层到方案层的判断矩阵。

在层次分析法中求判断矩阵中的各种要素的排序有两种方法，一是将矩阵的横行各要素进行相加后得出一个重要性向量（以准则层为例）：
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩⎪⎨⎧++++++∝⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==333231232221131211321b b b b b b b b b w w w W a
(5.2)
但是由于这种方法只具有唯一性、互反性但是不具备一致性，因此我们不与应用，也不做细致解释。

第二种方法就是求出判断矩阵的标准化特征向量W=(w1，…wn)T 以及最大特征值n ，理论上已经证明这个特征值也是判断矩阵的唯一最大特征值，我们所求的特征向量W=(w1，…wn)T 也就是得到重要性向量排序结果。

由于判断矩阵会存在误差，为了判断误差的大小以及最后得到的结果是否合理我们就需要进行一致性的检验。

对于具有一致性的比较矩阵，最大特征值为n ；如果一个比较矩阵的最大特征值为n ，则一定具有一致性。

估计误差的存在破坏了一致性，必然导致特征向量及特征值也有偏差。

我们用n ’表示带有偏差的最大特征值，则n ’与n 之差的大小反映了不一致的程度。

考虑到因素个数的影响Saaty 将CI=(n ’-n)/(n-1)定义为一致性指标,当CI=0时比较矩阵完全一致，否则就存在不一致；CI 值越大，不一致的程度也就越大。

为了确定不一致程度的允许范围，Saaty 又定义了一个一致性比率CR 当CR=CI/RI<01时认为其不一致性可以被接受，不会影响排序的定性结果，具体RI 值如下表：
表5.3一致性指标RI 的数值
Table 5.3 Values of Random consistency index RI n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
RI
0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
注：任意一、二阶判断矩阵是完全一致的。

下面将进行各个层次的单排序，以及排序结果的字母表示：
(1)在准则层，国家风险的3个因素指标两两比较，得到一个3×3的判断矩阵，求出判断矩阵的最大特征值，进而计算出相应的标准化的特征向量a ，则a 中的变量为准则层的政治风险、经济风险、社会风险3个因素指标对于目标层国家风险的相对重要性排序结果。

(2)在子准则层，以准则层的“政治风险”为例，其在子准则层有5个因素，此5个因素同样依据上述方法进行两两比较，得5×5的判断矩阵，求出此矩阵的最大特征值，以及对应这个特征值的标准化特征向量b 1则为“政治风险”在子准则层的5个因素对于“政治风险”的相对重要性排序结果。

类似的，可求得经济风险、社会风险对子准则层的标准化特征向量b 2、b 3。

(3)在方案层，相对于子准则层的每个因素，有国家D1、D2、D3三国。

以子准则层“政权凝聚力”为例，D1、D2、D3三国进行相互比较，得到3×3的判断矩阵，同样计算该矩阵的最大特征值，和对应的标准化特征向量c l ，为D1、D2、D3三国对于“政权凝聚力”的相对重要性排序结果。

同理，可得到D1、D2、D3三国对于C2、C3、…C11几个指标的相对重要性排序结果，分别定义为c 2、c 3、…c 11。

在进行上述步骤的同时也都会进行一致性检验的步骤。

5.2.4总排序
进行完层次单排序之后，就要最后确定方案层对于目标层的总排序，本文中的含义就是方案层中的三个国家对于目标层国家风险评价排序的总排序，即三国的国家风险评定排序。

总排序的步骤:
（1）方案层对准则层的排序
c 1，c 2，c 3，c 4，c 5分别为D1、D2、D3三国对应有政权凝聚力、腐败状况、与并购相关的法律政策、国际关系、官僚主义的相对重要性排序结果。

将c l ，c 2，c 3，c 4，c 5按列组成一个3×5矩阵E1，又b 1为政治风险在子准则层的5个因素对于政治风
险的相对重要性排序结果为5×1矩阵。

根据层次分析法相对权数计算的层位传递原理，通过计算E1×b 1得到一个3×1的矩阵F1，F1即为方案层三国对准则层政治风险的排序。

同理可求得F2为方案层对准则层经济风险的排序，F3为方案层对准则层社会风险的排序。

（2）方案层对目标层国家风险的排序
F1、F2、F3分别是方案层对应准则层政治风险、经济风险、社会风险的排序结果向量。

将F1、F2、F3按列组成一个3×3的矩阵G 。

而a 为准则层对于目标层的相对重要性排序结果。

同样根据层次分析法相对权数计算的层位传递原理，通过计算G ×a ，得到一个3×1的矩阵H ，则H 的分量为方案层对目标层国家风险的排序。

将H 的分量进行比较，数值最高者为D1、D2、D3三国中国家风险最大的国家。

（3）子准则层的总排序
同样的道理，我们也可以计算子准则层各要素之间的相对重要性排序结果： 单排序中目标层相对于准则层的排序结果有a 假设为a=(a 1,a 2,a 3)T 下一层包含有三个因素B1、B2、B3、他们得排序结果为：
b 1=(b 11,b 12,b 13,b 14,b 15)T 1； b 2=(b 26,b 27,b 28)T ； b 3=(b 39,b 310,b 311)T (5.3) 我们可以将b 1、b 2、b 3按列组成一个11×3的矩阵J(当子准则层与准则层与无联系时用0表示，例如b 2中元素前五行就可用0表示),同样根据层次分析法相对权数计算的层位传递原理，通过计算J ×a 既可以得到一个11×1的矩阵K ，向量K 中的向量排序结果即为子准则层中的总排序结果。

1注：公式中
b 11,b 12,b 13等是相对于子准则层中的排序结果非（5.1）中比较结果b 11,b 12,b 13等。