构造判断矩阵的讲解(层次分析法)ppt课件
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第1章：层次分析法PPT课件
g1 / g1
A
(aij
)33
g2
/
g1
g3 / g1
g1 / g2 g2 / g2 g3 / g2
g1 / g3
g2
/
g3
g3 / g3
-
6
1.1 AHP方法的基本原理
二、判断矩阵及其特征向量
设3个物体重量组成的向量为 G ( g1 , g2 , g3 )T
g1 / g1
A
G
g2
阶数 1
2
3
4
5
6
7
8
R.I. 0 阶数 9
0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 10 11 12 13 14 15
R.I. 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
一致性指标C.I与同阶平均随机一致性指标R.I的比较值，称为一致性比率
C.R C.I
设判断矩阵A的全部特征值为：1= max，2，，m
由于A是互反矩阵，aii=1，(i=1，2，，m)。由矩阵理论有
max 2 m m aii m , 即 | m i | max m
i 1
i2
为达到满意一致性，除了max之外，其余特征值尽量接近于零。取
m
| i2 i | max m C .I
-
7
1.1 AHP方法的基本原理
二、判断矩阵及其特征向量
a11 a12 a13 g1 / g1 g1 / g2 g1 / g3 1 g1 / g2 g1 / g3
判断矩阵
A
a21
a22
a23
g2
/
g1
g2 / g2
层次分析法课件(学生用)
层次分析法的步骤
1 A 2
4
1/ 2 1 2
1/ 4 1/ 2
1
0.14 0.14 0.14 A 0.29 0.29 0.29
0.57 0.57 0.57
层次分析法的步骤
构造判断矩阵
例：检验判断矩阵A 的一致性 2、将矩阵 A 按行相加得到向量 W 。
层次分析法的步骤
构造判断矩阵
判断矩阵的一致性检验
CR可由下式计算： CR CI RI
其中RI为平均随机一致性指标（Random Index），仅与 矩阵的阶数（n）相关，其取值如下表所示：
平均随机一致性指标RI值
层次分析法的步骤
构造判断矩阵
判断矩阵的一致性检验
CI为判断矩阵的一致性指数（Consistency Index）可由
层次分析法的步骤层次分析法的步骤构造判断矩阵构造两两判断矩阵目标层a的判断矩阵a层次分析法的步骤选择单位a目标层准则层方案层构造判断矩阵层次分析法的步骤构造判断矩阵构造两两判断矩阵准则层稳定性c层次分析法的步骤构造判断矩阵构造两两判断矩阵准则层薪酬待遇c层次分析法的步骤构造判断矩阵构造两两判断矩阵准则层未来发展c层次分析法的步骤构造判断矩阵判断矩阵的一致性检验一个正确的判断矩阵是符合逻辑的
在决策时，需要考虑到：经济效益B1、社 会效益B2、环境效益B3这3个准则层因素对目标 实现的影响。其中，经济效益B1需考虑直接经 济效益C1、间接经济效益C2；社会效益B2，需 考虑提高生活质量C3、增加旅游收益C4；环境 效益B3需考虑改善城市面貌C5、改善空气质量 C6。
请根据已知信息，构建层次结构模型。
层次分析法的步骤
ma x1 3 （ (W A W 1)1(A W 2W )2(A W 3W )3)
层次分析法AHP法ppt课件
②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉等）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。
18
目标层
工作选择
准则层 方案层
贡收 发 声 工 生 作活 环环
献入 展 誉 境 境
可供选择的单位P1’ P2 ， Pn
19
建立层次结构模型的思维过程的归纳
1
w2
wn
wi wi wk
wj
wk w j
wn
wn
1
w1 w2
27
即 aik akj aij i, j 1,2,, n
A
但在例2的成对比较矩阵中， a23 7, a21 2, a13 4 a23 a21 a13
在正互反矩阵A中，若 aik akj aij ,(A 的元素具有 传递性)则称A为一致阵。
旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）2。6
3 层次单排序及其一致性检验
用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确 定权值。
例如 一块石头重量记为1，打碎分成n小块，各块的重
量分别记为：w1,w2,…wn
则可得成对比较矩阵
1
w1 w2
w1
wn
由右面矩阵可以看出，
w2
A
w1
层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相 对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、 措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择 方案的原则。
20
2 构造判断(成对比较)矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层次之 间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层 次 的 元 素 Ck 作 为 准 则 ， 对 下 一 层 次 的 元 素 A1, …, An 有支配关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重要性赋予 A1, …, An 相 应的权重。
18
目标层
工作选择
准则层 方案层
贡收 发 声 工 生 作活 环环
献入 展 誉 境 境
可供选择的单位P1’ P2 ， Pn
19
建立层次结构模型的思维过程的归纳
1
w2
wn
wi wi wk
wj
wk w j
wn
wn
1
w1 w2
27
即 aik akj aij i, j 1,2,, n
A
但在例2的成对比较矩阵中， a23 7, a21 2, a13 4 a23 a21 a13
在正互反矩阵A中，若 aik akj aij ,(A 的元素具有 传递性)则称A为一致阵。
旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）2。6
3 层次单排序及其一致性检验
用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确 定权值。
例如 一块石头重量记为1，打碎分成n小块，各块的重
量分别记为：w1,w2,…wn
则可得成对比较矩阵
1
w1 w2
w1
wn
由右面矩阵可以看出，
w2
A
w1
层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相 对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、 措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择 方案的原则。
20
2 构造判断(成对比较)矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层次之 间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层 次 的 元 素 Ck 作 为 准 则 ， 对 下 一 层 次 的 元 素 A1, …, An 有支配关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重要性赋予 A1, …, An 相 应的权重。
层次分析法及其案例分析PPT课件
优质
5
1 层次分析法概述
1、建立结构层次模型
目标层（决策的
目的，要解决的问 题）
决策层（考虑的 ......
因素，决策的准则）
决策层
方案层（决
策时的备选方 案）
2019/11/10
方案层
方案层
优质
方案层
......
6
1 层次分析法概述
2、建立判断矩阵
B bb1211
b12 b22
... ...
2019/11/10
优质
9
1 综合评价法概述
确定各因素的权重
A1,A2,...,Am a1,a2,...,am
B层的层次 总排序
B1
b11 b12 b1m
m
a jb1 j b1 j 1
B2
b21 b22 b2m
...
...
m
a jb2 j b2 j 1
...
Bn
bn1 bn2 bnm
2019/11/10
优质
18
2 层次分析法应用实例
C1
C2
B1
0.17
0.83
B2
0.88
0.13
B3
0.10
0.90
B4
0.50
0.50
B5
0.25
0.75
7、通过将 A * B 可以计算C1和C2的综合得分C1和C2的得分分别0.55
和0.45,因此供应商1的整体情况要优于供应商2。 根据以上结论，应选择供应商1。
A
B1
B2
B3
B4
B5
求和
B1 0.146853 0.114754 0.314685 0.245902 0.28 1.102194
《层次分析法教程》课件
案例二：投资项目评估
总结词
层次分析法可以用于评估投资项目的风险和收益，帮助投资者做出明智的决策。
详细描述
投资者可以根据项目特点和需求，构建项目评估的层次结构模型，对项目的风险和收益进行量化评估 ，从而选择最优的投资项目。
案例三：供应商选择问题
总结词
层次分析法可以帮助企业更加科学地选择合适的供应商，提高采购效率和降低采购成本 。
一致性检验的限制
层次分析法在检验判断 矩阵的一致性时，对于 大型问题可能会遇到一 致性检验的限制，导致 结果的不准确。
适用范围有限
层次分析法主要适用于 具有层次结构的问题， 对于非层次化的问题可 能不太适用。
层次分析法的改进方向
引入客观评价方法
为了减少主观因素的影响，可以 考虑引入客观评价方法，如熵权 法、灰色关联分析等，来辅助确 定权重和判断矩阵。
判断矩阵的权重计算
权重计算的方法
权重计算是层次分析法的核心步骤之一，常用的方法有和积法、方根法等。这些方法都是基于判断矩阵的元素值 来计算各个因素的权重。
权重计算的结果
通过权重计算，可以得到各个因素在整体中的相对重要性程度。这些权重值可以用于后续的决策分析中，以帮助 决策者做出更加科学合理的决策。
准则层
01
准则层是层次分析法的中间层，代表实现目标所需要考虑的准 则或限制条件。
02
在制定准则层时，需要深入分析问题，识别出影响目标实现的
关键因素或限制条件。
准则层可以有多个元素，代表不同的准则或限制条件。
03
方案层
01
方案层是层次分析法的最低层，代表实现目标的具体
方案或措施。
02
在制定方案层时，需要提出具体的解决方案或措施，
层次分析法(AHP法) ppt课件
w1 w2 1
wn w2
w1 wn w2 wn 1 27
即
a ik a kj a ij
i, j 1,2,, n
A
但在例2的成对比较矩阵中， a23 7, a21 2, a13 4
a23 a21 a13
在正互反矩阵A中，若 a ik a kj a ij ,(A 的元素具有 传递性)则称A为一致阵。 定理：n 阶正互反阵A的最大特征根max n, 当且仅当
心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即 每层不要超过9个因素。
ppt课件 22
成对比较阵和权向量 比较尺度aij
a ij 尺度
1 相同
Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9
2 3 稍强 4 5 强 6 7 8 9 绝对强
• 便于定性到定量的转化：
3
层次单排序及其一致性检验
用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确 定权值。 例如 一块石头重量记为1，打碎分成n小块，各块的重 量分别记为：w1,w2,…wn
则可得成对比较矩阵 1 w2 由右面矩阵可以看出， A w1 wi wi wk wj wk w j wn ppt课件 w1
C1 1 2 A 1/ 4 1/ 3 1/ 3
1 1/ 7 1/ 5 1/ 5
7 1 2 3
C5 3 5 5 1/ 2 1/ 3 1 1 1 1
C4 3
A~成对比较阵 稍加分析就发 现上述成对比 较矩阵有问题
26 ppt课件 旅游问题的成对比较矩阵共有 6个（一个5阶，5个3阶）。
《层次分析法培训》PPT课件讲课稿
（1）过河效益层次结构
过河的效益 A
经济效益 B1
社会效益 B2
节 收岸 当 建安 交 自
省 入间 地 筑全 往 豪
时 C2 商 商 就 可 沟 感
间
业 业 业 靠 通 C8
C1
C3 C4 C5 C6 C7
环境效益 B3
舒进 美
适出 化
C9
方 便
C11
C1
0
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D3
（2）过河代价层次结构
过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法 两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后 者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。 近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分 析的数学工具之一。
层次分析法的基本思路： 选择钢笔
质量、颜色、价格、外形、实用 钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4 将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 经综合分析决定买哪支钢笔.
质颜价外实 量色格形用
准则层
可供选择的笔
方案层
例2 选择旅游地的层次结构
选择
旅游地
景
费
居
饮
旅
色
用
住
食
途
苏杭、北戴河、
桂林
目标层Z 准则层A 方案层B
人们在决策的时候凭自己的经验和知识进行判断，当 因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的，如果 只是定性的结果，则常常不被别人接受。Saaty 等人的 做法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互 对比；二是对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质 不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。
3
表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍 微重要
构造判断矩阵的讲解(层次分析法)课件
根据对两两比较结果，参 照相对重要程度，对每一 层次各元素的相对重要性 进行评估，构造两两比较 判断矩阵。
根据判断矩阵计算对于上 一层某元素而言，本层次 有关元素的重要性次序的 权值，即层次单排序。然 后进行一致性检验。
计算某一层次所有元素对 最高层（总目标）的相对 重要性权值，即层次总排 序。
根据层次总排序进行决策 。
02
构造判断矩阵
判断矩阵的定义与元素取值
定义
判断矩阵是层次分析法中，将决策问题分解成不同的组成因 素，并根据因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不 同的层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。
元素取值
判断矩阵的元素$a_{ij}$表示对于上一层元素$U$，下层元素 $u_{i}$与$u_{ j}$之间的相对重要性。通常采用1-9标度法或 其倒数（1-9的倒数）进行赋值，表示两元素间相对重要性的 比例。
判断矩阵
通过比较因素之间的相对 重要性，构造出判断矩阵
。
特征向量
计算判断矩阵的特征向量 ，得到各因素相对于上层
因素的权重。
一致性检验
对判断矩阵进行一致性检 验，确保权重分配合理。
层次总排序的计算步骤
层次单排序
对每个判断矩阵进行单排序，得 到各因素相对于上层因素的权重 。
层次总排序
将各层单排序的结果逐层汇总， 得到最底层因素相对于目标层的 权重。
对判断矩阵的权重分配主观性较大
02
层次分析法的权重分配主要依赖于专家的主观判断，因此有时
候会存在较大的主观性。
对复杂问题的处理能力有限
03
对于一些特别复杂的问题，层次分析法的处理能力可能有限，
需要结合其他方法进行解决。
未来研究方向与应用前景
构造判断矩阵的讲解(层次分析法).ppt
准则层对目标的成对比较阵
A 1 2 1/ 4 1/ 3 1/ 3 1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 3 5 5 1/ 2 1/ 3 1 1 1 1
权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 5 . 073 5 一致性指标 CI 0 . 018 5 1 随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 通过一致
显然，随着n的增加判断误差就会增加，因此判断一致性时应考虑到n的影响，使 用随机性一致性比值C.R. =C.I./ R.I.，其中R.I.为平均随机一致性指标。下表给出 了500样本判断矩阵计算的平均随机一致性指标检验值。 平均随机一致性指标
阶数 RI
1 0
2 0
3 0.58
4
5
6
7
8
9
10
11
12
O(选择旅游地) C2 费用 C3 居住 C4 饮食 C5 旅途
准则层
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性
C :C a i j ij
选 择 旅 游 地
C1 C1 C2
1 A ( a ) ,a 0 ,a ij n n ij ji a ij
C2 C3 C4 C5
C3
C4 C5
的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过
一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则
要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 加以调整。 一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1
及随机一致性指标的数值表，对
进行检验的过程。 A
“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验 最大特征根=5.073
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之类。
小石块W1小石块W2
设想： 把一块单位重量的石头砸成n块小石块
.
… 小石块Wn
利用判断矩阵计算各因素C对目标层Z的权重（权系数）
a.
将A的每一列向量归一化得：w~ij
aij
n
/ aij
b. c.
对将w~w~i i归j 按一行化求wi和 得w~i：/ wn~iw~i ,
n j 1
w
w~ij (
0.1 0.077 0.091
0.268
0.587
1.769
归一化 0.324 w Aw 0.974
0.089
0.268
1 (1.769 + 0.974 + 0.268) 3.009
3 0.587 0.324 0.089
得到排序结果：w=(0.588,0.322,.0.090)T, max=3.009
心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层
不要超过9个因素。
.
建立判断矩阵
例如：如果C为购一台满意的设备，P1为功能强，P2为价格低，P3为维修容易。通 过对P1，P2和P3的两两比较后做出的判断矩阵P如下：
P1
P2
P3
P1 1
1/3
2
P2 3
1
5
P3 1/2
1/5
1
功能强 价格低 易维修
衡量判断矩阵质量的标准是矩阵中的判断是 否有满意的一致性，如果判断矩阵存在如下 关系，则称判断矩阵具有完全一致性。
w1
,
w2
i 1
,...,
wn
)
T，即为近似特征根（权向量）
i1
d. 计算
1 n ( Aw) i n i1 wi
，作为最大特征根的近似值。
1 例： A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.308
0.545 按行求和 1.760
0.364
0.972
1/ 6 1/ 4 1
的线性组合： z n
w1 x1
+
w2 x2
+L
+ wn xn
其中 wi 0, wi .1 则 w , w ,..., w 叫各因素对于目
标Z的权重， i1
1
2
n
w ( w1 , w2 ,..., wn ) T 叫权向量.
注意， X1，X2，… ，Xn中有的不是基数变量， 而有可能是序数变量如舒适程度或积极性
bij=bik/bjk
为了考察AHP决策分析方法得出的结果是否基本合理，需要对判断矩阵进行一致 性检验。
.
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性 1
Ci :Cj aij
选 择 C1 旅 C2
C1
1
2
游 地
平均随机一致性指标
阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 RI 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
.
基本概念
什么是权重（权系数）？
在决策问题中，通常要把变量Z表示成变量 x1，x2，… ，xn
较矩阵有问题
层次单排序和一致性检验
对判断矩阵求其相对应的特征向量Ｗ，即
ＢＷ＝λmax Ｗ
其中Ｗ的分量（Ｗ１，Ｗ２，···，Ｗn）就是对应于n个要素的相 对重要度，即权重系数。
计算权重 系数的方 法
和积法
方根法
.
（1）和积法 ① 将判断矩阵的每一列元素做归一化处理：
n
bijbij/ bk.j...i.,j. .1 .,2 .,(.n .)., k1
② 将归一化的判断矩阵按行相加：
n
wi bij.....i. ..1.,2(,..n .),
j1
③ ④
对向量wi (w1,w2,..w .n ,)T归一化：
n
w iw i/wj.....i..1,.2.,(..n.),
j1
所得的 w(w 1,w 2,..w .n),T即为所求得特征向量，亦即
判断矩阵的层次单排序结果（即权重系数） .
C3 C4
A 1/ 4
1/ 3
C5
1/ 3
A(aij)nn,aij
C2
C3
C4
0,aji
C5
aij
1/ 2 4 3 3 A~成对比较阵
1
7
5
5
1/ 7 1 1/ 2 1/ 3 A是正互反阵
1/ 5 1/ 5
2 3
1 1
1
1
稍加分析就发 现上述成对比
要由A确定C1,… , Cn对O的. 权向量
定理：n 阶正互反阵A的最大特征根 n, 当且仅当 =n
时A为一致阵 .
由于λ 连续的依赖于aij ，则λ 比n 大的越多，A 的不 一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为 被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不 一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。
定义一致性指标: CI n
n 1
CI=0，有完全的一致性
CI接近于0，有满意的一致性
CI 越大，不一致越严重 .
为衡量机构造500个成对比较矩阵 A1,A2,,A500
则可得一致性指标 C1I,C2I,,C5I00
R IC1+ IC2+ IC5I0 0 1+25 + 0+0 50 0 n
2. 层次单排序及其一致性检验
对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量， 经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。
W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因 素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排 序。
能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所 谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。 定理：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
构造判断矩阵
在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的 结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy等人提出： 一致矩阵法，即：
1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较
2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸 因
判素断相矩互阵比是较表的示困本难层，所以有提因高素准针确对度上。一层某一个因素的 相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Santy的1—9标 度方法给出。
层次单排序和一致性检验
（二）一致性检验
定义 一致性指标C.I.为：
CI max n
n1
一般情况下，若C.I. ≤0.10,就认为判断矩阵具有一致性。据此而计算的值 是可以接受的。
显然，随着n的增加判断误差就会增加，因此判断一致性时应考虑到n的影响，使用 随机性一致性比值C.R. =C.I./ R.I.，其中R.I.为平均随机一致性指标。下表给出了 500样本判断矩阵计算的平均随机一致性指标检验值。
小石块W1小石块W2
设想： 把一块单位重量的石头砸成n块小石块
.
… 小石块Wn
利用判断矩阵计算各因素C对目标层Z的权重（权系数）
a.
将A的每一列向量归一化得：w~ij
aij
n
/ aij
b. c.
对将w~w~i i归j 按一行化求wi和 得w~i：/ wn~iw~i ,
n j 1
w
w~ij (
0.1 0.077 0.091
0.268
0.587
1.769
归一化 0.324 w Aw 0.974
0.089
0.268
1 (1.769 + 0.974 + 0.268) 3.009
3 0.587 0.324 0.089
得到排序结果：w=(0.588,0.322,.0.090)T, max=3.009
心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层
不要超过9个因素。
.
建立判断矩阵
例如：如果C为购一台满意的设备，P1为功能强，P2为价格低，P3为维修容易。通 过对P1，P2和P3的两两比较后做出的判断矩阵P如下：
P1
P2
P3
P1 1
1/3
2
P2 3
1
5
P3 1/2
1/5
1
功能强 价格低 易维修
衡量判断矩阵质量的标准是矩阵中的判断是 否有满意的一致性，如果判断矩阵存在如下 关系，则称判断矩阵具有完全一致性。
w1
,
w2
i 1
,...,
wn
)
T，即为近似特征根（权向量）
i1
d. 计算
1 n ( Aw) i n i1 wi
，作为最大特征根的近似值。
1 例： A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.308
0.545 按行求和 1.760
0.364
0.972
1/ 6 1/ 4 1
的线性组合： z n
w1 x1
+
w2 x2
+L
+ wn xn
其中 wi 0, wi .1 则 w , w ,..., w 叫各因素对于目
标Z的权重， i1
1
2
n
w ( w1 , w2 ,..., wn ) T 叫权向量.
注意， X1，X2，… ，Xn中有的不是基数变量， 而有可能是序数变量如舒适程度或积极性
bij=bik/bjk
为了考察AHP决策分析方法得出的结果是否基本合理，需要对判断矩阵进行一致 性检验。
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目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性 1
Ci :Cj aij
选 择 C1 旅 C2
C1
1
2
游 地
平均随机一致性指标
阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 RI 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
.
基本概念
什么是权重（权系数）？
在决策问题中，通常要把变量Z表示成变量 x1，x2，… ，xn
较矩阵有问题
层次单排序和一致性检验
对判断矩阵求其相对应的特征向量Ｗ，即
ＢＷ＝λmax Ｗ
其中Ｗ的分量（Ｗ１，Ｗ２，···，Ｗn）就是对应于n个要素的相 对重要度，即权重系数。
计算权重 系数的方 法
和积法
方根法
.
（1）和积法 ① 将判断矩阵的每一列元素做归一化处理：
n
bijbij/ bk.j...i.,j. .1 .,2 .,(.n .)., k1
② 将归一化的判断矩阵按行相加：
n
wi bij.....i. ..1.,2(,..n .),
j1
③ ④
对向量wi (w1,w2,..w .n ,)T归一化：
n
w iw i/wj.....i..1,.2.,(..n.),
j1
所得的 w(w 1,w 2,..w .n),T即为所求得特征向量，亦即
判断矩阵的层次单排序结果（即权重系数） .
C3 C4
A 1/ 4
1/ 3
C5
1/ 3
A(aij)nn,aij
C2
C3
C4
0,aji
C5
aij
1/ 2 4 3 3 A~成对比较阵
1
7
5
5
1/ 7 1 1/ 2 1/ 3 A是正互反阵
1/ 5 1/ 5
2 3
1 1
1
1
稍加分析就发 现上述成对比
要由A确定C1,… , Cn对O的. 权向量
定理：n 阶正互反阵A的最大特征根 n, 当且仅当 =n
时A为一致阵 .
由于λ 连续的依赖于aij ，则λ 比n 大的越多，A 的不 一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为 被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不 一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。
定义一致性指标: CI n
n 1
CI=0，有完全的一致性
CI接近于0，有满意的一致性
CI 越大，不一致越严重 .
为衡量机构造500个成对比较矩阵 A1,A2,,A500
则可得一致性指标 C1I,C2I,,C5I00
R IC1+ IC2+ IC5I0 0 1+25 + 0+0 50 0 n
2. 层次单排序及其一致性检验
对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量， 经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。
W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因 素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排 序。
能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所 谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。 定理：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
构造判断矩阵
在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的 结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy等人提出： 一致矩阵法，即：
1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较
2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸 因
判素断相矩互阵比是较表的示困本难层，所以有提因高素准针确对度上。一层某一个因素的 相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Santy的1—9标 度方法给出。
层次单排序和一致性检验
（二）一致性检验
定义 一致性指标C.I.为：
CI max n
n1
一般情况下，若C.I. ≤0.10,就认为判断矩阵具有一致性。据此而计算的值 是可以接受的。
显然，随着n的增加判断误差就会增加，因此判断一致性时应考虑到n的影响，使用 随机性一致性比值C.R. =C.I./ R.I.，其中R.I.为平均随机一致性指标。下表给出了 500样本判断矩阵计算的平均随机一致性指标检验值。