层次分析法(正反矩阵)
层次分析法正反矩阵
层次分析法正反矩阵层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种用于多目标决策的定量分析方法，也是一种基于专家知识的决策支持技术。
层次分析法通过分解一个问题为多个层次，然后对各个层次进行比较和评估，最终得出每个层次的权重，进而进行综合评价和决策。
在层次分析法中，正反矩阵是一种用于比较两个因素相对重要性的工具。
正反矩阵是一个对称矩阵，用于描述两个因素之间的直接关系。
在正反矩阵中，每个元素表示一个因素对另一个因素的相对重要性，这个重要性可以是正的也可以是负的。
正数表示正向关系，即一个因素对另一个因素的重要性越高，数值越大；负数表示负向关系，即一个因素对另一个因素的重要性越低，数值越小。
0表示两个因素之间没有关系。
正反矩阵是通过专家判断和经验得出的，通常采用9分法，即重要性从1到9依次递增。
当两个因素的重要性相同时，对应的正反矩阵元素取值为1；当一个因素相对于另一个因素更重要时，取值根据经验和专家判断进行调整，可能是2、3或更大的数；当一个因素相对于另一个因素更不重要时，取值为原来的倒数，即1/x。
正反矩阵的构建是层次分析法的关键步骤之一、下面以一个简单的例子来说明正反矩阵的构建过程。
假设我们要选择一家餐厅去享用晚餐，有三个因素需要考虑：价格、口味和环境。
首先，我们需要确定每个因素对其他因素的重要程度。
1.构建正反矩阵：-，价格，口味，环境:-------:，:---:，:----:，:---:价格，1，2，3口味，1/2，1，1/2环境，1/3，2/3，1在这个例子中，价格对于自身的重要程度是1，对于口味的重要程度是2，对于环境的重要程度是3、同理，口味对于价格的重要程度是1/2，对于自身的重要程度是1，对于环境的重要程度是1/2、环境对于价格的重要程度是1/3，对于口味的重要程度是2/3，对于自身的重要程度是12.计算正反矩阵的特征向量：下一步是计算正反矩阵的特征向量，即每个因素的权重。
层次分析法步骤及案例分析
层次分析法步骤及案例分析层次分析法（AHP）是一种通过对比判断不同因素的重要性来进行决策的方法。
它由匹兹堡大学的数学家托马斯·萨蒙在20世纪70年代初提出，并逐渐应用于各个领域。
本文将介绍层次分析法的步骤，并通过一个实际案例来进行分析。
一、层次分析法的步骤层次分析法主要包括以下几个步骤：1. 确定层次结构：首先，需要明确决策问题的层次结构。
将问题划分为若干个层次，从总目标到具体的子目标，形成一棵树状结构。
例如，在一个购车的决策问题中，总目标可以是“选择一辆适合自己的车”，下面的子目标可以包括“价格”、“外观”、“安全性”等因素。
2. 构造判断矩阵：在每个层次中，需要对不同因素之间的两两比较进行判断。
判断可以基于专家经验、问卷调查或实际数据。
对于两两比较，通常采用一个1到9的比较尺度，其中1表示相等，3表示略微重要，5表示中等重要，7表示强烈重要，9表示绝对重要。
如果因素A相对于因素B的重要性大于1，则B相对于A的重要性是1/A。
3. 计算权重向量：根据判断矩阵中的比较结果，可以计算出每个层次中各个因素的权重向量。
通过对判断矩阵的特征值和特征向量进行计算，可以得到各个因素的权重。
4. 一致性检验：在进行层次分析时，需要检验判断矩阵的一致性。
一致性是指在两两比较中的逻辑关系的一致性。
通常使用一致性指数和一致性比率来判断判断矩阵的一致性程度。
5. 综合评价：通过将各层次中因素的权重向量进行乘积运算，并将结果汇总得到最后的评价结果。
在这一步骤中，可以对不同的决策方案进行排序或进行多目标决策。
二、案例分析为了更好地了解层次分析法的应用，我们来看一个实际案例。
假设某公司需要选择新的供应商，供应商选择的主要考虑因素包括产品质量、交货周期和价格。
我们可以按照以下步骤进行决策：1. 确定层次结构：总目标是选择合适的供应商，下面的子目标是产品质量、交货周期和价格。
2. 构造判断矩阵：对于每个子目标，可以进行两两比较。
层次分析法模型
二、模型的假设1、假设我们所统计与分析的数据,都就是客观真实的;2、在考虑影响毕业生就业的因素时,假设我们所选取的样本为简单随机抽样,具有典型性与普遍性,基本上能够集中反映毕业生就业实际情况;3、在数据计算过程中,假设误差在合理范围之内,对数据结果的影响可以忽略、三、符号说明四、模型的分析与建立1、问题背景的理解随着我国改革开放的不断深入,经济转轨加速,社会转型加剧,受高校毕业生总量的增加,劳动用工管理与社会保障制度,劳动力市场的不尽完善,以及高校的毕业生部分择业期望过高等因素的影响,如今的毕业生就业形势较为严峻、为了更好地解决广大学生就业中的问题,就需要客观地、全面地分析与评价毕业生就业的若干主要因素,并将它们从主到次依秩排序、针对不同专业的毕业生评价其就业情况,并给出某一专业的毕业生具体的就业策略、2、方法模型的建立(1)层次分析法层次分析法介绍:层次分析法就是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法,它用来帮助我们处理决策问题、特别就是考虑的因素较多的决策问题,而且各个因素的重要性、影响力、或者优先程度难以量化的时候,层次分析法为我们提供了一种科学的决策方法、通过相互比较确定各准则对于目标的权重,及各方案对于每一准则的权重、这些权重在人的思维过程中通常就是定性的,而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法、我们现在主要对各个因素分配合理的权重,而权重的计算一般用美国运筹学家T、L、Saaty教授提出的AHP法、(2)具体计算权重的AHP 法AHP法就是将各要素配对比较,根据各要素的相对重要程度进行判断,再根据W、计算成对比较矩阵的特征值获得权重向量kStep1、 构造成对比较矩阵假设比较某一层k 个因素12,,,k C C C L 对上一层因素ο的影响,每次两个因素i C 与j C ,用ij C 表示i C 与j C 对ο的影响之比,全部比较结果构成成对比较矩阵C ,也叫正互反矩阵、*()k k ij C C =,0ij C >,1ij jiC C=, 1ii C =、若正互反矩阵C 元素成立等式:* ij jk ik C C C = ,则称C 一致性矩阵、标度ij C含义1i C 与j C 的影响相同 3 i C 比j C 的影响稍强 5 i C 比j C 的影响强 7 i C 比j C 的影响明显地强 9i C 比j C 的影响绝对地强2,4,6,8i C 与j C 的影响之比在上述两个相邻等级之间11,,29Li C 与j C 影响之比为上面ij a 的互反数 Step2、 计算该矩阵的权重通过解正互反矩阵的特征值,可求得相应的特征向量,经归一化后即为权重向量12 = [ , ,..., ]T kkkkkQ q qq ,其中的ikq 就就是i C 对ο的相对权重、由特征方程A-I=0λ,利用Mathematica 软件包可以求出最大的特征值max λ与相应的特征向量、Step3、 一致性检验1）为了度量判断的可靠程度,可计算此时的一致性度量指标CI :max1kCI k λ-=-其中maxλ表示矩阵C 的最大特征值,式中k 正互反矩阵的阶数,CI 越小,说明权重的可靠性越高、2)平均随机一致性指标RI ,下表给出了1－14阶正互反矩阵计算1000次得到3）当0.1CR RI=<时,(CR 称为一致性比率,RI 就是通过大量数据测出来的随机一致性指标,可查表找到)可认为判断就是满意的,此时的正互反矩阵称之为一致性矩阵、进入Step4、 否则说明矛盾,应重新修正该正互反矩阵、转入Step2、 Step4、 得到最终权值向量将该一致性矩阵任一列或任一行向量归一化就得到所需的权重向量、计算出来的准则层对目标层的权重即不同因素的最终权重,这样一来,我们就可以按权重大小将进行排序了、 (3)组合权向量的计算成对比较矩阵显然非常好体现了我们研究对象——各个因素之间权重的比较状态,能够有效地全面而深刻地表现出有关的数据信息,显然也就是矩阵数学模型的重要应用价值、 因素往往就是有层次的,我们经常在进行决策分析时,要进行多方面、多角度、多层次的分析与研究,把我们的决策选择建立在深刻而广泛的分析研究基础之上的、一个总的指标下面可以有第一层次的各个方面的指标、因素、成份、特征性质、组成成分等等,而每个这种因素又有新的成份在里面、这就就是决策分析的数学模型的真正的意义之所在、定理1:对于三决策问题,假设第一层只有一个因素,即这就是总的目标,决策总就是最后要集中在一个总目标基础之上的东西,然后才能进行最后的比较、又假设第二层与第三层因素各有n 、m 个,并且记第二层对第一层的权向量(即构成成份的数量大小、成份的比例、影响程度的大小的数量化指标的量化结果、所拥有的这种属性的程度大小等等多方面的事情的量化的结果)为:(2)(2)(2)(2)12(,,,)Tn w w w w =L , 而第3层对第2层的全向量分别就是:(3)(3)(3)(3)12(,,,)Tk k k km w w w w =L ,这表示第3层的权重大小,具体表示的就是第2层中第k 个因素所拥有的面对下一层次的m 个同类因素进行分析对比所产生的数量指标、那么显然,第三层的因素相对于第一层的因素而言,其权重应当就是:先构造矩阵,用 (3)k w 为列向量构造一个方阵 (3)(3)(3)(3)12(,,)nWw w w=L,这个矩阵的第一行就是第3层次的m 个因素中的第1个因素,通过第2层次的n 个因素传递给第1层次因素的权重,故第3层次的m 个因素中的第i 个因素对第1层次的权重为 (2)(3)1nkkik w w=∑,从而可以统一表示为:(1)(3)(2)wWw=,它的每一行表示的就就是三层(一般就是方案层)中每一个因素相对总目标的量化指标、定理2:一般公式如果共有s 层,则第k 层对第一层(设只有一个因素)的组合权向量为()()(1),3,4,k k k k s wWw-==L ,其中矩阵 ()k W的第i 行表示第k 层中的第i 个因素,相对于第1k -层中每个因素的权向量;而列向量 (1)k w-则表示的就是第1k -层中每个因素关于第一层总目标的权重向量、于就是,最下层对最上层的的组合权向量为:()()(1)(3)(2)s s s wWWWw-=L ,实际上这就是一个从左向右的递推形式的向量运算、逐个得出每一层的各个因素关于第一层总目标因素的权重向量、 (4)灰色关联度综合评价法灰色系统的关联分析主要就是对系统动态发展过程的量化分析,它就是根据因素之间发展态势的相似或相异程度,来衡量因素间接近的程度,实质上就就是各评价对象与理想对象的接近程度,评价对象与理想对象越接近,其关联度就越大、关联序则反映了各评价对象对理想对象的接近次序,即评价对象与理想对象接近程度的先后次序,其中关联度最大的评价对象为最优、因此,可利用关联序对所要评价的对象进行排序比较、利用灰色关联度进行综合评价的步骤如下:1)用表格方式列出所有被评价对象的指标、2)由于指标序列间的数据不存在运算关系,因此必须对数据进行无量纲化处理、3)构造理想对象,即把无量纲化处理后评价对象中每一项指标的最佳值作为理想对象的指标值、4)计算指标关联系数、其计算公式为:min max imax()()ik k ρρξ+=+∆∆∆∆其中min()()minminiikk k x x =-∆,max()()maxmaxiikk k x x =-∆,()ik ∆=()()ik k x x -,1,2,i n =L ,1,2,k m =L 、式中n 为评价对象的个数;m 为评价对象指标的个数;()ik ξ为第i 个对象第k 个指标对理想对象同一指标的关联系数;A 表示在各评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的最小绝对差的基础上,再按1,2,,i n =L 找出所有最小绝对差中的最小值;max ∆表示在评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的最大绝对差的基础上,再按1,2,,i n =L 找出所有最大绝对差中的最大值;min ∆为评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的绝对差、ρ为分辨系数,ρ越小分辨力越大,一般ρ的取值区间[0,1],更一般地取ρ=0、5、5)确立层次分析模型、6)确定判断矩阵,计算各层次加权系数及加权关联度,加权关联度的计算公式为:()mk iikk γξω=∑,式中7为第i 个评价对象对理想对象的加权关联度,kω为第k 个指标的权重、7)依加权关联度的大小,对各评价对象进行排序,建立评价对象的关联序,从而可以得出关联度较大的对象,关联度越大其综合评价结果也越好、 (5)线性回归分析法假如对象(因变量)y 与p 个因素(自变量)12,,,p x x x L 的关系就是线性的,为研究她们之间定量关系式,做n 次抽样,每一次抽样可能发生的对象之值为12,,ny y yL它们就是在因素(1,2,,)i i p x =L 数值已经发生的条件下随机发生的、把第j 次观测的因素数值记为:12,,,jjpj x xx L (1,2,j n =L )那么可以假设有如下的结构表达式:1111011212201213011p p p p n np p y x x y x x y x x βββεβββεβββε⎧=++++⎪⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎪⎩L L L L L L L L L L L L L L L L L L 其中,01,,,pβββL 就是1p +个待估计参数,12,,,n εεεL 就是n 个相互独立且服从同一正态分布2(0,)N σ的随机变量、这就就是多元线性回归的数学模型、若令12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ,111212122212111p p n n np x xx x xx x xxx ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎝⎭L L L LLL L L,012p βββββ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ,12n εεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M则上面多元线性回归的数学模型可以写成矩阵形式:y x βε=+在实际问题中,我们得到的就是实测容量为n 的样本,利用这组样本对上述回归模型中的参数进行估计,得到的估计方法称为多元线性回归方程,记为%011p p y b b x b x =+++L式中,012,,,,p b b b b L 分别为01,,,p βββL 的估计值、 (6)主成分分析法1)主成分的定义设有p 个随机变量12,,,p x x x L ,它们可能线性相关,通过某种线性变换,找到p 个线性无关的随机变量12,,,pz z zL ,称为初始向量的主成分、设12(,,,)Tp αααα=L为p 维空间pR 中的单位向量,并记所有单位向量的集合为{}0|1TR ααα==,且记X ＝12(,,,)Tp X X X L 、2)用相关矩阵确定的主成分令*i E X -=,**(,),ij i j E r X X =1,2,,j p =L 、*X=***12(,,)Tp X X X L ,则1212121211()1pp ij p p R r r r rr r r⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L LL L LLL 为*X 的协方程、类似地,我们可对R 进行相应的分析、3)主成分分析的一般步骤 第一步、选择主成分设X 的样本数据经过数据预处理后计算出的样本相关矩阵为121*21212111*()11()()pT p p p R ij n r r r rr XX r r⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭L LL L LLL %%、 由特征方程0R I λ-=,求出p 个非负实根,并按值从大到小进行排列:120p λλλ≥≥≥≥L 、将iλ带入下列方程组,求出单位特征向量iα()0,1,2,,i i R I i m λα-==L确定m的方法就是使前m个主成分的累计贡献率达到85％左右、第二步、利用主成分进行分析在实际分析时,通常把特征向量的各个分量的取值大小与符号(正负)进行对照比较,往往能对主成分的直观意义作出合理的解释、利用主成分可以进行以下分析:a)对原指标进行分类;b)对原指标进行选择;c)对样品进行分类;d)对样品进行排序;e)预测分析、。
正互反矩阵在层次分析法中的运用
学术论坛科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald241１ 正互反矩阵相关定义、结论定义１ 设n 阶矩阵n n i j a A ×=)(，如果满足以下条件：（ⅰ）0>i j a （ⅱ）ij a ji a 1=),,2,1,(n j i =则称矩阵A 为n 阶正互反矩阵．根据定义１，显然可以推出当j i =时1=i j a 。
定义２ 对于n 阶正互反矩阵n n i j a A ×=)(，有kj ik ij a a a =·),,2,1(n k =，则称矩阵A 为一致性正互反矩阵。
定义3 对于正互反矩阵n n i j a A ×=)(，若随机一致性比率C R<0.1，则称正互反矩阵n n i j a A ×=)(为满意一致性正互反矩阵。
定理1 设n n i j a A ×=)(是正互反矩阵，若A 的最大特征根n =max λ，则矩阵A 是一致性正互反矩阵。
（其证明可参见参考文献1）2 层次分析法20世纪70年代，美国匹兹堡大学教授沙丁（T.L.S a a t y）提出了层次分析法（A n a ly tic Hier a r c hy P r o c ess简称A H P），此方法是一种将定性分析与定量分析相结合的多目标决策分析方法，在应用上具有系统性、实用性、适应性、实用性的优点，因此是一种使用比较广泛的方法。
层次分析法不仅在应用上可信、灵活而且实用，它在理论上也存在原理简单、结构层次明确、理论基础扎实的优点，容易掌握和使用。
但层次分析法也存在一定的缺陷：例正互反矩阵在层次分析法中的运用①左连萍(天津交通职业学院 天津 300110)摘 要：该文给出了正互反矩阵相关定义结论，通过层次分析法的简单介绍指出正互反矩阵在其中的运用。
关键词：正互反矩阵 层次分析法 排序中图分类号：N94 文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2014)05(c)-0241-02①作者简介：左连萍(1978.12—)，女，汉，吉林柳河人，硕士，讲师,研究方向：高等数学的教育。
层次分析法
1. 层次分析法（The analytic hierarchy process, 简称AHP）用于解决评价类问题,例如：选择那种方案最好、哪位运动员或者员工表现的更优秀。
评价类问题可以用打分解决。
层次分析法 (The Analytic Hierarchy Process即 AHP)是由美国运筹学家、匹兹堡大学教授T. L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合评价方法, 是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的, 它较合理地解决了定性问题定量化的处理过程。
AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构, 把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上, 从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。
在许多情况下, 决策者可以直接使用AHP进行决策, 极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性, 但其本质是一种思维方式, 它把复杂问题分解成多个组成因素, 又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构, 通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。
整个过程体现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点。
1.1模型介绍1.1.1引例高考结束了，小明该选择华科还是五武大？小明最关心四个方面：学习氛围0.4、就业前景0.3、男女比例0.2、校园景色0.19（权重和为1）（1）学习氛围：经查阅资料查到“学在华工，玩在武大，爱在华师”一句话，因此在学习氛围方面给华科0.7，给武汉大学0.3.（2）就业前景：搜索两所学校就业率差不多，因此在就业前景方面对两所学校均赋予0.5的权重。
（3）男女比例：经查询，华科男女比例2：1，武大1.35：1，因此武大0.7分，华科0.3分（4）校园景色：华科0.25分，武大0.75分整理权重表格：指标权重华科武大学习氛围0.40.70.3就业前景0.30.50.5男女比例0.20.30.7校园景色0.10.250.75华科最终的得分：0.7*0.4+0.5*0.3+0.3*0.2+0.25+*0.1=0.515分武大最终得分：0.3*0.4+0.5*0.3+0.7*0.2+0.75*0.1=0.485分1.1.2 模型1、关键词：打分法、确定评价指标、形成评价体系2、解决评价类问题，首先确定以下三个问题：（1）评价的目标是什么（2）为了达到这个目标有哪几种可选的方案（3）评价的准则或者说指标是什么（我们根据什么东西来评价好坏）。
层次分析法概述
层次分析法一、层次分析法概述层次分析法（Analytic Hierarchy Process ）是美国运筹学家T. L. Saaty教授于20世纪70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多方案或多目标的决策方法，它是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法，是一种具有定性分析与定量分析相结合的决策方法，可将决策者对复杂对象的决策思维过程系统化、模型化、数量化。
其基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因素及其相互关系，将问题所研究的全部元素按不同的层次进行分类，标出上一层与下层元素之间的联系，形成一个多层次结构。
在每一层次，均按某一准则对该层元素进行相对重要性判断，构造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确定元素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素对总目标的组合权重，为决策问题提供数量化的决策依据。
层次分析法特别适用于无结构问题的建模。
自1982年被介绍到我国以来，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗、环境保护、冲突求解及决策预报等领域得到了广泛的重视和应用。
二、层次分析法的基本思想基本思想层次分析法的采用先分解后综合的系统思想，整理、综合人们的主观判断，将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）、中间层（准则层）、最高层（总目标）。
把实际问题转化为分析同层因素间相对重要程度的权重值或相对优劣次序的问题，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。
三、确定权重值的基本原理人们在进行社会、经济以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法
e1
1 4.511
0.778
0.172
,
3 0.665
0.4 6 7 e2 Ae1 0.565, e2 3.014,
1.9 9 1
01.55 0.471 e2 0.184, e3 0.559, e3 3.018,
0.661 1.988
0.156 0.473 e3 0.185, e4 0.561,
（4）定义未知参数 在这种问题中，运用层次分析法建立表达式 来表达未曾定义过的量。典型的例子是价值 工程，产品的价值V被定义为
VF C
其中F,C分别为产品的功能系数与成本系数， 它们可以用层次分析来定义。下面是一个 经济学例子。
例5 弹性系数的确定 经济学中有名的Cobb-Douglas生产函 数是
e (1,2,,n )T ,则权系数可取: wi i ,i 1,2,, n
在具体计算中,当
ek 与ek 1
接近到一定程度时,就取 e ek
例1 评价影视作品的水平, 用以下三个变量作评价指标 :
x1 教育性，x2 艺术性，x3 娱乐性
设有一名专家赋值:
x2 1, x3 5, x3 3
w1, w2 ,, wn
这 n 个常数便是权系数， 层次分析法给出了确定它们 的量化方法，其过程如下：
1.成对比较
从x1, x2,, xn中任取xi , xj ,比较它们
对y贡献的大小,给xi xj 赋值如下：
xi
xj
1,当认为“xi与x
贡献程度相同”时
j
xi
xj
3,当认为“xi比x
的贡献略大”时
x1
的概率估值为0.134+0.219+0.026=0.379,
层次分析
层次分析什么是层次分析法？层次分析法是一个用于决策的模型。
我先举一个简单的例子，层次分析的具体内容就跃然纸上了。
当我们决定要爬山（目标层）的时候，可供选择的山（方案层）有很多，这时我们就必须找一个标准来进行选择爬那座山。
这时，我们可以使用层次分析法。
1.层次分析法的组成从上面的图形，我们就可以大概的了解到层次分析法分为3层。
第一层为目标层，第二层为准则层，第三层为方案层。
这三层不用解释大家就可以明白其中的意思。
目标层就是我们要做的事情，对应到图片上就是爬山；准则层就是我们为做某件事设的标准，对应到图片上就是山的名气、山的高度、山的门票；方案层就是我们将采取的方案，对应到图片上就是华山、泰山、黄山。
2.使用层次分析法的步骤2.1根据准则进行二二对比进行打分2.1.1根据山的名气进行二二打分二二打分的过程就体现了偏好的问题。
比如，华山和华山比较任然是1分，因为本来就是同一座山；华山和泰山比较，我比较喜欢泰山那么泰山相对于华山得5分；华山和黄山比较，我稍微喜欢黄山，那黄山相对于华山得2分。
等到泰山和华山比较的时候，华山就得1/5分；黄山和华山比较的时候，华山得1/2分。
经过这样的打分，我们得到了二二打分矩阵。
我们得到每列的打分总和：对两两打分进行归一化处理得到：故得对于山的名气的特征向量为：w1=（0.109,0.581,0.31）T我们按照同样的方法可以得到山的高度和山的门票的打分和特征向量对山的高度的特征向量w2=（0.514,0.361，0.125）T对山的门票的特征向量w3=（0.425,0.125,0.45）T2.2对山的名气山的高度和山的门票进行两两打分2.2.1打分情况如下：平均情况情况：故w=(0.656,0.157,0.187)这时，我们就得到了所有的权系数，这时就可以计算每一个方案的打分情况了。
3.得出每一个方案的打分情况通过上面的打分，我们的最佳方案是泰山，得分0.461；其次是黄山，得分0.307，最后是华山，得分0.2324.评价该层次分析模型评价层次分析模型的关键地方就是评价打分是否一致。
层次分析法
2，4，6，8
表示相邻判断的中 间值
相应的反比较，即 Bi 和 Bj 比 较 其 相 对 上述各值的 重要性用上述之一 倒数 值进行标度，则Bj 和Bi 比较以该值的 McGraw-Hill Companies, Inc., 1999 Irwin/McGraw-Hill © The (海量营销管理培训资料下载) 倒数标度。
⋮
方 1 案
⋮
方 2 案 图15.1
⋮
方 n 案
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999 (海量营销管理培训资料下载)
二、构造判断矩阵 建立了层次结构后，上下层次之间的从属关系就确定了 。假定A层中元素Ak 与下层中元素B1 ，B2 ，…，Bm 有联系 构造如下的判断矩阵： Ak B1 B2 B1 b11 b12 B2 b12 b22 … … … … Bm bm1 bm2 … bmn Bm b1m b2m
RIi为Ai对应的B层次中判断矩阵的随机一致性批标。
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当CR≤0.10时，则认为层次总排序计算结果的一致性 可以接受。 由上面的五个步骤可以看出，层次分析法计算的主要 问题是如何计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向 量。这里我们介绍在精度要求不高的情况下，简化计算的 两种近似方法——和积法和根法。
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Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999 (海量营销管理培训资料下载)
层次分析法的计算步骤
层次分析法的计算步骤层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）是一种用于多准则决策的定量分析方法，由美国学者Thomas L. Saaty于1970年代提出。
它通过将一个复杂的多准则问题分解为一系列的层次结构，然后利用专家判断来确定每个层次的权重以及相对优先级，最终得出最佳决策。
下面将详细介绍层次分析法的计算步骤。
1.确定决策的目标和准则：首先明确决策的目标，以及实现这一目标所需的准则。
例如，如果我们要决定购买一台新的汽车，目标可能是选择性价比最高的汽车，准则可能包括价格、燃油经济性、安全性、舒适性等。
3.构建判断矩阵：为了确定每个层次之间的重要性比较，需要构建判断矩阵。
判断矩阵是一种由专家根据经验、知识或直觉所得到的关于准则之间相对重要性的矩阵。
对于每个层次，需要构建一个判断矩阵。
例如，在准则层次，专家需要判断每个准则与其他准则之间的相对重要性。
4.对判断矩阵进行标准化：将判断矩阵进行标准化是为了消除专家主观性的影响。
标准化的方法可以有多种，最常用的方法是将每列元素除以该列元素之和，使每列元素之和等于15.计算权重向量：通过对标准化的判断矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和对应的特征向量。
特征向量的元素表示各个准则相对于目标的权重。
为了保证权重之和等于1，需要将特征向量进行归一化。
归一化的方法是将每个元素除以所有元素之和。
6.一致性检验：进行一致性检验是为了评估专家的判断是否一致和合理。
一致性指标（Consistency Index, CI）是用来度量判断矩阵的一致性程度的指标，其计算方法为CI=(λmax-n)/(n-1)，其中λmax为最大特征值，n为准则数目。
为了验证判断矩阵的一致性，还需要计算一个随机一致性指标（Random Index, RI）作为对照。
如果CI<0.1，则认为判断矩阵是一致的。
7.一致性修正：如果判断矩阵不一致，可以通过进行一致性修正来提高一致性。
层次分析法
层次分析法简介层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统的、层次化的分析方法。
这种方法的特点就是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入研究的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。
是对难以完全定量的复杂系统做出决策的模型和方法。
层次分析法的原理：层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同的层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。
层次分析法的步骤，运用层次分析法构造系统模型时，大体可以分为以下四个步骤：（1）建立层次结构模型：将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象按他们之间的相互关系分成最高层、中间层和最低层，绘制层次结构图。
最高层(目标层)：决策的目的、要解决的问题；中间层(准则层或指标层)：考虑的因素、决策的准则；最低层(方案层)：决策时的备选方案；（2）构造判断(成对比较)矩阵；表指标之间比较量化值规定因素i比因素j量化值同等重要 1.00稍微重要 3.00较强重要 5.00强烈重要7.00极端重要9.00稍微不重要0.33较强不重要0.20强烈不重要0.14极端不重要0.11两相邻判断的中间值2、4、6、8（3）层次单排序及其一致性检验；（4）层次总排序及其一致性检验；举例：某市中心有一座商场，由于街道狭窄，人员车流量过大，经常造成交通堵塞。
市政府决定解决这个问题，经过有关专家会商研究，制订三个可行方案：a1:在商场附近修建一座环形天桥；a2:在商场附近修建地下人行通道；a3:搬迁商场决策的总目标是改善市中心交通环境，根据当地具体条件和情况，专家组织拟定五个目标作为对可行方案的评价准则：C1：通车能力；C2：方便群众；C3：基建费用不宜过高；C4：交通安全；C5：市容美观。
层次分析法判断矩阵
层次分析法判断矩阵层次分析法判断矩阵程序先确定判断矩阵；然后用以下程序就好了：%层次分析法的matlab程序%%%%diertimoxingyiclc,cleardisp(输入判断矩阵);% 在屏幕显示这句话A=input(A=);% 从屏幕接收判断矩阵[n,n]=size(A);% 计算A的维度，这里是方阵，这么写不太好x=ones(n,100);% x为n行100列全1的矩阵y=ones(n,100);% y同xm=zeros(1,100);% m为1行100列全0的向量m(1)=max(x(:,1));% x第一列中最大的值赋给m的第一个分量y(:,1)=x(:,1);% x的第一列赋予y 的第一列x(:,2)=A*y(:,1);% x的第二列为矩阵A*y(:,1)m(2)=max(x(:,2));% x 第二列中最大的值赋给m的第二个分量y(:,2)=x(:,2)/m(2);% x的第二列除以m(2)后赋给y的第二列p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));% 初始化p，i，k为m(2)-m(1)的绝对值while k>p% 当k>p是执行循环体i=i+1;% i 自加1x(:,i)=A*y(:,i-1);% x的第i列等于A*y的第i-1列m(i)=max(x(:,i));% m的第i个分量等于x第i列中最大的值y(:,i)=x(:,i)/m(i);% y的第i列等于x的第i列除以m的第i个分量k=abs(m(i)-m(i-1));% k等于m(i)-m(i-1)的绝对值enda=sum(y(:,i));% y的第i列的和赋予aw=y(:,i)/a;% y的第i 列除以at=m(i);% m的第i个分量赋给tdisp(权向量:);disp(w);% 显示权向量wdisp(最大特征值:);disp(t);% 显示最大特征值t %以下是一致性检验CI=(t-n)/(n-1);% t-维度再除以维度-1的值赋给CIRI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];% 计算的标准CR=CI/RI(n);% 计算一致性if CR摘要在定性问题的决策中，ＡＨＰ是一种优秀的方法，其基础是对评价对象的两两比较，并用比较结果构造判断矩阵，而这些都依赖于决策者选用的偏好关系。
层次分析法(正反矩阵)
1、建立递阶层次结构；所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。
层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。
这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。
层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。
其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。
及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。
2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）例：购物层次分析模型对各指标之间进行两两对比之后，然后按9分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序，依次构造出评价指标的判断矩阵A。
其中为判别矩阵，要素与要素重要性比较结果，并且有如下关系：有9种取值，分别为1/9, 1/7, 1/5, 1/3, 1/1, 3/1, 5/1, 7/1, 9/1,分别表示要素对于要素的重要程度由轻到重。
3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重；关于判断矩阵权重计算的方法有两种，即几何平均法（根法）和规范列平均法（和法）。
（1）几何平均法（根法）计算矩阵A各行各个元素的乘积，得到一个n行一列的矩阵B；计算矩阵每个元素的n次方根得到矩阵C；对矩阵C进行归一化处理得到矩阵D；该矩阵D即为所求权重向量。
（2）规范列平均法（和法）矩阵A每一列归一化得到矩阵B；将矩阵B每一行元素的平均值得到一个一列n行的矩阵C；矩阵C即为所求权重向量。
简述层次分析法的实施步骤
简述层次分析法的实施步骤什么是层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种用于分析、解决复杂问题的方法。
它通过将问题拆分成多个层次和准则，让决策者进行多个两两比较，从而得出最终的决策结果。
层次分析法在管理学、工程学等领域得到广泛应用，特别适用于具有多个影响因素、多个目标的决策问题。
实施层次分析法的步骤第一步：建立层次结构首先，需要明确决策问题的目标和准则。
将问题拆解成多个层次和准则，形成一个层次结构。
一般来说，层次结构由3个层次组成：顶层目标、中间层准则和底层备选方案。
第二步：两两比较准则利用配对比较法，对准则之间的重要性进行两两比较。
决策者可以根据自己的判断和经验，结合专家意见，判断每个准则相对于其他准则的优先级。
比较结果一般采用1到9的尺度表示，1表示相等，而9表示绝对优先。
第三步：构造判断矩阵根据两两比较的结果，构造一个判断矩阵。
判断矩阵是一个正互反矩阵，它的每个元素都表示对应准则之间的比较权重。
矩阵的每一行表示一个准则，每一列表示一个准则与其他准则的比较权重。
第四步：计算权重向量利用判断矩阵，通过数学计算方法，可以得到每个准则的权重。
常用的计算方法有特征值法和特征向量法。
最终，我们可以得到一个权重向量，其中每个元素表示对应准则的权重。
第五步：一致性检验在进行层次分析法时，需要进行一致性检验来评估决策者的一致性程度。
一致性检验通过计算一致性指标和随机一致性指标的比值（即一致性比率），来判断决策者所提供的两两比较矩阵是否具有一致性。
第六步：计算方案权重利用判断矩阵和权重向量，可以计算每个备选方案的权重。
具体做法是，将每个方案与准则之间的两两比较结果，乘以每个准则的权重，得到每个方案的总权重。
第七步：综合评价与决策综合所有备选方案的权重，得到每个方案的综合评价结果。
根据这些评价结果，可以做出最终的决策。
总结层次分析法作为一种常用决策方法，通过将问题拆分为多个层次和准则，采用两两比较的方式，综合各层次和准则的权重，最终得出决策结果。
层次分析法
一、层次分析法内涵层次分析法（Analytic Hierarchy Process简称AHP）是20世纪70年代初美国运筹学家萨蒂教授提出的一种层次权重决策分析方法，在分析问题的过程中将定性分析与定量分析相结合，找出影响决策的关键性因素，并将因素尽可能的量化形成指标，以达到复杂问题简单化的目的，最终根据数据配合指标做出选择。
层次分析法基本思想是将复杂的决策系统分为N层及M个指标，对每一层及其指标分析判断，这些指标之间存在着相互制约、相互影响的关系，而这每一个指标并不是处于同等重要的地位，则要对其进行重要性排位，列出权重，通过逐层计算比较各种关联指标的权重为决策提供定量的依据。
层次分析法是一种将定性分析与定量分析相结合的方法，先进行定性描述，相关专家凭借其经验及专业知识对其打分得到定量化得指标权重，结合案例可以得出有价值的定性结论。
其局限性在于权重是凭借专家人为的进行设置，未必完全的符合最优化的要求。
由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。
它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。
层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。
不妨用假期旅游为例：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这3个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然分别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。
其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如A景色最好，B次之；B费用最低，C次之；C 居住等条件较好等等。
最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定哪个作为最佳地点。
二、层次分析法的基本步骤1、建立层次结构模型。
层次分析法
层次分析法层次分析法(Analytic Hierarchy Process)简称AHP ）是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。
该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
一、 基本步骤：（1） 分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构，一般层次结构分为三层，第一层为目标层，第二层为准则层，第三层为方案层； （2） 构造两两比较矩阵（判断矩阵），对于同一层次的各因素关于上一层中某一准则（目标）的重要性进行两两比较，构造出两两比较的判断矩阵； （3） 由比较矩阵计算被比较因素对每一个准则的相对权重，并进行判断矩阵的一致性检验；（4） 计算方案层对目标层的组合权重的组合一致性检验，并进行排序。
二、层次结构图最高层为目标层()O ：问题决策的目标或理想结果，只要一个元素。
中间层为准则层()C ：包括为实现目标所涉及的中间环节各因素，每一个因素为一准则，当准则多于9个时可分为若干个子层。
最低层为方案层()P ：方案层是为实现目标而供选择的各种措施，即为决策方案。
一般来说，各层次之间的各因素，有的相关联，有的不一定相关联；各层次的因素个数也未必一定相同。
实际中，主要是根据问题的性质和各相关因素的类别来确定。
层次结构图·········三、构造比较矩阵设要比较.n .个元素12,,,n C C C 对上一层（如目标层）O 的影响程度，即要确定它在O 中所占的比重，对任意两个因素i C 和j C 对O 的影响程度之比，按1~9的比例标度来度量(,1,2,,)ij a i j n =。
层次分析法综合评价简单介绍
强烈程度
yi相等于yj yi稍好于yj yi明显好于yj yi比yj好的多 yi极端好于yj
注意：
• 相邻等级的两个因素之间的判断值可以用2、4、6、8来表示。 • 这种给定的准则并不是固定不变的，可以不同的目标和不同的主体而
变化
一致性检验
如何判断一致性？
一致性指标CI：
平均随机一致性指标 RI
• 用一致性指标判断不一致的程 度；
综合的思维方式进行决策 。
2.实用型 • 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统
量化技术技术手段无法处理的实际问题。
3.简洁性 • 层次分析法的基本原理和步骤简洁明了，计算也非常简便，
Байду номын сангаас并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。
层次分析法的局限性
1.方案局限性 • 只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新
层次分析法的模型
层次分析法的模型
第一类
最高层，又称顶层、目标层
第二类 中间层，又称准则层
第三类 最底层，又称措施层、方案层
图1
投资--层次分析模型
目标： 准则： 风险程度 方案： 家用电器
投资 资金利润率
紧俏产品
转产难易程度 传统产品
层次分析法的判断矩阵
判断矩阵的给定原则：
• 比较n个因数对目标A的影响，从 而确定他们在A中所占的比重；
• 当判断矩阵完全一致时，CI=O；
• 但是，用CI判断一致性，会随 影响问题的因素和规模的增加 而误差增大。
CI max n
4
n 1
• Bij不按照顺序，而是随机抽 取，这样B最不一致；
• 取充分大的子样得到最大特 征值得平均值；
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1、建立递阶层次结构；
所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。
层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。
这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。
层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。
其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。
及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。
2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）
例：购物层次分析模型
对各指标之间进行两两对比之后，然后按9分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序，依次构造出评价指标的判断矩阵A。
其中
为判别矩阵，
要素
与要素
重要性比较结果，并且有如下关系：
有9种取值，分别为1/9, 1/7, 1/5, 1/3, 1/1, 3/1, 5/1, 7/1, 9/1,分别表示
要素对于
要素的重要程度由轻到重。
3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重；
关于判断矩阵权重计算的方法有两种，即几何平均法（根法）和规范列平均法（和法）。
（1）几何平均法（根法）
计算矩阵A各行各个元素的乘积，得到一个n行一列的矩阵B；
计算矩阵每个元素的n次方根得到矩阵C；
对矩阵C进行归一化处理得到矩阵D；
该矩阵D即为所求权重向量。
（2）规范列平均法（和法）
矩阵A每一列归一化得到矩阵B；
将矩阵B每一行元素的平均值得到一个一列n行的矩阵C；
矩阵C即为所求权重向量。
AHP (Analytic Hierarchy Process)层次分析法是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于二十世纪70年代提出的一种实用的多方案或多目标的决策方法，是一种定性与定量相结合的决策分析方法。
常被运用于多目标、多准则、多要素、多层次的非结构化的复杂决策问题，特别是战略决策问题，具有十分广泛的实用性。
用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤：
1建立层次结构模型
将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。
2构造判断矩阵
在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Saaty等人提出：一致矩阵法，即：
不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较。
对比时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同因素相互比较的困难，以提高准确度。
3层次单排序
所谓层次单排序是指，对于上一层某因素而言，本层次各因素的重要性的排序。
4判断矩阵的一致性检验
所谓一致性是指判断思维的逻辑一致性。
如当甲比丙是强烈重要，而乙比丙是稍微重要时，显然甲一定比乙重要。
这就是判断思维的逻辑一致性，否则判断就会有矛盾。
5层次总排序
确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序。
这一过程是从最高层到最底层依次进行的。
对于最高层而言，其层次单排序的结果也就是总排序的结果。
层次分析法的优点
系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策——系统分析（与机理分析、测试分析并列）；
实用性——定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；3简洁性——计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。