经典层次分析法分析及实例教程 PPT

由上述定义知，成对比较矩阵 A aij nn
满足一下性质 1
aij 0
2
aij

1 a ji
则称为正互反阵。
3 aii 1
比如，第二层A的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如 下：
Z A1 A2 A3 A4 A5 A1 1 1/2 4 3 3 A2 2 1 7 5 5 A3 1/4 1/7 1 1/2 1/3 A4 1/3 1/5 2 1 1 A5 1/3 1/5 3 1 1
Aw w
w w1, w2,, wn
（为什么？）这样确定权向量的方法称为特征根法.
定理： n 阶互反阵 A 的最大特征根 n ，当且仅 当 n 时，A 为一致阵。
由于 连续的依赖于aij，则 比 n 大的越多， A的不
一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较
则可得一致性指标 CI1,CI2 ,,CI500
因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，
引起的判断误差越大。因而可以用 n 数值的大小来衡量
A 的不一致程度。
定义一致性指标
CI n
n 1
其中 n 为 A 的对角线元素之和，也为 A 的特征根之和。
定义随机一致性指标 RI
随机构造500个成对比较矩阵 A1, A2 ,, A500
大家好
1
层次分析法
Analytic Hierarchy Process
AHP
面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后 作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法 解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了 一种能有效处理这类问题的实用方法。
层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)这是 一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。 过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两 种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者 以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近 年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析 的数学工具之一。
3 层次单排序及一致性检验
层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。
用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。
例如 一块石头重量记为1，打碎分成 n 各小块，各块的重量
分别记为：w1, w2,, wn
则可得成对比较矩阵
由右面矩阵可以看出，
wi wi wk
wj
wk w j
aij = 1,1/2, ,…1/9 ~ Ci : C j 的重要性与上面相反 • 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 • 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。
在正互反矩阵 A 中，若 aik akj aij ,则称 A为一致阵。
一致阵的性质：
1.
aij

1 a ji
, aii
1, i,
j
1,2,, n
2. AT也是一致阵
3. A的各行成比例，则 rankA 1
4. A的最大特征根（值）为 λ n,其余n-1个
特征根均等于 0。
上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。
用 aij表示第 i 个因素相对于第 j个因素的比较结果，则
aij

1 a ji
A aij
A则称为成对比较矩阵。
nn

a11


a21
an1
a12 a22
an2

a1n

a2n
ann

A1, A2 , A3, A4 , A5
由上表，可得成对比较矩阵
1
1 2ห้องสมุดไป่ตู้
4
3
3
2 1 7 5 5
A


1 4
1 7
1
1 1 2 3

1 3
1 3
1 5
1 5
2 3
1 1
1
1
问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢？
比较尺度：（1~9尺度的含义）
尺度
１
３ ５ ７ ９
含义 第i个因素与第 j 个因素的影响相同
第 i 个因素比第 j 个因素的影响稍强 第 i 个因素比第 j 个因素的影响强 第 i 个因素比第 j 个因素的影响明强
第 i 个因素比第 j 个因素的影响绝对地强
2,4,6,8表示第 i个因素相对于第 j 个因素的影响介于上述
5. A 的任一列(行)都是对应于特征根 n 的特征向量。
若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最
大特征根 n的归一化特征向量 w1, w2,, wn，且
n
w
i 1
i
1
wi 表示下层第 i 个因素对上层某因素影响程度的权值。
若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大
特征根对应的归一化特征向量作为权向量 w ，则

1

w2
A w1


wn w1
w1 w2
1

w1
wn w2

wn

wn w2
1

即， aik akj aij i, j 1,2,, n
但在上例的成对比较矩阵中，a23 7, a21 2, a13 4 a23 a21 a13
两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，
根据
aij

1 a ji
。
成对比较阵和权向量 Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 比较尺度aij 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9
• 便于定性到定量的转化：
尺度 aij
1 2 34
Ci
:
C
的重要性
j
相同
稍强
5 6 78 9 强 明显强 绝对强
二 层次分析法的基本步骤
1 建立层次结构模型
一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中 间是准则层或指标层。 例1 的层次结构模型
买钢笔
目标层
质颜价外实 量色格形用
准则层
可供选择的笔
方案层
2 构造成对比较矩阵
设某层有 n个因素， X x1, x2,, xn
要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定 在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把 n个因素对上 层某一目标的影响程度排序）