四川省成都七中2021届高三上学期入学考试数学理试题及答案

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2021-2022学年四川省成都七中高三(上)一诊数学试卷(理科)(附详解)

2021-2022学年四川省成都七中高三（上）一诊数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|0<x<3}，N={x|13≤x≤6}，则M∪N=()A. {x|0<x≤6}B. {x|13≤x<3} C. {x|3<x<6} D. {x|0<x≤13}2.已知z=2−i，则z(z−+i)的虚部是()A. 2B. −2C. 2iD. −2i3.如图所示的几何体是由一个正方体截去一个小正方体而得到，则该几何体的左(侧)视图为()A.B.C.D.4.已知向量a⃗=(2,−1)，a⃗⋅b⃗ =5，|a⃗+b⃗ |=8，则|b⃗ |=()A. 5B. 6C. 7D. 85.已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为()A. 13B. 12C. 9D. 66.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为()A. 116B. 18C. 14D. 127. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5−a 3=12，a 6−a 4=24，则Sna n=( )A. 2n −1B. 2−21−nC. 2−2n−1D. 21−n −18. 设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px(p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)9. 星等分为两种：目视星等与绝对星等但它们之间可用公式M =m +5−5lg d3.26转换，其中M 为绝对星等，m 为目视星等，d 为距离(单位：光年).现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5，且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为34°，则牛郎星与织女星之间的距离约为( )(参考数据：100.906≈8.054，100.716≈5.199，cos34°≈0.8)A. 26光年B. 16光年C. 12光年D. 5光年10. 若α∈(π2,π)，cosα=(2−sinα)tan2α，则tanα=( )A. √1515B. −√1515C. √53D. −√5311. 在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =A 1A 1=1，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法正确的个数是( ) ①当λ=1时，△AB 1P 的周长为定值； ②当μ=1时，三棱锥P −A 1BC 的体积为定值； ③当λ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BP ； ④当μ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P.A. 1B. 2C. 3D. 412. 若a =ln(ln 3)2，b =2ln(ln2)，c =2ln2，则a ，b ，c 的大小关系为( )二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 曲线y =2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为．14. 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 216−y 29=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为______． 15. 已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−3π4,π4]上单调递增，且直线y =−2与函数f(x)的图象在[−2π,0]上有且仅有一个交点，则实数ω的取值范围是______． 16. 已知正数x ，y 满足x +4y =x 2y 3，则8x +1y 的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 巳知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=36，_____．请在①a 3=5；②a 2+a 4+a 6=21，③S 7=49，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n3n }的前n 项和T n ．18. 某投资公司2012年至2021年每年的投资金额x(单位：万元)与年利润增量y(单位：万元)的散点图如图：该投资公司为了预测2022年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y 关于x 的两个回归模型；模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程：y ̂=2.50x −2.50；模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y =blnx +a 的附近，对投资金额x 做交换，令t =lnx ，则y =b ⋅t +a ，且有∑t 10=22.00，∑y 10=230，(1)根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程；(2)分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量(结果保留两位小数)；(3)根据下列表格中的数据，比较两种模型相关指数R 2，并说明谁的预测值精度更高、更可靠．回归模型模型① 模型② 回归方程y ̂=2.50x −2.50y ̂=blnx +a ∑(10i=1y i ,y ̂i )2102.2836.19附：样本(t i ,y i )(i =1,2,…,n)的最小乘估计公式为b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)，a ̂=y −−b ̂t −；相关指数R 2=1−∑(n i=1y i −y ̂)2∑(ni=1y i −y −)2．参考数据：ln2≈0.6931，ln5≈1.6094．19. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M 、N 分别是CC 1与A 1B 的中点，△ABA 1为等边三角形，CA =CA 1，A 1A =A 1M =2BC ．(Ⅰ)求证：MN//平面ABC；(Ⅱ)(i)求证：BC⊥平面ABB1A1；(ii)求二面角A−MN−B的正弦值．20.已知两圆C1：(x−2)²+y²=54，C2：(x+2)²+y²=6，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切．(1)求动圆圆心M的轨迹方程C；(2)过点A(3,0)的直线与曲线C交于P，Q两点．P关于x轴的对称点为R，求△ARQ面积的最大值．21.已知x∈[0,+∞)，函数f(x)=e x+sinx，函数g(x)=ax2+2x+1．(1)若a=1，证明：f(x)+x≥g(x)+sinx；2(2)f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cos k t,y =sin k t(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcosθ−16ρsinθ+3=0．(1)当k =1时，C 1是什么曲线？(2)当k =4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标．23. 已知函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|．(1)画出y =f(x)的图象；(2)求不等式f(x)>f(x +1)的解集．答案和解析1.【答案】A≤x≤6}，【解析】解：∵集合M={x|0<x<3}，N={x|13∴M∪N={x|0<x≤6}．故选：A．利用并集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为z=2−i，则z(z−+i)=(2−i)(2+i+i)=(2−i)(2+2i)=4+2+2i=6+2i，所以虚部为2，故选：A．利用复数的运算性质以及共轭复数的性质即可求解．本题考查了复数的运算性质，涉及到复数虚部的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处是一个看得到的小正方形．故选：B．找到从左向右看得到的图形即可．本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握侧视图是从左向右看得到的视图．4.【答案】C【解析】解：因为a⃗=(2,−1)，所以|a⃗|=√22+(−1)2=√5，又因为a⃗⋅b⃗ =5，|a⃗+b⃗ |= 8，所以|a⃗+b⃗ |²=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =8²，所以|b⃗ |²=64−2⋅5−5=49，所以|b⃗ |=7故选：C．根据向量运算性质列方程，解方程求解．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．5.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．【解答】解：F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|=6，所以|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，取等号，所以|MF1|⋅|MF2|的最大值为9．故选：C．6.【答案】B【解析】解：点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，则有(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)，共8种不同的跳法(线路)，符合题意的只有(下，下，右)这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为P=18．故选：B．先利用列举法得到共8种不同的跳法，再利用概率公式求解即可．本题考查概率的求法，利用列举法是关键，是基础题．【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算求解能力，属于较易题．根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．【解答】解：设等比数列的公比为q，∵a5−a3=12，∴a6−a4=q(a5−a3)，∴q=2，∴a1q4−a1q2=12，∴12a1=12，∴a1=1，∴S n=1−2n1−2=2n−1，a n=2n−1，∴S na n =2n−12n−1=2−21−n，故选：B．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．利用已知条件转化求解E、D坐标，通过k OD⋅k OE=−1，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：将x=2代入抛物线y2=2px，可得y=±2√p，OD⊥OE，可得k OD⋅k OE=−1，即2√p2⋅−2√p2=−1，解得p=1，所以抛物线方程为：y2=2x，它的焦点坐标(12,0)．故选：B．【解析】解：∵M=m+5−5lg d3.26，∴d=3.26×10m+5−M5，由题意可知，M牛=2.19，m牛=0.77，M织=0.5，m织=0.03，设地球与牛郎星距离为d1，地球与织女星距离为d2，织女星与牛郎星距离为d，则d1=3.26×100.77+5−2.195=3.26×100.716≈3.26×5.199≈17，d2=3.26×100.03+5−0.55=3.26×100.906≈3.26×8.054≈26，d2=d12+d22−2d1d2cos34°=172+262−2×17×26×0.8=257，故d=√257≈16，故牛郎星与织女星之间的距离约为16光年．故选：B．根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：由cosα=(2−sinα)tan2α，得tan2α=cosα2−sinα，即sin2αcos2α=cosα2−sinα，∴2sinαcosα1−2sin2α=cosα2−sinα，∵α∈(π2,π)，∴cosα≠0，则2sinα(2−sinα)=1−2sin2α，解得sinα=14，∴cosα=−√1−sin2α=−√154，则tanα=sinαcosα=−√1515．故选：B．把已知等式变形，然后切化弦，整理后求得sinα，进一步求得cosα，再由商的关系得答案．本题考查二倍角公式、同角三角函数基本关系式的应用，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】C【解析】解：对于①，当λ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故点P 在线段CC 1上，此时△AB 1P 的周长为AB 1+B 1P +AP ，当点P 为CC 1的中点时，△AB 1P 的周长为√5+√2，当点P 在点C 1处时，△AB 1P 的周长为2√2+1，故周长不为定值，故①错误；对于②，当μ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故点P 在线段B 1C 1上，因为B 1C 1//平面A 1BC ，所以直线B 1C 1上的点到平面A 1BC 的距离相等，又△A 1BC 的面积为定值，所以三棱锥P −A 1BC 的体积为定值，故②正确；对于③，当λ=12时，取线段BC ，B 1C 1的中点分别为M ，M 1，连结M 1M ，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 在线段M 1M 上，当点P 在M 1处时，A 1M 1⊥B 1C 1，A 1M 1⊥B 1B ，又B 1C 1∩B 1B =B 1，所以A 1M 1⊥平面BB 1C 1C ，又BM 1⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1M 1⊥BM 1，即A 1P ⊥BP ，同理，当点P 在M 处，A 1P ⊥BP ，故③正确；对于④，当μ=12时，取CC 1的中点D 1，BB 1的中点D ，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 在线的DD 1上，当点P 在点D 1处时，取AC 的中点E ，连结A 1E ，BE ，因为BE ⊥平面ACC 1A 1，又AD 1⊂平面ACC 1A 1，所以AD 1⊥BE ，在正方形ACC 1A 1中，AD 1⊥A 1E ，又BE ∩A 1E =E ，BE ，A 1E ⊂平面A 1BE ，故AD 1⊥平面A 1BE ，又A 1B ⊂平面A 1BE ，所以A 1B ⊥AD 1，在正方形ABB 1A 1中，A 1B ⊥AB 1，又AD 1∩AB 1=A ，AD 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，所以A 1B ⊥平面AB 1D 1，因为过定点A 与定直线A 1B 垂直的平面有且只有一个，故有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P ，故④正确．故选：C ．判断当λ=1时，点P在线段CC1上，分别计算点P为两个特殊点时的周长，即可判断①；当μ=1时，点P在线段B1C1上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断②；当λ=12时，取线段BC，B1C1的中点分别为M，M1，连结M1M，则点P在线段M1M上，分别取点P在M1，M处，得到均满足A1P⊥BP，即可判断③；当μ=12时，取CC1的中点D1，BB1的中点D，则点P在线的DD1上，证明当点P在点D1处时，A1B⊥平面AB1D1，利用过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，即可判断④．本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于难题．12.【答案】D【解析】解：∵a=2ln(|ln3π|)=2ln(lnπ3)，b=2ln(ln2)，c=2ln21e，而函数f(x)=2lnx在定义域(0,+∞)上单调递增，0<lnπ3<ln2<1<21e，∴a<b<c，故选：D．根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可判断．本题主要考查了对数函数的性质，以及利用函数的单调性比较大小，是基础题．13.【答案】5x−y+2=0【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程．【解答】解：因为y=2x−1x+2，(−1,−3)在曲线上，所以y′=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5(x+2)2，所以y′|x=−1=5，则曲线y=2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为：y−(−3)=5[x−(−1)]，即5x−y+2=0．故答案为：5x−y+2=0．14.【答案】16【解析】解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得||PF1|−|PF2||=|m−n|=2a=8，所以m2−2mn+n2=64，因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=100，即m2+n2=100，所以mn=16，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=mn=16．故答案为：16．判断四边形PF1QF2为矩形，利用双曲线的定义及勾股定理求解即可．本题主要考查双曲线的性质，双曲线的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．15.【答案】[14,2 3 ]【解析】解：∵函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−3π4,π4]上单调递增，∴ω×(−3π4)≥−π2，且ω×π4≤π2，求得0<ω≤23．且直线y=−2与函数f(x)的图象在[−2π,0]上有且仅有一个交点，ωx∈[−2ωπ,0]，∴−5π2<−2ωπ≤−π2，求得14≤ω<54．综上可得，实数ω的取值范围为[14,23 ]，故答案为：[14,2 3 ].由题意利用正弦函数的图象和性质，求得实数ω的取值范围．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．16.【答案】2√2【解析】解：令1y =m ，8x +1y =t(t >0)， ∵x +4y =x 2y 3， ∴8t−m+4m=(8t−m)2⋅(1m)3，即m 4−t 2m 2+16=0，令m 2=a ，则a 2−t 2a +16=0，所以关于a 的方程a 2−t 2a +16=0有两个正实根，∴{△=t 4−64≥016>0，∴t ≥2√2，当x =4(√2+1)，y =12时取等号， ∴8x +1y 的最小值是2√2．故答案为：2√2．利用换元法得到关于a 的方程a 2−t 2a +16=0有两个正实根，再利用根与系数的关系即可求解．本题考查了换元法的应用，一元二次方程有两个正实根的求解，属于中档题．17.【答案】解：(1)选①a 3=5．设等差数列{a n }的公差为d ，则S 6=6a 1+6×52d =36，a 1+2d =5，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1．选②a 2+a 4+a 6=21，设等差数列{a n }的公差为d ，则S 6=6a 1+6×52d =36，3a 1+9d =21，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1．选③S 7=49，设等差数列{a n }的公差为d ，则S 6=6a 1+6×52d =36，7a 1+7×62d =49，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1．(2)a n3n =2n−13n．数列{an3n }的前n 项和T n =13+332+533+⋯…+2n−13n，∴13T n =132+333+⋯…+2n−33n +2n−13n+1，相减可得：23T n =13+2(132+133+⋯…+13n )−2n−13n+1=13+2×19[1−(13)n−1]1−13−2n−13n+1，化为：T n =1−n+13n．【解析】(1)选①a 3=5.设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的通项公式与求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．选②a 2+a 4+a 6=21，设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的通项公式与求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．选③S 7=49，设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．(2)a n3n =2n−13n.利用错位相减法可得数列{an3n}的前n 项和T n ．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵∑t i 10i=1=22.00，∑y i 10i=1=230， ∴t −=2.2，y −=23，b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)=∑t i 10i=1y i −10t −⋅y−∑t i 210i=1−10t−2=569−10×2.2×2350.92−10×2.2×2.2=25，则a ̂=y −−b ̂t −=23−25×2.2=−32，故模型②中y 关于x 的回归方程为y ̂=25lnx −32．(2)当x =20时，模型①的年利润的预测值为y ̂=2.5×20−2.5=47.5 (万元)，当x =20时，模型②年利润的预测值为y ̂=25ln20−32=25×(2ln2+ln5)−32≈25×(2×0.6931+1.6094)−32=42.89(万元)．(3)由表格中的数据可得，102.28>36.19，即102.28∑(10i=1y i−y−)2>36.19∑(10i=1y i−y −)2， ∴模型①的相关指数R 2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，故当x=20时，模型②的预测值比模型①的预测值进度更高，更可靠．【解析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．(2)将x=20分别代入两个线性回归方程中，即可求解．(3)根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：取BB1的中点P，连接MP，NP，又M是CC1的中点，则MP//BC，∵MP⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MP//平面ABC，又N是A1B的中点，∴NP//A1B1，而AB//A1B1，∴NP//AB，∵NP⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴NP//平面ABC，∵MP∩NP=P，MP、NP⊂平面MNP，∴平面PMN//平面ABC，∵MN⊂平面PMN，∴MN//平面ABC．(Ⅱ)(i)证明：设BC=1，则A1A=A1M=2，依题意CA1=CA=C1A1，∴A1M是等腰△A1CC1底边上的中线，则A1M⊥CC1，∴AC=A1C1=√A1M2+MC12=√5，∵△ABA1为等边三角形，∴AB=AA1=BA1=2，∴AB2+BC2=5=AC2，∴AB⊥BC，同理，A1B2+BC2=A1C2，∴A1B⊥BC，∵A1B∩AB=B，A1B、AB⊂平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1．(ii)解：∵BC⊥平面ABB1A1，AN⊂平面ABB1A1，∴AN⊥BC，∵正△ABA1中，N为BA1中点，∴AN⊥BA1，又BC∩BA1=B，BC、BA1⊂平面A1BC，∴AN⊥平面A1BC，又AN⊂平面AMN，∴平面AMN⊥平面A1BC，设A1C∩AM=Q，连接QN，则QN 为平面AMN 与平面A 1BC 的交线，过B 作BH ⊥QN 于点H ，则BH ⊥平面AMN ， ∵MN ⊂平面AMN ，∴BH ⊥MN ，过B 作BG ⊥MN 于点G ，连接HG ，又BG ∩BH =B ，BG 、BH ⊂平面BGH ，∴MN ⊥平面BGH ，又GH ⊂平面BGH ，∴MN ⊥GH ， ∴∠BGH 是二面角A −MN −B 的平面角，由(i)知BC =1，CM =1，∴BM =√2， △BMA 1中，BA 1=A 1M =2，BM =√2， ∴由余弦定理得cos∠MBA 1=222×2×√2=√24， ∵N 为BA 1中点，∴BN =1， ∴△BMN 中，由余弦定理可得 MN =√12+2−2×1×√2×√24=√2，∵S △BMN =12BM ·BN ·sin∠MBN =12BG ·MN∴BG =√2×1×√78√2=√78，∵CM//AA 1，CM ：AA 1=1:2，∴CQ ：QA 1=1:2，又A 1C =√5，∴A 1Q =2√53， Rt △A 1BC 中，cos∠BA 1C =BA1CA 1=√5，∴△A 1NQ 中，由余弦定理可得 QN =(2√53)2√532√5=√53， ∴cos∠QNA 1=(√53)2+12−(2√53)22×√53×1=−√55， ∴sin∠QNA 1=sin∠BNH =2√55，在Rt △BHN 中，sin∠BNH =BHBN ， ∴BH =BN ·2√55=2√55，∴二面角A −MN −B 的正弦值为sin∠BGH =BH BG=√3235=4√7035．【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，题目较难． (Ⅰ)取BB 1的中点P ，证得MP//平面ABC ，NP//平面ABC ，进而平面PMN//平面ABC ，由此能证明MN//平面ABC ．(Ⅱ)(i)设BC =1，则A 1A =A 1M =2，CA 1=CA =C 1A 1，从而A 1M 是等腰△A 1CC 1底边上的中线，则A 1M ⊥CC 1，AC =A 1C 1=√A 1M 2+MC 12=√5，推导出AB ⊥BC ，同理A 1B ⊥BC ，由此能证明BC ⊥平面ABB 1A 1．(ii)由AN ⊥BC ，AN ⊥BA 1，知AN ⊥平面A 1BC ，从而平面AMN ⊥平面A 1BC ，设A 1C ∩AM =Q ，则QN 为平面AMN 与平面A 1BC 的交线，过B 作BH ⊥QN 于点H ，则BH ⊥平面AMN ，又过B 作BG ⊥MN 于点G ，则MN ⊥平面BGH ，从而∠BGH 是二面角A −MN −B 的平面角，由此能求出二面角A −MN −B 的正弦值．20.【答案】解：(1)由题意可知，圆C 1的圆心(2,0)，半径为3√6，圆C 2的圆心(−2,0)，半径为√6，设圆M 的半径为R ，则|MC 1|+|MC 2|=(3√6−R)+(√6+R)=4√6>4=|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，则2a =4√6，2c =4，所以a =2√6，c =2，b =√a 2−b 2=2√5，故动圆圆心M 的轨迹方程C 为x 224+y 220=1； (2)由题得直线斜率不为0，设直线的方程为x =my +3，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则R(x 1,−y 1)，由{x =my +35x 2+6y 2=120，可得(5m 2+6)y 2+30my −75=0，Δ=(30m)2+4×75(5m 2+6)>0恒成立，由韦达定理可得y 1+y 2=−30m5m 2+6，y 1y 2=−755m 2+6，由椭圆的对称性，不妨设m <0，则x 1<3，y 1>0，x 2>3，y 2<0，如图所示，则S △PQR =12×2y 1×(x 2−x 1)=y 1×(x 2−x 1)，S △PAR =12×2y 1×(3−x 1)=y 1×(3−x 1)，S △ARQ =S △PQR −S △PAR =y 1×(x 2−x 1)−y 1×(3−x 1)=y 1(x 2−3)=y 1(my 2+3−3)=my 1y 2=m ×(−755m 2+6)=75−5m+6−m ≤2√(−5m)×6−m =5√304，当且仅当−5m =6−m ，即m =−√305时取等号，故△ARQ 面积的最大值为5√304．【解析】(1)设圆M 的半径为R ，由椭圆的定义得到点M 的轨迹，求出椭圆方程即可；(2)由题得直线斜率不为0，设直线的方程为x =my +3，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，与椭圆联立方程组由韦达定理可得y 1+y 2=−30m 5m 2+6，y 1y 2=−755m 2+6，S △ARQ =S △PQR −S △PAR =my 1y 2=m ×(−755m 2+6)，计算可得△ARQ 面积的最大值．本题考查了动点轨迹方程的求解，椭圆定义的理解与应用，椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，直线与圆的位置关系的理解与应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】(1)证明：当a =12时，令G(x)=f(x)+x −g(x)−sinx =e x −12x 2−x −1(x ≥0)，则G′(x)=e x −x −1，G ″(x)=e x −1≥0，所以G′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以G′(x)≥G′(0)=0，所以G(x)在[0,+∞)上单调递增，所以G(x)≥G(0)=0，所以f(x)+x ≥g(x)+sinx ；(2)e x +sinx −(ax 2+2x +1)，由题意得，ℎ(x)min ≥0，因为ℎ′(x)=e x −2ax −2+cosx ，ℎ′(0)=0，ℎ″(x)=e x −sinx −2a ，ℎ″(0)=1−2a ，ℎ″′(x)=e x −cosx ≥0，则ℎ″(x)在[0,+∞)上单调递增，当a ≤12时，ℎ″(0)=1−2a ≥0，则ℎ″(x)≥ℎ″(0)≥0，ℎ′(x)单调递增，ℎ′(x)≥ℎ′(0)=0，则ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，ℎ(x)≥ℎ(0)=0，符合题意；当a >12时，ℎ″(0)=1−2a <0，由(1)的结论可得ℎ″(x)在[0,+∞)上单调递增，ℎ″(1+2a)=e 1+2a −2a −sin(1+2a)≥1+(1+2a)−2a −1>0，故必然存在x 0∈(0,1+2a)使得，x ∈(0,x 0)时，ℎ″(0)<0，则ℎ′(x)在(0,x 0)上单调递减，此时ℎ′(x)<ℎ′(0)=0，则ℎ(x)在(0,x 0)上单调递减，此时ℎ(x)<ℎ(0)=0，不符合题意，综上，a 的范围为(−∞,12].【解析】(′)把a =12代入后，构造函数令G(x)=f(x)+x −g(x)−sinx ，对其求导，然后结合导数与单调性关系即可证明；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，然后对函数求导，结合导数与单调性关系分析导数符号，再由函数的性质及零点判定定理可求．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了利用导数及函数性质证明不等式，求解与不等式恒成立问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于难题．22.【答案】解：(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =cost y =sint ，(t 为参数)，消去参数t ，可得x 2+y 2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4t y =sin 4t，(t 为参数)，两式作差可得x −y =cos 4t −sin 4t =cos 2t −sin 2t =2cos 2t −1，∴cos 2t =x−y+12，得x =cos 4t =(x−y+12)2，整理得：(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1)．由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，又x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴4x −16y +3=0．联立{(x −y)2−2(x +y)+1=04x −16y +3=0，解得{x =16936y =4936(舍)，或{x =14y =14． ∴C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).【解析】(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =cost y =sint ，(t 为参数)，利用平方关系消去参数t ，可得x 2+y 2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4t y =sin 4t，(t 为参数)，消去参数t ，可得(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1).由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得4x −16y +3=0.联立方程组即可求得C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．23.【答案】解：函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|={x +3,(x ≥1)5x −1,(−13≤x <1)−x −3,(x <−13)，图象如图所示(2)由于f(x +1)的图象是函数f(x)的图象向左平移了一个1单位所得，(如图所示)直线y =5x −1向左平移一个单位后表示为y =5(x +1)−1=5x +4，联立{y =−x −3y =5x +4，解得横坐标为x =−76， ∴不等式f(x)>f(x +1)的解集为{x|x <−76}.【解析】(1)将函数零点分段，即可作出图象；(2)由于f(x+1)是函数f(x)向左平移了一个1单位，作出图象可得答案；本题考查了绝对值函数的解法，分段作出图象是解题的关键．属于基础题．。

2021届四川省成都七中高三第一次诊断性检测数学(理)试题Word版含解析

2021届四川省成都七中高三第一次诊断性检测数学(理)试题一、单选题1.若随机变量弁~2),且>5)=0.2,则P(1 V X < 5)=()A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.3【答案】A【解析】根据随机变量X服从正态分布N (3,。

？)，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3,根据正态曲线的特点，即可得到结果.【详解】•・,随机变量X服从正态分布N (3, o=),・••对称轴是x=3.VP (X25)=0.2,AP (1<X<5) =1 - 2P (X25) =1 -0. 4=0.6.故选：A.【点睛】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称的曲线，其对称轴为x二口，并在x=u时取最大值从x二口点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的.2.函数)'=1)的图象大致是()【答案】D【解析】先判断函数为偶函数，再根据特殊点的函数值即可判断.【详解】y = ln（l+ x2）, 因为满足偶函数f（・X）=f（X）的定义，所以函数y=ln（l+/）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B.又x=0时,y=0,排除A、C,故选D.【点睛】本题考查了函数的图象的识别，一般常用特殊点的函数值、函数的奇偶性和函数的单调性来排除，属于基础题.3. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的恻面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）. 当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（）【答案】B【解析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案.【详解】・・•相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.・•・其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上, ・♦•俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B.【点睛】本题很是新颖，三视图是一个常考的内容，考查了空间想象能力，属于中档题.4.设'是虚数单位，复数需满足9 — 1" ="+3,贝『的虚部为（）A. 1B. -1C. -2D. 2【答案】C【解析】令z=a+bi（a,b6R）,将其代入（Z—l"=z+3,化简即可得出.【详解】令z=a+bi,代入9T）i=z + 3,（a-l+bi） a+3+bi, •---b + （a-l）i = （a + 3）+bi3 =a—2< a-1 = b ,故选C.【点睛】本题考查了复数相等的概念及运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题.5.执行下边的算法程序，若输出的结果为120,则横线处应填入（）k=lDOS=S*kk=k+\LOOP UNTILPRINT S\gND J.k< 6n k < 6 尸k > 6、k> 6A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结果.【详解】模拟执行算法程序，可得：S=l, k=l,不满足条件，S=l, k=2,不满足条件，S=2, k=3,不满足条件,S=6, k=4,不满足条件,S=24, k=5,不满足条件,S=120, k=6,此时i满足条件，退出循环，输出S的值为120；所以横线处应填写的条件为卜-°,故选C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，属于直到型循环结构，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.2x - y < 4x +2y < 2 y+i6.设实数满足（彳一1之° ,则丫的最大值是（）1 3A. -1B. 2 C, 1 D. 2【答案】D【解析】由约束条件确定可行域，由丁的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0, -D连线的斜率求得答案.【详解】2x - y < 4x + 2y <2由约束条件（X—,作出可行域如图，^-l=o I 巳联立&+ 2y -2=。

成都七中上学期高三阶段考试数学(理)

成都七中上学期高三阶段考试数学（理）姓名： _______________指导: _________________日期： _______________第1页共13页成都七中2020〜2021学年度上期2021届高三阶段性测试数学试卷(理科)考试时HJ： 120分钟总分:150分选择题(每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求•把答案涂在答題卷上・)1.复数2=(1÷∕)2的虚部为《)A. 21B・2 C・-2/ D・一22.d}, ^={A-∣Λ2+∕=2}> 则PΓ∖Q=()尸=PA=A. [-√2.√2]B. {(1.1).(-1.1)}C. {θ.√2∣D・[0,√2]3."α>2o足“函数/(H = (x-α0在(0,十8)上有极值”的( )人充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若如图所示的程序框图输出的S是126,则条件①可为()Λ. n≤5? B. n≤6? C・ n <7? D∙ n≤8?5.某几何体的三视RI如上国(右)所示•则该几何体的体积为( )3 1 IΛ. —B・1 C・—D・—2 2 36.关丁函数「(x)二4sinj2x十月(XWR)有如下角题.其中匸确的个数有( (Dy = f(x)的农达式可改爲为f(x)= 4cos; 2x-^I(XeR)®y - f (χ)是以加为故小正周期的周期函数；®y = f(x)的图象关于；对称；试卷第1臾，总4页弟2贝开13贝15. 已切集合{α.⅛c}≡{0.h2∣・冇下列三个关系（Da≠2:②/>二2：③0・若三个关系中冇且只仃…个正确的.則α÷2Λ+3c= ____________ ・16. 己HJ 函数 f （x ）≈2∖nx -ax 2 *5.若W 在实故加・刀"1. 5 ）iA⅛π-m≥2时./（〃” = /（〃）成立.刚实ft αffj⅛i 大位为三、解劄8（共70分・22与23題二选一，各10分.其余大题均为12分）17. （本⅛812 分）已Jffl∣⅛lft∕⅛=（sin J,sinZ?）, IT=（COSe 9cos4）, ∕w∙∕J = sin2C, f B∙ C 分别为4忧的0边次b.。

2021-2022学年四川省成都七中高三(上)入学数学试卷(理科)(解析版)

2021-2022学年四川省成都七中高三（上）入学数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合U＝R，集合A＝{x|x2﹣1＞0}，B＝{x|0＜x≤2}，则集合（∁U A）∩B＝（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（0，1]D．[﹣1，2]2．已知i是虚数单位，设，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．将A，B，C，D，E排成一列，要求A，C，E在排列中顺序为“A，C，E”或“E，C，A”（可以不相邻），则这样的排列数有（）A．24种B．40种C．60种D．80种4．已知点P是△ABC所在平面内一点，且++＝，则（）A．＝﹣+B．＝+C．＝﹣﹣D．＝﹣5．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+2+a n﹣2a n+1＝0（n∈N*），若a16+a18+a20＝24，则S35＝（）A．140B．280C．70D．4206．已知命题p：存在a∈R，曲线x2+ay2＝1为双曲线；命题q：≤0的解集是{x|1＜x＜2}．给出下列结论中正确的有（）①命题“p且q”是真命题；②命题“p且（￢q）”是真命题；③命题“（￢p）或q”为真命题；④命题“（￢p）或（￢q）”是真命题．A．1个B．2个C．3个D．4个7．公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S的值为（参考数据：sin15°＝0.2588，sin7.5°＝0.1305）（）A．2.598B．3.106C．3.132D．3.1428．下列说法正确的是（）A．若函数f（x）对于任意x∈R都有f（x）＝f（4﹣x）成立，则f（x+2）是偶函数B．若函数f（x）＝a log3x+b log2x+1，f（2016）＝3，则f（）＝﹣3C．对于函数f（x）＝lnx，其定义域内任意x1≠x2都满足f（）≤D．函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）满足对定义域内任意实数a，b都有f（a+b）＝f（a）•f（b），且f（x）为增函数9．设函数，则y＝f（x）（）A．在单调递增，且其图象关于直线对称B．在单调递增，且其图象关于直线对称C．在单调递减，且其图象关于直线对称D．在单调递减，且其图象关于直线对称10．如图，圆O：x2+y2＝π2内的正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）A．B．C．D．11．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA＝AB＝AC＝2，∠PAB＝，∠BAC＝，D是线段BC上的点，BD＝2DC，AD⊥PB．若三棱锥P﹣ABC的各顶点都在球O的球面上，则球O的半径为（）A．1B．C．D．12．已知F是椭圆+y2＝1（a＞1）的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记∠MAN＝α，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（）A．当0＜e＜1时，α＜B．当0＜e＜时，α＞C．当＜e＜时，α＞D．当＜e＜1时，α＞二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数f（x）＝sin2x（x∈R）的最小正周期T＝．14．已知（1+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．15．若实数x，y满足，则对任意实数m，由不等式组确定的可行域的面积是．16．已知函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）＜π的解集为（﹣∞，），则实数a的取值范围是．三、解答题（17-21每题12分，22题10分，共70分）17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2a sin A＝（2b﹣c）sin B+（2c﹣b）sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．18．根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：第x天12345新接种人数y1015192328（1）建立y关于x的线性回归方程；（2）假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程＝x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．19．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，BC＝2EF，G，H分别为AC，BC上的点，平面GHF ∥平面ABED，CF⊥BC，AB⊥BC．（1）证明：平面BCFE⊥平面EGH；（2）若AB⊥CF，AB＝BC＝2CF＝2，求二面角B﹣AD﹣CC的大小．20．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为（﹣1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为M，过M且与l垂直的直线与x轴和y轴分别交于N、P两点，记△FMN和△OPN的面积分别为S1、S2，若＝10．求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝x2﹣ax+1，g（x）＝lnx+a（a∈R）．（1）若a＝1，求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[，t]（其中＜t＜e，e是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数f（x），g（x）的图象都相切的直线，求实数a的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A在曲线C1：ρ2﹣8ρcosθ+12＝0上运动，点B为线段OA的中点．（1）求动点B的运动轨迹C2的参数方程；（2）若直线l与C2的公共点分别为M，N，当＝3时，求a的值．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合U＝R，集合A＝{x|x2﹣1＞0}，B＝{x|0＜x≤2}，则集合（∁U A）∩B＝（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（0，1]D．[﹣1，2]解：A＝{x|x＜﹣1，或x＞1}；∴∁U A＝{x|﹣1≤x≤1}；∴（∁U A）∩B＝（0，1]．故选：C．2．已知i是虚数单位，设，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：＝＝﹣i，则复数+2＝i+2∴+2对应的点（2，1）位于复平面的第一象限．故选：A．3．将A，B，C，D，E排成一列，要求A，C，E在排列中顺序为“A，C，E”或“E，C，A”（可以不相邻），则这样的排列数有（）A．24种B．40种C．60种D．80种解：根据题意，分3步进行分析：①先排好A，C，E，要求A，C，E在排列中顺序为“A，C，E”或“E，C，A”，有2种情况，②排好后有4个空位，在其中任选1个安排B，有4种情况，③排好后有5个空位，在其中任选1个安排D，有4种情况，则有2×4×5＝40种安排方法；故选：B．4．已知点P是△ABC所在平面内一点，且++＝，则（）A．＝﹣+B．＝+C．＝﹣﹣D．＝﹣解：因为++＝，所以点P为△ABC的重心，延长PA交BC于点M，所以，又，所以．故选：D．5．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+2+a n﹣2a n+1＝0（n∈N*），若a16+a18+a20＝24，则S35＝（）A．140B．280C．70D．420解：数列{a n}的前n项和为S n，且a n+2+a n﹣2a n+1＝0（n∈N*），可得a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n＝…＝a2﹣a1，即有数列{a n}为等差数列，即有2a18＝a16+a20，a16+a18+a20＝24，可得3a18＝24，即a18＝8，则S35＝（a1+a35）•35＝35a18＝35×8＝280．故选：B．6．已知命题p：存在a∈R，曲线x2+ay2＝1为双曲线；命题q：≤0的解集是{x|1＜x＜2}．给出下列结论中正确的有（）①命题“p且q”是真命题；②命题“p且（￢q）”是真命题；③命题“（￢p）或q”为真命题；④命题“（￢p）或（￢q）”是真命题．A．1个B．2个C．3个D．4个解：当a＜0时，曲线x2+ay2＝1为双曲线，故命题p：“存在a∈R，曲线x2+ay2＝1为双曲线”为真命题；≤0的解集是{x|1≤x＜2}故命题q：“≤0的解集是{x|1＜x＜2}”为假命题；命题“p且q”是假命题，即①错误；命题“p且（¬q）”是真命题，即②正确；命题“（¬p）或q”为假命题，即③错误；命题“（¬p）或（¬q）”是真命题，即④正确．故选：B．7．公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S的值为（参考数据：sin15°＝0.2588，sin7.5°＝0.1305）（）A．2.598B．3.106C．3.132D．3.142解：模拟执行程序，可得：n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件n＞24，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件n＞24，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，不满足条件n＞24，n＝48，S＝24×sin7.5°＝24×0.1305＝3.132，满足条件n＞24，退出循环，输出S的值为3.132．故选：C．8．下列说法正确的是（）A．若函数f（x）对于任意x∈R都有f（x）＝f（4﹣x）成立，则f（x+2）是偶函数B．若函数f（x）＝a log3x+b log2x+1，f（2016）＝3，则f（）＝﹣3C．对于函数f（x）＝lnx，其定义域内任意x1≠x2都满足f（）≤D．函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）满足对定义域内任意实数a，b都有f（a+b）＝f（a）•f（b），且f（x）为增函数解：A选项：因为f（x）＝f（4﹣x），所以f（x+2）＝f[4﹣（x+2）]＝f（﹣x+2），所以f（x+2）是偶函数，正确．B选项：f（2016）＝a log32016+b log22016+1＝3，所以a log32016+b log22016＝2．所以f（）＝＝﹣（a log32016+b log22016）+1＝﹣2+1＝﹣1，错误．C选项：因为，所以，即f（）＞，错误．D选项：当0＜a＜1时，f（x）为减函数，错误．故选：A．9．设函数，则y＝f（x）（）A．在单调递增，且其图象关于直线对称B．在单调递增，且其图象关于直线对称C．在单调递减，且其图象关于直线对称D．在单调递减，且其图象关于直线对称解：函数＝2[sin（+）+cos（+）]＝2sin（++）＝2sin（+），在（0，）上，+∈（，），f（x）＝2sin（+）单调递增，当x＝时，f（x）＝2，为最大值，故其图象关于直线对称，故A、C错误．在（0，）上，+∈（，），f（x）＝2sin（+）单调递增，故选：B．10．如图，圆O：x2+y2＝π2内的正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）A．B．C．D．解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为S＝2∫0πsin xdx＝﹣2cos x|0π＝4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P ＝故选：B．11．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA＝AB＝AC＝2，∠PAB＝，∠BAC＝，D是线段BC上的点，BD＝2DC，AD⊥PB．若三棱锥P﹣ABC的各顶点都在球O的球面上，则球O的半径为（）A．1B．C．D．解：如图，在△ABC中，由AB＝AC＝2，∠BAC＝，得＝4+4﹣2×2×2×（）＝12，则BC＝2，∵BD＝2DC，∴BD＝，在△ABD中，AB＝2，BD＝，，可得＝×2××＝．∴，即AB⊥AD，又AD⊥PB，PB∩AB＝B，∴AD⊥平面PAB，得AD⊥PA，而PA⊥AB，AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABC．设△ABC外接圆的半径为r，则2r＝，即r＝2．三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O到底面外心的距离等于PA＝1，∴球O的半径为．故选：D．12．已知F是椭圆+y2＝1（a＞1）的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记∠MAN＝α，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（）A．当0＜e＜1时，α＜B．当0＜e＜时，α＞C．当＜e＜时，α＞D．当＜e＜1时，α＞解：设F为（﹣c，0），则a2﹣c2＝1，易知直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x＝ty﹣c，与椭圆方程联立可得，（t2+a2）y2﹣2tcy﹣1＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则由韦达定理有，，又，∴＝＝，∵a＞1，∴a4＞1，∴a4+2a3c+a2c2﹣1＞0，∴，又不平行，故为锐角，即对任意e∈（0，1），均有．故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数f（x）＝sin2x（x∈R）的最小正周期T＝π．解：f（x）＝sin2x＝（1﹣cos2x）＝﹣cos2x+最小正周期T＝＝π故答案为：π14．已知（1+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为80．解：令x＝1，可得（1+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为（1+a）•（2﹣1）5＝2，∴a＝1．故（1+）（2x﹣）5＝（1+）（2x﹣）5＝（1+）（32x5﹣80x3+80x﹣40•+10•﹣），故该展开式中常数项为1×80＝80，故答案为：80．15．若实数x，y满足，则对任意实数m，由不等式组确定的可行域的面积是．解：∵两直线x﹣2y＝1﹣2m与2x+y＝2+m互相垂直，且均过圆（x﹣1）2+(y﹣m)2＝1，∴可行域的面积与m值无关，不妨取m＝0，原不等式组化为，表示的平面区域如图，可知可行域为个圆，其面积为．故答案为：．16．已知函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）＜π的解集为（﹣∞，），则实数a的取值范围是a＞﹣2．解：由x≥0时，f（x）＝2x+cos x的导数为f′（x）＝2﹣sin x＞0，即f（x）在x＞0递增，可得f（x）＞f（0）＝1，若关于x的不等式f（x）＜π的解集为（﹣∞，），则当x＜0时，f（x）＝x（a﹣x）＜π恒成立，即a＞在x＜0时恒成立，令g（x）＝，则当x＝﹣时，g（x）取最大值﹣2，故a＞﹣2，故答案为：a＞﹣2三、解答题（17-21每题12分，22题10分，共70分）17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2a sin A＝（2b﹣c）sin B+（2c ﹣b）sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，整理得，所以．又A∈（0，π），故．（Ⅱ）由正弦定理可知，又a＝2，，，所以．又，故或．若，则，于是；若，则，于是．18．根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：第x天12345新接种人数y1015192328（1）建立y关于x的线性回归方程；（2）假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程＝x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．解：（1）由题意可知，，，所以＝＝，则，所以y关于x的线性回归方程为；（2）设，数列{a n}的前n项和为S n，又数列{a n}为等差数列，所以，因为S6＝127.2，S7＝163.8，所以10S6＝1272，10S7＝1638，2000×80%＝1600人，所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天．19．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，BC＝2EF，G，H分别为AC，BC上的点，平面GHF ∥平面ABED，CF⊥BC，AB⊥BC．（1）证明：平面BCFE⊥平面EGH；（2）若AB⊥CF，AB＝BC＝2CF＝2，求二面角B﹣AD﹣CC的大小．解：（1）因为平面平面GHF∥平面ABED，平面BCFE∩平面ABED＝DE，平面BCFE∩平面GHF＝HF．所以BE∥HF．因为CB∥EF，所以四边形BHFE为平行四边形所以BH＝EF，因为BC＝2EF．所以BC＝2BH，H为BC的中点．同理G为AC的中点，所以GH∥AB．因为AB⊥BC，所以GH⊥BC又HC∥EF且HC＝EF，所以四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE，又CF⊥BC，所以HE⊥BC．又HE，HG⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH，又BC⊂平面BCFE，所以平面BCFE⊥平面EGH．（2）由（1）知，HE⊥HB，HG⊥HB，因为AB⊥CF，CF∥HE，GH∥AB，所以HE∥HG．分别以HG，HB，HE所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系H ﹣xyz，则A（2，1，0），B（0，1，0），D（1，0，1），C（0，﹣1，0）．设平面ABD的一个法向量为，因为，．则，取y1＝1，得．设平面ADC的一个法向量为，因为，．则，取x2＝1，得．所以cos＜＝﹣，则二面角B﹣AD﹣C的大小为．20．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为（﹣1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为M，过M且与l垂直的直线与x轴和y轴分别交于N、P两点，记△FMN和△OPN的面积分别为S1、S2，若＝10．求直线l的方程．解：（1）由题意可得：，解得，故椭圆方程为．（2）由题意知，斜率不为0，故设直线AB方程为x＝my﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程可得（3m2+4）y2−6my−9＝0，∴，，∴，，同理，所以直线方程为：y＝±3（x+1）．21．已知函数f（x）＝x2﹣ax+1，g（x）＝lnx+a（a∈R）．（1）若a＝1，求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[，t]（其中＜t＜e，e是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数f（x），g（x）的图象都相切的直线，求实数a的取值范围．解：（1）由题意，可得h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣x﹣lnx，h′（x）＝2x﹣1﹣＝，令h′（x）＝0，得x＝1．①当＜t≤1时，h（x）在[，t]上单调递减，∴h（x）min＝h（t）＝t2﹣t﹣lnt；②当t＞1时，h（x）在[，1]上单调递减，在[1，t]上单调递增，∴h（x）min＝h（1）＝0．综上，当＜t≤1时，h（x）min＝t2﹣t﹣lnt；当t＞1时，h（x）min＝0．（2）设函数f（x）在点（x1，f（x1））处与函数g（x）在点（x2，g（x2））处有相同的切线，则f′（x1）＝g′（x2）＝，∴2x1﹣a＝＝，∴x1＝+，代入＝x12﹣ax1+1﹣lnx2﹣a，得++lnx2++a﹣2＝0．∴问题转化为：关于x的方程++lnx++a﹣2＝0有解，设F（x）＝++lnx++a﹣2（x＞0），则函数F（x）有零点，∵F（x）＝（+a）2+lnx+a﹣2，当x＝e2﹣a时，lnx+a﹣2＝0，∴F（e2﹣a）＞0．∴问题转化为：F（x）的最小值小于或等于0．F′（x）＝﹣﹣+＝，设2x02﹣ax0﹣1＝0（x0＞0），则当0＜x＜x0时，F′（x）＜0，当x＞x0时，F′（x）＞0．∴F（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴F（x）的最小值为F（x0）＝++lnx0++a﹣2．由2x02﹣ax0﹣1＝0知a＝2x0﹣，故F（x0）＝x02+2x0﹣+lnx0﹣2．设φ（x）＝x2+2x﹣+lnx﹣2（x＞0），则φ′（x）＝2x+2++＞0，故φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∵φ（1）＝0，∴当x∈（0，1]时，φ（x）≤0，∴F（x）的最小值F（x0）≤0等价于0＜x0≤1．又∵函数y＝2x﹣在（0，1]上单调递增，∴a＝2x0﹣∈（﹣∞，1]．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A在曲线C1：ρ2﹣8ρcosθ+12＝0上运动，点B为线段OA的中点．（1）求动点B的运动轨迹C2的参数方程；（2）若直线l与C2的公共点分别为M，N，当＝3时，求a的值．解：（1）点A在曲线C1：ρ2﹣8ρcosθ+12＝0上运动，点B为线段OA的中点．设A（2ρ，θ），B（ρ，θ），由于，转换为点B的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝1；转换为参数方程为（θ为参数）；（2）直线l：（t为参数），转换为普通方程为y＝ax，极坐标方程为a＝tanθ，设M（ρ1，θ），N（ρ2，θ），由于，所以：ρ1＝3ρ2，代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0所以，整理得：，解得：，所以，解得tanθ＝0，故θ＝0．即a＝0．。

高三试卷数学-四川成都七中2024届高三(上)入学考试数学试卷及参考答案

成都七中高2024届高三上入学考试数学试题理科（60分）
成都七中高2024届高三上入学考试数学试题
理科一、单选题
CACAD CDBBA AB
二、填空题13.,10
x x e x ∀∈-->R 14.6715．416．1
成都七中高2024届高三上入学考试数学试题文科
一、单选题（60分）
．已知a b,是两个非零向量，设==
AB a CD b
,．给出定义：经过AB的起点，分别作CD所在
，则称向量A B
11，为a在b上的投影向量．已知==
a b
(1,0),(3,1)，则a
在b上的投影向量为（
③⋅=
FS FT0
三、解答题（70分）
++<S n
11=f x a ln )(0,0)的直线与函数+x x 2
12)(
成都七中高2024届高三上入学考试数学文科试题答案
一、单选题
C A C
D A B C D B A A B
二、填空题
13．R ∀∈-->x e x x ,10. 14．8 15．4 16.①②③④ 因为=AE OE E ，因为=CE OE E ，因为=OA OC O ，因为OCN 的面积为的距离最大值时，三棱锥体积最大，此时平面OMC 平面
(2) 45
曲线
为45．。

成都七中21届高三上期理科数学第五周小测及答案

A．1
B． 1
C． 2
D． 2
3．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB AC AA1 2 ，BC 2 ，点 D 为 BC
的中点，则异面直线AD 与A1C 所成的角为（）
A． π 2
B． π 3
C． π 4
D． π 6
4．在数列an 中，已知a1 1 ，且对于任意的 m ，n 22 3
6．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）
A．8 4 2
B．2 2 2 4 3
C．2 6 3
D．2 4 2 2 3
7．已知在菱形 ABCD 中，BCD 60 ，曲线 C1 是以 A ，C 为焦点，通过 B ，
成都七中 2021 届高三上期第五次周考数学（理科）
考试时间：60 分钟满分：100 分一、选择题：本大题共 7 小题，每小题 7 分，共 49 分．
1．已知
是第三象限角，且cos
π 2
3 5
，则sin 2
（
）
A． 24 25
B． 24 25
C． 7 25
D． 7 25
2．已知向量a ，b 满足 a 2 ， b 2 ，且a a 2b ，则b 在a 方向上的投影为（）
则数列an 的通项公式为（）
A． an n
B．an n 1
C． an
nn 1
2
D．
an
nn 1
2
5．
过双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b 0 的右焦点且与对称轴垂直的直线与双曲线交于 A ，
B 两点，△OAB
的
面积为 13bc ，则双曲线的离心率为（） 3

21届高三理科数学上期入学考试试卷

A．55.2,3.6
B．55.2学,5使6.4
C．64.8,63.6
D．64.8,3.6
中
6．设
a
(
2 3
)
2 3
，
b
(平1)昌23 ，市3
c
(1
)
1 3
3
，则
a，b，c
的大小关系是（
）
中
A．a＞b＞c 巴 B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
省
7．一空间川几何体的三视图如图,则该几何体的体积可能为 ( )
15．在
ABC
中，a
，b
，c
分别是角
A
，B
，C
的对边，且
cos B cos C
b 2a
c
，若b
13 ，
a c 4 ，则 a 的值为__________.
16．已知椭圆
：x a
2 2
y2 b2
1与双曲线：mx22
y2 n2
1共焦点，F1、F2 分别为左、右焦点，
曲线与在第一象限交点为 P ，且离心率之积为 1.若sin F1PF2 2sin PF1F2 ，则该
（2）设
h(
x)
bf
(x)
学 g(x中) a 昌
，求证：当
0
b
1 e
时，
h(x)
恰好有
2
个零点．
平
市
中
巴
省
川
四
供
仅
试卷第 5 页，总 6 页
（22 题与 23 题为选做题，二选一）
22．(本题 10
分)在直角坐标系 xOy
中，曲线 C

2021届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试数学(理)试题Word版含解析

2021届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试数学（理）试题一、选择题1．已知i 是虚数单位，若172ia bi i+=+-（a ， b R ∈），则ab =（） A. 15- B. 3 C. 15 D. 3- 【答案】D【解析】()()()()172172147132225i i i i i i a bi i i i +++++-===-+=+--+， 1,3a b =-=， 3ab =-，选D.2．某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程，其中，，据此模型预测广告费用为9万元时，广告费用（万元） 2 3 4 5 6 销售轿车（台数） 3461012A. 17B. 18C. 19D. 20 【答案】C 【解析】由题意,故选C.3．如下程序框图的功能是：给出以下十个数：5,9,80,43，95,73,28,17,60,36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是（）A. 60?1x i i >=+，B. 60?1x i i <=+，C. 60?1x i i >=-，D. 60?1x i i <=-，【答案】A【解析】把大于60的数找出来,根据流程图可知当满足条件时输出x,故判断框中应填x>60?， i 的功能是用于技术，故处理框应填i=i+1. 本题选择A 选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．4．圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线2213y x -=3，则圆C 的方程为（）A. ()2211x y +-= B. (2233x y +=C. 2231x y ⎛+-= ⎝⎭ D. ()2224x y +-= 【答案】A【解析】设圆C 的方程为x 2+(y −a)2=a 2(a>0)，圆心坐标为(0,a)，∵双曲线2213y x -=的渐近线方程为3y x =3 ∴22232a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴a=1，∴圆C 的方程为x 2+(y −1)2=1. 本题选择A 选项.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．⊥成立的一个充分条件是（）5．已知直线,m n和平面,αβ，使mαA. ,//⊥⊂ D. //,mββα⊥m n nα⊥ B. //,m n nαm n nα⊥ C. ,【答案】B【解析】逐一考查所给的选项：⊥成立的一个既不充分也不必要条件条件；A. ,//m n nα⊥是mα⊥成立的一个充分条件；B. //,m n nα⊥是mα⊥成立的一个既不充分也不必要条件条件；C. ,⊥⊂是mαm n nα⊥成立的一个必要条件.D. //,⊥是mαmββα本题选择B选项.6．．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则其正视图中x的值为A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】根据三视图恢复成原几何体，原几何体为上边是正四棱锥下边为圆柱的组合体，圆柱的底面半径为2，高为，体积为，正四棱锥的底面边长为，高为，体积为，组合体的体积为：，，选C.7．将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（）A. 0B. 12C. 3D. 1【答案】D【解析】将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后，可得函数()2sin 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，根据所得图象关于原点对称，可得()2,,sin 2333f x x πππϕπϕ⎛⎫+=∴==+ ⎪⎝⎭. 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上, 42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ,故当232x ππ+=时,f(x)取得最大值为1，本题选择D 选项. 8．二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A. B. 3 C. 3或 D. 3或【答案】B【解析】试题分析：由题意得，令，则，所以.故正确答案为B.【考点】1.二项式定理；2.微积分定理.9．某个家庭有2个孩子，其中有一个孩子为女孩，则另一个孩子也为女孩的概率为（ )A 、13B 、23C 、14D 、12【答案】A【解析】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，则A={（男，女），（女，男），（女，女）}，B={（男，女），（女，男），（女，女）}，AB={（女，女）}．于是可知 P(A)= 34，P(AB)= 14．问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求P （B|A ），由条件概率公式，得P （B|A ）=14÷ 34 =13．故选A ．10．在ABC ∆中， 5,,BC G O =分别为ABC ∆的重心和外心，且5OG BC ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 上述三种情况都有可能【答案】B【解析】在△ABC 中，G,O 分别为△ABC 的重心和外心，取BC 的中点D ，连结AD,OD,GD ，如图所示：则1,3OD BC GD AD ⊥=，结合()1,,52OG OD DG AD AB AC OG BC =+=+⋅=，则：()()156OD DG BC DG BC AB AC BC +⋅=⋅=-+⋅=，即()()2215,306AB AC AC AB AC AB -+⋅-=∴-=-，又BC=5，则： 2222265AB AC BC AC BC =+>+，结合余弦定理有cos 0,2C C ππ<∴<<，△ABC 是钝角三角形. 本题选择B 选项.11．对正整数n ，有抛物线()2221y n x =-，过()2,0P n 任作直线l 交抛物线于n A ，n B 两点，设数列{}n a 中，14a =-，且()n 1,1n nn OA OB a n N n =>∈-其中，则数列{}n a 的前n 项和n T =( ) A ．4n B ．4n - C ．()21n n + D ．()21n n -+ 【答案】D【解析】试题分析：设直线方程为2x ty n =+，代入抛物线方程得()()22214210y n ty n n ----=，设()()1122,,,n n n n n A x y B x y ，则()2212121212(1)24n n n n n n n n n n OA OB x x y y t y y nt y y n ⋅=+=++++①，由根与系数的关系得()12221n n y y n t +=-，()12421n n y y n n =--，代入①式得()22224(21)14(21)444n n OA OB n n t n n t n n n ⋅=--++-+=-，故41n n OA OB n n ⋅=--（1,n n N >∈），故数列1n n OA OB n ⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和2(1)n n -+.【考点】1、直线的方程；2、方程的根与系数的关系；3、平面向量的数量积.二、填空题12．若以曲线()y f x =上任意一点()11,M x y 为切点作切线1l ，曲线上总存在异于M 的点()22,N x y ，以点N 为切点作切线2l ，且12//l l ，则称曲线()y f x =具有“可平行性”，现有下列命题：①函数()22ln y x x =-+的图象具有“可平行性”；②定义在()(),00,-∞⋃+∞的奇函数()y f x =的图象都具有“可平行性”；③三次函数()32f x x x ax b =-++具有“可平行性”，且对应的两切点()11,M x y ， ()22,N x y 的横坐标满足1223x x +=； ④要使得分段函数()()()1{10xx m x f x x e x +<=-<的图象具有“可平行性”，当且仅当1m =. 其中的真命题个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】由“可平行性”的定义,可得曲线y=f(x)具有“可平行性”,则方程y ′=a(a 是导数值)至少有两个根。

21届高三理科数学上期入学考试试卷答案

，
8 3a
2
1 b2
1，
又
e
1 2
，128c2
1 3c2
1 ，可得 c 1，椭圆的方程为
x2 4
y2 3
1.
用
使
（2）设
A
x0 ,
x02 4
学则切线昌中l 的方程为
平
y
x0 2
x
x02 4
市
代入椭圆方程得巴：中 3 x02 省
x2
x03 x
x04 4
12
0，
设 B x1四, y川1 ,C x2, y2 , E x3, y3 ，
两式相减得 an1 an 2an, an1 3an n 2 ．
又 a2 2S1 1 3 ,所以 a2 3a1 ．
故 an 是首项为 1，公比为 3 的等比数列．所以 an 3n1 ．由点 P bn ,bn1 在直线 x y 2 0 上，所以 bn1 bn 2 ．则数列bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列．则 bn 1 n 1 2 2n 1．
2n 1 3n
巴
3
省
川
四仅Tn供 3
1 2 3n2
2n 1 2 3n1
3
n 1 3n 1
18．【答案】（1） 1 ；（2） yˆ ex0.5 . 5
【解析】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比 y (0.302, 0.388) x
则随机抽取的 6 件合格产品中，有 3 件为优等品，有 3 件为非优等品，
3 x02
x04 4
12
3x04 48x02 144
0，
因为 0 x02 8 4 7 ，故此解符合题意．
21．【解析】（1）由 f (x) (x 1)ex 得 f (x) xex ，所以切线的斜率 k f (1) e ．

四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期数学(理科)测试卷(6)及答案

成都七中高2022届数学（理）测试（六）本卷满分150分考试时间：110分钟；一、选择题(每小题仅有一个正确选项，选对得5分，共60分)1.若集合{}230M x x x =->，{}lg(1)0N x x =-≤，则M N = （）A .(]0,2B .(]1,2C .()0,3D .(),0-∞2.函数)2π2cos(23sin )(2-+=x x x f 的最小正周期是（）A .4πB .2πC .πD .π23.如图是某种商品的标志，三角形是圆的内接正三角形,若在圆内随机取一点，则此点取自三角形部分的概率为（）A .43B .π43C .π43D .π4334.陀螺，它的起源因年代久远并无详细记载，但是在新石器时代的遗址中出土过陀螺，如江苏常州出土的新石器马家窑文化木陀螺及山西龙山文化遗址中出土陶陀螺。

以下是某木质陀螺的三视图（单位cm ），此木质陀螺的密度为3/5.0cm g ,则其质量（单位：g）为（）A .32B .34C .π34D .π325.已知函数()223lg ,0()lg 2,0x mx x f x n x x x ⎧->⎪=⎨-+<⎪⎩为偶函数，则m n -=（）．A .5B .5-C .1D .1-6.()5212+-x x 的展开式中，4x 的系数为（）．A .210B .210-C .110D .110-7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是等差数列”是“n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件8．已知2F 是双曲线22:193x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2AB AF +的最小值为（）.A .155-B .54C .10D .99.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22sin cos 1A B +=，则c b a -的取值范围为（）．A .)13,2(+B .)3,1(C .），（32D .）（4,310.已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论：①曲线()y f x =在1x =处的切线方程为10x y +-=；为推动经济建设，某科技企业加大了对产品A 的研发投入，已知产品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万台）的统计数据如表：研发费用x （百万元）2356891013销量y （万台）122 2.5 3.5445（1）根据数据用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程ˆˆy bx a =+（系数用分数表示）；（2）该产品A 的两种不同的类型1A ，2A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，两种类型1A ，2A 合格的概率分别为12，34，第二次检测时，两种类型1A ，2A 合格的概率分别为45，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A 合格的种类数为X ，求X 的分布列与数学期望．附：121ˆˆˆ,n i i i n ii x y nx yb a y bx xnx ==-⋅==--∑∑20.（本小题满分12分）已知B A 、是椭圆:C 22184x y +=上，x 轴上方不同两点，椭圆C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，且满足B F A F 21λ=.（1）若3=λ，求直线A F 1的斜率；（2）若直线A F 1与抛物线x y =2无交点，求四边形BA F F 21面积的取值范围.已知函数()tan f x x x =-.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）当02x π<<时，不等式()(sin )f x n x x >-恒成立，求正整数n 的最大值.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，[0θ∈，2))π，曲线2C 的参数方程为,2()1,2x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数．（1）求曲线1C 和2C 的普通方程；（2）若曲线1C 上一点P 到曲线2C的距离的最大值为，求a ．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()+2+1f x x x =-.（1）解不等式()4f x ≤；（2）若不等式+1()193a a f x +≤-有解，求实数a 的取值范围.成都七中高2022届数学（理科答案）测试（六）一、选择题1.B2.C3.D4.D5.B6.A7.C8.D解析：双曲线22193x y-=中3a=，b=，c==1(F-，圆E半径为1r=，(0,2)E-，∴21126AF AF a AF=+=+，1AB AE BE AE≥-=-（当且仅当,,A E B共线且B在,A E间时取等号．∴2AB AF+11615AF AE AF AE≥++-=++1559EF≥+==，当且仅当A是线段1EF与双曲线的交点时取等号．∴2AB AF+的最小值是9．9.C解析：在ABC△中，因为22sin cos1A B+=，所以cos cos2B A=，所以2B A=.由正弦定理及题设得()sinsin sin cos2cos sin2sin sin sin sin sin2sinA Bc C A A A Ab a B A B A A A++====----()22sin2cos12sin cos2sin cos sinA A A AA A A-+=-24cos12cos12cos1A AA-=+-，由02π,0π3πB AC A=⎧⎨=-⎩＜＜＜＜得π3A＜＜，故1cos12A＜＜，所以cb a-的取值范围为()2,3．10.B．解析：依题意，()f x的定义域为()(),00,-∞+∞．当0x＞时，()2221111x xf xx x x-+-'=--=，所以()11f'=-，可知曲线在点()1,0处的切线方程为()01y x-=--，即10x y+-=，所以①正确；因为0x＞时，()2213240xf xx⎛⎫---⎪⎝⎭'=＜，所以()f x区间()0,+∞上单调递减．同理可求()f x在区间(),0-∞上单调递减．所以③错误；又()()10,10f f-==，所以②正确；对于④，若12x x＞0,＞，由()()12f x f x+=，得()()122221lnf x f x x xx⎛⎫=-=--+=⎪⎝⎭21lnx+2221111fx xx⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()121f x fx⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为()f x在()0,+∞上为减函数，所以121xx=，即121x x=．同理可证当120,0x x＜＜时，命题也成立．故④正确．综上，故选B．11.A．法一、放到正方体中建系；法二、在正方体里作辅助线求12.A.解析：由题，'()(2),xf x e x=-设切点为00(,),x y得切线方程为00000(2)()(3),x xy e x x x e x=--+-∵点),0(a在切线上，∴000200000(2)(0)(3)(33)x x xa e x x e x e x x=--+-=-+-，设2()(33)xg x e x x=-+-，∵过点),0(a可作函数)(xf图象的三条（2）解：OF//BE,BE^平面ABC，∴OF^平面ABC.AB=AC,∴OA^BC，故以点O为坐标原点，,,OA OB OF所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.在Rt D ACD中，AD=.在Rt D ABE中，AE=在Rt D ADE中，DE=EH^CD，垂足为点H.在Rt D DEH中，DH=2，BC EH ∴==，3,OF OA OC∴===.A∴，C(0,，F(0,0,3)，G2222⎛⎝⎫⎭⎪.22,,322FG⎛⎫∴=-⎪⎝⎭，3)FA=-，CF=.分）8(设平面AFG的法向量为m=x1,y1,z1()，得1113z==.令1z=，得m=.设平面CFG的法向量为n=x2,y2,z2()，得2=9z2,2=-3z2,⎧⎨⎪⎩⎪令z2=得n=(9,-.设二面角A FG C--的大小为θ，由图可知，二面角A FG C--为锐角，则cos23θ==.所以二面角A FG C--的余弦值为23.分）12(19.解：（1）由题可得817,3,26101528364065202i iix y x y====+++++++=∑8214925366481100169350iix==+++++++=∑488，故812218820ˆ=38i iiiix y x ybx x==-⋅=-∑∑.48257481734817498488378202=⨯-=⋅-==⨯-⨯⨯-∧∧xbya，即y与x的线性回归方程.48254817+=xy.分）6((2)记事件A：产品1A第一次检测合格；事件B：产品1A第二次检测合格事件C：产品2A第一次检测合格；事件D：产品2A第二次检测合格事件M ：产品1A 检测合格；事件N ：产品2A 检测合格则1432(),(),()()2543P A P B P C P D ====,由题,,,A B C D 独立8 分故，21()()()(),()()()()52P M P AB P A P B P N P CD P C P D ======则经过两次检测后1A ，2A 合格的种类数X 的可能值为0,1,2，313(0)()()()5210P X P M N P M P N =====.31211(1)()()()52522P X P M N M N P MN P M N ==⋃=+=⨯+⨯=.211(2)()()()525P X P MN P M P N =====.分）12( 故其分布列为：X 012P 3101215所以，数学期望3119()012102510E X =⨯+⨯+⨯=.20.解（1）设1F A 直线交椭圆于另一点'B ，2F B 直线交椭圆于另一点A'，由12F A F B λ=，故12//F A F B ，由椭圆对称性，2112',A'BF B F AF F ==，且四边形''ABA B 为平行四边形.由题意直线'AB 的斜率不为0，设直线'AB ：2x ty =-，由22228x ty x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()222440t y ty +--=，设()11,A x y ，()22',B x y ，则12242t y y t +=+，12242y y t =-+，由12111233'3F A F B F A F B y y =⇒=-⇒=- （*）带入上式，解得：122262,22t t y y t t -==++故2222124,0(),1(2)2t t t t t -=->∴=++由图Q ，故1F A 的斜率为1.．．．．．．．．．．．．．6分（2）由22x ty y x=-⎧⎨=⎩，消去x 整理得220y ty -+=，由()280t D =--<得28t <.所以12'AB y =-=)2212t t +=+，'AB 与'BA 间的距离d=2F 到'AB 的距离），故1212AF F B AB A B S S ''==)221122t t +⋅+22t =+，[)1,3s =∈，则1222AF F B S t =+211s s s==++1225⎛∈ ⎝，所以四边形12AF F B的面积的取值范围为5⎛ ⎝.．．．．．．．．．．．．．12分21.解：（1）由题，2'222cos cos (sin sin )sin ()1tan 0cos cos x x x x x f x x x x ⋅--⋅=-==≥()(,)()22f x k k k Z ππππ-++∈函数在单调递增分）4( （2）解法一：由题设，取4x π=，则tan 443sin 44n ππππ-<=<-，分）7( 取正整数2n =，记()tan 2sin 3,(0,2F x x x x x π=+-∈，则32'2212cos 3cos 1()2cos 3=cos cos x x F x x x x-+=+-令cos (0,1),t x =∈则32'2231()t t F t t -+=，再令32()231,h t t t =-+则'2()666(1)0,h t t t t t =-=-<(0,1)t ∈∴当(0,1)()()(1)0t h t h t h ∈>=时，单调递减，即，∴'()0,F x >故()F x 在2π(0,)上单调递增，()(0)0F x F >=成立，∴tan 2(sin )2x x x x x π->-<<，（0，即2符合题目要求，∴正整数n 的最大值为2.分）12( 解法二：由解法一知3<n ，取正整数2n =，记()tan 2sin 3,(0,2F x x x x x π=+-∈，则'21()cos cos 330cos F x x x x =++->=（此处等号不成立），∴()F x 在2π(0,)上单调递增，∴()(0)0F x F >=成立，∴tan 2(sin )2x x x x x π->-<<，（0，即2符合题目要求，∴正整数n 的最大值为2.分）12( 22.解：（1）由题，曲线1C 的参数方程为3cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，[0θ∈，2))π，得：普通方程为2219x y +=;曲线2C的普通方程为：0x a -=.分）5( （2）设曲线1C 上一点为(3cos ,sin )[0,2)P θθθπ∈，，则点P 到曲线2C 的距离为d=当0a>时，sin(1,3πθ-=-即11=12θπ，解得a=；当0a<时，sin(1,3πθ-=即5=6θπ时，距离有最大值a=-综上,a=或-.分）10(23.解：（1）由题，+2+14x x-≤2211(2)(1)4(2)(1)4(2)(1)4x x xx x x x x x≤--<<≥⎧⎧⎧⇔⎨⎨⎨-+--≤+--≤++-≤⎩⎩⎩或或53221122x x x⇔-≤≤--<<≤≤或或解集为53{|}22x x-≤≤.分）5(（2）由题，+2+1(2)(1)3x x x x-≥+--=故不等式+1()193a af x+≤-有解+1+1min()193493a a a af x⇔+≤-⇔≤-(34)(31)03134a a a a-+≥⇔≤-≥或即3log4.a≥分）10(。