苏科版数学七年级下册 第11章 数学活动 一元一次不等式问题的调查 教案设计

数学活动 一元一次不等式问题的调查教学目标1.通过一元一次不等式问题的调查，使学生经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的过程.2.获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识.教学重点从实际问题中抽象出一元一次不等式的数学模型，建立不等式模型解决实际问题.教学难点从实际问题中找到不等关系，并用准确的不等式表示出来.教学准备发动学生采访周围熟悉的有关人员，去工厂、商店等地方，观察和收集日常生活、生产实践中一些数据和数量关系，或自己亲身经历的与一元一次不等式有关的实际问题，提出问题.教学设计一、情境“端午”假期，赵玉星同学在家里洗碗.洗碗后，碗要放到碗柜里.为了节省碗柜空间，她进行了一番“调查”，发现：6只饭碗摆起来的高度为15cm ，9只饭碗摆起来的高度为20cm ，她家的碗柜每格的高度为36cm.则一格碗柜最多能放几只这种饭碗？（注：饭碗的大小形状都一样，且碗与碗之间无缝隙）【设计意图】情境选自学生关于一元一次不等式问题的调查，通过学生非常熟悉的洗碗、摆碗的情境，导入本节课，揭示课题,同时也激发学生解决问题的欲望，激发学习的热情、兴趣.师：生活中处处都有数量之间的不等关系，通过一元一次不等式这一章的学习，我们知道不等式是刻画这种数量关系的有效数学模型，一元一次不等式是表示不等关系的最基本工具，同学们也能够去调查、发现生活中的不等关系了.现在我们有请赵玉星同学和我们分享一下她关于一元一次不等式问题的调查.（赵玉星分享）师：今天这节课希望同学们通过一元一次不等式问题的调查，在活动的过程中，进一步获得研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深对一元一次不等式模型的理解和应用.下面开始本节课的探究之旅.二、探究1.你能解一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-><≤2,3,5x x x 吗？【设计意图】通过解三个一元一次不等式组成的不等式组，进一步熟悉口诀在解不等式组中的重要作用，同时通过画数轴找解集的公共部分，进一步熟悉数学结合思想在数学学习中的重要作用.师：首先考考大家，你能解由三个一元一次不等式组成的不等式组吗？大家动手试试看.学生画数轴找解集的公共部分确定不等式组的解集，教师平板拍照上传A 同学解题过程.师：我们看一下A 同学做的对吗？生：对师：不错，画数轴是确定不等式组解集的非常重要和有效的方法，大家都是用这个方法解决的吗？生：不是师：还可以用什么方法呢？生：口诀.根据“同小取小”，确定前两个解集的公共部分为3<x ，再根据“大小小大取中间”找到这个解集和第3个解集的公共部分为32<<-x .2.一个不等式常常可以有不同的实际意义.例如，不等式2143≤+x 的实际意义可以是：小明准备用21元买笔和笔记本.已知笔每支3元，笔记本每本4元，如果小明买了1本笔记本，那么她最多还可以买几支笔？你能给出这个不等式不同的实际意义吗？【设计意图】学生通过思考一元一次不等式的实际意义，再次构建一元一次不等式与实际问题的联系，进一步体会一元一次不等式问题在生活中的普遍性，及学习一元一次不等式的意义.师：同二元一次方程一样，一个不等式常常可以有不同的实际意义，你能给出不等式2143≤+x 不同的实际意义吗？学生合作交流2分钟，2位同学口答.三、例题师：在前面的学习中我们经常遇到含参数的不等式中求参数值或范围的问题，下面我们通过几个例子来回顾一下.例1.已知不等式组⎩⎨⎧<>.,1a x x（1）如果这个不等式组无解,则a 的取值范围是 ；学生思考10秒，随机，生口述，师平板板演生：根据“大大小小是无解”可得a >1.考虑特殊情况a =1时，两个不等式的解集分别是1>x 和1<x ，两个解集没有公共部分，不等式组仍然无解，因此可得a ≥1，即1≤a .（2）如果这个不等式组有解,则a 的取值范围是 ；学生思考10秒，随机，生口述，师平板板演生：根据“大小小大取中间”可得a <1考.虑特殊情况a =1时，两个不等式的解集分别是1>x 和1<x ，两个解集没有公共部分，不等式组无解，因此a =1不合题意.所以a 应满足a <1，即1>a .（3）如果这个不等式组有2个整数解,则a 的取值范围是 ；批注作答，展示优秀作业进行适当点评生：先画数轴，在数轴上表示1>x 的解集.由不等式组有2个整数解，可得整数解为2和3，则a 应满足43<<a .分别考虑a =3或4时是否符合题意，当a =3时，不等式a x <即为3<x ，这与整数解2和3矛盾，不合题意，舍去；当a =4时不等式a x <即为4<x ，与整数解为2和3吻合，符合题意，所以a 的取值范围是43≤<a .师：概括起来讲，解决这类问题有主要三步骤——生：“画数轴”、“定范围”、“取特殊”.师：三步骤中相对容易弄错的是——生：“取特殊”.师：大家想一想，“取特殊”这个环节是不是和解一元一次方程中的检验很类似？只要把取的特殊值代入原不等式组中，看是否符合题意，符合就保留，不符就舍去.事实上，一元一次不等式中很多的知识都可以和我们学过的一元一次方程及二元一次方程组中的知识联系起来.比如前面提到的不等式和方程的意义，以及不等式和等式的基本性质、不等式的解集与一元一次方程的解、解一元一次不等式与解一元一次方程、二元一次方程组，等等.它们既有相同点，也有不同点和各自的特殊性，大家可以在类比中进一步领会不等式有关知识的特点和本质.【设计意图】根据一元一次不等式组解的情况，有解、无解、有若干特殊解等情况来求一元一次不等式组中某个参数的范围，是常见题型，它考察了学生对不等式组解集的理解，数形结合思想的运用等方面，也是解决复杂问题的基础，为后面一元一次不等式不等式问题的解决也奠定了一定的基础.例2.已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．5个D ．13个学生思考5秒，举手回答. 生：由三角形任意两边之和大于第三边可得不等式组⎩⎨⎧>+>+xx 132132，，解得1511<<x .师：根据三角形任意两边之和大于第三边，要不要再列出不等式213>+x ？为什么？生：不需要.因为13比2大.师：本题还有其它解决的方法吗？生：根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得213213+<<-x ，直接可得1511<<x .变式：一个三角形的3边长分别是cm x cm x xcm )2()1(++、、，它的周长不超过39cm ，求x 的取值范围.生：由三角形任意两边之和大于第三边可得不等式组⎩⎨⎧+>++≤++++213921x x x x x x ，，解得121<<x .师：本题和上一题相同的地方是都要满足三角形三边关系，但本题还应满足周长不超过39cm 这个不等量关系.此外，因为本题三边之间有明显的大小关系，所以只要满足两条较小边之和大于第三边即可，另外两种情况无需考虑.【设计意图】本题是一元一次不等式的简单应用，它有效的结合了三角形三边关系中存在的不等关系，体现了知识的前后联系，综合应用.本题除了利用三角形任意两边之和大于第三边，还需要学生在实际应用中熟悉有时可以根据三边的大小关系，用较为简单的不等关系解决问题,而不是千篇一律列出三个不等关系的式子.四、应用1. “端午”假期，赵玉星同学在家里洗碗.洗碗后，碗要放到碗柜里.为了节省碗柜空间，她进行了一番“调查”，发现：6只饭碗摆起来的高度为15cm ，9只饭碗摆起来的高度为20cm ，她家的碗柜每格的高度为36cm.则一格碗柜最多能放几只这种饭碗？（注：饭碗的大小形状都一样，且碗与碗之间无缝隙）师：用一元一次不等式解决问题的一般步骤有哪些？生：一审、二设、三列、四解、五答.师：用一元一次不等式解决问题的一般步骤主要有：（1）审：分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系；（2）设：设出适当的未知数；（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（4）解：解出所列不等式的解集；（5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意.师：现在请大家说一说，题中有哪些等量关系和不等量关系？生：等量关系是6只碗高15cm,9只碗高20cm ；不等量关系是碗高小于或等于36cm.师：如果设碗底高x cm ，碗身高y cm ，可以得到怎样的数量关系？生：⎩⎨⎧=+=+.209;156y x y x师：解这个方程组得⎪⎩⎪⎨⎧==535y x .现在知道碗底和碗身的高度了，如何确定一格碗柜最多能放几只这种饭碗的问题？请同学们思考、解决，拍照上传.生：设一格碗柜能放a 只这种饭碗，可得不等式36535≤+a ，解得6.18≤a .答：一格碗柜最多能放18只这种饭碗.【设计意图】通过学生自己的切身经历、观察、发现，提出一个一元一次不等式的实际问题，通过她提出的问题，所有同学一起思考，构建一元一次不等式与实际问题的联系.同时也构建了二元一次方程与实际问题的联系.在学生认真、仔细分析问题后，通过列二元一次方程组及一元一次不等式解决实际问题2.为参加学校近期举行的“舞林大会”，初一（10）班张恒翼同学要为他们演出团队选购演出服装.经过精挑细选，最终目光定格在A 店和B 店.两家店服装款式和做工相差不大，同类款式价格相仿，但是优惠方案不同：在A 店累计购买金额超过500元后，超出的部分打九折；在B 店累计购买超过400元后，超出的部分按九五折出售.张恒翼同学应该选择哪家店购买演出服？师：大家根据已有的知识经验判断，这个问题属于哪种类型的实际问题？生：方案选择类.师：大家再进一步思考，本题中方案的确定和什么有关呢？生：购买服装的费用.师：如果设购买服装费用为x 元,接下来我们用什么数学模型解决问题？ 生：不等式.师：下面请同学自己动手解决问题.学生自主完成，师总结师：当500>x 时，在A 店实际付款数为509.09.0)500500+=⨯-+x x （；当400>x 时，在B 店实际付款数为2095.095.0)400400+=⨯-+x x （. 师：换言之，当x 取值在什么范围时两家店都没有优惠，选择两家店都一样？ 生：400≤x师：当x 取值在什么范围时B 店有优惠，A 店没有，选择B 店购买演出服； 生：500400≤<x师：当500>x 时，两家店都有优惠，该如何做出选择呢？生：设A 店优惠，得不等式2095.0509.0+<+x x ，解得600>x ；设B 店优惠，得不等式2095.0509.0+>+x x ，解得600<x ；设两店费用相同，得方程2095.0509.0+=+x x ，解得600=x .师：刚才我们分别按照400≤x 、500400≤<x 、600500<<x 、600=x 、600>x 五种五情况进行了讨论，每种情况分别对应一个选择.五种情况虽然取值范围各不相同，但选择只有几种？生：三种师：对，要么选择A 店购买，要么选择B 店购买，要么两家店都可以选择.那么什么情况下去A 店购买，什么情况下去B 店购买，什么情况下两家店都可以选择？（思考10秒，同学回答）生：当400≤x 或600=x 时，A 、B 两家店费用相同，两家店都可以选择；当600400<<x 选择B 店购买演出服；当600>x 时选择A 店购买演出服.师：××同学的回答是否正确呢？我们知道数轴可以非常直观的表示不等式的解集，下面我们借助数轴来帮助我们判断.师：观察图形我们不难发现，当400≤x 时，因为A 、B 两家店都没有优惠，所以两家店都可以选择；而当600=x 时，因为两家店优惠一样大，所以两家店都可以选择.综上所述，是不是可以概括为当400≤x 或600=x 时，两家店都可以选择？生：是的.师：当500400≤<x 时B 店有优惠，A 店没有，选择B 店购买演出服；当600500<<x 时B 店优惠大，选择B 店购买.这样，是不是可以概括为当600400<<x 选择B 店购买演出服？生：是的.师：当600>x 时A 店优惠大,选择A 店购买,这是非常明确的.因此，××同学的回答完全正确.【设计意图】本题通过学生为“舞林大会”购买演出服这样的切身经历，同样提出一元一次不等式问题的调查，供全体同学共同来探究.本题属于方案的选择，对学生有较高的能力要求，需要进行分类讨论，同时还要结合方程的思想共同来解决问题，对于提升学生分析、综合的能力有一定的帮助.五、总结提升师：生活中处处都有数量之间的不等关系.本节课主要是通过一元一次不等式问题的调查，进一步熟悉用一元一次不等式解决问题的一般过程.同学们能用自己的语言总结一下吗？学生总结，师概括.师：用不等式解决问题一般要经历以下过程：一、数学建模,恰当地选择未知数，通过列不等式建立不等式的数学模型.二、数学解决,解不等式，求出不等式的解集.三、解释应用，根据不等式的解集对实际问题进行解释和检验.希望同学们在学习的过程中不断的去发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，学以致用.因为数学来源于生活，又服务于生活！期待我们下次课再见！【设计意图】通过学生和老师的小结，再次让学生感受到数学的奥妙，数学模型的重要性，以及数学和生活的联系，培养学生学数学的兴趣和用数学所带来的成功的喜悦！ 解不等式 列不等式实际问题 数学问题（不等式） 不等式的解集 解释、检验。