圆锥曲线焦点三角形推导

椭圆焦点三角形

1．椭圆焦点三角形定义及面积公式推导

（1）定义：如图1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,F F 构成的三角形12

PF F 称之为椭圆焦点三角形． （2）面积公式推导

解：在12PF F ∆中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得

2

2

2

1212

12

cos 2PF PF F F PF PF α+-=

⋅222

1212

(2)2r r c r r +-=

⋅ 22121212()242r r r r c r r +--=22

1212(2)242a r r c r r --=

2212124()22a c r r r r --=212

122b r r r r -=

∴21212cos 2r r b r r α=-

即2

1221cos b r r α

=+，

∴12

212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯+2sin 1cos b αα=+=2tan 2

b α． 例1．焦点为12,F F 的椭圆22

14924

x y +=上有一点M ，若120MF MF ⋅=，求12

MF F ∆的面积．

解：∵120MF MF ⋅=， ∴12MF MF ⊥， ∴12MF F S ∆=290tan

24tan

242

2

b α

︒

==． 例2．在椭圆的22

221(0)x y a b a b

+=>>中，12,F F 是它的两个焦点，B 是短轴的

一个端点，M 是椭圆上异于顶点的点，求证：1212F BF F MF ∠>∠．

证明：如图2，设M 的纵坐标为0y ，

图1

F 1 x

y

O

P

F 2

∵21210212121

21MF F F BF S y F F b F F S ∆∆=⋅>⋅=

， ∴221212tan tan 22F BF F MF b b ∠∠>， 即1212tan tan 22F BF F MF ∠∠>， 又121211

,22

F BF F MF ∠∠都是锐角， 故121211

22F BF F MF ∠>∠ 从而有1212F BF F MF ∠>∠．

2．双曲线焦点三角形定义及面积公式推导．

（1）定义：如图3，双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点12,F F 构成的三角形12PF F 称之为双曲线焦点三角形．

（2）面积公式推导：

解：在12PF F ∆中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得

2

2

2

1212

12

cos 2PF PF F F PF PF α+-=

⋅222

1212

(2)2r r c r r +-=

⋅ 22121212()242r r r r c r r -+-=22

1212(2)242a r r c r r +-=

2212122()r r c a r r --=

2

1212

2r r b

r r -=

∴2

1212cos 2r r r r b α=-

即2

1221cos b r r α

=-，

∴12

212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯-2sin 1cos b αα=-=2cot 2

b α． 例3、已知双曲线22169144x y -=，设12,F F 是双曲线得两个焦点．点P 在双曲线上，1232PF PF ⋅=，求12F PF ∠的大小．

解：双曲线的标准方程为22

1916

x y -

=， 图2

F 1 x

y O M F 2

B 图3

F 1 x

y

O

P

F 2

∴121212121211

sin 32sin 16sin 22

PF F S PF PF F PF F PF F PF ∆=

⋅∠=⨯∠=∠， 从而有1216sin F PF ∠1216cot 2

F PF ∠==12

1216sin 1cos F PF F PF ∠-∠， ∴12cos 0F PF ∠=， ∴1290F PF ∠=︒．

例4：椭圆22162x y +

=与双曲线 2

213

x y -=的公共焦点为12,F F ，P 是两曲线的一个交点，求21cos PF F ∠的值．

解：在椭圆和双曲线中异算12PF F ∆面积 ∵122tan 1cot

2

2

PF F S α

α

∆==⨯，

∴2

1tan 2

2

α

=

， ∴2

21

1tan 1122cos 13

1tan 122

α

αα--

=

==++

． 开拓：从上例我们不难发现，若椭圆22

112211

1(0)x y a b a b +=>>和双曲线

22

222

2221(0,0)x y a b a b -=>>有公共的焦点12,F F 和公共点P ，那么12PF F ∆的面积2121tan

2F PF S b ∠=，又2122cot 2

F PF

S b ∠=，从而22212S b b =⋅，即12S b b =⋅．