(完整版)初二奥数题及答案

初二数学奥数

1 如图，梯形ABCD中, AD// BC, DE^ EC, EF// AB交BC于点F, EF= EC,连结DF。

(1) 试说明梯形ABCD是等腰梯形；

⑵若AD= 1, BC= 3, DC= 2，试判断厶DCF的形状；

(3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P,使厶PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。

2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿B宀C向终点C运动，连接DM交AC于点N.

(1)如图25—1，当点M在AB边上时，连接BN.

①求证：△ ABN ADN ;

②若/ ABC = 60 ° AM = 4，求点M至U AD的距离；

(2)如图25—2,若/ ABC = 90°记点M运动所经过的路程为x ( 6

W25-1

3、对于点O M点M沿 MO勺方向运动到O左转弯继续运动到N使OMk ON,且OML ON, 这

一过程称为M点关于O点完成一次"左转弯运动”.

正方形ABCD^点P, P点关于A左转弯运动到P i, P i关于B左转弯运动到F2, F2关于C左转

弯运动到P3, P3关于D左转弯运动到R, R关于A左转弯运动到F5,…….

(1) 请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P i的位

置；

(2) 连接P i A、P i B,判断△ ABP与厶ADP之间有怎样的关系？并说明理由。

⑶以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系，并且已知点B在第二象限，A P两点的

坐标为(0, 4)、( I, I), 请你推断：P4、P2009、P20I0三点的坐标.

P

图I

(1)

如图1,当Rt △ ABC 向下平移到 Rt △ AB 1C 1的位置时，请你在网格中画出 Rt △ ABC 关

于直线QN 成轴对称的图形； (2)

如图2,在Rt △ ABC 向下平移的过程

中，请你求出 y 与x 的函数关系式，并说明当 x 分别

取何值时，y 取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？

(3) 在Rt △ ABC 向右平移的过程中，请你说明

当

x 取何值时，y 取得最大值和最小值？最 大值

和最值分别是多少？为什么？

4、如图1和2,在20X 20的等距网 格(每格的宽和高均是1个单位长) 中，Rt △ ABC 从点A 与点M 重合的位 置开始，以每秒1个单位长的速度先 向下平移，当 BC 边与网的底部重合 时，继续同样的速度向右平移，当 点C 与点P 重合时，Rt △ ABC 停止 移动•设运动时间为 x 秒，△ QAC 勺 面积为

y . -r ・

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5、如图①，△ ABC中，AB=AC , / B、/ C的平分线交于0点，过0点作EF// BC交AB、AC 于E、F.

(1) 图中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由.

⑵如图②，若AB M AC,其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它

们•在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？

⑶如图③，若△ ABC中/ B的平分线B0与三角形外角平分线CO交于O,过0点作

0E // BC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？

说明你的理由。

6、已知，如图，△ ABC 中，/ BAC=90°, AB=AC,D 为AC 上一点，且/ BDC=124。，延长BA到点E,使AE=AD,BD 的延长线交CE 于点F，求/ E的度数。

7、如图，正方形ABCD勺对角线AC,BD交于点0,将一三角尺的直角顶点放在点0处，让其绕点0旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD勺两边交于点E和F。通过观察或测量0E,0F

的长度，你发现了什么？试说明理由。

1 解：（1 证明：T

EF=EC ,•••/ EFC= / ECF , •/ EF // AB , /-Z B= / EFC ,

•••/ B= Z ECF ，•梯形 ABCD 是等腰梯形；

1

（2）

△ DCF 是等腰直角三角形， 证明：T DE=EC ,

EF=EC ，/ EF= CD ,

2

•••△ CDF 是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角

形是直角三角形）

•••梯形ABCD 是等腰梯形， • CF= 1 （ BC-AD ）=1，

•/ DC= 、2， •••由勾股定理得:

2

DF=1 ,

•••△ DCF 是等腰直角三角形；

(3) 共四种情况：PB=1 , PB=2, PB=3- . 2 , PB=3+ .. 2

• AH=2 . • DH=6+2=8 .

(2 )解：ABC=90 ° , •菱形 ABCD 是正方形.

CAD=45 ° .

下面分三种情形：

(I)若 ND=NA ，则Z ADN= Z NAD=45 ° .

此时，点M 恰好与点B 重合，得x=6 ;

(H)若 DN=DA ，则Z DNA= Z DAN=45 ° . 此时，点 M 恰好与点 C 重合，得x=12 ;

(川)若 AN=AD=6，则Z 1 = Z 2. •/ AD // BC ,

1 = Z 4,又Z 2= Z 3,

• Z 3= Z 4.

• CM=CN . • AC=6 2 . • CM=CN=AC-AN=6 2-6 .

故 x=12-CM=12- ( 6 2-6) =18-6 2 .

综上所述：当x=6或12或18-6 2时，△ ADN 是等腰三角形。

（2）△ ABP1 ◎△ ADP ，且△ ABP 1可看成是由△ ADP 绕点A 顺时针旋转90°而得.

理由如下：在△ ABP1和厶ADP 中, 由题意：AB=AD , AP=AP 1,Z PAD= Z P 1AB ,

• △ ABP1 ◎△ ADP , 又ABP 1和厶ADP 有公共顶点 A ，且Z PAP 1=90

2、证明：（1 ）©•••四边形 ABCD 是菱形， • △ ABN ◎△ ADN . ②解：作 MH 丄DA 交DA 的延长线于点 H .

• AB=AD , Z 1 = Z 2. 又• AN=AN ,

由 AD // BC ，得Z MAH= Z ABC=60

在 Rt △ AMH 中，MH=AM ?sin60

•••点M 到AD 的距离为2 . 3 .

=4X sin60