2005年山东省专升本数学真题

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2005年至2010年山东、辽宁、江苏、宁夏高考数学理科试卷及答案

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.（1）设集合，，，则=(A) (B) (C) (D)（2）函数的反函数的解析表达式为(A) (B) (C) (D)（3）在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则(A)33 (B)72 (C)84 (D)189（4）在正三棱柱中，若，，则点到平面的距离为(A) (B) (C) (D)（5）中，，，则的周长为(A) (B)(C) (D)（6）抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是(A) (B) (C) (D)0（7）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为(A) (B) (C) (D)（8）设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，则；④若，，，，则.其中真命题的个数是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(9)设，则的展开式中的系数不可能是(A)10 (B)40 (C)50 (D)80(10)若，则(A) (B) (C) (D)(11)点在椭圆的左准线上，过点且方向为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为(A) (B) (C) (D)(12)四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为(A)96 (B)48 (C)24 (D)0二、填写题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在答题卡相应位置.（13）命题“若，则 ”的否命题为 ▲ .（14）曲线在点处的切线方程是 ▲ . （15）函数的定义域为 ▲ . （16）若，，则 = ▲ . （17）已知为常数，若，，则 ▲ . （18）在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是 ▲ . 三、解答题：本大题共5小题，共66分。

2005年专转本考试真题(05)

n n =1 ∞
23
2005年专转本考试真题（答案） 2005年专转本考试真题（答案）年专转本考试真题
12.幂级数∑ (2n − 1) x n的收敛区间为？ 4分)(填空题) (
n =1 ∞
答案：x ∈ (−1,1)
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2005年专转本考试真题 2005年专转本考试真题
解答题（ 8分） f ( x ) + 2 sin x x≠0 13 . F ( x ) = 在 x = 0处连续 , x a x=0 其中 f (0) = 0, f ′(0) = 6，求 a的值.
35
2005年专转本考试真题(答案) 2005年专转本考试真题(答案) 年专转本考试真题
x−4 y+3 z 18 .求过点 A( 3,1,−2), 且过直线 L : = = 5 2 1 的平面方程．（计算题，分） 8 答案： 8 x − 9 y − 22 z = 59 ( 三种方法 )
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2005年专转本考试真题: 2005年专转本考试真题: 年专转本考试真题
6.设有正项级数(1)∑ un与(2)∑ un ,
3 n =1 n =1 ∞ ∞
则下列说法中正确的是 ( A．若( )发散，则( )必发散１２ B．若( )收敛，则( )必收敛２１
C
)(4分)．
C．若( )发散，则( )可能发散也可能收敛１２ D． ( )( )敛散性一致１２
12
2005年专转本考试真题 2005年专转本考试真题
一．选择题（每题 4分，题共 24分） 6 1 1. x = 0 是函数 f ( x ) = x sin 的（ A ） . x A．可去间断点 B ．跳跃间断点 C．第二类间断点 D．连续点

2005年山东专升本(数学)真题试卷(题后含答案及解析)

6．
正确答案：A
解析：
7．
正确答案：A
解析：
8．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：
单选题
9．
正确答案：
10．
正确答案：
11．
正确答案：
12．
正确答案：
计算题一
13．
正确答案：
14．
正确答案：
15．
正确答案：
16．
正确答案：
1正确答案：
19．
正确答案：
20．
正确答案：
综合题
21．
正确答案：
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2005年山东专升本（数学）真题试卷(题后含答案及解析)
题型有：1.填空题2.单选题3.计算题一5.综合题
填空题
1．
正确答案：C
解析：
2．
正确答案：B
解析：
3．
正确答案：A
解析：
4．
正确答案：C
解析：
5．
正确答案：D
解析：本题中，直接分别对分子分母求导即可。
22．
正确答案：
23．
正确答案：

05年高数真题

专升本高等数学一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

1、lim sin x xx→05等于（）A 0B 15C 1D 52、设y x=+-33，则y '等于（）A --34xB --32xC 34x -D -+-334x 3、设f x x ()cos =2，则f '()0等于（）A －2B －1C 0D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是（）A （－1，－1）B （0，0）C （1，1）D （2，8） 5、sin xdx ⎰等于（）A cos xB -cos xC cos x C +D -+cos x C 6、11201+⎰x dx 等于（）A 0B π4C π2D π 7、设0()()xt x e t dt φ=+⎰，则φ'()x 等于（）A 0B e x x+22C e x x +D e x+18、设函数z e x y=+，则∂∂zx等于（） A ex y+ B yex y+ C xex y+ D ()x y ex y++9、设函数z x y =2，则∂∂∂2zx y等于（）A x y +B xC yD 2x 10. 已知事件A 的概率P （A ）＝0.6，则A 的对立事件A 的概率P A ()等于（） A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。

把答案填写在题中横线上。

11、lim()x x x →-+=132____________________。

12、lim()x xx→∞-=13____________________。

13、函数y x =+ln()12的驻点为x ＝____________________。

14、设函数y ex=2，则y "()0=____________________。

山东卷2005年理科

2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（必修+选修II ）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. 1. （2005•山东•理）()()221111iii i -++=+-A.iB.i -C.1D.1-2. （2005•山东•理）函数()10xy x x-=≠的反函数图象大致是A.B.C.D.3. （2005•山东•理）已知函数sin()cos()1212y x x ππ=--，则下列判断正确的是A.此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(12π，0) B.此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(12π，0)C.此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(6π，0)D.此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(6π，0)4. （2005•山东•理）下列函数既是奇函数，又在区间[1-，1]上单调递减的是A.()sin f x x =B.()1f x x =-+C.()1()2x xf x a a -=+ D.2()ln 2x f x x-=+5. （2005•山东•理）如果(3n x -的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是A.7B.7-C.21D.21-6. （2005•山东•理）函数21sin()(10)()(0)x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若(1)()2f f a +=，则a 的所有可能值为A.1B.2-C.1，2-D.1，27. （2005•山东•理）已知向量a ，b ，且2A B a b =+，56BC a b =-+，7CD a =-2b ，则一定共线的三点是A.A 、B 、DB.A 、B 、CC.B 、C 、DD.A 、C 、D8. （2005•山东•理）设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为B.6R πC.56R π D.23R π 9. （2005•山东•理）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是A.310B.112 C.12 D.111210. （2005•山东•理）设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A ÜB 是()U A B U =ð的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 11. （2005•山东•理）01a <<，下列不等式一定成立的是A.(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++>B.(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+C.(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++D.(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+>(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+12. （2005•山东•理）设直线l ：220x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.13. （2005•山东•理）2222lim (1)n n nn C C n -→∞+=+______________.14. （2005•山东•理）设双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率e =___.15. （2005•山东•理）设x 、y 满足约束条件532120304x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，则使得目标函数65z x y =+的值最大的点(x ，)y 是______________.16. （2005•山东•理）已知m n 、是不同的直线，αβ、是不重合的平面，给出下列命题：①若α∥β，m α⊂，n β⊂，则m ∥n ；②若m ，n α⊂，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③若m α⊥，n β⊥，m ∥n ，则α∥β；④m 、n 是两条异面直线，若m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β，则α∥β.其中真命题的序号是_____________（写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共12+12+12+12+12+14=74分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （2005•山东•理）已知向量(cos m θ=，sin )θ和(2sin n θ=-，cos )θ，(θπ∈，2)π，且825m n +=，求cos()28θπ+的值.18. （2005•山东•理）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数. ⑴求袋中原有白球的个数； ⑵求随机变量ξ的概率分布； ⑶求甲取到白球的概率.19. （2005•山东•理）已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中m ，n R ∈，0m <. ⑴求m 与n 的关系式； ⑵求()f x 的单调区间；⑶当[1x ∈-，1]时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m的取值范围.20. （2005•山东•理）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB =，11AA =.直线BD 与平面11AA B B 所成的角为30︒，AE 垂直BD 于E ，F 为11A B 的中点. ⑴求异面直线AE 与BF 所成的角；⑵求平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）的大小； ⑶求点A 到平面BDF 的距离.21. （2005•山东•理）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且12n n S S n +=+*5()n N +∈.⑴证明：数列{}1n a +是等比数列；⑵令212()f x a x a x =++...n n a x +，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '，并比A1A BD1B F1C 1D E较2(1)f '与22313n n -的大小. 22. （2005•山东•理）已知动圆过定点(2p ，0)，且与直线2px =-相切，其中0p >. ⑴求动圆圆心C 的轨迹的方程；⑵设A B 、是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.2005年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）+=（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【分析】先化简复数的分母，然后再整理即可．【解答】解：∵+=故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．2．（5分）函数y=（x≠0）的反函数的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】化简函数y=，找出特殊点（0，﹣1），再求关于y=x的对称点，注意单调性，可以选出正确选项．【解答】解：函数y==，（x≠0）则y≠﹣1，关于y=x的对称，反函数中x≠﹣1，y≠0，函数y==的反函数在（﹣∞，﹣1）是减函数，故选：B．【点评】本题考查反函数及其图形，函数的单调性等知识，是基础题．3．（5分）已知函数，则下列判断正确的是（）A．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是B．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是C．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是D．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是【分析】将化简成一角一函数的形式，再确定最小正周期和对称中心．【解答】解：=，最小正周期为π，当x=时，y=0，图象的一个对称中心是故选：B．【点评】本题考查了三角函数的化简以及最小正周期，对称点的求法，属于基础题型．4．（5分）下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=﹣|x+1|C．D．【分析】本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要不满足其中一条就能说明不正确．【解答】解：f（x）=sinx是奇函数，但其在区间[﹣1，1]上单调递增，故A 错；∵f（x）=﹣|x+1|，∴f（﹣x）=﹣|﹣x+1|≠﹣f（x），∴f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，∴故B错；∵a＞1时，y=a x在[﹣1，1]上单调递增，y=a﹣x[﹣1，1]上单调递减，∴f（x）=（a x﹣a﹣x）在[﹣1，1]上单调递增，故C错；故选：D．【点评】本题综合考查了函数的奇偶性与单调性，是函数这一部分的常见好题．5．（5分）如果的展开式中各项系数之和为128，那么展开式中的系数为（）A．12 B．21 C．27 D．42【分析】先通过给x赋值1得到展开式的各项系数和；再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为﹣3得到展开式中的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数和为2n∴2n=128解得n=7∴=展开式的通项为=令解得r=6∴展开式中的系数为3C76=21故选：B．【点评】本题考查求展开式的各项系数和的方法是赋值法；考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．6．（5分）函数f（x）=若f（1）+f（a）=2，则a的所有可能值为（）A．1 B．﹣C．1，﹣D．1，【分析】由分段函数的解析式容易得出，f（1）=e1﹣1=1，∴f（a）=1，然后在每一段上求函数的值为1时对应的a的值即可．【解答】解：由题意知，当﹣1＜x＜0时，f（x）=sin（πx2）；当x≥0时，f（x）=e x﹣1；∴f（1）=e1﹣1=1．若f（1）+f（a）=2，则f（a）=1；当a≥0时，e a﹣1=1，∴a=1；当﹣1＜a＜0时，sin（πx2）=1，∴，x=（不满足条件，舍去），或x=．所以a的所有可能值为：1，．故选：C．【点评】本题考查分段函数中由函数值求对应的自变量的值的问题，需要在每一段上讨论函数的解析式，然后求出对应的自变量的值．7．（5分）已知向量，，且=+2，=﹣5+6，=7﹣2，则一定共线的（）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【分析】先判断向量与共线，又有公共点，进而判断出三点共线．【解答】解：∵=﹣5+6+7﹣2=2+4=2∴又因为直线AB、BD有公共点B所以点A、B、D在同一条直线上．故选：A．【点评】本题主要考查向量的共线定理．注意共线向量与平行向量是等价的．8．（5分）设地球半径为R，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于南纬度75°东经120°，则甲、乙两地球面距离为（）A．R B．R C．R D．R 【分析】甲、乙两地都在东经120°，就是都在同一个大圆上，求出纬度差，即可求出球面距离．【解答】解：由于甲、乙两地都在东经120°，就是都在同一个大圆上，它们的纬度差是：120°，就是大圆周的则甲、乙两地球面距离为：故选：D．【点评】本题考查球面距离，好在两点在同一个经度上，简化了计算，是基础题．9．（5分）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是（）A．B．C．D．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的总事件数是从10张奖券中抽5张共有C105种方法，至少有1人中奖的对立事件是没有人中奖，也就是从7张没有奖的中抽5张，共有C75．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生的总事件数是从10张奖券中抽5张共有C105种方法，至少有1人中奖的对立事件是没有人中奖，也就是从7张没有奖的中抽5张，共有C75，∴由对立事件的公式得到P=1﹣=1﹣=，故选：D．【点评】本题主要考查古典概型和对立事件，正难则反是解题是要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加清楚明了．10．（5分）设集合A、B是全集U的两个子集，则A⊊B是（C U A）∪B=U（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】结合韦恩图进行判定A⊊B⇒（C U A）∪B=U，而（C U A）∪B=U⇒A⊆B，从而确定出A⊊B与（C U A）∪B=U的关系．【解答】解：A⊊B⇒（C U A）∪B=U，当A=B时（C U A）∪B=U也成立，故A⊊B不成立∴A⊊B是（C U A）∪B=U的充分不必要条件故选：A．【点评】本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，若A⇒B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件，属于基础题．11．（5分）0＜a＜1，下列不等式一定成立的是（）A．|log（1+a）（1﹣a）|+|log（1﹣a）（1+a）|＞2；B．|log（1+a）（1﹣a）|＜|log（1﹣a）（1+a）|；C．|log（1+a）（1﹣a）+log（1﹣a）（1+a）|＜|log（1+a）（1﹣a）|+|log（1﹣a）（1+a）|；D．|log（1+a）（1﹣a）﹣log（1﹣a）（1+a）|＞|log（1+a）（1﹣a）|﹣|log（1﹣a）（1+a）|【分析】用特殊值法，来排除不成立的选项即可．【解答】解：取满足题设的特殊数值a=，log （1+a）（1﹣a）=＜=﹣1，0＞log （1﹣a）（1+a）=＞2=﹣1，检验不等式（B），（C），（D）均不成立，故选：A．【点评】本题主要考查客观题的解法，可灵活选择方法，如特殊法，验证法，数形结合法等，解题不但灵活，而且效率很高．12．（5分）设直线l：2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先根据直线l与直线l′关于原点对称求出直线l′的方程，与椭圆方程联立求得交点A和B的坐标，利用两点间的距离公式求出AB的长，再根据三角形的面积求出AB边上的高，设出P的坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l′的距离即为AB边上的高，得到关于a和b的方程，把P代入椭圆方程得到关于a与b的另一个关系式，两者联立利用根的判别式判断出a 与b的值有几对即可得到交点有几个．【解答】解：直线l关于原点对称的直线l′为y=﹣2x+2，与椭圆联立得：解得或则A（0，2），B（1，0），所以AB==，因为△PAB的面积为，所以AB边上的高为设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+=1；P到直线y=﹣2x+2的距离d==即2a+b﹣2=1或2a+b﹣2=﹣1；联立得：①或②，把①中的b消去得8a2﹣12a+5=0，因为△=144﹣160=﹣16＜0，所以方程无解；由②消去b得：8a2﹣4a﹣3=0，△=16+96=112＞0，所以a有两个不相等的根，则对应的b也有两个不等的根，所以满足题意的P 的坐标有两个．故选：B．【点评】考查学生会求直线与椭圆的交点坐标，灵活运用点到直线的距离公式化简求值．同时要求学生会利用根的判别式判断方程解的情况．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）=．【分析】因为，所以=，由此能够求出的值．【解答】解：====．【点评】本题考查组合数的计算公式和数列的极限，解题时要注意计算能力的培养．14．（4分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如果△PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e=．【分析】本题中由双曲线的对称性可得|PM|=|MQ|，又由△PQF是直角三角形得到|MF|=|MP|，通过这个等量关系可以得到a=b，即=1，代入求离心率的公式，得到e=．【解答】解：依题意可知右准线方程l：x=，渐近线方程y=±x，则有P （，），F（c，0）由题意|MF|=|MP|，即|c﹣|=整理得因为c2﹣a2=b2，将其代入上式得a=b所以e===故答案为．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是熟练掌握双曲线中渐近线、准线、焦距等基本知识．15．（4分）设x，y满足约束条件则使得目标函数z=6x+5y的值最大的点（x，y）是（2，3）．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：由图可知，当目标函数z=6x+5y对应的直线经过点（2，3）时，目标函数z=6x+5y有最大值，故答案为：（2，3）．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．16．（4分）已知m、n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n．②若m，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β．③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β．④m、n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β．上面命题中，真命题的序号是③④（写出所有真命的序号）．【分析】由空间中平面平行的性质定理，面面平行的判定定理，我们逐一分析已知中的四个结论，即可得到答案．【解答】解：若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故①错误；∵m，n不一定相交，故当m，n⊂α，m∥β，n∥β时，α∥β不一定成立，故②错误；由m⊥α，m∥n则n⊥α，又由n⊥β，∴α∥β，故③正确∵m、n是两条异面直线，∴当m∥α，m∥β，n∥α，n∥β时，α∥β，故④正确；故答案为：③④【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间关系的判定和性质，建立良好的空间想象能力是解答此类题的关键．三、解答题（共6小题，17~21题每题12分，22题14分，满分74分）17．（12分）已知向量=（cosθ，sinθ）和=（﹣sinθ，cosθ），θ∈[π，2π]．（1）求|+|的最大值；（2）当|+|=时，求cos（）的值．【分析】（1）根据向量的三角形法则求出与的和，然后求出+的模，化简后利用特殊角的三角函数值及两角和的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据根据θ的范围得到余弦函数的值域，即可得到|+|的最大值；（2）由|+|=及第一问求得的关系式得到cos（θ+）的值，然后根据θ的范围求出+的范围，利用二倍角的余弦函数公式即可求出cos （+）的值．【解答】解：（1）+=（cosθ﹣sinθ+，cosθ+sinθ），|+|====2∵θ∈[π，2π]，∴，∴cos（θ+）≤1，|+|max=2．（2）由已知及（1）得|+|==2，两边平方化简得cos（θ+）=．又cos（θ+）=2cos2（）﹣1，∴cos2（）=，∵θ∈[π，2π]，∴，∴cos（）=﹣．【点评】此题考查学生掌握向量的加法法则及向量模的求法，灵活运用两角和与差的余弦函数公式、二倍角的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意角的范围．18．（12分）袋中装有4个黑球和3个白球共7个球，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需的取球次数．（Ⅰ）求恰好取球3次的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布；（Ⅲ）求恰好甲取到白球的概率．【分析】（Ⅰ）由题意知每个球在每一次被取出的机会是等可能的，直到两人中有一人取到白球时即终止，看出试验包含的所有事件数和满足条件的事件数，得到概率．（2）用ξ表示取球终止时所需的取球次数，共有4个黑球，所以最多取5次结束，得到变量的取值，看出变量对应的事件，类似于上一问得到分布列．（3）甲先取，甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．这三种情况是互斥关系，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知每个球在每一次被取出的机会是等可能的，直到两人中有一人取到白球时即终止∴恰好取球3次的概率；（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为1、2、3、4、5，，，，，．∴取球次数ξ的分布列为：（Ⅲ）∵甲先取，∴甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．记“甲取到白球”的事件为A．则P（A）=P（“ξ=1”或“ξ=3”或“ξ=5”）．∵“ξ=1”、“ξ=3”、“ξ=5”对应的事件两两互斥，∴P（A）=P（ξ=1）+P（ξ=3）+P（ξ=5）=．∴恰好甲取到白球的概率为．【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．19．（12分）已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n的关系式；（Ⅱ）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x ≠1时g（t）=t﹣，求出g（t）的最小值．要使＜（x﹣1）﹣恒成立即要g（t）的最小值＞，解出不等式的解集求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+n．因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m﹣6（m+1）+n=0．所以n=3m+6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+3m+6=3m（x﹣1）[x﹣（1+）]当m＜0时，有1＞1+，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：）由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x ﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1+）]＜1．（*）①x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．∴m＜0．②x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．（*）式化为＜（x﹣1）﹣．令t=x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）=t﹣，则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（﹣2）=﹣2﹣=﹣．由（*）式恒成立，必有＜﹣⇒﹣＜m，又m＜0．∴﹣＜m＜0．综上①②知﹣＜m＜0．【点评】考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．20．（12分）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点．（Ⅰ）求异面直线AE与BF所成的角；（Ⅱ）求平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的大小（Ⅲ）求点A到平面BDF的距离．【分析】解法一：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．比如此题中，我们可以以A为坐标原点，分别以AB、AD、AA1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．这种解法的好处就是：①解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．②即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（I）∵，∴．即异面直线AE、BF所成的角为．B的一个法向量．设是平面BDF（II）易知平面AA的一个法向量，即平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）大小为向量．（III）点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量上的投影的绝对值，所以距离解法二：（I）求异面直线所成的角，也可以做适当的平移，把异面直线转化为相交直线，然后在相关的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移时主要是根据中位线和中点条件，或者是特殊的四边形，三角形等．连接B1D1，过F作B1D1的垂线，垂足为K，则FK∥AE．∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角．（II）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．由于DA⊥面AA2B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，连接DG，由三垂线定理知BG⊥DG．∴∠AGD即为平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角．（III）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．由（II）知平面AFD是平面BDF与平面AA1B 所成二面确的平面角所在的平面∴面AFD⊥面BDF．在Rt△ADF，由A作AH ⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离．【解答】解：法一：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．由已知AB=2，AA1=1，可得A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1）．又AD⊥平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角即为∠DBA=30°，又，从而易得．（I）∵，∴=．即异面直线AE、B所成的角为．]（II）易知平面AA 1B的一个法向量．设是平面BDF的一个法向量，．由，取，∴．即平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）大小为．（III）点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量上的投影的绝对值，所以距离所以点A到平面BDF的距离为．解法二：（I）连接B1D1，过F作B1D1的垂线，垂足为K，∵BB1与两底面ABCD，A1B1C1D1都垂直，∴平面BDD1B1，又平面BDD1B1，因此FK∥AE．∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角．连接BK，由FK⊥面BDD1B1得FK⊥BK，从而△BKF为Rt△．在Rt△B1KF和Rt△B1D1A1中，由得．又，∴．∴异面直线BF与AE所成的角为．（II）由于DA⊥面AA2B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，连接DG，由三垂线定理知BG⊥DG．∴∠AGD即为平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角，且∠DAG=90°，在平面AA1B中，延长BF与AA1交于点S，∵F为A2B1的中点，A1F∥=，即SA=2A1A=2=AB，∴Rt△BAS为等腰直角三角形，垂足G点为斜边SB的中点F，即F、G重合．易得．在Rt△BAS中，．即平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的大小为．（III）由（II）知平面AFD是平面BDF与平面AA1B所成二面确的平面角所在的平面∴面AFD⊥面BDF．在Rt△ADF，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离．由AH．DF=AD．AF，得．所以点A到平面BDF的距离为．【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、点到面的距离计算，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．21．（12分）已知数列{a n}的首项a1=5，前n项和为S n，且S n+1=2S n+n+5（n ∈N*）（I）证明数列{a n+1}是等比数列；（II）令f（x）=a1x+a2x2+…+a n x n，求函数f（x）在点x=1处的导数f'（1）并比较2f'（1）与23n2﹣13n的大小．=S n+1﹣S n，得到n≥2时a n+1和a n关系式即a n+1=2a n+1，【分析】（I）根据a n+1+1=2（a n+1），最后验证n=1时等式也成立，进而证明数两边同加1得到a n+1列{a n+1}是等比数列．（II）通过（I）{a n+1}的首项为5公比为2求得数列a n+1的通项公式，进而求得a n的通项公式，代入f（x）进而求出f'（x），再求得f‘（1），进而求得2f‘（1）．要比较2f'（1）与23n2﹣13n的大小，只需看2f′（1）﹣（23n2﹣13n）于0的关系．【解答】解：（I）由已知S n=2S n+n+5（n∈N*），+1可得n≥2，S n=2S n﹣1+n+4两式相减得S n+1﹣S n=2（S n﹣S n﹣1）+1即a n+1=2a n+1 +1=2（a n+1）从而a n+1当n=1时S2=2S1+1+5所以a2+a1=2a1+6又a1=5所以a2=11从而a2+1=2（a1+1）+1=2（a n+1），n∈N*又a1=5，a1+1≠0故总有a n+1从而=2即数列{a n+1}是等比数列；（II）由（I）知a n=3×2n﹣1因为f（x）=a1x+a2x2+…+a n x n所以f′（x）=a1+2a2x+…+na n x n﹣1从而f′（1）=a1+2a2++na n=（3×2﹣1）+2（3×22﹣1）+…+n（3×2n﹣1）=3（2+2×22++n×2n）﹣（1+2++n）=3（n﹣1）•2n+1﹣+6．由上2f′（1）﹣（23n2﹣13n）=12（n﹣1）•2n﹣12（2n2﹣n﹣1）=12（n﹣1）•2n﹣12（n﹣1）（2n+1）=12（n﹣1）[2n﹣（2n+1）]①当n=1时，①式=0所以2f'（1）=23n2﹣13n；当n=2时，①式=﹣12＜0所以2f'（1）＜23n2﹣13n当n≥3时，n﹣1＞0又2n=（1+1）n=C n0+C n1++C n n﹣1+C n n≥2n+2＞2n+1所以（n﹣1）[2n﹣（2n+1）]＞0即①＞0从而2f′（1）＞23n2﹣13n．【点评】本题主要考查了数列中等比关系的确定．往往可以通过，q 为常数的形式来确定．22．（14分）已知动圆过定点（，0），且与直线x=﹣相切，其中p＞0．（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹的方程；（Ⅱ）设A，B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β为定值θ（0＜θ＜π且θ≠）时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（I）设M为动圆圆心，（，0）为记为F，过点M作直线x=﹣的垂线，垂足为N，进而可知动点M到定点F与定直线x=﹣的距离相等，进而推断点M的轨迹为抛物线，进而根据抛物线性质可得答案．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），设其方程为y=kx+b，与抛物线方程联立，根据韦达定理表示出y1+y2，y1•y2，分θ=和θ≠时，求得直线方程，进而判断直线AB恒过是否定点．【解答】解：（I）如图，设M为动圆圆心，（，0）为记为F，过点M作直线x=﹣的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|=|MN|，即动点M到定点F与定直线x=﹣的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F（，0）为焦点，x=﹣为准线，所以轨迹方程为y2=2px（P＞0）；（II）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得x1≠x2（否则α+β=π）且x1，x2≠0．所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，显然x1=，x2=．将y=kx+b与y2=2px（p＞0）联立消去x，得ky2﹣2py+2pb=0由韦达定理知y1+y2=，y1•y2=①∵0＜θ＜π且θ≠，∴由α+β=θ，得tanθ=tan（α+β）==将①式代入上式整理化简可得：tanθ=，所以b=+2pk．此时，直线AB的方程可表示为y=kx++2pk．即k（x+2p）﹣（y﹣）=0．所以直线AB恒过定点（﹣2p，）．所以由（1）（2）知，当θ=时，直线AB恒过定点（﹣2p，0），当θ≠时直线AB恒过定点（﹣2p，）．【点评】本题主要考查了求轨迹方程的问题．涉及直线的抛物线的关系，常需要联立方程根据韦达定理找到解决问题的突破口．。

2005年山东省专升本考试试卷参考解答

2005年山东省专升本考试试卷参考解答及评分标准开/闭卷闭卷A/B 卷 A 课程编号 2219002801-2219002811课程名称概率论与数理统计（部分）学分 3命题人(签字) 审题人(签字) 年月日基本题6小题，每小题5分，满分30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一（每道选择题选对满分，选0分）事件表达式A Y B 的意思是 ( ) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生事件B 发生但事件A 不发生 (D) 事件A 与事件B 至少有一件发生 D ，根据A Y B 的定义可知。

假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A I B ( ) 是不可能事件 (B) 是可能事件发生的概率为1 (D) 是必然事件 A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布自由度为1的F 分布 (D) 自由度为2的F 分布选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的2分布。

已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3) 选C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。

样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。

2005年普通专升本高等数学真题

2005年普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段考试试题高等数学一、单项选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题不得分。

1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为（）。

A.x>1B.x<5C.1<x<5D.1<x ≤5 2.下列函数中，图形关于y 轴对称的是（）。

A.y=xcosx B.13++=x x y C.222xxy --=D. 222xxy -+=3.当x →0时，12-xe等价的无穷小量是（）。

A.x B.x 2 C.2x D.2x 2 4.∞→n lim 1)21(++n n=( )。

A.eB.e 2C.e 3D.e 45.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠--0,0,11x a x xx在x=0处连续，则a=（）。

A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-6.设函数f(x)在点x=1出可导，则21)1()21(lim =--∞→hf h f h ,则=)1('f （）。

A. 21B. 21-C.41 D. 41-7.由方程y x e xy +=确定的隐函数x(y)的导数dxdy 为（）A.)1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.)1()1(-+x y y x8.设函数f(x)具有任意阶导数，且()()[]x f x f n =)('=（）。

A.()[]1+n x f n B.()[]1!+n x f n C.()[]1)1(++n x f n D.()[]1)!1(++n x f n9.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）。

A.[]1,1,1)(2--=x x f B.[]1,1,)(-=-xxe x fC.[]1,1,11)(2--=xx f D. []1,1,)(-=x x f10.设)12)(1()('+-=x x x f ,),(+∞-∞∈x ,则在(21,1)内,f(x)单调（）。

N01--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及答案(山东卷.文)

2005年普通高等学校招生全国统一考试山东卷文科数学第I 卷（共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.（1）{}n a 使首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（）（A ）667；（B ）668；（C ）669；（D ）670（2）下列大小关系正确的是（A ）20.440.43log 0.3<<；（B ）20.440.4log 0.33<<；（）（C ）20.44log 0.30.43<<；（D ）0.424log 0.330.4<<（3）函数()10xy x x-=≠的反函数图像大致是（）（A（4）已知函数sin cos 1212y x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（）（A ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭（B ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭（D ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭（5）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（）（A ）()sin f x x = （B ）()1f x x =-+ （C ）()1()2x xf x a a -=+ （D ）2()ln 2x f x x-=+ （6）如果3nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（）（A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-（7）函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若(1)()2,f f a +=则a 的所有可能值为（）（A ）1 （B）1,2-（C）2- （D）1,2（8）已知向量,a b ，且2,56A B a bB C a b =+=-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（）（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D（9）设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为（A；（B ）6R π；（C ）56R π；（D ）23R π（）（10）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是（）（A ）310 （B ）112 （C ）12 （D ）1112（11）设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B ⊂是()U C A B U ⋃=的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第II 卷（共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.（13）某学校共有教师490人，其中不到40岁的有140人，岁即以上的有人。

2005年高考.山东卷.理科数学试题精析详解

f
(x)
ln
2 2
x x
【思路点拨】本题考查函数的奇偶性和增减性，可根据其定义逐个淘汰.
【正确解答】选项 A： f (x) 1 (a x a x) f (x) ，是偶函数，排除； 2
选项 B： f (x) | x 1| ，是非奇非偶函数，排除；
选项 C： f (x) sin(x) sin x f (x) ，是奇函数，在[1,1] 上单调递增，排除；
【解后反思】本题是求同一经度上，两点间的球面距离，比较简
O1
单，而求在同一纬度上的点 A、B 间的球面距离必须构建基本图 A
B
形：三棱锥 O AO1B ，其中 OO1 纬度面 AOB，AO＝OB＝R
（R 为地球的半径），O1AO O1BO 是北纬度角，AO1B 是
A、B 两点所在经度的夹角（劣弧）， AOB 即是要所求 A、B 两
y
y
y
y
o1
x
-1 o
x
o1
x
-1 o
x
（A）
(B)
(C)
(D)
[答案] B
【思路点拨】本题考查反函数的概念及函数的图象。利用互为反函数图象间的关系，考查识
图（或作图）能力，可采用直接法，即求出原函数的反函数，并画出图象.
【正确解答】 y 1 x (x 0) 的反函数为 y 1 (x 1) 它的图象是将函数 y 1 的图
CD
BD
2a
4b
，因为
AB
a
2b
，且有一个共点
B
所以
A、B、
D 三点共线.选 A
第 3页（共 20页）
【解后反思】一般地，
a,
b
（

2005年山东高考数学试题(文科) (4)

2005年山东高考数学试题(文科)一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项. （1）{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 （2）下列大小关系正确的是（A ）30.440.43log 0.3<< （B ）30.440.4log 0.33<<（C ）30.44log 0.30.43<< （D ）0.434log 0.330.4<<（3）函数1(0)xy x x-=≠的反函数的图象大致是（4）已知函数sin()cos(),1212y x x ππ=--则下列判断正确的是（A ）此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是(,0)12π（B ）此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是(,0)12π（C ）此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是(,0)6π（D ）此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是(,0)6π（5）下列函数中既是奇函数,又在区间[1,1]-上单调递减的是（A ）()sin f x x = （B ）()|1|f x x =-+（C ）1()()2x x f x a a -=+ （D ）2()ln 2x f x x-=+ （6）如果(3n x 的展开式中各项系数之和为128,则展开式中31x的系数是（A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-（7）函数()f x =21sin(),10,,0.x x x e x π-⎧-<<⎪⎨≥⎪⎩ 若(1)()2f f a +=,则a 的所有可能值为（A ）1 （B ）（C ）1, （D ）（8）已知向量,a b →→,且2,AB a b →→→=+56,72,BC a b CD a b →→→→→→=-+=-则一定共的三点是（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D（9）设地球半径为R,若甲地位于北纬45o东经120o,乙地位于南纬75o东经120o,则甲、乙两地的球而距离为（A （B ）6πR （C ）56R π （D ）23R π （10）10张奖券中只有3张有奖,5个人购买,每人1张,至少有1人中奖的概率是（A ）310 （B ）112 （C ）12 （D ）1112（11）设集合A 、B 是全集U 的两个子集,则A B 是()U C A B U = 的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为'.l 若'l 与椭圆2214y x +=的交点为 A 、B,点P 为椭圆上的动点,则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二．填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分,答案填在题中横线上.（13）某学校共教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人。

2005年山东省专升本统一老试高等数学真题参考答案及解析

2005年山东省专升本统一老试高等数学真题参考答案及解析一、选择题:本题共8小题,每小题3分,共24分,请把所选项前的字母填在题后的括号内。

1.解:由()()11(m)20011m mxxx x lim mx lim mx e e -→→---=⎡+=⎣⎦-=⎤，得2m =-,选(C)。

2.解:x +→时,111,,0x e x x-→+∞-→-∞→;1110?,,x x e x x--→→-∞-→+∞→+∞时，; 故选(B).3.解:当0x =时,()'f x 中除1299x x x ---（）（）…（）项外,其他全为零,故'0010209999!f =---=-）（（）（））(?,选项(A)正确.4.解:由1y nx =可得,2(4)24336411222!233!y'=,y"=-,''',x x y y x x x x x x x-=-===-=…对比知,选项(C)正确. 5.解：2d sin cos cos 22(x )x xdx xxdx x d ==,选项(D)正确. 6.解： l ()n sin xd tan x tan xln sin x tan xd ln sin x --⎰⎰cos xl .x tan tan ln sin sin xtan n sin xdx x x x C x=-=-+⎰.选项(A)正确. 7.解:令111(x 1)(1)(x)1lim lim 11(x)(x 1)(1)n n n n n n n nu n x u n+++→∞→∞--+==-<--可得,02x <<,故级数的收敛区间为()0,2.又当0x =时,原级数即为11n n ∞=∑，发散;当2x =时,原级数即为11(1)n n n ∞=-∑,收敛,故原级数的收敛域为(]0,2.选项(A)正确.8.解:由题意可知,积分区域为矩形区域,此时便可把原二重积分化成两个定积分的乘积的形式,故212121200000014[1n (1x)][]122ln 211122Dy yy dxdy dx dy dx ydy n x x x ===+==+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.选项(D)正确.二、填空题:本大题共10小题,10个空,每空2分,共20分,请把正确答案填在划线上。

山东专升本数学真题及答案解析

山东专升本数学真题及答案解析近年来，随着人们对继续教育的需求不断增加，山东省的专升本考试逐渐成为备受关注的话题。

其中，数学科目一直是许多考生所关注的焦点。

本文将分析山东专升本数学真题，并给出详细的答案解析，帮助考生更好地备考。

首先，我们来看一道代表性的数学选择题：1.已知函数f(x)=3x^2+2x+1，g(x)=x+2，则f[g(1)]的值为？A. 12B. 16C. 20D. 24解析：首先，我们需要计算g(1)的值。

根据给定的函数g(x)=x+2，代入x=1，可以得到g(1)=1+2=3。

然后，将g(1)的值代入f(x)中计算，即f[g(1)]=f(3)。

根据给定的函数f(x)=3x^2+2x+1，代入x=3，我们可以计算出f(3)=3(3)^2+2(3)+1=28。

因此，答案选项中与f(3)相等的值为24，所以选项D是正确答案。

接下来，我们来看一道数学计算题：2.小明投资10000元在银行存款，年利率为5%。

每年将利息与本金再一起存入，连续存了10年，求最后一年的本金和利息总额。

解析：根据利息的计算公式，每年的本金和利息总额为本金乘以(1+年利率)的n次方，其中n为存款年限。

首先，我们计算第一年的本金和利息总额。

根据题目给定的利率5%，即年利率为0.05，我们计算第一年的本金和利息总额为10000*(1+0.05)^1=10500元。

接下来，我们计算第二年的本金和利息总额。

第二年的本金为第一年的本金和利息总额10500元，再乘以(1+0.05)^1，计算出第二年的本金和利息总额为10500*(1+0.05)^1=11025元。

同样地，我们可以继续计算第三年至第十年的本金和利息总额。

最后，我们将第十年的本金和利息总额加上第九年的本金和利息总额，得到最后一年的本金和利息总额为19972.17元。

因此，最后一年的本金和利息总额为19972.17元。

通过以上两道题目的解析，可以看出数学在山东专升本考试中占据了重要的地位。

2005年山东省专升本(教育学)真题试卷

2005年山东省专升本（教育学）真题试卷(总分：38.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：10，分数：20.00)1.教育的本质是 1。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：培养人的活动）解析：2.现在许多发达国家经济发展的事例表明，经济的高速发展并不是依靠增加劳动力的数量，而是通过提高劳动者 1水平。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：质量）解析：3.制定我国教育目的理论依据是 1。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：马克思主义关于人的全面发展学说）解析：4.在德育工作中最基本的方法是 1。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：说服教育法）解析：5.正确全面贯彻 1是上好课的根本保证。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：教育规律和教学原则）解析：6.教学的基本组织形式是 1。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：班级授课制）解析：7.《学记》中说的“学不躐等”体现的是 1教学原则。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：循序渐进）解析：8.正确运用德育方法中的 1法能够达到“随风潜入夜，润物细无声”的效果。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：情感陶冶法）解析：9.教育者应在儿童发展的某一关键期对儿童施以相应的教育，这是因为人的发展具有 1。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：不平衡性）解析：10.在家庭、社会、学校三结合教育中，占主导地位的是 1。

2005年山东省专升本统一考试高等数学真题试卷

2005年山东省专升本统一考试高等数学真题试卷一、选择题:本题共8小题,每小题3分,共24分,请把所选项前的字母填在题后的括号内。

1.设()120lim 1x x mx e →-=,则m=( )（A ）12- （B ）2（C ）2- （D ）122.设1x y e -=是无穷大,则x 的变化过程是( )(A)0x +→ (B)0x -→(C)x →+∞ (D)x →-∞3.设()()()()1299f x x x x x =---,则()'0f =() (A)-99! (B)0(C)99! (D)994.设ln y x =,则()n y =( )(A)()1!n n n x -- (B)()()211!n n n x ---(C)()()111!n n n x ---- (D)()111!n n n x --+--5.()2sin d xd x =( )(A) cos x (B)sin x - (C)cos 2x (D)cos 2x x6.lnsin tan xd x =⎰( )(A)tan lnsin x x x c -+(B)tan lnsin x x x c ++ (C)tan ln sin cos dx x x x -⎰(D)tan ln sin cos dx x x x +⎰7.幂级数()()111n n n x n ∞=--∑的收敛区间是( )(A)(]0,2 (B)(]1,1- (C)[]2,0-(D)(),-∞+∞ 8.设:01,02D x y ≤≤≤≤,则1y dxdy x +⎰⎰( )(A)ln 2 (B)2ln 2+(C)2 (D)2ln 2二、填空题:本大题共10小题,10个空,每空2分,共20分,请把正确答案填在划线上。

9.x y xe -=的凸区间是。

10.()31231sin x x x e dx -+=⎰ 。

11.微分方程''2'3y y y x --=的通解为。

2005年专升本高等数学试题

成都高等专科学校2005年专升本选拔考试高等数学试题（理工类A 卷）注意事项：1. 务必将密封线内的各项写清楚。

2. 本试题共四大题37小题，满分100分，考试时间120分钟。

一、解答题：本大题共7个小题，每小题10分，本大题共70分。

1. 试求垂直于直线相切的直线方程.2. 计算.3. 求出所围成的图形面积.4. 设.5.薄板在面上所占区域为已知薄板在任一点处的质量面密度为求薄板的质量.6. 把函数的幂级数，并指出收敛区间.7. 求微分方程的通解.二、选择题（单选，每小题1分，共10分） 8. 等于（）A.B.C.D.9.设函数,则（） A ．连续，但不可导 B.不连续 C.可导 D.10.设（）A. B.C.D.11.函数存在的（）A ．必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 12.等于（）A ．B.C. D.13.广义积分为（） A.发散B. 1C. 2D. 1/2 14.直线的位置关系是（）A.直线与平面平行B.直线与平面垂直C.直线在平面上D.直线与平面只有一个交点，但不垂直 15.下列级数中，发散的是（）A.B.C. D.16.幂级数的收敛半径为（）A. 1B. 2C.D.17.所围成的区域的正向边界线，曲线积分等于（）A. 1/10B. 1/20C. 1/30D. 1/40三、判断题.（每小题1分，共10分）18.（）19.（）20.曲线（）21.已知函数则（）22.设点（）23.（）24.平行与x轴且经过A（1，-2，3），B（2，1，2）两点的平面方程为（）25.设函数（）26.改变二次积分（）27.微分方程（）四、填空题.（每小题1分，共10分）28.行列式29.若行列式30.设矩阵31.若齐次线性方程组有非零解，则32.设33.若34.已知35.维向量线性相关的条件.36.若线性无关的向量组线性表出，则的不等式关系是37.设线性方程组则且,方程组有解.。

习题2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题精析详解山东理

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（山东理科类）试题精析详解一、选择题（5分⨯12=60分）（1）2211(1)(1)i ii i -++=+- （A ）i (B) i - (C) 1 (D) 1- 【思路点拨】本题考查了复数的概念和运算能力，可直接计算得到结果. 【正确解答】2211111(1)(1)22i i i ii i i i-+-++=+=-+--，选D 【解后反思】熟练掌握复数的代数形式的四则运算及i 的性质.本题可把1i -化为cos()sin()44i ππ⎤-+-⎥⎦，1sin )44i i ππ+=+，用复数三角形式的乘法和乘方法则求得结果. （2）函数1(0)xy x x-=≠的反函数的图象大致是（A ） (B) (C) (D)【思路点拨】本题利用互为反函数图象间的关系，考查识图（或作图）能力，可采用直接法，即求出原函数的反函数，并画出图象. 【正确解答】1(0)x y x x -=≠的反函数为1(1)1y x x =≠-+，选B. 【解后反思】函数与图象的性质是历年高考的重点，要深刻理解灵活运用函数的性质，本题也可从互为反函数的性质：互为反函数的定义域与值域互换进行分析可选C. （3）已知函数sin()cos(),1212y x x ππ=--则下列判断正确的是（A ）此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)12π(B) 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)12π(C) 此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)6π(D) 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)6π【思路点拨】本题考查三角函数的二倍角公式及图象和性质，化简函数解析式再利用图象的性质即可解决. 【正确解答】1sin()cos()sin(2)121226y x x x πππ=--=-，最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)12π，选B 【解后反思】一般地，sin()(0)y A x ωϕω=+>的对称中心为1((),0)k πϕω-，对称轴方程为1()()2x k k Z ππϕω=+-∈，本题在求对称中心时也可用验证法，也就是在函数中取一个恰当的x 值使y=0.（4）下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+ (C) 1()()2x x f x a a -=+ (D) 2()2x f x ln x-=+ 【思路点拨】本题主要考查函数的两个性质，可根据其定义逐个淘汰. 【正确解答】选项A ：1()()()2xx f x a a f x --=+=，是偶函数，排除；选项B ：()|1|f x x -=--+，是非奇非偶函数，排除；选项C ：()sin()sin ()f x x x f x -=-=-=-，是奇函数，在[1,1]-上单调递增，排除；选项D ：1222()ln ln()ln ()222x x xf x f x x x x-+---===-=--++，是奇函数，且在[1,1]-上单调递减，故选D.【解后反思】解决函数问题时，必须理解从初等函数的图象入手，联想其相关性质，也就是说要有数形结合的意识. （5）如果(3n x 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（A ）7 (B) 7- (C) 21 (D)21-【思路点拨】主要考查二项式及通项公式的应用，凡是求二项式展开式中的特殊项或系数，常用其通项公式列出方程，求出n 或.r【正确解答】令1x =，则2128n =，解得7n =，展开式的一般项为77(3)(t tt C x -，31x的系数是11673(1)21C ⋅⋅-=.故选C. 【解后反思】熟练掌握1r T +的表达式及解方程的思想，这里二项式中“-”必须留心，并要注意二项式系数、多项式系数的和与指定项的系数的区别与联系.（6）函数2110,sin(),()0.,x x x f x x e π--<<⎧=⎨≥⎩若(1)()2,f f a +=则a 的所有可能值为（A ） 1 (B) 2-(C) 1,2- (D) 1,2【思路点拨】函数解析式是高考的一个难点，本题考查了分段函数的性质，必须对a 的范围进行分类讨论.【正确解答】0(1)1f e ==，所以()1f a =，当0a ≥时，1a =；当10a -<<时，2sin()1a π=，2a =. 选C.【解后反思】因为(1)1f =，故()1f a =，本题实质上求方程()1f a =的解，而分段函数必须分段求，要注意各段函数定义域的范围，恰当地舍取和验证.（7）已知向量,a b ，且2,56,72,AB a b BC a b CD a b =+=-+=-则一定共线的（A ）Ａ、B 、D (B) A 、B 、C (C) B 、C 、D (D)A 、C 、D 【思路点拨】本题考查向量的基础知识和运算能力，理解和掌握两个向量共线和三点共线的充要条件是解决本题的关键.【正确解答】24BC CD BD a b +==+，因为2AB a b =+，且有一个共点B 所以A 、B 、D 三点共线.选A【解后反思】一般地，,a b （0b ≠），共线的充要条件是存在唯一实数λ，使a b λ=.因此寻找恰当的λ，注意共线向量与三点共线之间的区别与联系（8）设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬075东经0120，则甲、乙两地球面距离为（A(B)6R π(C)56R π (D) 23R π【思路点拨】本量考查球的性质，空间想象能力，可结合关于地球的经、纬度等知识、球的性质，找出甲乙两地与球心的夹角、利用弧长公式解决. 【正确解答】120223603d R R ππ︒=⋅=︒.选D 【解后反思】本题是求同一经度上，两点间的球面距离，比较简单，而求在同一纬度上的点A 、B 间的球面距离必须构建基本图形：三棱锥1O AO B -，其中1OO ⊥纬度面AOB ，AO ＝OB ＝R （R 为地球的半径），11O AO O BO ∠=∠是北纬度角，1AO B ∠是A 、B 两点所在经度的夹角（劣弧），AOB ∠即是要所求A 、B 两点间的球面距离的大圆的圆心角θ（小于0180），则A 、B 间的球面距离为R θ，这里，θ是解决此类型问题的关键，也是难点.（9）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是（A ）310 (B) 112 (C) 12 (D)1112【思路点拨】本题是考查概率的基础知识和应用能力，将“至少”问题转化为对立事件可简化为计算.【正确解答】10张奖卷中抽取5张可能的情况有510C 种， 5人中没有人中奖的情况有57C 中，至少有1人中奖的概率是5751011112C P C =-=，选D【解后反思】概率与统计这部分内容要求不高，关键是掌握概念公式并能在具体问题中正确应用.（10）设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B Ø是)A B U =U （C（A ）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件【思路点拨】本题考查集合的基本概念和基本运算，考查充要条件的判断能力.抽象的两个集合，可用特殊值法，列举法或画出图进行分析.BO1【正确解答】由A B Ø可推出()U C A B U =，反之，()U C A B U =不一定要满足A B Ø，因此为充分不必要条件，选A【解后反思】要熟练掌握数学符号语言的等价转化，它是解决数学问题的必要条件，也是是否具有数学素养的一个重要标志.（11）01,a <<下列不等式一定成立的是（A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++> (B) (1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+(C) (1)(1)(1)(1)log (1)log (1)log (1)log (1)a a a a a a a a +-+--++<-++ (D) (1)(1)(1)(1)log (1)log (1)log (1)log (1)a a a a a a a a +-+---+>--+【思路点拨】本题考查了对数绝对值的运算和不等式性质，考虑到(1)log (1)a a +-与(1)log (1)a a -+互为倒函数的关系，可采用换元思想，简化问题结构达到问题的转化.【正确解答】令(1)log (1)a a t +-=,则(1)1log (1)a a t-+=， 01011,110a a a t <<∴<-<+>∴<，11||()()2||t t t t+=-+-≥当且仅当1t =-时等号成立，||0t ≥∴A 一定成立，选A. 【解后反思】整体思想是重要的数学思想，而换元法是整体思想的具体体现，是考查学生的观察能力和宏观调控的重要手段，必须引起高度重视.（12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（A ） 1 (B) 2 (C) 3 (D)4【思路点拨】本题考查直线和椭圆的位置关系的判定及相关性质，可用直接法求得结果或数形给合的方法.【正确解答】由题意得l '：220x y +-=，解不等式组2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得(0,2)A ，(1,0)B，||AB =，设(,)P x y, 111||222PAB S AB d ∆=⋅⋅==，得|22|1x y +-=，2214230y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩（1）或2214210y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩ （2）方程组（1）无实数解，方程组（2）有两个不同的实数解，故满足条件的点P 的个数为2，选B.【解后反思】本题属于直线和圆锥曲线的小综合题，几何与代数之间的等价转化是解决这类问题的重要方法.二、填空题（4分⨯4=16分）(13)2222lim (1)n n nn C C n -→∞+=+__________【思路点拨】本题考查组合数公式和性质及数列极限的求法，先化简分子，分子分母除以n 的最高次幂就可得到结果.【正确解答】222222221(1)1322332lim lim lim lim21(1)(1)(1)221n nn nnn n n n n n C C C C n n n n n n -→∞→∞→∞→∞--⨯++====+++++. 【解后反思】要会求分子分母均是n 的多项式，当n →∞时的极限，分式是∞∞型时.1010()lim 0()()n a b a n a n a b n b n b αβααββαβαβαβαβ*→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<∈⎨+++⎪>⎪⎪⎩（，N ）不存在.(14)设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F,右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率_______e =【思路点拨】本题是考查双曲线的几何性质，可根据对称性来分析，只可能是PFQ ∠为直角，由a 、b 、c 的关系不难解决.【正确解答】由PQF ∆是直角三角形,根据图形的对称性，必有2a abPF FQ c a b c c c⊥∴-=⇒=∴=即双曲线的离心率c e a ==【解后反思】解决本题的障碍是对Rt PQF ∆的直角的确定，要深刻理解几何图形的特征是解决这类题型的关键.(15)设,x y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的值最大的点(,)x y 是_______【思路点拨】本题主要考查简单线性规划的基本知识，分二步，第一步是作出二元一次不等式表示的平面区域.，第二步从图形分析求z 最大值时点的坐标. 【正确解答】画出题中所给不等式组所表示的区域.当x=0时y=0, 650z x y =+=，点（0，0）在直线0:650l x y +=上，作一组直线0l 的平行直线:65()l x y t t R +=∈，要求使得z 最大的点，即要求使直线65z x y =+截距最大，由图可知，当直线过5x y +=和3212x y +=的交点(2,3)M 时，z 有最大值27.【解后反思】正确画出平面区域和直线0l 是解决这类问题的关键. (16)已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题： ①若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n②若,,//,//,m n m n αββ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④m 、n 是两条异面直线，若//,//,//,//,m m n n αβαβ则//αβ上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命的序号)【思路点拨】本题是线线、线面和面面平行，线面垂直的判断题，可借助图形进行判断. 【正确解答】如图所示，①中m 、n 可能异面，②中αβ，可能相交，③中,//m m n n αα⊥∴⊥同理可证：//n βαβ⊥∴即③是真命题，④中可过平面αβ，外任一点P 作直线,m n ''使//,//,m m n n m n ''异面∴,m n ''必相交，设由,m n ''确定的平面为γ，////m m αα'∴，同理可证：////n ααγ'∴，同理可证：////βγαβ∴.即④是真命题，综上所述，真命题的序号是③、④.【解后反思】要否定一个命题，只需要一反例即可.要熟悉掌握线线平行、平面平行、面面平行的关系和转化.即线线平行⇔平面平行⇔面面平行，其中线面平行起了桥梁作用，而②③的实质是两个平面平行的推论. 三、解答题（74分） (17)（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )m θθ=和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈，且825m n +=，求cos()28θπ+的值【思路点拨】本题从向量及模的概念出发，考查三角变换能力和运算能力，通过825m n +=，构建θ的三角函数关系式，再由此关系式与所求θ进行比较，消除角或函数的差异，达到转化. 【正确解答】解法一：(cos sin sin ),m n θθθθ+=-+(cos m n θ+===)=由已知825m n +=，得7cos()425πθ+=又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+-所以 2cos ()2825θπ+= ∵ 592,8288πθπππθπ<<∴<+< ∴ cos()285θπ+=解法二：2222m n m m n n +=+⋅+22||||2m n m n =++⋅222[cos sin )sin cos ]θθθθ=+++4sin )θθ=+-4(1cos())4πθ=++28cos ()28θπ=+由已知825m n +=，得 4|cos()|285θπ+=∵ 5928288πθπππθπ<<∴<+<，∴ cos()028θπ+<， ∴ cos()285θπ+=【解后反思】三角函数的求值问题，关键是角和函数的变换，难点是三角函数符号的确定，在解题过程中，两者必须都要兼顾到，不能顾此失彼. (18) （本小题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止ξ表示取球终止时所需的取球次数．（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布；（Ⅲ）求甲取到白球的概率【思路点拨】本题考查了离散型随机变量的分布列和等可能事件概率的求法，可根据两者定义直接求得.【正确解答】（１）设袋中原有n 个白球，由题意知：2271(1)(1).767762n C n n n n C --===⨯⨯ 所以(1)6n n -=，解得3(n =舍去2)n =-，即袋中原有３个白球（Ⅱ）由题意，ξ的可能始值为１,2,3,4,5.3(1)7p ξ==: 432(2)767p ξ⨯===⨯: 4336(3)76535p ξ⨯⨯===⨯⨯ 43233(4)765435p ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯: 432131(5)7654335p ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯所以,取球次数ξ的分布列为：（Ⅲ）因为甲先取,所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球，记“甲取到白球”的事件为A ，则 ()p A P =（“1ξ=”，或“3ξ=”，或“5ξ=”）. 因为事件“1ξ=”、“3ξ=”、“5ξ=”两两互斥，所以36122()(1)(3)(5)7353535P A P P P ξξξ==+=+==++=【解后反思】离散型随机变量的基础则概率的计算，如古典概率、互斥事件概率和相互独立事件同时发生的概率，n 次独立重复试验有k 次发生的概率等，同时往往离散型随机变量的分布列上具有的性质.（如0,1,2,3,i p i ≥=，121p p ++=）要理解地记忆，便于掌握.(19) （本小题满分12分）已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点,其中,,m n R ∈0m <.（Ⅰ）求m 与n 的关系表达式; （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当[1,1]x ∈-时,函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m 的取值范围【思路点拨】此题考查了可导函数的导数求法，极值的定义，以及可导函数的极值点的必要条件和充分条件（导函数在极值点两侧异号），含参不等式恒成立的求解问题，考查运算能力和分析问题、解决问题的能力. 【正确解答】（Ⅰ）解：2()36(1)f x mx m x n '=-++.因为1x =是()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=. 所以3n m =+（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知22()36(1)363(1)(1)f x mx m x m m x x m ⎡⎤'=-+++=--+⎢⎥⎣⎦当0m <时,有211>+,当x 变化时()f x 与()f x '的变化如下表:由上表知,当0m <时,()f x 在(,1)m -∞+单调递减,在(1,1)m+单调递增, 在(1,)+∞单调递减（Ⅲ）解法一:由已知,得()3f x m '>,即22(1)20mx m x -++>.0m <.∴222(1)0x m x m m-++<. 即[]2122(1)0,1,1x x x m m-++<∈-. （*）设212()2(1)g x x x m m=-++,其函数图象的开口向上.由题意(*)式恒成立, ∴22(1)0120(1)010g m mg ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩ 434,310m m ⎧<-⎪⇒⇒-<⎨⎪-<⎩又0m <.∴403m -<< 即m 的取值范围是43m -<< 解法二：由已知,得()3f x m '>，即23(1)(1)3m x x m m ⎡⎤--+>⎢⎥⎣⎦，0m <. 2(1)1(1)1x x m ⎡⎤∴--+<⎢⎥⎣⎦. (*)1 1x =时. (*)式化为01<怛成立.0m ∴<. 02 1x ≠时[]1,1,210x x ∈-∴-≤-<.(*)式化为21(1)1x m x <--- ．令1t x =-,则[)2,0t ∈-,记1()g t t t=- ,则()g t 在区间[)2,0-是单调增函数min 13()(2)222g t g ∴=-=--=--．由(*)式恒成立,必有234,23m m <-⇒-<又0m <．304m ∴-<<．综上01、02知43m -<<【解后反思】要深刻理解和熟练掌握数学思想和方法，本题中运用了数形结合法、分离变量法、换元法等多种数学思想和方法.因此，在解答问题的过程中要领悟和体验这些方法，积累经验，必定能提高解决综合问题的能力. (20) （本小题满分12分）如图，已知长方体1111ABCD A BC D -，12,1AB AA ==，直线BD 与平面11AA B B所成的角为030，AE 垂直BD 于,E F 为11A B 的中点．（Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成的角；（Ⅱ）求平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）的大小；（Ⅲ）求点A 到平面BDF 的距离【思路点拨】本题考查了长方体的概念，异面直线、二面角、点到平面的距离的求法.考查逻辑推理能力，空间想象能力和运算能力，可根据长方体的特征，用定义或平面向量的知识是不难解决的. 【正确解答】解法一：（向量法）在长方体1111ABCD A BC D -中，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系如图．由已知12,1A B A A ==，可得(0,0,0),(2,0,0),A B F ．又AD ⊥平面11AA B B ，从面BD 与平面11AA B B 所成的角即为030DBA <=又2,,1,AB AE BD AE AD =⊥==从而易得1(2E D （Ⅰ）13(,,0),(2AE BF ==-cos ,AE BFAE BF AE BF∴<>=1-==即异面直线AE 、BF 所成的角为（Ⅱ）易知平面1AA B 的一个法向量(0,1,0)m =1设(,,)n x y z =是平面BDF的一个法向量．(2,3BD =- 由n BF n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 00n BF n BD ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ 020x x x y -+=⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩x z y =⎧⎪⇒= 取(1,3,1)n =∴3cos ,515m n m n m n <>===⨯ 即平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）大小为（Ⅲ）点A 到平面BDF 的距离，即AB 在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值所以距离||cos ,d AB AB n =<>||||||AB n AB ABn =||||55AB n n ===所以点A 到平面BDF 5解法二：(几何法)（Ⅰ）连结11B D ，过F 作11B D 的垂线，垂足为K ，∵1BB 与两底面ABCD ，1111A B C D 都垂直，∴11111111FB BB FK B D FB B B D BB B ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1平面BDD 又111AE BB AE BD AE B BB BD B ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1平面BDD 因此//FK AE <∴BFK <为异面直线BF 与AE 所成的角连结BK ，由FK ⊥面11BDD B 得FK BK ⊥，从而 B K F ∆为Rt ∆1在 1Rt B KF ∆和111Rt B D A ∆中，由11111A D FK B F B D =得1111111122ADAB A D B FFK B D BD====又BF ∴cosFK BFK BK <==∴异面直线BF 与AE 所成的角为4（Ⅱ）由于AD ⊥面t AA B 由A 作BF 的垂线AG ，垂足为G ，连结DG ，由三垂线定理知BG ⊥∴AGD <即为平面BDF 与平面1AA B 所成二面角的平面角且90DAG <=，在平面1AA B 中，延长BF 与1AA ；交于点S∵F 为11A B 的中点1111//,,22A F AB A F AB =， ∴1A 、F 分别为SA 、SB 的中点即122SA A A AB ===，∴Rt BAS ∆为等腰直角三角形，垂足G 点实为斜边SB 的中点F ，即F 、G 重合易得12AG AF SB ===Rt BAS ∆中，AD =∴tan AD AGD AG <=== ∴AGD <=即平面BDF 于平面1AA B 所成二面角（锐角）的大小B 1B 1为3（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面AFD是平面BDF与平面1AA B所成二面角的平面角所在的平面∴面AFD BDF⊥面在Rt ADF∆中，由Ａ作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离由AH DF=AD AF，得AD AFAHDF===所以点A到平面BDF【解后反思】立几中求角和距离的问题一般要具备作、证、算三步.本题中也可用等积变换求距离.空间向量的引入，给本题解答提供了新思路，关键是点的坐标和向量的正确，否则以全错而告终.(21) （本小题满分12分）已知数列{}n a的首项15,a=前n项和为nS，且*15()n nS S n n N+=++∈（I）证明数列{}1na+是等比数列；（II）令212()nnf x a x a x a x=+++，求函数()f x在点1x=处的导数(1)f'并比较2(1)f'与22313n n-的大小【思路点拨】本题主要考查数列的通项，等比数列的前n项和以及导数的概念，考查灵活运用数学知识分析和解决问题的能力.知道数列的递推公式求数列的通项时，可直接代入求解，由nS与na间的关系求数列的通项公式时，只要利用1(2)n n na S S n-=-≥即可.对数的大小比较的常用方法是作差法，其差值可转化为关于n的函数，再利用函数的性质作出判断.【正确解答】解：由已知*15()n nS S n n N+=++∈可得12,24n nn S S n-≥=++两式相减得()1121n n n nS S S S+--=-+即121n na a+=+从而()1121n na a++=+当1n=时21215S S=++所以21126a a a+=+又15a=所以211a=从而()21121a a+=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列（II ）由（I ）知321n n a =⨯- 因为212()n n f x a x a x a x =+++所以112()2n n f x a a x na x -'=+++从而12(1)2n f a a na '=+++=()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯-=()232222n n +⨯++⨯-()12n +++=()1(1)31262n n n n ++-⋅-+ 由上()()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()21221n n --= ()()1212121(21)n n n n -⋅--+=12(1)2(21)n n n ⎡⎤--+⎣⎦①当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-；当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<-当3n ≥时，10n ->又()011211nn n n n n n n C C C C -=+=++++≥2221n n +>+所以()()12210n n n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n - 【解后反思】1、由数列前n 项和和定义12n n S a a a =+++可知n S 和n a 之间的关系11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩要注意的是，n a ＝n S －1n S -仅局限在2n ≥的一切真整数，因此在n S 求n a 时，应分类讨论，只有当1a ＝1S 满足n a ＝n S －1n S -时通项公式才只有一个式子，否则就是分段函数.2、对一个指数或多项式大小比较时，必须采取放缩的技巧，而放缩的技巧是在需选择目标和确定放缩的程度，应恰到好处，放缩的方法还常有：去掉式子中的某些数，应用不等式的5个性质，应用正、余弦的有界性等等. (22) （本小题满分14分）已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标【思路点拨】本题考查直线的有关概念、直线与圆的性质，抛物线及三角函数的基础知识，考查运用数学知识解决综合问题的能力，第（I ）问可由圆的切线性质和抛物线的定义得到.第（II ）问必须借助解析的思想和两角和的正切转化为坐标处理. 【正确解答】解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2px =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2px =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x p p==，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pby y y y k k+=⋅=① （1）当2πθ=时，即2παβ+=时，tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212204y y y y p-=所以2124y y p = 由①知：224pbp k=所以2.b pk = 因此直线AB 的方程可表示为2y kx Pk =+，即(2)0k x P y +-=所以直线AB 恒过定点()2,0p -. （2）当2πθ≠时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p +-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2pb pkθ=-，所以22tan p b pk θ=+，此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22tan p pk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭所以直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由（1）（2）知，当2πθ=时，直线AB 恒过定点()2,0p -，当2πθ≠时直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解后反思】1、解决直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般方法是联系方程解，消元得一元二次方程，利用韦达定理处理.2、求某一角的三角函数值时注意其定义域，必须分类讨论由特殊到一般的思想，可猜测一般结论的正确性.3、研究直线y=kx+b 过一定点问题时，要建立k 、b 关系，而之个关系的建立必须借助αβθ+=为定值入手.。

05年专升本高数真题答案

共 9 页，第 1 页河南省2005年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学答案及解析一、单项选择题（每小题2分，共计60分）1.答案：C【解析】：.C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-5105012.答案：D【解析】：图形关于轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数为偶函数,应选D.y 222xx y -+=3.答案：B【解析】： ,应选B.⇒-x e x~12~12x e x -4.答案：B【解析】：,应选B.2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n nn n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→5.答案：C【解析】：,应选C.21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x 6.答案：D 【解析】：,应选D.41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h 7.答案：A【解析】：对方程两边微分得,yx exy +=)(dy dx eydx xdy yx +=++即,dy x e dx ey y x yx )()(-=-++,dy x xy dx xy y )()(-=-所以,应选A.dy dx )1()1(x y y x --=8.答案：B【解析】：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f 及='⋅='''⇒='='',应选B.⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n 9.答案：A【解析】：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有满足,应选A.]1,1[,1)(2--=x x f 10.答案：B【解析】：在内,显然有,而,故函数在内单调减)1,21(0)12)(1()(<+-='x x x f 014)(>-=''x x f )(x f )1,21(少,且曲线为凹的,应选B.)(x f y =11.答案：C共 9 页，第 2 页【解析】：，应选C.0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x 12.答案：B【解析】：dxdtt a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22,应选B.ta b t a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=13.答案：B【解析】：两边对求导 ,应选B. x 22111)(1()(xx f x e e x f xx-=⇒-⨯=14.答案：A【解析】：,应选A.⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos 15.答案：C 【解析】：;;2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x 2arcsin 1110102π==-⎰x dx x;,应选C.∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln 10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e 16.答案：A【解析】：被积函数在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A.||x x 17.答案：D 【解析】：,应选D.⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(18.答案：B【解析】：x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒=',应选B.C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(219.答案：A 【解析】：是常数,它的导数为零,而不是,即不是的原函数 ,应选A.⎰badx x f )()(x f ⎰badx x f )()(x f 20.答案：D【解析】： ,另一方面点不在平面内,所以应为平行关系,应选D.n s n s⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{)2,0,3(-21.答案：B【解析】：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.答案：C 【解析】：,应选C.dy y dx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒23.答案：B【解析】：,应选B.)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz24.答案：A【解析】：积分区域,应选A.}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D共 9 页，第 3 页25.答案：C【解析】：积分区域在极坐标下可表示为：，从而}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=⎰⎰=σDd y x f ),(，应选C.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d 26.答案：B【解析】：：从0变到1 , L ,2⎩⎨⎧==x y xx x ,应选B.1422210410310332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L27.答案：B【解析】：发散, 和绝对收敛，是收敛的，但是∑∞=+-11)1(n nn n ∑∞=-121)1(n n n ∑∞=+-1)1()1(n n n n ∑∞=-1321)1(n nn ∑∞=1321n n的级数发散的，从而级数条件收敛，应选B.32=p ∑∞=-1321)1(n n n28. 答案：C 【解析】：正项级数与收敛与收敛，∑∞=1n nu∑∞=1n nv⇒∑∞=12n nu∑∞=12n nv而，所以级数收敛，应选C.)(2)(222n n n n v u v u +≤+21)(n n nv u+∑∞=29. 答案：D【解析】：注意对所给的方程两边求导进行验证，可得通解应为，应选D.222C y xy x =+-30.答案：A【解析】：微分方程的特征方程为，有两个复特征根，所以方程的通解为0βλ22=+i βλ±=，应选A.t C t C x βsin βcos 21+=二、填空题（每小题2分，共30分）1.答案：116)2(2+-=-x x x f 【解析】：⇒+-=⇒++-+=+32)(3)1(2)1()1(22x x x f x x x f .116)2(2+-=-x x x f 2.答案：1=a 【解析】：因.10)6(lim 0)2(lim 222=⇒=-+⇒=-→→a ax x x x x 3.答案：02π12=+--y x 【解析】：，则切线方程为，2111121=+='===x x x y k )1(214π-=-x y 即 .02π12=+--y x 02π12=+--y x 4.答案：dxx x e x dy x x ]1ln 1[21+-=共 9 页，第 4 页【解析】： .dx x x e x x x x d edy ey x x x xxx xx]1ln 1[)ln (21ln ln +-=+=⇒=++5.答案：或),21(∞+),21[∞+【解析】：或.⇒>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>-⇒-='21001414x x xx x x y ),21(∞+),21[∞+6.答案：),1(e 【解析】：,得拐点为.104)1(21=⇒=-=''⇒⨯='x xx x e y xe y x x),1(e 7.答案：271【解析】：等式两边求导有,取有.x dt t f x ⎰=3)(13)(23=x x f 3=x 271)27(=f 8.答案：45【解析】：⎰⎰⎰'-'='=''10101012)2(41)2(21)2(21)2(x d x f x f x x f xd dx x f x .45)0(41)2(41)2(21)2(41)2(2110=+-'=-'=f f f x f f 9.答案：0【解析】：.0)0(00=⇒=⇒=='-f x xey x10.答案：Cx x ++|cos |ln 【解析】：.⎰⎰++=++=+-C x x xx x x d dx x x x |cos |ln cos )cos (cos sin 111. 答案：6【解析】： .6||2210101=⨯=⇒+-=-=⨯b a S k j i k j i b a12.答案：)()(z x y z y z ++【解析】：令 ,则y z z xy z z x F ln ln ln +-=-=.221,1,1zz x z z x F y F z F z y x +-=--='='=' ,所以 .)(;2z x y z F F y z z x z F F x z z y z x +=''-=∂∂+=''-=∂∂)()(z x y z y z y z x z ++=∂∂+∂∂13.答案：821π-共 9 页，第 5 页【解析】：积分区域在极坐标系下表示为,则}10,4πθ0|)θ,{(≤≤≤≤=r r D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=104π021024π02θ)1θ(sec θcos θsin θ(rdr d rdr d dxdy x y D.8π21)θθ(tan 21θ)1θ(sec 214π024π02-=-=-=⎰d14.答案：)11(,21)1(2(21)()(0100<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=∑∑∑∞=+∞=∞=x x x x x f n n n nn n n n【解析】：,21121112111)2)(1(323)(2x x x x x x xx x f -++=-++=-+=-+=所以.)11(,21)1()2(21)()(0100<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=∑∑∑∞=+∞=∞=x x x x x f n n n nn n n n 15.答案：xeB Ax x 22)(+【解析】：2是特征方程的二重根,且是一次多项式,特解应设为 .04λ4λ2=+-)12(+x xe B Ax x 22)(+三、计算题（每小题5分，共40分）1．.xx x x x cos sin 1lim2-+→【解析】： x x x x x x x xx x x x x cos sin 1)cos sin 1(limcos sin 1lim 2020-+++=-+→→ )cos sin 1(lim cos sin 1lim20x x x x x x x x x ++⨯-+=→→xx x xx x x x x x cos sin 22lim2cos sin 1lim 20020+=-+=→→.34314sin cos 31lim4000=⨯=-=→x x x x 2.已知,求.2arctan )(,2523x x f x x y ='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0=x dx dy 【解析】：令,则 ,u x x =+-2523)(u f y =,22)25(162523arctan 2523)(+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'=⨯=x x x x x u f dx du du dy dx dy 所以.π4π42161arctan 20=⨯=⨯==x dx dy共 9 页，第 6 页3.求不定积分.⎰+dx x x 231【解析】：⎰⎰⎰+=+=+222223111x d x dx x x x dx x x )1(11)(1122222222x d x x x x d x x x ++-+=+-+=⎰⎰.C x x x ++-+=23222)1(3214.设 ,求.⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0,210),1ln()(x xx x x f ⎰-20)1(dx x f 【解析】：令 ,则t x =-1⎰⎰-=-112)()1(dtt f dx x f ⎰⎰⎰⎰+++=+=--10011001)1ln(21)()(dt t dt t dt t f dt t f ⎰+-+++=-1010011)1ln()2ln(dttt t t t ⎰+--+=10)111(2ln 2ln dtt .12ln 3)1ln(2ln 21010-=++-=t t 5.设，其中可微，求.),sin (22y x y e f z x +=),(v u f yz x z ∂∂∂∂,【解析】：令,则,复合关系结构如图05-1所示,v y x u y e x=+=22,sin ),(v u f z =xv v z x u u z x z ∂∂⨯∂∂+∂∂⨯∂∂=∂∂ ,),(2),(sin v u f x v u f y e v u x'+'=yv v z y u u z y z ∂∂⨯∂∂+∂∂⨯∂∂=∂∂ .),(2),(cos v u f y v u f y e v u x'+'=6．求，其中是由所围成的闭区域.⎰⎰D dxdy yx 22D 2,1===x x y xy 及【解析】：积分区域如图05-2所示，曲线在第一象限内的交点为（1，1），积分区域可表示为：x y xy ==,1.x y xx ≤≤≤≤1,21 则⎰⎰⎰⎰⎰-==21121222122)1(dx y x dy y x dx dxdy y x x xx x D ⎰⎰-=⎦⎤⎢⎣⎡-=213212)(1dxx x dx x x x zvuxxyy图05-1xx 05-2共 9 页，第 7 页.49242124=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x 7．求幂级数的收敛域（考虑区间端点）.12012)1(+∞=∑+-n n n x n 【解析】：这是缺项的标准的幂级数，因为，221232113212lim )1(1232)1(lim lim ρx n n x x n n x u u n n n n n n nn n =++=-+⋅+-==∞→+++∞→+∞→当，即时，幂级数绝对收敛；1ρ<11<<-x 当，即或时，幂级数发散；1ρ>1>x 1-<x 当，即时，1ρ=1±=x 若时，幂级数化为是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，是收敛的，若时，幂级数1=x ∑∞=+-012)1(n n n 1-=x 化为也是交错级数，也满足来布尼兹定理的条件，是收敛的.∑∞=++-0112)1(n n n 故幂级数的收敛域为[-1,1].8．求微分方程通解.0cos 2)1(2=-+'+x xy y x 【解析】：微分方程可化为，这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次线性微分方程1cos 1222+=++'x xy x x y 的通解为.0122=++'y x x y 12+=x C y 设非齐次线性微分方程的通解为，则，代入方程得,所以1)(2+=x x C y 222)1()(21)(+-+'='x x xC x x C y x x C cos )(='.C x x C +=sin )(故原微分方程的通解为(C 为任意常数).1sin 2++=x Cx y 四、应用题（每小题7分，共计14分）1. 一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?【解析】：设每套公寓租金为元时,所获收入为元,x y 则 ,)2000(),200](100200050[>---=x x x y 整理得 ),14000007200(10012-+-=x x y 均有意义,)72002(1001+-='x y 令得唯一可能的极值点,而此时,所以是使达到极大值的点,即为最0='y 3600=x 0501<-=''y 3600=x y 大值的点.共 9 页，第 8 页最大收入为(元).115600340034)2003600](1002000360050[=⨯=---=y 故租金定为每套3600元时,获得的收入最大,最大收入为115600元.2.平面图形由抛物线与该曲线在点处法线所围成,试求:x y 22=)1,21( (1)该平面图形的面积;(2)该平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积.x 【解析】：平面图形如图05-3所示,切点处的切线斜率为,)1,21(A 21='=x y k 由得,故点处的切线斜率x y 22=yy 1='A ,1121='='===y x y y k 从而点处的法线斜率为-1,A 法线方程为.023=-+y x 联立方程组得另一交点⎪⎩⎪⎨⎧=-+=02322y x xy )3,29(-B (1) 把该平面图形看作Y 型区域,其面积为;316)6223(2)23(1332132=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--⎰y y y dy y y S (2) 根据抛物线的对称性知,该平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形绕轴旋转所成旋x OBC x 转体的体积,有故 ⎰⎰+--=--=29232923322902229)312349(ππ)23(π2πx x x xdx x xdx V x .π445]9481[π=-=五、证明题（6分）试证：当时，有.0>x xx x x 11ln 11<+<+【证明】：构造函数，它在内连续，x x f ln )(=)0(∞+及当时，函数在区间上连续，且. 0>x ]1,[x x +xx f 1)(='故在上满足Lagrange 中值定理,存在,)(x f ]1,[x x +)1,(ξ+∈x x 使得，.)ξ()()1(f x f x f '=-+)1ξ(+<<x x 而,故有,x f x 1ξ1)ξ(11<='<+xx x x 1ln )1ln(11<-+<+x图05-3023=-y共 9 页，第 9 页即时,成立.0>x xx x x 11ln 11<+<+。

05年专升本数学试题

2005年普通专升本选拔考试高等数学试题一. 单项选择题(每小题4分，共24分)1 当0x →时，下列各无穷小量与x 相比是高阶无穷小量的是_______。

.A22x x+.B 2s i n x.C sin x x+.D 2sin x x +2 下列极限中正确的是_____________。

.A sin lim 1x xx→∞= .B 01l i m s i n 1x x x →= .C 0sin 2lim 2x xx→=.D 1lim 2xx →=∞3 已知函数()f x 在点0x 处可导，且0()3f x '=，则000(5)()limh f x h f x h→+-等于_______。

.A 6 .B 0 .C 15 .D 104 如果()0,x a b ∈，()0f x '=，()0f x ''<，则0x 一定是()f x 的_______。

.A 极小值点 .B 极大值点 .C 最小值点 .D 最大值点5 微分方程0dy ydx x +=的通解为_______。

.A 22()x y c c R +=∈.B 22()x y c c R -=∈.C 222()x y c c R +=∈.D 222()x y c c R -=∈6 三阶行列式231502201298523-等于_______。

.A 82 .B 70- .C 70 .D 63二. 判断题(每小题4分，共24分)1 设,A B 为n 阶矩阵，且0AB =，则必有0A =或0B =2 若函数()y f x =在区间(),a b 内单调递增，则对于(),a b 内的任意一点x 有()0f x '>3 212101xxe dx x -=+⎰ 4 若极限0lim ()x x f x →和0lim ()x x g x →都不存在，则[]0lim ()()x x f x g x →+也不存在。