2010年江苏专转本高等数学真题(附答案)

2010年江苏专转本高等数学真题(附答案)
2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
1.设当0x →时，函数()sin f x x x =-与()n
g x ax =是等价无穷
小，则常数,a n 的值为 ( )
A. 1,36a n ==
B. 1,33a n ==
C. 1
,412a n == D. 1,46
a n == 2.曲线22
3456
x x y x x -+=-+的渐近线共有
( )
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条 3.设函数2
2
()cos t x
x e tdt
Φ=⎰，则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于
( ) A.
2
2
2cos x xe x B.
2
2
2cos x xe x - C. 2cos x
xe
x
-
D. 2
2
cos x e x - 4.
下列
级
数
收
敛
的
是
( ) A. 11
n n n ∞
=+∑ B.
2
121
n n n n
∞
=++∑ C.
1
n n n ∞
=D.
2
12
n n n ∞
=∑
5.二次积分1
1
1
(,)y dy f x y dx
+⎰⎰交换积分次序后得
( ) A. 110
1
(,)x dx f x y dy
+⎰⎰
B.
2
1
1
(,)x dx f x y dy
-⎰
⎰
C. 2
1
1
1
(,)x dx f x y dy
-⎰⎰
D.
2
1
1
1
(,)x dx f x y dy
-⎰
⎰
6.设3()3f x x x
=-，则在区间
(0,1)
内
( )
A. 函数()f x 单调增加且其图形是凹的
B. 函数()f x 单调增加且其图形是凸的
C. 函数()f x 单调减少且其图形是凹的
D. 函数()f x 单调减少且其图形是凸的
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
7. 1
lim()1
x
x x x →∞
+=-
8. 若(0)1f '=，则0
()()lim x f x f x x →--=
9. 定积分
31
2111x dx
x -++⎰的值为
10. 设(1,2,3),(2,5,)a b k ==，若a 与b 垂直，则常数k = 11. 设函数24z x y
=+，则10
x y dz
===
12. 幂级数0
(1)n n
n x n ∞
=-∑的收敛域为
三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
13、求极限2
11
lim()tan
x x x x
→- 14、设函数()y y x =由方程2x y
y e x
++=所确定，求
22,dy d y
dx dx
15、求不定积分arctan x xdx ⎰ 16、计算定积分40
21
dx x +⎰
17、求通过点(1,1,1)，且与直线23253x t y t z t =+⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩
垂直，又与
平面250x z --=平行的直线的方程。

18、设2
(,)
x z y f xy e =，其中函数f 具有二阶连续偏导
数，求
2z x y
∂∂∂
19、计算二重积分D
xdxdy ⎰⎰，其中D 是由曲线2
1x y =
-，
直线y x =及x 轴所围成的闭区域。

20、已知函数x
y e =和2x
y e -=是二阶常系数齐次线性
微分方程"
'0
y
py qy ++=的两个解，试确定常数q p ,的
值，并求微分方程"
'
x
y py qy e ++=的通解。

四、证明题（每小题9分，共18分） 21、证明：当1x >时，1
211
22
x e x ->
+
22、设
()
,0,()1,
0,x x f x x
x ϕ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩其中函数()x ϕ在0x =处具有二
阶连续导数，且
'(0)0,(0)1
ϕϕ==，证明：函数()f x 在0x =处连续且可导。

五、综合题（每小题10分，共20分） 23、设由抛物线2
(0)y x x =≥，直线2
(01)y a a =<<与y 轴
所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1
()V a ，由抛物线2
(0)y x x =≥，直线
2(01)
y a a =<<与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋
转一周所形成的旋转体的体积记为2
()V a ，另
12()()()
V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值。

24、设函数()f x 满足方程'
()()2x
f x f x e +=，且(0)2f =，记由曲线
'()()
f x y f x =
与直线1,(0)y x t t ==>及y 轴所围平面图
形的面积为()A t ，试求lim ()t A t →+∞
2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、A
2、C
3、B
4、D
5、D
6、C
7、2
e 8、2
9、2
π 10、4- 11、dy dx 2+ 12、]1,1(-
13、原式=313tan lim 3sec 1lim tan lim tan tan lim 2
202203020-=-=-=-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x x x .
14、
3
22)1(9;122)1(y x y x y x y x y
x e e dx y d e e dx dy dx dy e dx dy ++++++-=+-==++，
15、原式.arctan 2
1
21arctan 2
12
C x x x x
++-
=
16、变量替换：令
t
x =+12，
2
12-=
t x ，tdt dx =，
原式3
2813)2561()252(321
3312
312=+=+=⋅+-=⎰⎰t t dt t dt t t t
17、)
3,2,1(1
=→n
，)
1,0,2(2
-=→n
，)
4,7,2(1
0232
12
1
--=-=⨯=→→→
k
j i n
n n ，
所求直线方程为4
1
7121--=-=--z y x 18、
)('2'12x e f y f y x
z
+=∂∂；
'
'12
2''113'2'12223f e xy f xy yf e f y y
x z x x ++=∂∂∂＋
19、6
2020
12=
=⎰
⎰
⎰⎰-y y
D
xdx dy dxdy x
20、特征方程的两个根为2
,121
-==r r
，特征方程为
22=-+r r ，从而2,1-==q p ；
1=ω是特征方程的单根，1)(=x p ，可设Ax x Q =)(，
即设特解为x
Axe Y =，
x x Axe Ae Y +='，x
x Axe Ae Y +=2'
'，
2
,1-==q p ，代入方程
"'x
y py qy e ++=得
x
x e e A Ax A Ax A =-+++)22(，
3
1,13=
=A A ，通解为
x
e C e C y x x 3
1
221++=-
21、构造函数
2
121)(21--
=-x e x f x ，
x
e x
f x -=-1')(，0
1)(1''>-=-x e x f ，
)
('x f 在),1(∞+上单调递增，
)1('=f ，
)('>x f ，)(x f 在),1(∞+上单调递增，0)1(=f ，0)(>x f ，即1211
22
x e x ->
+。

22、)0(1)0(0
)0()(lim )(lim )(lim '
f x x x x x f x x x ===--==→→→ϕϕϕϕ，连续性得证；
)
0()(lim 2121
)(lim
)(lim
1)
(lim
)0()(lim )0(''0'0
2
00'
--=-=-=-=--=→→→→→x x x
x x
x
x x
x x x f x f f x x x x x ϕϕϕϕϕ)0(2
1
)(lim 21''''0ϕϕ==
→x x ，可导性得证。

23、5
222215
4
])()[()(a dx x a a V a
ππ=-=⎰
， π
π)5
4
51(])()[()(541
22222a a dx a x a V a +-=-=⎰，
π
)5
8
51()()()(5421a a a V a V a V +-=+=，
π
)48()(34'a a a V -=，令0)('
=a V 得21=a ，最小值为π16
3)21(=V 24、x x x x dx
x
dx
Ce e C e e C dx e e e x f ---+=+=+⎰
⎰=⎰)()2()(2，
1
,2)0(==C f ，x
x
e e
x f -+=)(，x
x e e x f
--=)('
， 1
2
112111)()(22222'+-
=+-+=+-=+-==--x x x x x x x x x e e e e e e e e e x f x f y ，
⎰⎰⎰⎰+-=+-+=+=+--=t t x x
x x x
t x t
x x
d e e x d e e e dx e dx e t A 0022222020221
121112))121(1()(
2ln 1ln 2ln )1ln(ln 2ln )1ln(2)1(11222222022++=++-=++-=++-=⎰t t t
t t t
x x e
e e e e t e d e t 从而2ln )2ln 1(ln lim )(lim 22=++=+∞→+∞→t t
t t e
e t A。