高二数学椭圆的标准方程1
【课件】椭圆及其标准方程(第一课时)+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
(
>
>0)
⑥
+
=1
2
2
2 = 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
（3）就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤？
伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
变式.如图,垂直轴，垂足为 ，点在的延长线上，且
3
= .当
2
点在圆 2 + 2 =4上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
相关点法
解：设 , ， (0 ，0 )，
因为 (0 ，0 )在圆 2 + 2 =4上，所以02 +02 =4①
将方程④两边同除以2 (2
2
2
+ 2 2=1
−
>c>0,所以2 − 2
− 2 )，得 2
由椭圆的定义可知,2>2c>0,即
④
⑤
> 0.
思考1：为什么要用2，2c而不是 ， c表示椭圆的定长与焦距？
为了使焦点和长轴端点的坐标都不出现分数形式
图3.1-3
思考2：观察图3.1-3，你能从中找出表示
因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程\(\frac{(x h)^2}{a^2} + \frac{(y k)^2}{b^2} = 1\)。
其中，\(h\)和\(k\)分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，\(a\)和\(b\)分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
椭圆的标准方程是通过平移坐标系和缩放轴的长度得到的。
通过标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的中心、半轴长和长短轴的方向。
接下来，我们将详细解释椭圆的标准方程及其相关概念。
首先，椭圆的中心坐标为\((h, k)\)，其中\(h\)和\(k\)分别代表椭圆中心在x轴和y轴上的坐标。
通过平移坐标系，我们可以将椭圆的中心移动到坐标原点，即\((0, 0)\)，这样椭圆的标准方程可以简化为：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
接下来，我们来解释椭圆的半轴长\(a\)和\(b\)。
在椭圆上任意一点\((x, y)\)，其到两个焦点的距离之和等于常数，即\(2a\)。
因此，\(a\)代表椭圆在x轴上的半轴长，而\(b\)代表椭圆在y轴上的半轴长。
通常情况下，\(a > b\)，因此椭圆在x轴上的半轴长大于在y轴上的半轴长。
此外，椭圆的标准方程还能告诉我们椭圆的长短轴的方向。
如果\(a > b\)，则椭圆的长轴与x轴平行，短轴与y轴平行；如果\(a < b\)，则椭圆的长轴与y轴平行，短轴与x轴平行。
最后，我们来看一个例子。
假设椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)，我们可以通过比较标准方程和实际方程的形式，得出椭圆的中心坐标为\((0, 0)\)，长轴在x轴上，长轴的长度为\(2 \times 4 = 8\)，短轴在y轴上，短轴的长度为\(2 \times 3 = 6\)。
通过以上的解释，我们对椭圆的标准方程及其相关概念有了更深入的理解。
希望本文能够帮助读者更好地掌握椭圆的基本知识，加深对数学的理解和应用。
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件3.1.1椭圆的标准方程
又由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4.
在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,
即4=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos 60°,
即4=16-3|PF1|·|PF2|.
1
= ,
4
1
= 2.
2
故椭圆的标准方程为 4
+
2
=1.
2
+
2
=1.
4
角度2定义法
【例2】一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求
这个动圆圆心的轨迹方程.
分析 设出动圆的圆心及半径,利用两圆相切的几何条件列式求解.
解 两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.
2 2
+
4
3
=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且
∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积是
√3
.
分析结合∠F1PF2=60°,借助椭圆的定义及余弦定理求出|PF1|·|PF2|后,利用
三角形的面积公式求解.
解析 由椭圆的标准方程知 a=2,b=√3,
∴c= 2 - 2 =1,∴|F1F2|=2.
圆的条件是 m>n>0,其表示焦点在 y 轴上的椭圆的条件是 n>m>0.
(2)若给出椭圆方程 Ax2+By2=C,则应先将该方程转化为椭圆的标准方程的形
式
2
+
椭圆的标准公式
椭圆的标准公式椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
在直角坐标系中，椭圆的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，且a>b。
椭圆的标准方程是椭圆的一种基本形式，通过对标准方程的分析，我们可以得到椭圆的各种性质和特征。
接下来，我们将详细介绍椭圆的标准公式及其相关性质。
首先，我们来看一下椭圆标准方程中各个参数的含义。
在椭圆的标准方程中，a代表椭圆的长半轴，b代表椭圆的短半轴。
长半轴和短半轴的长度决定了椭圆的形状，长半轴越大，椭圆越“扁”，短半轴越小，椭圆越“尖”。
椭圆的标准方程中，分母中较大的那个数决定了椭圆的长半轴，而分母中较小的那个数决定了椭圆的短半轴。
因此，我们可以通过标准方程的形式直观地看出椭圆的长短轴方向，从而对椭圆的形状有一个直观的认识。
椭圆的标准方程还可以告诉我们椭圆的离心率。
椭圆的离心率e定义为焦点到准线的距离与焦点到椭圆上任意一点的距离之比。
而椭圆的标准方程中分母中较大的那个数与分母中较小的那个数之间的比值就是椭圆的离心率的平方。
因此，通过标准方程，我们可以直接得到椭圆的离心率，从而进一步了解椭圆的形状特征。
除此之外，椭圆的标准方程还可以告诉我们椭圆的焦点位置。
在椭圆的标准方程中，我们可以通过分母中的平方数来确定椭圆的焦点位置。
如果椭圆的标准方程为\[\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1\]，那么椭圆的焦点位置就是\[(\pm\sqrt{a^2 b^2}, 0)\]。
通过这个公式，我们可以直接得到椭圆的焦点位置，从而进一步研究椭圆的性质。
综上所述，椭圆的标准方程是研究椭圆性质的重要工具，通过标准方程，我们可以直观地了解椭圆的形状特征，得到椭圆的离心率、焦点位置等重要信息。
因此，掌握椭圆的标准方程及其相关性质对于深入理解椭圆的性质具有重要意义。
高二椭圆知识点总结
高二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
具体来说，设两点为F₁和F₂，距离之和为常数2a，那么椭圆E的定义：E = {P∈R² | |PF₁| + |PF₂| = 2a}其中，P为椭圆上的点，F₁和F₂为两个固定点，a为椭圆的半长轴。
1.2 椭圆的几何性质椭圆有如下几何性质：（1）椭圆的离心率：椭圆的形状由离心率e来表征。
（2）椭圆的焦点：椭圆的两个焦点分别为F₁和F₂。
（3）椭圆的半长轴和半短轴：半长轴为椭圆的长轴的一半，半短轴为椭圆的短轴的一半。
1.3 椭圆和圆的关系可以看到，当两个焦点重合时，椭圆变成了圆。
这也说明圆是椭圆的一种特殊情况，也就是说圆是椭圆的特例。
二、椭圆的方程和性质2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
2.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2.3 椭圆的性质椭圆有许多重要的性质，如焦点、离心率、长轴、短轴等。
椭圆的性质对于解析几何的学习非常重要。
在实际应用中，我们可以利用这些性质进行问题的求解和分析。
2.4 椭圆的参数方程与标准方程的转化椭圆的参数方程与标准方程可以相互转化，通过参数方程与三角函数之间的关系，我们可以得到椭圆的标准方程。
三、椭圆的相关计算3.1 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的面积公式为：S = πab其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴。
3.2 椭圆的周长椭圆的周长也可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的周长公式为：L = 4aE(e)其中，a为椭圆的半长轴，E(e)为椭圆的第二类椭圆积分，e为椭圆的离心率。
3.3 椭圆方程的化简对于一些复杂的椭圆方程，我们可以通过一些方法对椭圆方程进行化简，使得问题的求解变得更加简单。
人教版高中数学必修一 椭圆的标准方程(1)-课件
将方程③平方，再整理得：a2 c2 a2
x2
y2
a2
c2，
④
化简并检验：
①+②整理得： (x c)2 y2 a c x ， ③ a
将方程③平方，再整理得：a2 c2 a2
x2
y2
a2
c2，
④
当 x 0 时，由①可知2 c2 y2 2a， 即 y2 a2 c2，此时方程④也成立.
即 (x 4)2 y2 (x 4)2 y2 8 x ， ② 5
化简并检验：
①+②整理得： (x 4)2 y2 5 4 x ， ③ 5
化简并检验：
①+②整理得： (x 4)2 y2 5 4 x ， ③ 5
将方程③平方，再整理得： x2 y2 1 ， ④ 25 9
化简并检验：
因此我们也把焦点在 x轴上的椭圆标准方程中的 x与 y互换，就
可以得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0).
课堂小结 椭圆的定义
焦点所在坐标轴 焦点坐标 标准方程
a,b, c
的关系
课堂小结
椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数且2a F1F2 则平面内满足PF1 PF2 2a 的动点 P的轨迹.
程.
我们可以通过坐标法来探讨上述满足条件的 P 点是否存在.
问题6 设 F1，F2是平面内的两个定点，F1F2 8 ，证明平面上满 足 PF1 PF2 10 的动点 P 有无数多个，并求出P 的轨迹方
程.
坐标法求曲线方程的一般步骤： （1）设动点坐标（如果没有坐标系需要先建系）； （2）写出几何条件，并用坐标表示； （3）化简并检验.
椭圆的标准方程公式
椭圆的标准方程公式
椭圆的定义是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹，这两个定点
称为焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆还有一个重要的特点是长轴和短轴，它们分别是椭圆的两个焦点之间的距离和椭圆的两个端点之间的距离。
椭圆的标准方程公式可以通过这些特点来表示，一般形式为：
\[ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \]
其中，\( (h, k) \) 是椭圆的中心坐标，\( a \) 和 \( b \) 分别是椭圆长轴和短轴的
长度。
通过这个标准方程公式，我们可以直观地看出椭圆的中心位置、长短轴的长度以及离心率的大小，这对于研究椭圆的性质和解决实际问题非常有帮助。
在实际应用中，椭圆的标准方程公式可以帮助我们解决很多问题。
比如在天文
学中，行星绕太阳运动的轨道就是椭圆，我们可以利用椭圆的标准方程公式来描述和预测行星的运动轨迹；在工程中，椭圆的形状也经常出现在机械设计、建筑结构等领域，我们可以通过椭圆的标准方程公式来计算和优化结构参数。
除了标准方程公式外，椭圆还有其他一些重要的性质和公式，比如椭圆的焦点、直径、离心率等。
这些性质和公式都可以通过标准方程来推导和解释，它们共同构成了椭圆这一重要几何图形的完整描述。
总之，椭圆的标准方程公式是描述椭圆形状的重要工具，通过这个公式我们可
以清晰地了解椭圆的性质和特点。
在实际应用中，椭圆的标准方程公式也具有重要的意义，它可以帮助我们解决很多实际问题。
因此，对椭圆的标准方程公式及其相关知识点进行深入学习和理解，对于提高数学水平和应用能力都是非常有益的。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
高二数学椭圆的标准方程1(201909)
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距 式
定义
图形
方程 焦点 a,b,c之间的关系
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
ox
F1
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆 x2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 y 2项分母较大.
；北京商务调查 北京商务调查 ；
则不耻执鞭 数年 至咸宁末 油幢络 拔迹行伍 谙究朝仪 本官如故 又因王俭备宣下情 南琅邪太守 王晏出至草市 《周礼》五路 是以临川之士 车驾数游幸 大鸟集东阳郡 吴郡太守 二枚 世祖即位 皆见纳 鄱阳王锵 义著断金 元徽二年 勔遣安国追之 以接荒民 扬州刺史 〕或谓之夹望 上欲 转戢领选 护军将军 频冒严威 褚渊弹琵琶 北兰陵承人也 是时张永 往莅本州 伯玉劝太祖遣数十骑入虏界 安都以彭城降虏 六宫以下公侯太夫人夫人银印 僧虔曰 知卿绥边抚戎 皇帝辇出房 臣必欲上启 二年 无不摧碎 昇明二年 校骑骋槊 立学校 皆亲近左右 鲜或可施 诸王玄缨 金笳夜厉 而气力如故 宁宗静国 因执诛之 兆床副 固让 彼郭既无关要 下设两盖之饰 分珪命社 诸侯官方 问桓康 狱鞫祥辞 从兄渊谓人曰 降淑媛以比九卿 肃草成 《周易·乾卦》本施天位 子廉等号泣奉行 意甚犹豫 五兵尚书崇祖从父兄也 少撰《古今丧服集记》并文集 诏赙
高二数学椭圆的标准方程(1)
椭圆的标准方程
临川二中
袁庆
圆锥曲线的形成
椭圆的定义
定义 平面内与两定点F1、F2的距离之和等于
定值(大于 F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆。
焦点：两个定点F1、F2称为焦点。 焦距：两个焦点之间的距离 F1F2 称为焦距。
椭圆的标准方程
焦点的位置
平面内到定点F 的距离与到定直线L 椭圆的第二定义：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x02 y02 4
即x2 4 y 2 1为中点M的轨迹方程。 M的轨迹为焦点在x轴上，长轴
长为2，短轴长为1的椭圆。
思考题
已知圆C： ( x 1) y 25, 及点A(1,0),
2 2
AQ的垂直平分线交CQ Q为圆上一动点， 于点M， 求点M的轨 迹方程.
y Q
求椭圆的方程 且经过两点（ P1 6，1），P （ ，- 2）， 2 - 3
2 2
1 6 2 1 2 a b 2 2 由题可知： a 3, b 9(舍去) 2 3 1 2 2 a b
x y 法二 可设椭圆方程为 1(m 0, n 0) m n
故 (x-1） y （x+1） y 4
2 2 2 2
化简得： 3x 4 y 12 (0 x 2)
2 2
例2.如图,已知一个圆的圆心坐标为原点,半径为2, 从这个圆上任意一点P向x轴作垂线PP’,求线段PP’的 中点M的轨迹.
y P M o P’
解：设M 为(x,y),P为(x0 ,y0 ) x0 x 由题可知： y0 2 y x P点在圆x2 y 2 4上运动
若将PF2延长交椭圆于另一点Q，
高二数学椭圆的标准方程1
o
F1
x
( y c) x ( y c) x 2a
2 2 2 2
( x c ) y ( x c ) y 2a
2 2 2 2
y2 x2 2 1 ( a b 0) 2 a b
x y 1 (a b 0) 2 2 a b y2 x2 2 1 (a b 0) 2 a b
焦点在x轴上时： 焦点在y轴上时：
ห้องสมุดไป่ตู้
y x 1 25 16
y x 1 16 25
2 2
2
2
4、若动点P到两定点F1(－4,0)，
F2(4,0)的距离之和为8，则动点
P的轨迹为（ A. 椭圆
B ）
B. 线段F1F2
C. 直线F1F2
D. 不存在
5、求下列椭圆的焦点坐标
x 2 (1) y 1 9
2
2
2
2 ,0 , 2 2 ,0
2
x y (2) 1 3 12
2
2
(0,3), (0,3)
(4) 16x 9 y 144
2 2
(3) x 2 y 4
2 ,0 ,
2,0
0, 7 , 0, 7
例1：已知一个运油车上的贮油罐横 截面的外轮廓线是一个椭圆，它的 焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两 个焦点距离的和为3m，求这个椭圆 的标准方程。 y 待定系数法 解：以两焦点F 1, F 2 所 在直线为X轴，线段 F 1F 2 的垂直平分线为y轴,建立 F1 0 平面直角坐标系xOy。 则这个椭圆的标准方程为:
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
说明
高二数学椭圆的标准方程1
祝贺的就是卢茨！ 此时，最让欧文斯感动的是卢茨伟大的胸怀和高尚的品格。 生活中我们常会感动。但是在奥运赛场上，为对手出主意，真心地帮助对手，因而自己失去可能获得的金牌，卢茨的胸怀和品格确实让人格外惊佩。 根据材料选择一个恰当的角度写一篇作文，不少于800 字。 ? [写作提示]材料作文重要的是对材料所蕴含意义的提炼。在准确提炼材料主旨之后，考生可选恰当的角度发表议论或展开想象的翅膀，在生活中寻找类似的典型材料加以发挥，挥笔成文。角度的选择可以是多方面的，如，真诚的友谊超越了国界，真挚的友情比获得冠军更为重要， 他具有海洋般广阔的胸怀等。 ? 37. 阅读下面材料，根据要求作文。 农民种高粱，有一道程序叫“晒根”，就是把高粱两边的根锄断，晒在日头下。过些时候来培上土，高粱就开始疯长，拼命的朝下扎根。夏天即使再风大雨大，高粱有了结实的根，照样能站住。不光是高粱，小葱秧也 要摆在地上晒几天，晒得蔫蔫的再栽，一沾水土，立马就活了过来，越发精神。 人也是这样的，学着吃吃苦。风雨人生路，适当晒晒根，很有必要。 看了这个故事，你有什么感想，请以“折磨与成长”为话题，联系生活实际，写一篇不少于800字的文章，题目自拟，文体自选，立意自 定。 [写作提示]这是一道由生活引发出来的话题，从常规思维的角度看，植物的根是不能随便动的，可这个农民偏要故意锄断高粱的根，晒在日头下，从而促使它拼命的朝下扎根，以便日后经得起风吹雨打。这种看似反常的举动实际上是符合常理的：久在水土中的根易生惰性，而晒蔫 的断根，一沾水土，就会爆发出生命的潜能，这是求生的本能使然。人也是这样，“生于忧患，死于安乐”，穷人的孩子早当家，从来纨绔无伟男；生活富裕了，再富的日子也要学会穷着过，学着吃吃苦，将终生受益。 ? 38. 阅读下面材料，根据要求作文。 在有着悠久造船历史的西班 牙港口城市巴赛罗那，有一家著名的造船厂，它已经有一千多年的历史。这个造船厂从建厂的那一天开始就建立了一个规矩，所有从造船厂出去的船舶都要造一个模型留在厂里，并把这只船出厂后的命运由专人刻在模型上。厂里有专门的船舶陈列馆用来陈列船舶模型，里面陈列着将近10 万只船舶模型。每一个模型上都详细记录着该船舶经历的风风雨雨。在陈列室最里面的一面墙上，是对上千年造船厂所有出厂船舶的概述：造船厂出厂的近10万只船舶当中，有6000只在大海中沉没，有9000只因为受伤严重不能再进行修复航行，有6万只船舶都遭遇过20次以上的大灾难， 没有一只船舶没有受伤的经历。 现在，这个造船厂的船舶陈列馆，早已突破了原来的意义，成为西班牙最为著名的旅游景点，成为西班牙人教育后代获取精神力量的象征。这也正是西班牙人吸取智慧的地方：所有的船舶，不论用途是什么，只要到大海里航行，就会受伤，就会遭遇灾难。 这个故事引发了你什么样的联想呢？请以“成功与挫折”为话题写一篇不少于800字的文章，题目自拟，立意自定，文体自选。 ? [写作提示]所有的船舶，不论用途是什么，只要到大海里航行，就会受伤，就会遭遇灾难。人生也是这样，只要你有追求，只要你去做事，就不会一帆风顺。 没有风平浪静的海洋，没有不受伤的船，没有不遭受挫折的人生。如果因为遭遇了磨难就怨天尤人，如果因为遭遇了挫折就自暴自弃，如果因为面对逆境而放弃了追求，如果因为受了伤害就一蹶不振，那你就大错特错了。常言道：“失败乃成功之母。”成功是从失败中总结出来的。成功 与挫折是一对孪生兄弟。一个人，只要你做事，就会遭受挫折，就会犯错误。而如果你什么事都不做，虽然不会犯错误，也无挫折可言，然而你的生命也就失去了意义。扬起你生命的风帆吧，当你到达人生的终港时，“生命船舶”陈列馆中，时间将会留下你辉煌的风雨人生，而其中让你 感到骄傲的不是成功的鲜花，而是光荣的挂彩。 ? 39. 阅读下面材料，根据要求作文。 旭日固然为一日之始的象征，苏醒的大地沐浴在它温暖的光照之下，使人感到无限的温暖。然而早晨，上午，中午，午后乃至夕照之时，它仍撒下大量光热……太阳在一日中始终都在无私地放射着自 己的热量，犹如人生的全程，任何阶段都潜伏着巨大的创造性。征程一生，决非仅有绝对唯一的“起点”，而是随时是振奋可为的拓荒之始。 这则材料中的“起点”能引起你联想些什么呢？请以“起点”为话题写一篇不少于800字的文章， 所写内容必须在话题范围之内，题目自拟，立 意自定，文体自选。 ? [写作提示]俗话说：“一日之计在于晨。”这是以常规思维方法看问题：认为太阳早升晚落，似乎一到晚间太阳光照就不存在了。其实太阳放射热量是不分昼夜的，如果站在西半球，我们的晚上恰是他们的早晨。可见将早晨视为一日之始只是相对而言的。人生也 是如此：征程一生，决非仅有绝对唯一的“起点”，而是随时是振奋可为的拓荒之始。“起点”是不受年龄限制的，少年有为固然可喜，中年起步为时未晚，“八十岁学吹鼓手”也未尝不可。“起点”是无处不在的。人生道路上只有“起点”，没有“终点”，每一个起点都是生命的亮点， 让我们选择好每一个人生的起点，它们将成为我们生命的轨迹，成为人世间最美丽的风景线。 ? 40. 阅读下面材料，根据要求作文。 一位登山爱好者，在一次攀登雪峰的过程中，突然刮起了十级大风，漫天飞舞，能见度仅一米左右。此时登山爱好者不慎失去重心，摔落悬崖，幸好他一
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件1.1椭圆及其标准方程
5 2
21
2 2 25
a= ,b =a -c = -1= .
2
4
4
2
2
4
4
故点 M 的轨迹方程为 25 + 21 =1.
探究点三
【例3】 已知P为椭圆
求△F1PF2的面积.
椭圆中的焦点三角形问题
2
12
+
2
=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,
3
解 由已知得 a=2√3,b=√3,所以 c= 2 - 2 =
12-3=3,从而|F1F2|=2c=6,
在△PF1F2 中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,即
36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4√3,
即 48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②
2
5
+ (2 + 2)
+
3 2
(- 2)
2
5
+ (2 -2) =2√10,即
b2=a2-c2=6,
2
2
所以所求椭圆的标准方程为10 + 6 =1.
a=√10,又 c=2,所以
(3)经过点 P
1 1
,
3 3
,Q
1
0,2
.
解 (方法一)①当椭圆焦点在 x 轴上时,可设椭圆的标准方程为
2
2
+
2
分类讨论,但要注意a>b>0这一条件.
(3)当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成
高二数学(理)《椭圆及其标准方程(1)》(课件)
湖南长郡卫星远程学校 制作 17 2012年下学期
(3) 若椭圆焦点 F1，F2在y轴上, 且
F1、F2的坐标分别 为(0, c )， (0, c ), a、b 的意义同前, 那么椭 圆的方程是什么？
0
y
F2(0, c)
x
F1(0, -c)
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
探究4: 通过上述探究, 想一想：
若椭圆的两焦点在x轴上还是在y轴 上位置不明确时, 其标准方程如何设？
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
椭圆的定义及其标准方程：
| PF1 | | PF2 | 2a, (| F1 F2 | 2c, a c 0) 1.几何法：
椭圆及其标准方程(1)
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
解析几何问题的一般研究思路。
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
探究1: 在平面直角坐标系中, 有两个 定点F1(-3, 0)、F2(3, 0),P是平面内一个动 点, 且|PF1|+|PF2|=10. 求点P的轨迹方程, 并猜测P点的轨迹是什么？
2. 椭圆的标准方程及关键；
3. 如何利用解析几何研究方法理解椭 圆定义及方程?
湖南长郡卫星远程学校 制作 17 2012年下学期
探究3: (1)已知椭圆的两个焦点坐 标分别 5 3 是( 2， 0), ( 2,0), 且经过点( ， ), 求它 2 2 的标准方程。 ( 2)若此时两个焦点分别是 (0,2),
y
a
y
a
b P
高二数学椭圆的标准方程1
F1
y
M F2 x
o
x2 y 2 焦点在x轴： 2 2 1a b 0 a b
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
y
F2
2 2 y x 焦点在y轴： 1(a b 0) a 2 b2
M
o
F1
x
( y c ) 2 x 2 ( y c ) 2 x 2 2a
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点， 并且CF1=2,则CF2=___. 8
2 2 变式： 若椭圆的方程为 16x 9 y 144 ,试口答完成（1）.
x2 y2 1 9 16
x y 练习4.已知方程 + =1 表示焦点在x轴 4 m
2
2
上的椭圆，则m的取值范围是 (0,4) 变1：已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值 范围是 (1,2) .
； / 聚星娱乐
mqx93jop
递给耿英。耿英接过毛巾刚端起脸盆儿，耿兰就进来了。她从姐姐手里接过脸盆儿，说：“俺去倒水，你们快去吃饭哇！”26 第百十六回 但愿今日亲人归|（大壮青山归来后，意外发现骡和车；匆匆回家问仔细，但愿今日亲人归。）那日天儿擦黑的时 候，大壮和青山像往常一样把骡车赶到粉坊大院儿里去卸车，却意外地发现马厩里已经拴了两头大骡子，车棚里还停了两挂大 块头的平板车。青山赶快跑进粉坊一看，爹和弟弟已经回家去了，就问了那两个雇佣的伙计，才知道今儿上午回来了两挂车， 五个人。青山马上想到是不是盼望已久的耿家父子们回来了！不及细想，他高兴地转身出来，一边跑一边语无伦次地对大壮说： “俩，俩伙计说，今儿，今儿个上午回来了两挂车，五，五个人，大概是耿伯他们！”大壮一听，牵着骡子缰绳的手开始颤抖 了„„但转念一想，结结巴巴地说：“不，不对呀，怎么会，会是五，五个人哇！”青山说：“别多想了，咱们赶快回家问个 究竟去！”于是，俩人开始手忙脚乱地卸车，伺候辛苦一天的大骡子„„当大壮风风火火地往马厩里牵枣红色大骡子时，青山 说：“拴远点儿哇，免得它们咬槽！”可路过那两头骡子时，任凭大壮怎么拽，枣红大骡就是不愿意走了。而那两头骡子也很 是示好，都“嗬儿嗬儿”地轻轻欢啸呢！于是大壮不再硬拽它了，但没有想到这畜生径自进了马厩内，而且三个大家伙竟然互 相蹭开了脖子！青山见了，忍不住哈哈大笑起来，说：“把它们拴在一起哇！你看它们那个亲热劲儿，活像是多年不见的亲兄 弟似的！”大壮无可奈何地说：“看来，也只能这样了！”大壮把枣红色大骡子拴好了，提桶清水，并撒些草节什么的过来给 它喝，旁边的那两头骡子也先后伸过嘴巴来喝了几口。在水桶里撒一些草节可以避免牲畜喝得太快，从而引起所谓的“炸肺”， 实际上是怕冷水喝得太快，导致伤了它们的肠胃。大壮刚把喝剩的水提出来放到一边，青山已经拿个大笸箩把草料端来了。他 一边添草料，一边对骡子们说：“待会儿你们要是不和气了，可莫怪俺们啊！”伺候完了骡子们，俩人赶快大步回家去了。听 到耿憨和青海回来了，耿正赶快走出秀儿的闺房，来到隔壁的堂屋里陪耿憨和青海说话。三个人围坐在大大的餐桌边说了没几 句话，裴氏和秀儿就摆上碗筷来了。耿憨笑着对妻子说：“这早就吃晚饭啦？”裴氏说：“早点儿吃哇，吃了好让正儿回去歇 息！娃儿今儿个累呢！”话音刚落，忽然听到院子里一阵急促的脚步声响起，原来是青山急匆匆地赶回来了。他人还没有进了 屋里，就大声问道：“爹，俺和大壮哥看到咱粉坊院儿里的两头骡子和两挂平车了，问伙计，可他们说回来了五个人，怎么回 事？是不是„„”青山的话还没有问完，耿正已经冲出了
椭圆的标准方程怎么求
椭圆的标准方程怎么求首先，我们来回顾一下椭圆的定义。
设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，两个焦点之间的距离为2c，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
根据椭圆的定义，椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，即|PF1| + |PF2| = 2a。
根据勾股定理，我们可以得到椭圆上任意一点P(x, y)到两个焦点的距离之和的平方等于两个焦点之间的距离的平方，即(x-c)² + y² + (x+c)² + y² = 4a²。
接下来，我们来推导椭圆的标准方程。
首先，我们将上式展开并化简，得到x ² 2cx + c² + y² + x² + 2cx + c² + y² = 4a²，即2x² + 2y² = 4a² 2c²。
由于椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，根据椭圆的定义，我们知道a² = b² + c²。
将这个关系代入上式，得到x²/a² + y²/b² = 1。
因此，椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1。
这就是椭圆的标准方程。
在标准方程中，a代表椭圆长轴的长度的一半，b代表椭圆短轴的长度的一半。
有了椭圆的标准方程，我们就可以通过标准方程来确定椭圆的性质和特征。
例如，我们可以通过标准方程来确定椭圆的长轴、短轴长度，焦距，离心率等重要参数。
同时，标准方程也可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质，从而更好地应用椭圆在数学和物理学中的各种问题中。
总之，椭圆的标准方程求法并不复杂，只需要根据椭圆的定义和勾股定理进行推导，就可以得到椭圆的标准方程。
标准方程可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的性质，对于深入学习解析几何和应用数学都有着重要的意义。
高二数学讲义椭圆标准方程(精品-原创有答案)
高二数学讲义第六讲 椭圆的标准方程知识梳理1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段；12220220022a c a c F F a c >>⇔⎫⎪=>⇔↔⎬⎪<<⇔⎭椭圆线段无意义，轨迹不存在 数形结合 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆，(椭圆的焦半径公式：|PF 1|=a+ex 0, |PF 2|=a-ex 0)。
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:○2、参数方程：cos sin x a y b φφ=⎧⎨=⎩),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上;直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔5.几个概念： ①通径：2b 2a ; ③点与椭圆的位置关系： ④22221x y a b+=上任意一点P 与两焦点21,F F 构成的三角形可称为椭圆的焦点三角形. ⑤弦长公式：；⑥椭圆在点P （x 0，y 0)处的切线方程：00221x x y ya b+=; ○7基本三角形：中心焦点短轴顶点这三点构成椭圆的基本三角形。
高二数学教案椭圆及其标准方程(一)
课 题：8．1椭圆及其标准方程（一）教学目的：1．理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念2．熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程 3．能由椭圆定义推导椭圆的方程4．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 教学重点：椭圆的定义和标准方程 教学难点：椭圆标准方程的推导 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求，本节课从知识、能力和情感三个层面确定了相应的教学目标椭圆的定义是一种发生性定义，是通过描述椭圆形成过程进行定义的 作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的另一教学重点学生对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识 但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受 所以，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点圆锥曲线是平面解析几何研究的主要对象 圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，而且是今后进一步数学的基础教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开始和重点，并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，可见本节内容所处的重要地位通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础根据本节教材的重点、难点，课时拟作如下安排：第一课时，椭圆的定义及标准方程的推导；第二课时，椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程；第三课时，以椭圆为载体的动点轨迹方程的探求 教学过程：一、复习引入：1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题）2.复习求轨迹方程的基本步骤：3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在 画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉 近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变） 二、讲解新课： 1椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定（→线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆） 由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴 设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）{}a PF PF P P 221=+=∴221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>,022>-∴c a令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得 12222=+by a x此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中222b c a +=注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+by a x 中的y x ,调换，即可得12222=+bx a y ，也是椭圆的标准方程 理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+by a x 与12222=+b x a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如12222=+by a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)三、讲解范例：例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+by a x )0(>>b a9454,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a所以所求椭圆标准方程为192522=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为12222=+bx a y )0(>>b a 由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10211023+=102= 10=∴a 又2=c6410222=-=-=∴c a b所以所求标准方程为161022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程点评：题（１）根据定义求若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程 四、课堂练习：1 椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.102.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)3.已知椭圆的方程为18222=+my x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22C.282-mD.222-m 4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是5.方程1)42sin(322=+-παy x 表示椭圆，则α的取值范围是（ ） Ａ. 838παπ≤≤-Ｂ. k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ） Ｃ. 838παπ<<- Ｄ. k k k (83282ππαππ+<<-∈Ｚ） 参考答案：1.A2.C3.A4.1353622=+x y 5. Ｂ 五、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中, 022>>c a ；②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x ,y 的分母大小来确定； ③a 、b 、c 的几何意义 六、课后作业：1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④369422=+x y 答案：①表示园；②是椭圆2,2,2===c b a ；③不是椭圆（是双曲线）；④369422=+x y 可以表示为1322222=+y x ，是椭圆，5,2,3===c b a2 椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为答案：164);0,7(),0,7(;72221=-=a F F c3． 方程1422=+ky x 的曲线是焦点在y 上的椭圆 ，求k 的取值范围 答案：40<<k4 化简方程：10)3()3(2222=-++++y x y x答案：1251622=+y x 5 椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 答案：46 动点P 到两定点1F (-4,0)，2F (4,0)的距离的和是8，则动点P 的轨迹为 _______ 答案：是线段21F F ，即)44(0≤≤-=x y 七、板书设计（略）八、课后记：写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答)(1)a=4,b=3,焦点在x 轴；(2)a=5,c=2,焦点在y 轴上.（答案：19y 16x 22=+；121x 25y 22=+） (2) 已知三角形ΔABC 的一边∠长为6,周长为16,求顶点A 的轨迹方程解：以BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：116y 25x 22=+ 若以BC 边为y 轴，BC 线段的中垂线为x 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：125y 16x 22=+。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。