二项分布及其应用
二项分布及其应用
P(B)＝q2，P(－B )＝1－q2. 根据分布列知：当 X＝0 时，
－ P( A
－ B
－B )＝P(－A )P(－B )P(－B )＝0.75(1－q2)2＝0.03，
所以 1－q2＝0.2，q2＝0.8.
当 X＝2 时，P1＝P(－A B－B ＋－A －B B)＝P(－A )P(B)P(－B )＋
P(－A )P(－B )P(B)＝0.75q2(1－q2)×2＝0.24，
当 X＝3 时， P2＝P(A－B －B )＝P(A)P(－B )P(－B ) ＝0.25(1－q2)2＝0.01， 当 X＝4 时， P3＝P(－A BB)＝P(－A )P(B)P(B)＝0.75q22＝0.48，
当 X＝5 时，P4＝P(A－B B＋AB)＝P(A－B B)＋P(AB)
3．已知 P(B|A)＝12，P(AB)＝38，则 P(A)等于( C )
3
13
A.16
B.16
3
1
C.4
D.4
解析：由 P(AB)＝P(A)P(B|A)，可得 P(A)＝34.
4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正
面向上”为事件 A，“骰子向上的点数是 3”为事件 B，则
事件 A，B 中至少有一个发生的概率是( C )
生的条件概率
2.事件的相互独立性
(1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝_P_(_A_)_P_(_B_)_，则
称事件 A 与事件 B 相互独立．
(2)性质： ①若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝____P_(_B_)___，
P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝__P_(_A_)_P_(B__)_． ②如果事件 A 与 B 相互独立，那么__A__与__－B____，__－_A_与___B__， __－A__与__－B____也相互独立．
二项分布及其应用
考向导析 规范解答系列 阅卷报告系列 限时规范训练
解法三：∵D＝A＋B，且 A 与 B 独立． ∴P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A· B)＝0.8＋0.9－0.8×0.9＝0.98. 故目标被击中的概率是 0.98. (4)设 E＝{至多有 1 人击中目标}， ∵E＝A·B ＋B·A ＋ A ·B ， 且 A 与 B 、B 与 A 、 A 与 B 独立， A·B 、B·A 、 A ·B 彼此互斥， ∴P(E)＝P(A·B ＋B·A ＋ A ·B )＝P(A·B )＋P(B·A )＋P( A ·B ) ＝P(A)· B )＋P(B)· A )＋P( A )· B )＝0.8×0.1＋0.9×0.2＋0.1×0.2＝0.28. P( P( P( 故至多有 1 人击中目标的概率为 0.28.
考基联动
考向导析
规范解答系列
阅卷报告系列
限时规范训练
(2)由于 Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然 Y 是随机变量，其取值为 0,1,2,3,4,5,6. 其中：{Y＝k}(k＝0,1,2,3,4,5)表示前 k 个路口没有遇上红灯，但在第 k＋1 个路口遇 上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算． 2 1 P(Y＝k)＝ k·(k＝0,1,2,3,4,5)， 3 3 而{Y＝6}表示一路没有遇上红灯． 2 6 故其概率为 P(Y＝6)＝ ， 3 因此 Y 的分布列为： Y P Y P 0 1 3 1 12 · 33 4 1 24 · 3 3
考基联动
考向导析
规范解答系列
阅卷报告系列
限时规范训练
(2)设事件 C＝{两人中恰有 1 人击中目标}，则 C＝A·B ＋B·A ∴A·B 与 B·A 互斥，且 A 与 B 独立， ∴P(C)＝P(A·B ＋B·A ) ＝P(A·B )＋P(B·A ) ＝P(A)· B )＋P(B)· A ) P( P( ＝P(A)· [1－P(B)]＋P(B)· [1－P(A)] ＝0.8×0.1＋0.9×0.2＝0.26， 即两人中恰有 1 人击中目标的概率为 0.26. (3)设 D＝{目标被击中}＝{两人中至少有 1 人击中目标}，本问有三种解题思路：
二项分布及其应用
本例0=0.01，n=400，x=1，根据题意需求最多有1例染
色体异常的概率，按二项分布的概率函数得
(3) 做出推断结论: P >0.05，按 =0.05检验水准不拒绝H0，尚 不能认为该地新生儿染色体异常率低于一般。
1、样本率与已知总体率的比较：
(2) 正态近似法: 当 n0 和 n(1-0) 均大于5时,
用n=20和x=8查附表7.2百分率的可信区间得该 法近期有效率的95%可信区间为19%64%。
由于附表7百分率的可信区间中值只列出了x n/2的部分，当x>n/2时，应以n -x查表，再从100
中减去查得的数值即为所求可信区间。
2、总体率的区间估计
三、二项分布的应用
（2）正态近似法
当样本含量足够大，且样本率p和 1-p均不太小，一般 np与 n(1-p)均大于5时，样本率的抽样分布近似正态分布，即
此时, 总体率的可信区间可按下式进行估计:
其中,
布的应用
（二）假设 检验1、样本率与已知总体率的比较：
(1)直接计算概率法: 例1 根据以往长期的实践，证明某常用药的治 愈率为65%。现在某种新药的临床试验中，随机观 察了10名用该新药的患者，治愈8人。问该新药的 疗效是否比传统的常用药好？
（1）建立假设，确定检验水准。
（2） 计算检验统计量 。
B( , n ）。
例 抛硬币（正/反），患者治疗后的结局（治愈/未愈），实验 动物染毒后结局（生存/死亡），……。
一、二项分布的概念及应用条件
2、应用条件：
① n次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立）。 ② 每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用
医学统计学第八讲二项分布其应用
贝努利试验：指只有两个互斥结果的试验 。如阳性与阴性，生存与死亡，发病与未 发病。
n次贝努利试验指重复进展n次独立的贝努 利试验。又叫贝努利试验序列。
贝努利试验序列特点
①每次试验的结果只能是2个互相对立结 果中的一个。
② n个观察单位的结果互相独立。 ③在一样条件下，每次试验结果的概率不变
。
二项分布〔binomial distribution〕是指 在n次Bernoulli试验中，当每次试验的“阳性 〞概率保持不变时，出现“阳性〞的次数 X=0，1，2，…，n的概率分布。
二项分布下至少发生k例阳性的概率为发生k例 阳性、k+1例阳性、...、直至n例阳性的概率之和。
即
p(x≥k) =p(x=k)+p(x=k+1)+……+p(x=n)
n
p(X k) P(X) P(k) P(k 1) P(k 2) P(n) Xk
X=k，k+1，k+2， …… ，n
二项分布下发生k1例及以上到k2 例阳性的概率为 发生k1例阳性、 k1+1例阳性、...、直至k2例阳性的概 率之和。即
)n
0 √ √ √ (1- )3 1 X √ √ (1-)2 √ X √ (1-)2 √ √ X (1-)2
2 X X √ 2(1-) X √ X 2(1-)
√ X X 2(1-) 3 X X X 3
P( X
0)
3 0
(
)0
(1)Βιβλιοθήκη P( X 1) 31( )1(1 )2
P( X
2)
3 2
(
区间，用(1 – 阴性率可信区间) ，可得阳性率 可信区间。
二、率的假设检验
二项分布及其应用(讲课适用)
p
1
n
（理论值）
sp p(1 p) n （实际值）
（二）二项分布的累计概率
从阳性率为
的总体中随机抽取n个观察单位，则
（1）最多有k例阳性的概率为
P(X k) P(0) P(1) P(k)
（2）最少有k例阳性的概率为
P(X k) P(k) P(k 1) P(n) 1 P(X k 1)
一、二项分布的概念及应用条件
1、概念：若试验 E 只有两种相互对立的结果(A及 A ),
并且 P(A) ，
， 把 E 独立地重复 n
次的试验称为 n 重贝努里试验（Bernoulli trial）。
n 重贝努里试验中事件A发生的次数 x 所服从的分布
即为二项分布（binomial distribution），记为 x ~
二项分布及其应用
内容提纲
二项分布的概念及应用条件 二项分布的性质 二项分布的特点 二项分布的应用
一、二项分布的概念及应用条件
举例：设小白鼠接受一定剂量的某种 毒物染毒后死亡率为80%。若每组各 用3只小白鼠（甲、乙、丙）接受该 种毒物染毒，观察各组小白鼠的存亡 情况。
死亡数 x
(1) 0
B( , n ）。
例 抛硬币（正/反），患者治疗后的结局（治愈/未愈），实验 动物染毒后结局（生存/死亡），……。
一、二项分布的概念及应用条件
2、应用条件：
① n次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立）。 ② 每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用
于二分类资料）。
③ 每次试验发生某一种结果的概率 固定不变
1
2
3 合计
表 1 3 只小白鼠染毒后的死亡只数的概率分布
二项分布及其应用
＝
nAB nA
.
(2)条件概率具有的性质
① 0≤P(B|A)≤1 ；
②如果B和C是两个互斥事件， 则P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) .
2.相互独立事件
(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B_相__互__ ——独—立—. (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝ P(B)， P(AB)＝P(A)P(B|A)＝ P(A)P(B). (3)若A与B相互独立，则A 与 B， A 与 B ， A 与 B 也都相互独立.
题型一 条件概率
例1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和
为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于（ ）
1
1
2
1
A.8
B.4
C.5
D.2
答案 解析
P(A)＝C23＋ C25C22＝25，P(AB)＝CC2225＝110， P(B|A)＝PPAAB＝14.
（3）. 将 一 枚 硬 币 连 续 抛 掷 两 次 ， 记 “ 第 一 次 出 现 正 面 ” 为 事 件
A,“第二次出现反面”为事件B,则P(B|A)等于( )
A. 1 2
B. 1 4
C.1 6
D.1 8
(4).甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5， 现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为（ ）
变式训练 (2016·开封模拟)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，
这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，
电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡
的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 答案 解析
【高中数学】二项分布及其应用
【高中数学】二项分布及其应用一、条件概率1.定义：对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。
记作P(B |A),读作A发生的条件下B的概率。
2.事件的交(积):由事件A和事件B同时发生所构成的事件D,称为事件A与事件B的交(或积)。
记作D=ANB或D=AB3. 条件概率计算公式：P(B | A)相当于把AB发生的概率：若P(A)>0,则P(AB)=P(B | A) · P(A)(乘法公式);O≤P(B | A)≤1 .4. 公式推导过程：5. 解题步骤：例1. 10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.解：设A={第一个取到次品},B={第二个取到次品}所以，P(B | A)=P(AB)/P(A)=2/9答：第二个又取到次品的概率为2/9.二、相互独立事件1. 定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
说明：(1)判断两事件A、B是否为相互独立事件，关键是看A(或B)发生与否对B(或A)发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立.(2)互斥事件是指不可能同时发生的两个事件.相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响.(3)如果A、B是相互独立事件，则A的补集与B的补集、A与B的补集、A的补集与B也都相互独立.2. 相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
则有：P(A●B)=P(A)●P(B)说明：(1)使用时，注意使用的前提条件；(2)此公式可作为判断事件是否相互独立的理论依据，即P(A · B )=P(A) · P (B)是A 、B 相互独立的充要条件. (3)如果事件Al,Az, … Aa 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
二项分布及其应用理
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)任选1名下岗人员,设“该人参加过财会培 训”为事件A,“该人参加过计算机培训”为事件B,由题设知, 事件A与B互独立,且P(A)＝0、6,P(B)＝0、75、 法一:任选1名下岗人员,该人没有参加过培训得概率就是 P1＝P( )＝P( )·P( )＝0、4×0、25＝0、1、 所以该人参加过培训得概率就是P2＝1－P1＝1－0、1＝0 、9、
4、二项分布 在n次独立重复试验中,设事件A发生得次数为X,在每 次试验中事件A发生得概率为p,那么在n次独立重复试 验中,事件A恰好发生k次得概率为P(X＝k)＝ pk(1－p)n－k (k＝0,1,2,…,n)、 此时称随机变量X服从二项分布,记作 X～B(n,p) ,并 称 p 为成功概率、
[课堂笔记] 记事件A:最后从2号箱中取出得就是红球;
事件B:从1号箱中取出得就是红球、
则P(B)＝
,P( )＝1－P(B)＝ ,
P(A|B)＝
,P(A| )＝
,ห้องสมุดไป่ตู้
从而P(A)＝P(AB)＋P(A )
＝P(A|B)P(B)＋P(A| )P( )
1、相互独立事件就是指两个试验中,两事件发生得概率 互
【解】 (1)依题意知X～B(4, ),即X得分布列为
X0
1
2
3
4
┄┄┄(6分)
P
(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时,击中第i部 分”,i＝1,2、
Bi表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分”,i ＝1,2、依题意知P(A1)＝P(B1)＝0、1,P(A2)＝P(B2)＝0、 3,A＝A1 ∪ B1∪A1B1∪A2B2,┄┄┄┄┄┄(9分)
故所求得概率为 P(A)＝P(A1 )＋P( B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2) ＝P(A1)P( )＋P( )P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2) ＝0、1×0、9＋0、9×0、1＋0、1×0、1＋0、3×0、3 ＝0、28、┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)
二项分布及其应用教案定稿
二项分布及其应用教案定稿第一章：二项分布的概念及性质1.1 二项分布的定义引导学生回顾概率论的基础知识，引入随机变量的概念。
解释二项分布的定义，即在固定次数n的独立实验中，每次实验成功或失败的概率为p的随机变量的分布。
1.2 二项分布的性质引导学生了解二项分布的概率质量函数（PMF）及其表达式。
解释二项分布的期望、方差等统计量，并引导学生理解其含义。
第二章：二项分布的概率计算2.1 概率质量函数的推导引导学生使用二项分布的概率质量函数公式进行计算。
解释公式中各项的物理意义，如n次实验中成功k次的概率。
2.2 特定概率下的成功次数的计算引导学生使用概率质量函数计算特定概率下的成功次数。
举例说明如何计算概率质量函数的积分。
第三章：二项分布的应用3.1 抛硬币实验引导学生进行抛硬币实验，观察并记录实验结果。
引导学生使用二项分布的概念和概率计算方法，分析实验结果的概率分布。
3.2 药物有效性测试引导学生了解药物有效性测试的背景和目的。
引导学生使用二项分布的概念和概率计算方法，分析药物有效性测试的结果。
第四章：二项分布的参数估计4.1 参数估计的概念引导学生了解参数估计的概念和方法。
解释使用样本数据来估计总体参数的过程。
4.2 二项分布的参数估计方法引导学生使用样本均值和样本方差来估计二项分布的参数np和n(1-p)。
解释估计的准确性和可靠性，并引导学生了解置信区间的概念。
第五章：二项分布的假设检验5.1 假设检验的概念引导学生了解假设检验的概念和方法。
解释使用样本数据来对总体分布的假设进行检验的过程。
5.2 二项分布的假设检验方法引导学生使用二项分布的检验统计量进行假设检验。
解释检验的显著性水平和拒绝域的概念，并引导学生了解p值的计算方法。
第六章：二项分布与正态分布的关系6.1 正态分布的概念引导学生回顾正态分布的定义和性质。
解释正态分布与二项分布的关系，即当n足够大时，二项分布近似正态分布。
6.2 二项分布到正态分布的转换引导学生了解二项分布到正态分布的转换方法。
《二项分布及其应》课件
• 改进方向： a. 引入其他分布：对于样本量较小的情况，可以考虑使用泊松分布等其他分布来近似二项分布。 b. 利 用贝叶斯推断：贝叶斯推断可以用于估计未知的分布参数，提高二项分布在实际应用中的精确度。 c. 考虑其他模型： 对于某些特定问题，可以考虑使用其他模型来描述实际数据，如正态分布、泊松分布等。
贝叶斯估计法的定义和原理 贝叶斯估计法在二项分布参数估计中的应用 贝叶斯估计法的优缺点分析 贝叶斯估计法与其他参数估计方法的比较
最小二乘估计法
定义：最小二乘法是一种数学统计方法，通过最小化误差的平方和来估计参数
原理：最小二乘法通过最小化预测值与实际值之间的误差平方和来估计参数，从而得到最佳的 参数估计值
假设检验的步骤和实例
提出假设
构造检验统计量
确定临界值
做出推断
实例演示
06
二项分布在实际应用中的案例分析
实验设计和数据分析
实验设计：确 定实验目的、 设计实验方案、 选择实验样本
数据分析：对 实验数据进行 整理、分析和 解释，得出结
论
实验结果：展 示实验结果， 包括数据表格、
图表等
结论与讨论： 对实验结果进 行讨论，提出 改进意见和建
议
二项分布在实际应用中的案例介绍
案例一：医学研究计学中的 二项分布
案例四：计算机科学中的 二项分布
二项分布在实际应用中的优缺点分析
优点：适用于独立 重复试验，可以快 速准确地计算概率
缺点：不适用于连 续性随机变量，需 要满足独立同分布 的条件
二项分布及其应用(答案)
二项分布及其应用【知识要点】一、条件概率及其性质1、条件概率一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
2、性质（1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即1)(0≤≤A B P .（2）如果B 和C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P ==Y 。
【例题1—1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则=)(A B P （ B ） A 、81 B 、41 C 、52 D 、21 【例题1—2】在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 21 。
【例题1—3】某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ A ）A 、0.8B 、0.75C 、0.6D 、0.45【例题1—4】从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为（ A ）A 、172B 、152C 、51D 、103 【例题1—5】把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则=)(A B P （ A ）A 、21B 、41 C 、61 D 、81 【例题1—6】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是94 。
二、相互独立事件及n 次独立重复事件1、相互独立事件同时发生的概率(1)相互独立事件的定义：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
二项分布及其应用-研(精)
P(X ≥9)＝0.023257）
21
(2)正态近似法：
(n>50、np和n(1-p)均大于5)
p 0 u 0 (1 0 ) / n
例：某疾病采用常规治疗，其治愈率为45％。 现随机抽取180名该疾病的患者，并改用新的 治疗方法对其治疗，治愈117人。问新治疗方 法是否比常规疗法的效果好
p
p＝ (1 )
n
p(1 p) s p＝ n
12
2、二项分布的累计概率
最多有k例阳性的概率： P(X ≤k)=P(0)+ P(1)+ …+ P(k)
最少有k例阳性的概率： P(X ≥k)=P(k)+ P(k+1)+ …+ P(n) X=0,1,2,…,k,…,n
13
例(补充)：据报道，输卵管结扎的育龄妇女经 壶腹部－壶腹部吻合术后，其受孕率为0 .55， 问对10名输卵管结扎的育龄妇女实施该吻合 术后最多有2人不受孕的概率
总体率的CI:
p±uα/2Sp
p u / 2 p(1 p) / n
19
例3.7 P38 ←P31
20
2、样本率与总体率的比较
(1)直接计算法 例：据报道，输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部壶腹部吻合术后，其受孕率为0 .55，今对10名 输卵管结扎的育龄妇女实施峡部-峡部吻合术， 结果有9人受孕，问其受孕率是否高于壶腹部壶腹部吻合术？ （假设检验：…
分布的图形 见P37
15
二项分布的图形形状（ n,π ）：
(1)当π＝0.5时，分布对称；当π ≠0.5时分布 是偏态的
(2) 固定π时，随着n的增大，分布趋于对称
(3)当n→∞、π不太靠近0或1时，二项分布接 近正态分布
第06章二项分布及其应用
二项分布概念：二项分布即重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。
该事件发生k次的概率为:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k)，其中C(k,n)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数.，p为事件发生的概率，k是发生的次数，其中k=1,2,3...n，Ek=np，方差:Dk=np(1-p)例6-1某种药物治疗某种非传染性疾病的有效率为0.70，无效率为0.30。
今用该药治疗该疾病患者10人，试分别计算这10人中有6人、7人、8人有效的概率(《医学统计学》，第三版，孙振球)。
#源代码例6-1：dbinom(6,10,0.7)#二项分布函数dbinom(7,10,0.7)dbinom(8,10,0.7)#其中dbinom(k,n,p)中，k是发生的次数，10是共次数，p是概率>#源代码例6-1：>dbinom(6,10,0.7)[1]0.2001209>dbinom(7,10,0.7)[1]0.2668279>dbinom(8,10,0.7)[1]0.2334744>#其中dbinom(k,n,p)中，k是发生的次数，10是共次数，p是概率例6-2在对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部-壶腹部吻合术后，观察其受孕情况，发现有6人受孕，试据此资料估计该吻合术受孕率的95%可信区间。
#源代码例6-2：binom.test(6,13,p=6/13,conf.level=0.95)>#源代码例6-2：>binom.test(6,13,p=6/13,conf.level=0.95)Exact binomial testdata:6and13number of successes=6, number of trials=13, p-value=1alternative hypothesis:true probability of success is not equal to0.461538595percent confidence interval:0.19223240.7486545sample estimates:probability of success0.4615385例6-3在观测一种药物对某种非传染性疾病的治疗效果时，用该药治疗了此种非传染性疾病患者100人，发现55人有效，试据此估计该药物治疗有效率的95%可信区间。
2.2.二项分布及其应用
练习1、某射手在10次射击中射中次数X～(10,0.8)
（1）求P(X=8)
（2）求P(X≥8)
练习2、二项分布的逆用
至多、至少问题时涉及 到求对立事件的概率
（1）在4次独立重复试验中，事件出现的概率相同，事件A
至少出现一次的概率为65/81，则事件A在一次试验中中出现
P(X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2,..., n.
此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p),并称p
为成功概率。
注:
Pn (k) cnk pkqnk是( p q)n 展开式中的第 k 1 项.
题型二、二项分布、独立事件、互斥事件的综合运用
例2、某气象站天气预报的准确率为80%，计算: （1）5次预报中恰有2次准确的概率； （2）5次预报中至少有2次准确的概率； （3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率。
B(n, M )
N
⑵如果是一次取出 n 个球, 则 服从超几何分布.
P(
k)
C C k nk M NM
C
n N
(k
0,1, 2,L
, m) (其中 m
min(M , n)
不是一等品的概率为
2
12 ，甲丙两台机床加工的零件都是一
等品的概率为 9 。
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的
概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个
一等品的概率。
复习引入
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的 意义，这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型， 吻合模型用公式去求概率简便.
医学统计学第11讲 二项分布及其应用(一、二)
Binomial distribution
二项分布
在医学上常遇到一些事物，其结局只有两种 互相对立的结果。
如在毒理试验中，动物的生存与死亡；在动物诱 癌试验中，动物的发癌与不发癌；在临床治疗中， 病人的治愈与未愈；理化检验结果的阴性与阳性 等等。均表现为两种互相对立的结果，每个个体 的观察结果只能取其中之一。
当π＜0.5时，分布呈正偏态； 当 π＞0.5时，分布呈负偏态。 特别是当n不是很大时，π偏离 0.5越远，分布越偏
随着n的增大，二项分布逐渐接近正态 分布。 一般地说，如果
n 5且n(1 ) 5
常可用正态近似原理处理二项分布问题， 以简化计算。
二项分布的应用条件
①观察单位数n必须事先确定。 ②各观察单位只能有互相对立的两种 结果之一。 如阳性或阴性，生存或死亡等， 不允许考虑“可疑”等模糊结果，属 于二分类资料。
例：一种鸭通常感染某种传染病的概率是0.2，现 将一种药物注射到25只鸭后发现有1只鸭发生感染， 试判断这种药物对预防感染是否有效。 H0 ：此药物对预防感染无效，即 = 0.2 H1 ：此药物对预防感染有效，即 <0.01 单侧＝0.05 在H0成立的前提下，25只鸭中感染的只数X~B(25,0.2)， 则有
0.155 5 0.154 0.85 0.0022
二项分布的图形
在正态分布或其他连续性分布中， 常用分布曲线下的面积表示某区间 的概率；在二项分布中，则用线段 的长短表示取某变量值时的概率。
二项分布图形形状取决于n和π的大小。
当π＝0.5时，分布对称；
当π ≠0.5时，分布呈偏态；
合并率
Page72
例： 某医院肿瘤科3 年中共治疗乳腺癌患者n=131例，每例均观察满
6(第三章)二项分布及其应用.
各种生存死亡排列、组合的概率
小鼠生死组合 排列方式 死亡数 生存数 甲 乙 丙
每种排列 的概率
0
3 √ √ √ 0.2 × 0.2 × 0.2
1
2 × √ √ 0.8 × 0.2 × 0.2
H0: π1=π2 H1: π1≠π2
α(80+85)=0.2182
u
0.2875 0.1529
2.092
0.2182
1
0.2182
1 80
1 85
查u界值表，得 0.01<P<0.05，拒绝H0，接受H1， 可认为男女生感染率不同，男生高于女生
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n=20 pi=0.5
π≠0.5分布偏态
0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
1
2
3
4
n=5 pi=0.3
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P<0.01，拒绝H0，接受H1，可认为老年患者与 一般患者不同，更易有出血症状
②两样本率比较的u检验
u
p1 p2
pc
(1
p
c
)( 1 n1
1 n2
)
pc
X1 X2 n1 n2
例 某山区小学男生80人，其中肺吸虫感染23人，感 染 率 为 28.75%, 女 生 85 人 感 染 13 人 , 感 染 率 为 15.29%,问男女生的肺吸虫感染率有无差别?
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中减去查得的数值即为所求可信区间。
2、总体率的区间估计
三、二项分布的应用
（2）正态近似法 当样本含量足够大，且样本率p和 1-p均不太小，一般 np与 n(1-p)均大于5时，样本率的抽样分布近似正态分布，即
（3）
（4）
生 生 生 0.2×0.2×0.2=0.008 P(0) C30(0.8)0(10.8)30 0.008
生 生 死 0.2×0.2×0.8=0.032
2
1
生 死 生 0.2×0.8×0.2=0.032 P(1) C31(0.8)1(10.8)31 0.096
死 生 生 0.2×0.8×0.2=0.032
该例题中各种组合的概率恰好等于该二项式展开式的各项，所以将 n次这种只具有两种互相对立结果中一种的随机实验成功次数的概 率分布称为二项分布。
该例题中各种组合的概率恰好等于该二项式展开式 的各项，所以将n次这种只具有两种互相对立结果 中一种的随机实验成功次数的概率分布称为二项分 布。
[1 ()]n (1 )n C n 1 (1 )n 11 C n 2 (1 )n 22 C n X (1 )n XX C n n 1 (1 )n 1n
sp
p1 p
n
2、总体率的区间估计
(理论值) (估计值)
三、二项分布的应用
2、总体率的区间估计 (1)查表法——样本量较小时(n50) 例3.6 某医院皮肤科医师用某种药物治疗20
名系统性红斑狼疮患者，其中8人近期有效，求该法 近期有效率的95%可信区间。
用n=20和x=8查附表7.2百分率的可信区间得该 法近期有效率的95%可信区间为19%64%。
死 死 生 0.8 0.8 0.2 0.128
1
死 生 死 0.8 0.2 0.8 0.128
生 死 死 0.2 0.8 0.8 0.128
0
死 死 死 0.8 0.8 0.8 0.512
P（x） (5)
0.008
0.096
0.384 0.512 1.000
概率的乘法原理：几个相互独立的事件同时发生的概率等于各 事件发生概率的乘积。
（1）建立假设，确定检验水准。
H0： = 0，即新药治愈率与传统药物相同 H1： > 0，即新药治愈率高于传统药物 = 0.05 （2）根据二项分布的分布规律，计算 P 值。
H0成立时，随机抽查的10人中治愈人数x 的分布
PX8p(8)p(9)p(1)0
C1808(1)2C1909(1)1C110010(1)0
H0成立时, 400名新生儿中染色体异常例数的概率分布
（1）建立检验假设，确定检验水准
H0： = 0，即该地新生儿染色体异常率不低于一般 H1： < 0，即该地新生儿染色体异常率低于一般 = 0.05
(2) 根据二项分布的分布规律，计算 P 值。
本例0=0.01，n=400，x=1，根据题意需求最多有1例染
生 死 死 0.2×0.8×0.8=0.128
1
2
死 生 死 0.8×0.2×0.8=0.128 P(2) C32(0.8)2(10.8)32 0.384
死 死 生 0.8×0.8×0.2=0.128
0
3
死 死 死 0.8×0.8×0.8=0.512 P(3) C33(0.8)3(10.8)33 0.512
[1 (0 .8 ) 0 .8 ]3 (1 0 .8 )3 C 3 1 (1 0 .8 )3 1 (0 .8 )1 C 3 2 (1 0 .8 )3 2 (0 .8 )2 (0 .8 )3
[(1)]n Cn0(1)n0 Cn1(1)n11
Cnx(1)nxx Cnn(1)0n
1
p (x) C n x x1 n x
p ( 0 ) p ( 1 ) p ( n ) 1
例. 求前例中三只小白鼠死亡2只的概率。
p ( x 2 ) C 3 22 1 3 2 3 0 . 8 2 0 . 2 1 0 . 384
一、二项分布的概念及应用条件
1、概念：若试验 E 只有两种相互对立的结果(A及 A ),
并且 P(A) ，PA1， 把 E 独立地重复 n
次的试验称为 n 重贝努里试验（Bernoulli trial）。 n 重贝努里试验中事件A发生的次数 x 所服从的分布 即为二项分布（binomial distribution），记为 x ~
（1）建立检验假设，确定检验水准
H0： = 0，即老年胃溃疡患者胃出血发生率与一般患者相同 H1： > 0，即老年胃溃疡患者胃出血发生率高于一般患者 = 0.05
（2） 计算检验统计量 。
u p0 0.31 50.2 805.05 0(10) 0.2 0(10.2)0
二项分布及其应用
内容提纲
二项分布的概念及应用条件 二项分布的性质 二项分布的特点 二项分布的应用
一、二项分布的概念及应用条件
举例：设小白鼠接受一定剂量的某种 毒物染毒后死亡率为80%。若每组各用 3只小白鼠（甲、乙、丙）接受该种毒 物染毒，观察各组小白鼠的存亡情况。
死亡数 x
态分布，即
ap.pro
x~N n,n1或
pa~pp.N ro,1
n
二项分布的正态近似示意图
二项分布的累计概率:
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
k1
k2
三、二项分布的应用
（一）估计总体率的可信区间
1、率的抽样误差
p
1
n
(1) 0
1
2
3 合计
表 1 3 只小白鼠染毒后的死亡只数的概率分布
生存数
排列方式
n-x
甲乙 丙
各种排列的概率
(2)
(3)
(4)
3
生 生 生 0.2 0.2 0.2 0.008
死 生 生 0.8 0.2 0.2 0.032
2
生 死 生 0.2 0.8 0.2 0.032
生 生 死 0.2 0.2 0.8 0.032
1、样本率与已知总体率的比较：
(2) 正态近似法: 当 n0 和 n(1-0) 均大于5时,
近似
X ~ Nn 0 , n 0 1 0
p
近似
~
N
0
,
0
1
n
0
可用正态近似法, 按下式计算检验统计量u值。
u
X n 0
n 0 1 0
色体异常的概率，按二项分布的概率函数得
1
P( X 1) P( X ) (0.99)400
400!
(0.99)4001 (0.01) 0.0905
0
1!(400 1)!
(3) 做出推断结论: P >0.05，按 =0.05检验水准不拒绝H0，尚 不能认为该地新生儿染色体异常率低于一般。
或
u p0
0(10)/n
例3 据报道，某常规疗法对某种疾病的治愈率为65%。现某 医生用中西医结合疗法治疗了100例该病患者，治愈了80人。 问该中西医结合疗法的疗效是否比常规疗法好？
当H0成立时, 100例患者中治愈人数的概率分布
（1）建立检验假设，确定检验水准
H0： = 0，即该种中西医结合疗法疗效与常规疗法相同 H1： > 0，即该种中西医结合疗法疗效好于常规疗法 = 0.05
认为中西医结合疗法的疗效好于常规疗法。
例4 经长期临床观察, 发现胃溃疡患者发生胃出血症状 的占20%。现某医院观察了304例65岁以上的老年胃 溃疡患者，有96例发生胃出血症状，占31.58%。问老 年胃溃疡患者是否较一般患者更易发生胃出血？
H0成立时, 304例老年胃溃疡患者中胃出血发生人数的分布
（2） 计算检验统计量 。
本例, 0 =0.65，n=100， x=80 。
un X 0 1 n 001 8 0 0 1 0 .6 0 0 0 .5 0 6 0 .35 5 3 .14
（3） 确定P值，做出推断结论。
查表得, 0.0005<P<0.001, 按 = 0.05 水准拒绝H0，接受H1，
（四）二项分布的特点
1、当 0.5时，无论 n大小，其图形均呈对称分布；
2、当 0.5，且且nn小小时时 呈偏态分布；随n不断增大，逐
渐趋于对称分布；当 n 时，逼近正态分布。
实际工作中，只要n足够大，与1- 均不太小时（通常规定
n > 50 且 n5 与 n15时），可看作近似正
p~N(,1)
n
此时, 总体率的可信区间可按下式进行估计:
p u s p , p u s p
2
2
其中,
sp
p1 p
n
三、二项分布的应用
（二）假设检验
1、样本率与已知总体率的比较：
(1)直接计算概率法: 例1 根据以往长期的实践，证明某常用药的治 愈率为65%。现在某种新药的临床试验中，随机观 察了10名用该新药的患者，治愈8人。问该新药的 疗效是否比传统的常用药好？
450.6850.352100.6950.350.6150 0.17560.507240.901346 0.26160
(3) 做出推断结论。本例P >0.05，按=0. 05的检 验水准不拒绝H0，尚不能认为新药疗效较传统药物 疗效好。