用相量法分析电路的正弦稳态响应
正弦稳态响应
当是t的函数时，正弦量Amcos(t+)可用复值函数来表示
Am cos(t ) Re( Ame j(t ) ) Re( Ame je jt ) Re( A&me jt )
9
§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
Am sin(t ) Re( Ame j(t) ) Re( Ame je jt ) Re( A&me jt )
T0
15
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U 2 Um
或
Um 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
U=380V，
Um537V。
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指
的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大
A2 e j2
A1
A e j(1 2 ) 2
A1 A2 1 2 乘法：模相乘，角相加。
A1 A2
| A1 |θ 1 | A2 |θ 2
| A1 | ejθ1 | A2 | ejθ 2
| A1 | e j(θ1θ 2 ) | A2 |
| A1 | | A2 |
θ1 θ2
除法：模相除，角相减。
20
几种不同值时的旋转因子
,
2
j
e 2 cos j sin j
2
2
Im
jI
I
0
Re
I jI
,
j
e2
cos(
)
j sin(
)
j
2
2
2
, e j cos() j sin() 1
电阻电容电感相位
+
•
I
2
，因此该三电
流相量构成直角三角形，这样可求出I 。
[评注] 若二端口电路上的电压与电流同相，则该电路的阻抗和导纳的虚部均为零。
例9.4 如图9.4所示正弦稳态电路，已知有效值U1=100 2 V, U=500 2 V，I2=30A，电阻R=10Ω，求电抗X1，X2和X3的值。
•
分析 将 U 2 设置为参考相量，从而找出电路中电压和电流之间的相量关系；对相量关系取模找出有效值之间的关系。
分析
•
由于总电压 U
与总电流
•
I
•
同相，所以并联支路两端的电压 U1
和总电流
•
I
也同相，故并联支路导纳的虚部为零，这样可以得到一个含有待求变量X2，XC
的方程。再根据两个并联分支电压相等列出第二个含有待求变量X2，XC的方程，联立可求出X2，XC的值。由于
•
I 1 落后
•
I
相角
90°
，以及
•
I
=
•
I1
第九章 正弦稳态电路的分析
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第九章 正弦稳态电路的分析
一、内容提要：
本章用相量法分析线性电路的正弦稳态响应。首先，引入阻抗、导纳的概念和电路的相量图。其次，通过实例介绍电路方程的相量形式和线性电路的定理的相量描述和应用，介绍正 弦电流电路的瞬时功率、平均功率、无功功率、视在功率和复功率，以及最大功率的传输问题。最后，介绍了电路的谐振现象和电路的频率响应。
定律。
例9.2 如图9.2所示正弦稳态电路，R1=R2=1Ω。 （1）当电源频率为f0时，XC2=1Ω，理想电压表读数V1=3V，V2=6V，V3=2V,求IS。 （2）电路中电阻、电容和电感的值不变，现将电源的频率提高一倍，即为2 f0，若想维持V1的读数不变，IS问应变为多少？
电路circuit
j
X
R 阻抗三角形
具体分析 R、L、C 串联电路： Z=R+j[wL-1/(wC)]=|Z|∠j
wL > 1/(w C )，X>0， j >0，电路为感性，电压领先电流； wL<1/(w C) ，X<0， j <0，电路为容性，电压落后电流； wL=1/(w C ) ，X=0， j =0，电路为电阻性，电压与电流同相。
若N0的等效阻抗记为Z=R+jX
则 当X>0，称Z呈感性(电压超前电流)； 当X<0，称X呈容性(电压滞后电流)。
Z | Z | φ z R jX
显然，|Z | 、R、X之间的关
系，可以用一个直角三角形 (或阻抗三角形)来表示。
|Z|
jZ
X
R 阻抗三角形
复导纳Y 类似地，可以定义复导纳Y：
用相量法分析R、L、C串联电路的阻抗。 . i R jw L I R L . u + + L + + uR + UL + + . 1 u u C C U jω C 由KVL：
+. -
UC
u uR uL uC . . . . . . 1 . 其相量关系也成立 U U R U L UC R I jwL I j I wC 1 1 [ R j ( wL [ R j ( X X )] I )] I L C Z R jw L j wC wC ( R jX ) I R jX
其相量模型为 . jw; UL 1 jω C
.
1 o 15 j56.5 j26.5 33.5463.4 Ω Z R jw L j wC
计算机电路基础 第2章 正弦稳态电路的相量分析法
上式表明两个同频率正弦量的相位之差等于它们的初相之差。相位
差不随时间变化，与计时起点也没有关系。通常用相位差的量值来反映
两同频率正弦量在时间上的“超前”和“滞后”关系。
用相位差判断相位关系的方法：以上式为例，若 = θ1 - θ2 ＞0，表 明i1（t）超前i2（t），超前的角度为 ；若 =θ1 - θ2 ＜0，表明i1（t）滞 后i2（t），滞后的角度为||。下图（a）、（b）分别表示电流i1（t）超 前i2（t）和i1（t）滞后i2（t）的情况。
称为正弦量的瞬时值，一般用小写字母如i（t k ）、u（t k ）或i、u来表示
时刻正弦电流、电压的瞬时值。
解析式：表示正弦量的瞬时值随时间变化 规律的数学式叫做正弦量的瞬时值表达式，
也叫解析式，用i（t），u（t）或i、u表示。
正弦曲线：表示正弦量的瞬时值随时间变 化规律的图像叫正弦量的波形。右图所示为 一个正弦电压的波形。
第2章 正弦稳态电路的相量分析法
2.1 正弦交流电路的基本概念
1.1.1 电路理论及其发展
电路理论：电路理论是关于电器件的模型建立、电路分析、电路综 合及设计等方面的理论。
电路理论是物理学、数学和工程技术等多方面成果的融合。物理学， 尤其是其中的电磁学为研制各种电路器件提供了原理依据，对各种电路 现象作出理论上的阐述；数学中的许多理论在电路理论得到广泛的应用， 成为分析、设计电路的重要方法；工程技术的进展不断向电路理论提出 新的课题，推动电路理论的发展。
正弦电压、电流的解析式可写为
u(t) Um sin t u
i(t
)
Im
sin
t
i
第2章 正弦稳态电路的相量分析法
电路相量法和正弦稳态电路的分析
故
图 (c):以 电 感 与 电 容 的 并 联 电 压 为 参 考 相 量
I2.82A 8
U C 3 0 1 A 3 0 0 V I I C I L j - 2 j = - j A , U U R U C 4 0 j + 3 0 = 5 0 5 3 . 1 V
6.2 正弦量的相量表示法
2、正弦量的相量表示
i(t) Im c(o t si)2 Ic ( to s i)
Re
2
Ie
j(t
i
)
Re
2
Ie
ji
e
jt
Re
2
I
e
jt
Re I m
e
jt
其中：
UjLI jXLI
感抗： XL L 有效值： U LI 相位： u i 90
U j
u
I
i
I
j L
t
U
O
1
i O
电压超前于电流 90°
u
6.3 正弦稳态电路的相量模型
例题 电路中已标明电压表和电流表的读数，试求电压 u 和电流 i 的有效值。
60V
6.3 正弦稳态电路的相量模型
例题 已L=知3如H，图所C示=5电路1中0-3Fi S 。 试0 . 求2 c 电o （ s 压 ut R 、4 u5 L） A 和,u C 1 0 r 。a d / s , R 2 0 ,
R
根据
iS +
uR –
C
用相量法分析电路的正弦稳态响应基础知识讲解
用相量法分析电路的正弦稳态响应
一、电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较
电阻电路
KCL i 0
KVL
u 0
元 件 约 束 关 系 u Ri
或 i Gu
相量法分析正弦稳态电路
KCL I 0
KVL
U 0
元件约束关系 U ZI
或 I YU
(2 j4)I1 j2I2 0
I1 1.2429.7 I2 2.7756.3
i1 21.24sin(103 t 29.7 )A i2 22.77sin(103 t 56.3 )A
节点法
(
1 3
1 j4
1 j
2
)U 1
10 2I1 3 j2
I1
10
U1 3
例2
IS
Z2
I 已知：IS 490A , Z1 Z2 j30 Ω
50 3
•
I2
•
I2'
•
I
''
2
2.3130o 1.155 135o
1.23 15.9o A
例4 已知：Z=10+j50 , Z1=400+j1000。
I Z
问：β等于多少时，US和I1相位差90o ?
+ U S
I1 Z1
βI1
分析：UI1S
US I1
-
令 90o.
解
U S ZI Z1I1 Z (1 β)I1 Z1I1
* |Z1|1 •|Z3|3 = |Z2|2 •|Zx|x
Zx
|Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|
Z3
1 +3 = 2 +x
用相量法分析正弦稳态电路
理就可类推来分析正弦稳态电路。这样的方法总称为相量法。在应用相量法分析电路时， 首先应注意对应
的量 ， 正弦稳态电路与线性 电阻性电路对应 的量是： 与 “ ， 对应 ， 与 对应 ， Ｚ与 Ｒ对应 ， 与 Ｇ对应 。其 ， ， 次， 对正弦稳态电路中每一个不含独立源的二端网络（ 或元件 ） 都注以它的复阻抗或复导纳 ， 得到与原电路
术基础》 的教 学及研 究 ； 美英 （９２一 ， ， 西鹿寨人 ， 州职 业技术 学院电子电 气工程 系讲师， 事电力 系统 冯 １７ ） 女 广 柳 从 覆 自动化教 学和研 究。
维普资讯
柳州职业技术学院学报
２０ 年 １ 月 ０６ ２
３线圈参数的测定
对应的相量模型。在应用相量法进行电路分析时， 有的可用相量形式的欧姆定律和基尔霍夫定律直接分析 ，
有的还须利用相量图进行辅助分析 ， 这是正弦稳态电路分析 的重点、 难点。
［ 收稿 日 ２０ — ９ ２ 期］０６ ０ — ４ ［ 作者简介］ 邱燕雷（９７ ， 福建长汀人， １６ 一） 男， 高级讲师， 武汉大学电气工程学院工程硕士。 主要从事《 电路与磁路》 《 、电子技
析 问题 、 决 问题 的能 力 。 解 ２相量 法简 介
在线性电路中， 如果激励是正弦量 ， 电路中各支路和电压和电流的稳态响应将是同频率的正弦量； 则 如
果电路中有多个激励且都是同一频率的正弦量 ， 则根据线性 电路的叠加性质， 电路全部响应都将是同一频率 的正弦量； 处于这种稳定状态的电路称为正 弦稳态电路。电力工程中遇到的大多数问题都可以按正弦稳态 电路处理 ； 许多电气 、 电子设备的设计和性能指标也往往是按正弦稳态考虑的； 电工技术中的非正弦周期 而
函数可以分解为频率成整数倍的正弦函数的无穷级数 ； 这类问题也可以应用正弦稳态方法处理 。所 以正弦 稳态 电路的分析是高等学校《 电路基础》 课程的重点内容 ， 具有非常重要的理论意义。
正弦稳态电路的分析
正弦稳态电路的分析1.复数法分析：a. 复数电压和电流表示：将正弦波电流和电压表示为复数形式，即I = Im * exp(jωt)，V = Vm * exp(jωt)，其中Im和Vm为幅值，ω为角频率，j为虚数单位。
b.使用欧姆定律和基尔霍夫定律来建立复数表达式。
c.找到电路中的频域参数，如电阻、电感和电容等，并使用复数法计算电路中的电流和电压。
d.计算电源电压和电流的相位差，这会决定电路中的功率因数。
2.相量法分析：a.相量表示：将电路中的电流和电压表示为相量形式，即以幅值和相位角表示，例如I=Im∠θ，V=Vm∠θ。
b.使用欧姆定律和基尔霍夫定律来建立相量表达式。
c.对电路中的频域参数应用相量法，计算电路中的电流和电压。
d.计算电源电压和电流的相位差，以确定电路中的功率因数。
无论是复数法还是相量法，分析正弦稳态电路的关键是计算电路中的电流和电压的幅值和相位。
在计算过程中，需要使用复数代数、欧姆定律、基尔霍夫定律以及频域的电路参数等相关知识。
在实际应用中，正弦稳态电路的分析主要包括以下几个方面：1.交流电路中的电阻：电阻对交流电流的影响与直流电路相同，即按欧姆定律计算。
复数法计算时，电流和电压与频率无关，可以直接使用欧姆定律计算。
2.交流电路中的电感：电感器对交流电流的响应取决于电流的频率。
复数法计算电感电压和电流时，需要将频率变量引入到电感的阻抗中。
3.交流电路中的电容：电容器对交流电压的响应取决于电压的频率。
复数法计算电容电压和电流时，需要将频率变量引入到电容的阻抗中。
4.交流电路中的复数阻抗：电路中的电感、电容和电阻组成复数阻抗。
复数阻抗可以用来计算电路中的电流和电压。
根据欧姆定律和基尔霍夫定律，可以建立复数电流和电压之间的关系。
5.交流电路中的功率因数：功率因数是电路中有功功率与视在功率之比。
在分析正弦稳态电路时，可以计算电路中电源电压和电流的相位差，从而确定功率因数。
总结起来，正弦稳态电路的分析步骤包括选择复数法或相量法、建立复数或相量表达式、计算电流和电压的幅值和相位、计算功率因数等。
第 4 节 正弦稳态电路的相量分析
第 4 节正弦稳态电路的相量分析相量分析法相量分析法是针对正弦量激励下、且电路已进入稳态时的动态电路的分析。
因为电路在正弦量的激励下，各处的响应都是同频率的正弦量，因此，将电路的激励和响应都用相量来表示，把电阻、电感、电容元件用复数阻抗或复数导纳表示，将电路定律用相量形式表示，把时域电路转换成相量电路之后，描述动态电路的方程就由时域中的微分方程转换为频域中的复数代数方程，求解复数代数方程，求得各响应的相量，然后再将这些响应的相量转换成时域的正弦函数表达式。
相量分析法的步骤正弦量用相量表示，电阻、电感、电容元件用阻抗或导纳表示，画出相量电路；2 、相量电路中，用电阻电路的分析方法求解各响应的相量；3 、将求得的响应相量转换成时域的正弦函数表达式。
例 7.4-1 电路如图 7.4-1 （ a ）所示，已知，求 uS ， iL 和 ic 。
解：电流 iR 的相量为感抗容抗所以，得到相量电路如图 7.4-1 （ b ）所示。
图 7.4-1 （ b ）中，有则由 KCL 得由 KVL 得将相量再转换成正弦函数表达式，得例 7.4-2 电路如图 7.4-2 所示，已知，，电压源的角频率，求电流 i1 和 i2 。
解：用节点电压法求解，设节点 a 、 b 的节点电压分别是和，列写节点电压方程，节点 a ：节点 b ：代入参数并整理，得则，所以，因此，，例 7.4-3 电路如图 7.4-3 所示，已知电压源，求电流。
解：这是一个含有受控源的单回路电路，用相量法分析时，也可将受控源当独立源处理。
由 KVL 得，代入参数，得则一、有功功率无源二端网络 N 中含有线性电阻、电容、电感、受控源等元件，阻抗为。
其端电压和端电流分别为。
二端网络 N 吸收的瞬时功率为平均功率（ average power ）是指在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，用 P 表示，即有功功率在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，称为平均功率，又称有功功率（ active power ），单位为瓦（ W ）。
第九章-正弦稳态电路的分析
例：9-4-2如图，列出节点电压相量方程
33
-j5Ω
1
2
5Ω 10o A
j12Ω
j5Ω -j10Ω
10Ω -j0.5A
设节点与参考节 点如图
(1 5
1 j10
1 j12
1 )U j5 1
(
1 - j5
1 )U j12 2
00
A
I 2
3
.
1
4
-
300
A
I 3.14300 A
R jωL IU2S（略）
练习9-7
习题：9-1 （b）、（e）
23
9-3 （4）
9-7 9-11
说明：9-7 求R、L时，习题解答单纯根据相量电 路列方程求解较麻烦，借助相量图分析得 到电流电压相量，然后，由
Z
R
jωL
U I
部分答案参考：
9 （1 b)Zin 2 j, Yin 0.4 j0.2
=2A。求电流表 A 读数
1
I
解：利用KCL建立电路方程
+
U
-
A
R1
-j 1
A1 I1
I2 A2
R2
1、设I2 20O
I 1
R1
U
j1 ωC
U00
1 ωC
j1 ωC
I1 1A
I1 14 5O
I14 5O
ωC
2 、I I1 I2 0 . 7 0 7 j 0 . 7 0 7 2 I 2 . 7 0 72 0 . 7 0 72 2.8( A )
Yeq Y1 Y2 Yn — 端口等效导纳
两个阻抗并联，则等效导纳：
Y
Y 1
正弦稳态电路的相量分析法
i + vR − + vL −
İ + VR1 − + VL −
+
R1
v
−Hale Waihona Puke (a)L iC + iR2
+
R1
C vC R2 V
−
−
(b)
jωL İC + İR2
1 jωC
VC
R2
−
(c)
图5.14 例5.6图
İ İC
İR2
V VL VR1
VC=VR2
2006-1-1
！
3
正弦稳态电路的相量分析法(3)
解 根据电路图画出其相应的相量模型如图5.14(b)所示。感抗和容抗分别为
进而得到电容和电阻上的电流
IC
VC jX C
89.4 26.6 j100
0.89463.4(A)
IR
VR R
89.4 26.6 50
1.79 26.6(A)
各电流、电压的相量关系如图5.14(c)所示。
2006-1-1
！
5
正弦稳态电路的相量分析法(5)
当然，电压 和 也V可C 以V利R 用分压公式求得。下面应用PSpice对该 题进行仿真。电路如图5.14(d)所示，这里使用电压源VSIN元件， 其参数设置如下：偏置值VOFF=0，幅值VAMPL=141.4，频率 FREQ=159.15，其他为默认值。采用瞬态仿真，参数为：采样步 长Print Step=1ms，终了时间Final Time=40ms。因篇幅有限，且 使结果清晰，只显示电压源v和电容电压vC的波形，如图5.14(e)所 示。两个电压的相邻幅值的时间差为Δt = 14.6 − 14.137 = 0.463(ms)，则相位差为φ = Δt∙ω = 0.463(rad) = 26.53°，且电压 源v超前电容电压vC，这与前面结果是吻合的。将幅值转换为有效 值后，与计算结果也是相同的。
电路相量法线性电路正弦稳态分析
电路相量法线性电路正弦稳态分析1.电压与电流的相量表示首先，我们需要将电压和电流用复数形式的相量表示。
假设电压和电流的实部为振幅值，虚部为相位，如U=U_m*cos(ωt+θ)，则它可以表示为复数形式U=U_m*e^(j(ωt+θ))，其中j是单位复数。
同样地，电流也可以用相同的方法表示为I=I_m*e^(j(ωt+φ))。
2.基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律可以用相量法表示为对于任意一个闭合回路，克里希霍夫定律成立，即回路内各个支路电流的相量之和为零。
用数学表达式表示为Σ(I_k*exp(jφ_k))=0，其中I_k和φ_k分别是第k个支路的电流和相位。
3.串联、并联和共模的相量法表示对于串联和并联的电路元件，可以通过相量法进行计算。
对于串联元件，电流相同，电压相加；对于并联元件，电压相同，电流相加。
此外，共模是指回路中存在两个相反方向的电流，通过相量法，可以将其看作一个共模电流流过一个电感电容等效电路。
4.电压和电流的复数表示在相量法中，使用复数形式的电压和电流，可以方便地进行计算。
对于电压U和电流I，它们的相量形式可以表示为U=U_m*e^(jωt)和I=I_m*e^(j(ωt+φ))，其中，U_m和I_m分别为电压和电流的幅值。
5.相量法的求解步骤相量法有以下优点：可以方便地进行复数运算，简化计算步骤；能够清晰地表达电压和电流之间的相位差关系；可以方便地进行电压和电流的幅值和相位的计算。
在进行电路相量法线性电路正弦稳态分析时，我们首先需要将电路中的元件转化为复数形式，然后应用基尔霍夫定律和串、并联的性质进行计算，得到电路的复数形式的电压和电流。
最后，根据计算结果可以得到电压和电流的幅值和相位。
总结起来，电路相量法是一种有效的用于线性电路正弦稳态分析的方法，通过将电压和电流用相量表示，并进行复数运算，可以方便地求解电路中的电压和电流的幅值和相位。
电路相量法在电路分析和设计中具有重要的应用价值。
电路相量法线性电路正弦稳态分析
电路相量法相量法是线性电路正弦稳态分析的一种简单有效的方法。
应用相量法，需要运用复数的运算。
复数F的代数形式F=a+jb式中j = □为虚单位（在数学中常用i表示，在电路中已用i表示电流，故改用j）复数F的实部为Re[F]=a,虚部为Im[F] = bRe: Real Part;复数的实部Im: Imaginary Part;复数的虚部cos: cosine;余弦函数sin: sine;正弦函数arg: argument of a complex number 复数的辐角一个复数F在复平而上可以用一条从原点0指向F对应坐标点的有向线段（向量）表示复数F的三角形式F = |F|（cos 0 + j sin0）=|F| cos 0 + j|F| sin 0 =a+jb |F|为复数的模（值），6为复数的辐角，即6 = argF° 8可以用弧度或度表示。
|F| = Va2+b20=tan_1（I）根据欧拉公式e j0 = cos 0 + sin 0则复数的三角形式可转变为指数形式 F = |F|』° 指数形式有时改写为极坐标形式F = |F|Z0复数的相加和相减用代数形式进行，设：Fi=ai + jb「F2 = a2 + jb2则F i ± F2 = (a i+ jb J ± (a2 + jb2)=(a1± a2)+j(b x± b2)复数相乘用指数形式比较方便FiF2 = |Fje 怏IF2I』叭=iFjlFzl』©"』所以|F1F2| = |F1||F2| arg(F1F2)=arg(F1)+arg(F2) 复数乘积的模等于各复数模的积，英辐角等于个复数辐角的和复数相除的运算为可=區页=芮内一％Fi = IF1Iarg(寻)=arg(Fi) 一arg(F2)+jF1F2' 02茫/&/FfFt复数e^0 = 1Z0是一个模等于1,辐角为6的复数。
相量法
I a b
2 2
I
jb a
29
b arctg a
3. 两相量积的代数表示 设 ju
U Ue
*
Ie ji I
I Ie * ~ j u j i S U I Ue Ie
j i
UIe
6
例如：
f 50Hz 50kHz 50MHz T 20ms 20us 0.02us 6000km 6km 6m
工频 低频 甚高频
7
第1节、复数
• F=a+bi • 复数的相量表示 • 复数的基本运算
8
第2节、正弦量（正弦交流信号）
• F(t) = F0Cos(t+) • i(t) = ImCos(t+i) • u(t) = UmCos(t+u)
U bc 8 30V 2
相量 时域 相量图
47
uac 5.03Cos(t 67.4)V
5.03 67.4V U ac 2
相量法求解正弦稳态解的过程回顾
时域模型 相量模型
时域方程 相量方程
解微分方程
时域解
相量解
48
(t)
t
A(t )
t=0
21
旋转矢量
A(t )
模
旋转角速
A
振幅 ACos(t ) A
正弦量
角频率
初相
t = 0时与实轴夹角
22
设
i1 2 I1Cos(t 1 )
i 2 2I 2Cos(t 2 )
i1 i 2 Re[ A1 (t )] Re[ A2 (t )] Re[ A1 (t ) A2 (t )]
正弦稳态交流电路相量的研究
正弦稳态交流电路相量的研究正弦稳态交流电路是电工学中重要的内容，它是指电路中电流、电压等信号都是正弦函数的交流电路。
相比于非稳态交流电路，稳态交流电路的分析更加简单，并且实际应用非常广泛。
本文将对正弦稳态交流电路的相量进行详细研究。
在正弦稳态交流电路分析中，我们经常将电压或电流表示为以下形式：V = Vm * exp(jωt + φ)其中，V表示电压的相量形式，Vm是电压信号的幅值，ω表示角频率，t表示时间，φ表示电压相对于参考电压的相位差，exp(jωt)是一个指数函数。
在相量形式中，我们可以使用复数运算的方法简化电路计算。
例如，如果在电路中有两个电阻R1和R2串联，流过它们的电流分别为I1和I2，那么我们可以使用相量表示为：I=I1+I2其中I是总电流的相量。
此外，相量还可以用来表示电路中的复杂元件，如电感和电容。
对于电感元件，其电流和电压之间的关系为：V=jωL*I其中L表示电感的感值。
这样，我们可以将电感的电压表示为相位比电流大90°的相角函数。
同样，对于电容元件，其电流和电压之间的关系为：I=jωC*V其中C表示电容的电容值。
这样，我们可以将电容的电流表示为相位比电压小90°的相角函数。
利用相量的思想，我们可以将正弦稳态交流电路简化为求解线性方程组的问题。
通过建立和求解这些线性方程组，我们可以求得电路中各元件的电流和电压。
在正弦稳态交流电路中，还有一些重要的定理可以帮助我们更好地理解和分析电路。
例如，欧姆定律在稳态下仍然成立，即电压等于电流乘以电阻。
此外，有理电路定理也适用于正弦稳态交流电路。
有理电路定理表明，只要电路中只包含电阻、电感和电容这些有理元件，那么该电路的响应将始终是正弦函数。
总之，正弦稳态交流电路的相量分析方法非常重要，它帮助我们简化电路分析，并且可以应用于各种电路中，包括线性电路和非线性电路。
通过正确理解和运用相量分析方法，我们可以更好地理解电路中电流和电压之间的关系，以及各元件之间的相互影响。
第 4 节 正弦稳态电路的相量分析
第 4 节正弦稳态电路的相量分析相量分析法相量分析法是针对正弦量激励下、且电路已进入稳态时的动态电路的分析。
因为电路在正弦量的激励下，各处的响应都是同频率的正弦量，因此，将电路的激励和响应都用相量来表示，把电阻、电感、电容元件用复数阻抗或复数导纳表示，将电路定律用相量形式表示，把时域电路转换成相量电路之后，描述动态电路的方程就由时域中的微分方程转换为频域中的复数代数方程，求解复数代数方程，求得各响应的相量，然后再将这些响应的相量转换成时域的正弦函数表达式。
相量分析法的步骤正弦量用相量表示，电阻、电感、电容元件用阻抗或导纳表示，画出相量电路；2 、相量电路中，用电阻电路的分析方法求解各响应的相量；3 、将求得的响应相量转换成时域的正弦函数表达式。
例 7.4-1 电路如图 7.4-1 （ a ）所示，已知，求 uS ， iL 和 ic 。
解：电流 iR 的相量为感抗容抗所以，得到相量电路如图 7.4-1 （ b ）所示。
图 7.4-1 （ b ）中，有则由 KCL 得由 KVL 得将相量再转换成正弦函数表达式，得例 7.4-2 电路如图 7.4-2 所示，已知，，电压源的角频率，求电流 i1 和 i2 。
解：用节点电压法求解，设节点 a 、 b 的节点电压分别是和，列写节点电压方程，节点 a ：节点 b ：代入参数并整理，得则，所以，因此，，例 7.4-3 电路如图 7.4-3 所示，已知电压源，求电流。
解：这是一个含有受控源的单回路电路，用相量法分析时，也可将受控源当独立源处理。
由 KVL 得，代入参数，得则一、有功功率无源二端网络 N 中含有线性电阻、电容、电感、受控源等元件，阻抗为。
其端电压和端电流分别为。
二端网络 N 吸收的瞬时功率为平均功率（ average power ）是指在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，用 P 表示，即有功功率在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，称为平均功率，又称有功功率（ active power ），单位为瓦（ W ）。
3-正弦电路的相量分析法
正弦电路的相量分析法—————————————————————电路分析第4单元：正弦稳态相量分析第五节正弦电路的相量分析✮✮✮线性电路，单一频率正弦激励下的稳态电路前提条件工具(1) 引入相量形式欧姆定律，将微分积分化为复代数运算。
(2) 由于KCL和KVL相量形式成立，前面线性电路分析的等效方法，规范化方法及线性电路的定理可直接应用于相量模型。
(3) 相量图作为辅助工具正弦稳态电路分析的一般步骤(1) 将电路时域模型变为相量模型，并画出相量电路图(2) 按直流电路的分析方法求出相量解(3) 将结果表示为时间函数R=1/3F1C=1/3F2C)t(v1v1v2t A22sin3()cbaΩ1VOCΩΩ1∠200AIscbaV21V1-j例用戴维南定理求v(t)的正弦稳态响应求电容C2两端戴维南等效电路==∠sV RI V120()=+=+OCV V j V j V11224()有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）将bc 短路，求短路电流01))(2()1(1=⋅-----S SC I j V j I )(11SC S I I V -⋅=02)2(2)1(=----SC SC I j j I )(142A j j I SC ++= )(1142420Ω+=+++==j j j jI V Z SC OC)(6.2652241)42(00V j j j j j j Z j V V OC -∠=-=-+-+=--= ))(6.263sin(102)(0V t t v -=ocV Z 0-j Vbcc)(020A ∠S I 12V b a -j 1V 1ΩSC IV o 0∠12= V a I Ω4j V 1Ω10 V 2Ω6j -Ω2Ω52I b 试用节点分析法求出从ab 端口向右看去的阻抗Z 例将受控电流源当作独立源处理，列出节点方程+--=+12(1101514)11042 j V V Vj I -++-=-12110(110126)2 V j V I =- I V V j 1()/4 --=-j V V j 12(615)2180 -+++=j V j V j 12(210)(33)120=-=∠-V j V 109.62 3.9410.422.3()=-=-+I V V j j j 1()/4(129.62 3.94)/4=∠-A 01.1531.1() Z V I 10.422.31.1531.19.038.81000==∠-∠-=∠Ω先变换为电流源与电感并联有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）。
正弦稳态响应
du C 2 u C 2 cos(3t 45 ) dt
将正弦电流用相量表示
iS (t ) 2 cos(3t 45 ) Re(2e
e j3t ) e j3t ) u Cp (t ) U Cm cos(3t u ) Re(U Cm
代入微分方程中
j3t Re[(j3 2 ＋ 1)UCme ] Re(2e e ) j3t j45
2 2
2
(10 8)
u i arctan(CR )
(10 9)
微分方程的完全解为
uC (t ) Ke
可以求得
t RC
U Cm cos( t u )
(t 0) (10 10)
K uC (0) U Cm cos u
最后得到电容电压uC(t)的全响应为
uCp (t ) 0.329cos(3t 35.5 )V
这是图10－9所示电路中电容电压uC(t)的特解，也是电
容电压的正弦稳态响应。
例10-5 图10－11所示RLC串联电路中，已知
uS(t)=2cos(2t+30)V, R=1, L=1H, C=0.5F。 试用相量法求电容电压uC(t)和电感电流iL(t)的特解。
等，由此得到一个复系数的代数方程
1 (j C )U Cm I Sm R
(10 12)
求解此代数方程得到电容电压相量为
U Cm
I Sm U Cm u jC 1 / R
电容电压的振幅和初相分别为
U Cm
I Sm
2 C 2 (1 / R) 2
对方程先求导，再取实部
e jt )] RC Re[( j )U e jt )] Re(U e jt ) LC Re[( j ) 2U Cm Cm Cm e jt ) Re(U
第08章 相量法
F1
F1 F2
F2
+1
O
F2
3、乘法 用极坐标形式比较方便 设
F1 | F1 | 1
F2 | F2 | 2
F F2 F 1 F2 2 1 1
F F2 / 1 2 1
4、除法
F1 F2
| F1 | 1
| F2 | 2
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
几何意义 +j
F1 F2
F1
F2
O
+1
2、减法 用代数形式进行， 设
F1 a1 j b1
F2 a2 j b2
F1 F2 (a1 j b1 ) (a2 j b2 )
几何意义
+j
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
二、正弦量的三要素
i + 瞬时值表达式： i(t ) u -
I m cos(t i )
1、振幅Im 2、角频率ω
i(t ) I m cos(t i )
i
Im 2π π 2π ωt
正弦量在整个振荡过程中达到的最大值
反映正弦量变化的快慢 ω =d(ωt+ )/dt 单位时间内变化的角度, 单位:rad/s ωT=2π,ω=2πf , f=1/T 频率f :每秒钟完成循环的次数， 单位为赫兹（Hz） 周期T :完成一个循环变化所需 的时间,单位为秒（s）
接下来…… i(t)=Imcos( t + )
(a) 角频率 ( )
所有电压电流均以相 同角频率ω变化!!
(b) 幅值 (Im)
(c) 初相角( )
用什么可以同时表示幅 值和相位？
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U S4_
+
•
U S5_
解：
(Y2 Y3 )U 1 Y3U 2 IS1
Y3U1 (Y3 Y4 Y5 )U 2 Y4U S4 Y5U S5
例 3: 已知: R1 1000 , R2 10 , L 500mH , C 10F ,
U 100V , 314rad / s , 求:各支路电流。
9. 4 用相量法分析电路的正弦稳态响应 9.5 正弦电流电路中的功率 9. 6 复功率
9. 4 用相量法分析电路的正弦稳态响应
步骤：
① 画相量运算电路 R , L , C 复阻抗
i , u U 列写电路的回路电流方程 _ U S +
jL R1 R2
IS
1
R4
求：I.
Z1
Z3
Z
解： Z2
Z1Z3 +
( Z1 // Z 3 )IS
-
法一：电源变换
30( j30)
I Z1 // Z3 30 j30 15 j15
Z
I
IS(Z1 // Z3 ) Z1 // Z3 Z2 Z
j4(15 j15) 15 j15 j3045
5.65745o 5 - 36.9o
1.1381.9o A
55.4
(32 R2 )2 (314L)2 32
80
55.4
R22 (314L)2 32
解二：
U
U2
U
2 1
U
2 2
2U1U 2
cos
U 2 U L cos 0.4237 115.1
2
U 1
U R2 I
2 180 64.9
U L2 U2 sin 2 80 sin64.9 72.45V
解：
Z1
Z2
由平衡条件：
Zx
Z3
Z1 Z3= Z2 Zx
R1(R3+j L3)=R2(Rx+j Lx)
∴ Rx=R1R3 /R2 Lx=L3 R1/R2
例6.
•
I
+
•
U_S
已知：Z=10+j50 , Z1=400+j1000。
Z
问：β 等于多少时，I1和U S相位差90o ?
•
I1
Z1
•
β I1
分析：找出 I1和U S 关系：U S Z转 I1
法二：戴维南等效变换
Z0
+
•
U0
•
I
Z IS
Z2
Z1
Z3 U 0
-
求开路电压：
U 0 IS (Z1 // Z3 ) 84.8645o V
求等效电阻：
Z0 Z1 // Z3 Z2 15 j45Ω
I U 0 84.8645 1.1381.9o A Z0 Z 15 j45 45
例5. 已知平衡电桥Z1=R1 , Z2=R2 , Z3=R3+j L3 。 求：Zx=Rx+jLx。
•
例8. 移相桥电路。当R2由0时， U ab 如何变化?
IC
+
+
U 1
R1
R2
U R
U_
- ab
U-+2
R1ºU
º
ab
+
U C
-
U C
解： 用相量图分析
U 1
U 2
由 相 量 图 可 知,
当R2改 变,
Uab
1 U 不变, 2
相 位 改 变;
当R2=0， 180；当R2 ， 0。
θ为移相角，移相范围180o ~ 0o
R3
jc
解：
(R1 R2 jL)I1 (R1 jL)I2 R2 I3 U S
(R1 R3 R4 jL)I2 (R1 jL)I1 R3 I3 0
(R2
I4
R3
IS
1
jC
)I3
R2 I1
R3 I2
1
jC
I4
0
例2. 列写电路的节点电压方程
1
Y3 2
Y1
IS1
Y4
Y5
Y2
+
i2 R1 i1
i3 C
+
R2
_u
L
I1
I2 R1
I3
j 1 C
+
U _
Z1
R2 Z2
jL
解：画出电路的相量模型
Z1
R1 ( R1
j
1
C
)
j
1
C
1000 ( j318.5) 1000 j318.5
318.5 103 90 1049 17.67
303.6 72.32 92.20 j289.3
Z2 R2 jL 10 j157Ω
I1
U Z
1000 167.2 52.31
0.59852.3
A
I2
R1
j
1
C
j 1
C
I1
j318.5 1049 17.67
0.59852.3
0.182 20.0
A
I3
R1 1
R1 j C
I1
1000 1049 17.67
0.59852.3
0.57070.0
A
瞬时值表达式为：
i1 0.598 2 sin(314t 52.3 ) A i2 0.182 2 sin(314t 20 ) A
i3 0.57 2 sin(314 t 70 ) A
例4.
IS
Z2
I
已知：IS 490o A , Z1 Z 2 j30Ω Z3 30Ω , Z 45Ω
Z转实部为零 , U s 与I 相位差为90o.
解： U S ZI Z1I1 Z (1 β)I1 Z1I1
U S I1
(1 β)Z
Z1
410 10β j(50 50β 1000)
令 410 10β 0 ，β 41
U S I1
j1000
故 电 流领 先 电 压 90o .
给定R2求移相角
tan(1 ) UC
2
UR
1
IC C 1 IC R2 R2C
U 1
U 2
由此可求出给定电阻变化范围下的移相范围
9.5 正弦电流电路中的功率
无源一端口网络吸收的功率( u, i 关联)
•
I R1
+ U
+
U 1
_ R2
+ U 2
_
L2 _
例7.
已知：U=115V , U1=55.4V , U2=80V , R1=32 , f=50Hz
求： 线圈的电阻R2和电感L2 。
解一： I U1 / R1 55.4 / 32
U I
(R1 R2 )2 (L)2
U2
I
R22 (L)2
115
+ U 2 _
U+_ R2 +U_ L
| Z2 | U2 / I 80 / 1.731 46.22Ω
R2 | Z2 | cos 2 46.22cos 64.9 19.6Ω
X 2 | Z2 | sinθ 2 46.22sin64.9 41.86Ω
L2 X2 /(2f ) 0.133H
U R2 U2 cos 2 80 cos 64.9 33.94V
•
I U1 / R1 55.4 / 32 1.731A
I R1
R2
L2
UR2 I
UL2
I
33.94 1.731 19.6
72.45 1.731 41.85
+
U _
+
U 1
_ R2
L2
L2 41.85 314 0.133 H