函数解析式与复合函数

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求复合函数的定义域、值域、解析式(集锦)

求复合的定义域、值域、解析式（集锦）一、基本类型：1、求下列函数的定义域。

（1）12)(-+=x x x f （2）xx x x f -+=0)1()(（3） 111--=x y （4）()f x =二、复合函数的定义域1、若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域2（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，求函数(2)()1f xg x x =-的定义域2、函数y ＝f (2x ＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y ＝f (x )的定义域3、函数f (2x －1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x )的定义域是求函数的值域一、二次函数法（1）求二次函数232y x x =-+的值域（2）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法：（1）求函数y x =+分分式法求21+-=x x y 的值域。

解：（反解x 法）四、判别式法（1）求函数22221x x y x x -+=++；的值域2）已知函数21ax by x +=+的值域为[－1，4]，求常数b a ,的值。

五：有界性法：（1）求函数1e 1e y xx +-=的值域六、数形结合法---扩展到n 个相加（1）|1||4|y x x =-++（中间为减号的情况？）求解析式换元法已知23,f x =- 求 f (x ). 解方程组法设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式.一变：若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数,x y ，总有2()()(21),f x f x y x y y+=+++求()f x 。

令x=0，y=2x 待定系数法设 f (2x )+f (3x +1)=13x 2+6x -1, 求 f (x ).课堂练习：1．函数1211)(22+-+++=x x x x x f 的定义域为2．函数()f x =的定义域为3．已知)2(xf 的定义域为[0,8]，则(3)f x 的定义域为4．求函数542+-=x x y ，]4,1(∈x 的值域 5．求函数)(x f ＝xx213+-（x ≥0）的值域 6.求函数322322-++-=x x x x y 的值域7已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式. 8已知 2f (x )+f (-x )=10x , 求 f (x ).9已知 f {f [f (x )]}=27x +13, 且 f (x ) 是一次式, 求 f (x ). 三、课后训练：1．求函数y ＝()022x x -+要求：选择题要在旁边写出具体过程。

函数的基本性质与复合函数问题解析

函数的基本性质与复合函数问题解析函数是数学中的重要概念，在数学和应用领域中广泛应用。

了解函数的基本性质以及如何解析复合函数问题对深入理解数学的应用至关重要。

本文将从函数的定义、性质以及复合函数问题解析三个方面进行讨论。

首先，我们需要理解函数的基本定义。

函数是一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。

通常，我们用f(x)表示函数，其中x是输入变量，而f(x)是输出变量。

函数的定义域是所有可能的输入值的集合，而值域是所有可能的输出值的集合。

其次，函数具有一些基本性质。

首先是单值性，即函数的每个输入只能对应一个输出。

其次是定义域和值域的关系，定义域内的每一个元素都有对应的输出值。

再次是奇偶性，根据函数的图像是否对称于y轴可以确定函数是奇函数还是偶函数。

最后是周期性，即函数图像在某一区间内重复出现。

对于复合函数问题，我们需要理解如何解析和求解。

复合函数是由多个函数组合而成的新函数。

当两个函数相互关联时，我们可以通过复合函数的方式来表示这种关系。

例如，如果有函数f(x)和g(x)，那么它们的复合函数可以表示为f(g(x))或g(f(x))。

在求解复合函数时，我们将内部函数的输出作为外部函数的输入。

解析复合函数问题有几种常用的方法。

第一种方法是通过代数计算。

在这种方法中，我们将内部函数的输出代入外部函数中，进行代数运算，最终得到复合函数的解析式。

第二种方法是通过图像进行分析。

我们可以绘制内部函数和外部函数的图像，然后将内部函数的图像代入外部函数的图像，观察得到的复合函数的图像。

在解析复合函数问题时，还需要注意一些常见的问题。

首先是复合函数的定义域问题。

当两个函数复合时，我们需要确保内部函数的输出在外部函数的定义域内。

如果不在定义域内，那么复合函数在这些点上是没有定义的。

其次是复合函数的性质问题。

我们可以利用函数的性质，如单调性、奇偶性和周期性等，来分析复合函数的特点。

最后是复合函数的求导问题。

复合函数

复合函数一、复合函数的定义：设y 是z 的函数y =f (z )，而z 又是x 的函数z =φ(x )，设X 表示φ(x )的定义域或其中的一部分，如果对于在X 上取值时所对应的值，函数y =f (z )均有定义，则y 成为x 的函数，记为y = f [φ(x )]。

这个函数叫做由y = f (z )及z =φ(x )复合而成的复合函数，它的定义域为X ，z 叫做中间变量，f 称为外层函数，φ称为内层函数。

要求掌握把复合函数分解为几个简单函数的方法，例如是由和两个函数复合而成的。

二、复合函数的解析式：例1：已知二次函数()x f 满足()569132+-=+x x x f ，求()x f 。

分析：本题可采用待定系数法求解，但待定系数法不是求模型函数的解析式的唯一定势，解答这类问题要具体情况具体分析。

本题用换元和“凑型”的办法解决。

解法一设13+=x t ,则31-=t x 。

把13+=x t 、31-=t x 分别代入569)13(2+-=+x x x f 的左边和右边得()53163192+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t f ，即()842+-=t t t f ，∴ ()()R x x x x f ∈+-=842 。

解法二由已知，569)13(2+-=+x x x f ∴()()()813x 413x 13x f 2++-+=+，把13x +视为一个整体，有()()R x x x x f ∈+-=842.例2 已知()0x x 1x x 1x f 22>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f 。

分析由22x 1x x 1x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求()x f 的对应法则，可设t =+x 1x ，则22221t x x =++，即21222-=+t xx ，问题很容易得到解决。

随后的问题是()x f 的定义域是什么？例3、设f(x)满足()3x x 12f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+，求f(x)分析：在已知的关系式中含有f(x)和f(x 1)，求出f(x),需要消去f(x1),所以需从已知的关系中再产生一个关于f(x)和f(x1)的关系式,然后联立解出f(x),这里只要以x 1代替x ,便可得关于f(x)和f(x 1)的又一等式.三、复合函数的定义域：⒈已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域例4、函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)=f(x+21)- f(x-21)的定义域是（）(A)[0,2] (B)[23,21-] (C)[25,21] (D)[23,21]例5、已知函数f(x)的定义域是(]0,1,求g(x)=f(x+a)·f(x-a)⎪⎭⎫⎝⎛≤<-0a 21的定义域.⒉已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域例6、若函数f(x+1)的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛-,221，则f(x 2)的定义域是＿＿＿＿＿例7、函数f(x+1)的定义域为[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是( )(A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡250,(B)[-1,4](C)[-5,5](D)[-3,7]⒊由符合函数的定义域，求字母参数的取值.例8、函数96k x k x y 2+-=的定义域为R ，则k 的取值范围是＿＿＿＿＿.例9、已知函数()2bx ax x f 2++=的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21，求a+b 的值.四、复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下: ⒈复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上的单调性：引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.若函数)(x g u =在区间[]b a ,上是单调函数,函数)(u f y =在[])(),(b g a g 或[])(),(a g b g 上也是单调函数,那么复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上是即)(x g u =,)(u f y =增减性相同时, [])(x g f y =为增函数,)(x g u =,)(u f y =增减性相反时, [])(x g f y =为减函数.例10 求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)解：(方法1)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3.由u ＞0, ∵u=x 2－4x+3，∴x 2－4x+3>0 解得原复合函数的定义域为x ＜1或x ＞3.当x ∈(－∞，1)时，u=x 2－4x+3为减函数，而y=log 4u 为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x ∈(3，±∞)时，u=x 2－4x+3为增函数y=log 4u 为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间. (方法2)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＜2 (u 减)解得x ＜1.所以x ∈(－∞，1)时，函数u 单调递减.由于y=log 4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x －2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间. u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＞2 (u 增)解得x ＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间. 例11 求下列复合函数的单调区间：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2x 2x 31log y 解: 设 u 31logy =,u=2x －x 2.由 u ＞0u=2x －x2解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2. 由于u y 31log=在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x －x2的单调性正好相反. 易知u=2x －x 2=－(x －1)2+1在x ≤1时单调增.由 0＜x ＜2 （复合函数定义域） x ≤1，(u 增)解得0＜x ≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间. 又u=－(x －1)2+1在x ≥1时单调减，由 x ＜2， (复合函数定义域) x ≥1， (u 减)解得0≤x ＜2,所以[0，1]是原复合函数的单调增区间. 例12 求y=2x 6x 7--的单调区间.解: 设y=,u=7－6x －x 2,由u ≥0,u=7－6x －x 2解得原复合函数的定义域为－7≤x ≤1.因为y=在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.易知u=-x 2-6x+7=-(x+3)2+16在x ≤-3时单调增加。

复合函数解析式的求法

复合函数解析式的求法复合函数解析式是指在一个函数中，另一个函数作为其中的一个变量。

求解复合函数解析式的方法有多种，下面将详细介绍。

一、复合函数解析式的基本概念复合函数是指两个或多个函数通过运算符连接起来，形成一个新的函数。

例如，设函数f(x)和g(x)分别为sinx和cosx，则复合函数h(x)=f(g(x))=sin(cos(x))。

二、求解复合函数解析式的方法1.分解法分解法是将复合函数分解为若干个简单的单一函数，然后再根据各自的解析式进行求解。

例如，求h(x)=sin(cos(x))的解析式，可以分解为：h(x)=sin[cos(x)]=sin[sin(x)]。

2.替换法替换法是将复合函数中的某个变量用另一个变量替换，使得问题变得简单。

例如，求h(x)=cos(2x)的解析式，可以替换为：h(x)=cos(2x)=cos[2(x+π/2)]。

3.反函数法反函数法是将复合函数看作是原函数的反函数，然后求出原函数的解析式。

例如，求h(x)=ln(e^x)的解析式，可以看作是求e^x=ln(x)的反函数，得到h(x)=x。

4.洛必达法则洛必达法则是对复合函数求导的一种方法。

当复合函数的导数存在极限时，可以利用洛必达法则求解。

例如，求h(x)=(sinx)"的解析式，可以利用洛必达法则得到：h(x)=cosx。

三、实例分析求复合函数h(x)=sin(2x)的解析式。

解：利用分解法，可以将h(x)分解为h(x)=sin[2(x+π/4)]。

然后利用替换法，得到h(x)=sin[2(x+π/4)]=sin[2(x+π/4)]。

最后，利用反函数法，得到h(x)=2x。

四、注意事项1.在求解复合函数解析式时，要注意判断函数的连续性和可导性。

2.根据不同的函数形式，选择合适的求解方法。

3.在求解过程中，要注意单位的统一。

通过以上介绍，相信大家对复合函数解析式的求法有了更深入的了解。

复合函数

复合函数一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.形象的称u=g(x)为内函数，y=f(u)为外函数。

1、复合函数的解析式求解：已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。

例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f例2．已知求；2、复合函数的定义域（也叫做抽象函数定义域）1).已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

2).已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

3).已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。

例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域例2已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．例3. 函数 y=(x+1)f 定义域是[-2,3]，则=(2x-1)y f 的定义域是（）例4 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域．四、复合函数单调性问题：（1）．复合函数单调性的判断：复合函数的单调性是由两个函数共同决定。

为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同增异减”.（2）、复合函数))y=的单调性判断步骤：fg(x(1、确定函数的定义域；将复合函数分解：)(xgu=。

三、复合函数

三、复合函数撰写人：胡清涛我们在研究函数概念时知道，函数就定义域到值域的映射。

所以函数可以用映射来表示。

如函数()u f x =就可以表示为：在这个函数中集合A 是函数的定义域，变量x 是函数的“自变量”；集合B 是函数的值域，变量u 是函数的“因变量”。

那么函数()y g u =可表示为：在这个函数中集合B 是函数的定义域，变量u 是函数的“自变量”；集合C 是函数的值域，变量y 是函数的“因变量”。

将这两个函数进行比较会发现：集合B 在函数()u f x =中是“值域”，而在函数()y g u =中却变成了定义域，或者说变量u 在()u f x =中是因变量，而在函数()y g u =中却变成了自变量。

4u4x 4y4uu这个对应与我们以往所研究的的函数变量间的对应有所不同，以往我们研究的函数自变量与因变量间的对应中只有一个对应关系，而在上述x 与y 之间的对应却有两个对应法则，也就是说先使x 执行对应法则f ，再让f 作用x 所得到的结果执行对应法则g ，才得到了y 。

把上述对应用映射的形式表现出来，即：那么以x 为自变量，以y 为因变量的函数该如何来表示呢？由于()y g u = 而()u f x =，那么用()f x 替换()y g u =中的u 而得到：[()]y g f x =像这样的函数我们就称作是复合函数。

复合函数：如果y 是u 的函数()y g u =，而u 又是x 的函数()u f x =，且对于x 值所对应的u 值，函数()y g u =是有定义的, 即()y g u =,则y 关于x 的函数[()]y g f x =叫做g 和f 的复合函数。

其中称()f x 为“内层函数”；称函数()g u 为“外层函数”对应法则g 和f 可以相同，也可以不同4x 4u4y在一个复合函数中自变量与因变量之间的对应是由两个或两个以上的对应法则所确定的；在复合函数中自变量x 执行对应法则时是有顺序的，先执行内层函数的对应法则，后执行外层函数的对应法则。

复合函数的相关问题解读

复合函数的相关问题下面就将复合函数的相关问题归类总结，供参考。

一、定义对于函数y=f(u) u ∈B 与u=g(x) x ∈A ，如果x ∈A 时u=g(x)的值域C 与函数y=f(u)的定义域B 的交集非空，即C ∩B ≠φ，那么就说y=f(u) u ∈B 与u=g(x) x ∈A 可以复合，称函数y=f(g(x))叫做y=f(u) u ∈B 与u=g(x) x ∈A 的复合函数，其中y=f(u)叫做外函数，u=g(x)叫做内函数。

比如，20)y u u x ≥=-与(x ∈R)的复合函数是0)y x ==。

∵u=－x 2≤0与u ≥0的交集为{0}，∴二者可以复合，但定义域发生了变化，复合后的函数的定义域既不是u ≥0，也不是x ∈R ，而是x=0。

也就是说复合函数的定义域既受外函数的制约也受内函数的制约（主要受外函数的制约）。

由定义知道2(0)1()y u u u x x R =≥=--∈与就不能复合成f(g(x))。

二、复合函数的定义域由复合函数的定义知道，复合后的函数定义域受两方面的制约：法则f 制约g(x)的值域，从而制约x 的取值范围，法则g 制约x 的取值范围。

因此在求复合函数的定义域时二者都需考虑。

见的题型是知道内函数的解析式和外函数的定义域，求复合函数的定义域。

例已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

分析：法则f 要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x －1)中2x －1与f(x)中的x 位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。

（注意：f(x)中的x 与f(2x －1)中的x 不是同一个x ，即它们意义不同。

）解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，∴－1≤2x －1≤1，解之0≤x ≤1，∴f(2x －1)的定义域为[0，1]。

复合函数

复合函数一、复合函数定义域及解析式例1 设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ．例2 已知x x x f 2)12(2-=+，求)122(+f例3 ①已知 ,1)(2+=x x f 求)1(-x f ；②已知 1)1()1(2++=-x x f ，求)(x f ．例4 ⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域；⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．例5 ①已知xx x f 1)1(+=- ，求)(x f ； ②已知221)1(x x x x f +=-，求)1(+x f ．例6 ①已知)(x f 是一次函数，满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求)(x f ； ②已知x xf x f 4)1(2)(3=+，求)(x f ．二、复合函数单调性及其值域①初等函数复合求单调区间与值域例1 已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，求其单调区间及值域。

（1）.求函数)(x f =2215.0x x -+的单调区间及值域（2）.求函数523421+⋅+=-x x y 的单调区间和值域.例2 求)(x f =2-4-5x x 的单调区间及值域（1）求函数f(x)=212x -的单调区间及值域例3求函数)45(log )(22x x x f --=的单调区间及值域（1）求211221(log )log 52y x x =-+在区间[2,4]上的最大值和最小值（2）求函数2log =y 2x ·4log 2x ])81[(,∈x 的最大值和最小值. ②含参数的复合函数单调性与值域问题例4 已知函数)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）试讨论其单调性。

求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的六种常用方法函数解析式是用数学语言描述数学函数的一种方法。

它可以方便地表示函数的定义域、值域、性质等，并且能够通过函数图像和方程表达式等形式直观地展现函数的特征。

下面将介绍六种常用的方法来求函数的解析式。

1.常函数法：常函数法是求解常函数的一种简单方法。

常函数表示所有的输入值都对应着相同的输出值。

常函数的解析式通常形如"f(x)=c"，其中c是常数。

常函数的定义域和值域都是全体实数值。

例如，函数f(x)=3就是一个常函数，它的输出始终为32.幂函数法：幂函数是一种具有形如y=x^a的解析式的函数。

幂函数法是通过给定了函数的一些特定点来推导出整个函数的解析式。

常见的幂函数包括正幂函数、负幂函数和倒数函数。

例如，给定函数f(x)通过点（1,2）和（2,4），我们可以通过观察得出f(x)=2^x。

3.分段函数法：分段函数是一种具有不同解析式在不同区间上的函数。

分段函数法是通过将函数的定义域按照不同的区间划分，然后在每个区间上分别确定函数的解析式来得到函数的解析式。

例如，函数f(x)=，x，在x<0时取值为-x，在x≥0时取值为x，这就是一个分段函数。

4.复合函数法：复合函数是通过使用一个函数的输出结果作为另一个函数的输入来得到的函数。

复合函数法是通过将两个或多个函数的定义域和值域相互组合，然后确定新函数的解析式来求解函数的解析式。

例如，给定函数f(x)=x+1和g(x)=2x，我们可以求得f(g(x))=2x+15.反函数法：反函数是指一个函数的自变量和因变量对换后得到的新函数。

反函数法是通过将一个函数的自变量和因变量交换位置，然后求解得到函数的解析式。

例如，给定函数f(x)=2x，我们通过交换x和y的位置，可以求得反函数f^(-1)(x)=x/26.曲线拟合法：曲线拟合法是通过已知函数的一些点来找到一个与这些点最接近的函数的解析式。

它可以应用于实验数据分析和模型建立等领域。

复合函数求解析式解题技巧

复合函数求解析式解题技巧求解复合函数的解析式是高中数学中的一种重要技巧，也是解决相关问题的常用方法之一。

对于给定的两个函数，可以通过复合运算得到一个新的函数，它是两个函数的组合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

本文将介绍复合函数求解析式的一般方法和一些常用的技巧。

一、复合函数的定义和表示复合函数是指由两个已知的函数f(x)和g(x)组成的一个新函数h(x)，它的定义如下：h(x) = f(g(x))其中，f(x)表示函数f关于自变量x的解析式，g(x)表示函数g关于自变量x的解析式，h(x)表示函数h关于自变量x的解析式。

二、复合函数求解析式的一般方法要求解复合函数的解析式，可以按照以下步骤进行。

1. 将复合函数的解析式表示出来，即h(x) = f(g(x))。

2. 将复合函数的自变量替换成中间变量，即设y = g(x)。

3. 将中间变量y代入函数f的解析式，得到h(x) = f(y)。

4. 将中间变量y的解析式替换成g(x)的解析式，得到h(x) = f(g(x))。

需要注意的是，求解复合函数的解析式时，需要注意两个函数之间的定义域和值域是否相容。

即函数g的值域必须是函数f的定义域的子集，否则无法进行复合运算。

三、常用的复合函数求解析式的技巧在实际的题目中，常常需要利用复合函数求解析式解决问题。

以下是一些常用的技巧和方法。

1. 复合函数的相反运算有时候需要求解复合函数的相反运算，即已知h(x)，要求g(x)。

可以通过以下步骤进行求解。

将复合函数的解析式表示出来，即h(x) = f(g(x))。

将复合函数的自变量和因变量互换位置，得到g(x) = f ⁻¹(h(x))，其中f⁻¹表示函数f的反函数。

需要注意的是，函数f必须是可逆的，即函数f必须是单调且一一对应的。

2. 复合函数的化简运算有时候需要求解复合函数的结果，可以通过化简运算来简化问题。

例如，已知f(x) = 2x + 3和g(x) = x²，求h(x) = f(g(x))的解析式。

人教版高中数学必修一第一章 1.2.2 复合函数问题练习(含答案)

( x1 2 x1 3) ( x 2 2 x 2 3) = ( x 2 x1 )( x 2 x1 2)
∵ x 2 x1 3
2
2
2
∴ x 2 x1 0
2
x2 x1 2 0
又底数 0
∴ ( x1 2 x1 3) > ( x 2 2 x 2 3) ∴ y 2 y1 0 即 y 2 y1
2
整理得 y x 7 x 6 ，
g ( x) x 2 7 x 6 ．
5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．例5 设 f ( x)满足f ( x) 2 f ( ) x, 求 f ( x) ．
三复合函数定义域问题 (1)、已知
n(n 1) ， 2
f ( x)

的定义域，所以，E 为的作用范围为 D，又 f 对的定义域。的定义域为_____________。，所以的作用范围为（0，1）
思路：设函数
的定义域为 D，即
x x 2 x x 4 则 2 ，解得：， y y 6 y y 3 2
点 M ( x , y ) 在 y g ( x) 上， y x 2 x ．
把
x x 4 2 代入得： 6 y ( x 4) ( x 4) ． y 6 y
① 1得：
式中的 x＝ 1， 2， …， n－ f (2) f (1) 2，f (3) f (2) 3，，f (n) f (n 1) n
将上述各式相加得： f ( n) f (1) 2 3 n ，

高一数学备考专题：解析式及复合函数求法

2021年高一数学备考专题：函数解析式及复合函数定义域求法函数解析式的一般求法：直接法、配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法、赋值法。

一、直接法：范例展示一：f(x)3x1,g(x)x21,x0，求gf(x)的解析式。

2x,x0二、配凑法：〔策略：里面有什么外面就凑什么〕范例展示二：f(x 1x0)，求f(x)的解析式。

)x2x解：f(x1)(x1)22，x12x x试一试1：f(x)x22,求f(x)的解析。

三、换元法：范例展示三：f(x 1)x2x，求f(x1 )解：令tx1，那么t1，x(t1)2试一试2：①假设函数f(x)满足f(x)2x21,求f(x)的解析。

②f(x1)x，试求f(x)的解析式。

xx 2四、待定系数法：〔知道函数类型〕范例展示四：设f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，求f(x)解：设f(x)axb(a0)，那么f[f(x)]af(x)ba(axb)ba2xabb试一试3：f(x)为二次函数，且f(x)2x,求fx的解析式。

五、解方程组法〔消参法〕范例展示五：设f(x)满足f(x)1),2f(x求f(x)解f(x)2f(1)x①，显然x0,将x换成1，得：f(1)2f(x)1②x x x x解①②联立的方程组，得：f(x)23x试一试4：①3f x f1x2，求f(x)的解析式；x②f(x)2f(1)3x24x5，试求f(x)；3x24x5，试求f(x)。

③f(x)2f ()六、赋值法：范例展示六：f(0) 1，对于任意实数 x、y，等式f(x y) f(x) y(2x y 1)恒成立，求f(x)。

解对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2x y1)恒成立，不妨令x0，那么有f(y)f(0)y(y)1y(y1)y2y1再令y x得函数解析式为：f(x)x2x1试一试5：设f(x)是定义在N上的函数，满足f(1)，对任意的自然数a,b 都有f(a)f(b)f(ab)ab，求f(x)效果跟踪：求以下函数的解析式〔1〕f(x)是二次函数，假设f(0)0,f(x)f(x)1，求f(x)；〔2〕f(x1)x2x，求f(x)；3〕假设f(x)满足（4〕假设fx满足5〕一次函数复合函数的定义：1ax,求f(x)；f(x)2f()x，求f(x)；满足,求的解析式。

复合函数解析式的求法

复合函数解析式的求法复合函数解析式是指在一个函数中，另一个函数作为其自变量出现的函数。

求解复合函数解析式是数学分析、高等数学等领域中的基本任务之一。

本文将介绍求解复合函数解析式的方法，并通过实例进行分析。

一、复合函数解析式的基本概念复合函数解析式是指形如f(g(x))的函数，其中f和g均为已知函数。

求解这类函数的解析式，通常需要对已知函数进行分析。

二、求解复合函数解析式的方法1.分解法分解法是将复合函数分解为已知函数的乘积或和的形式，从而求得解析式。

例如，对于函数f(g(x))，可以将其分解为f(x)和g(x)的乘积，即f(g(x))=f(x)·g(x)。

2.替换法替换法是将已知函数中的某一代换为另一个函数，从而将复合函数转化为单一函数。

例如，对于函数f(g(x))，可以将其中的g(x)替换为另一个函数h(x)，得到f(h(x))，然后求解h(x)的解析式。

3.反演法反演法是将已知函数的反函数作为自变量，求得原函数的解析式。

例如，对于函数f(g(x))，如果已知f(x)和g(x)的反函数，可以分别求出g(x)和f(x)的解析式。

4.构造法构造法是通过构造新的函数来求解原函数的解析式。

例如，对于函数f(g(x))，可以构造一个新的函数h(x)=f(g(x))-g(x)，然后求解h(x)的解析式。

三、实例分析以函数f(g(x))=sin(2g(x))为例，我们可以采用分解法求解其解析式。

已知f(x)=sin(x)，g(x)=2x，将g(x)分解为2x=x+x，得到：f(g(x))=f(x+x)=sin(x+x)进一步分解为：f(g(x))=sin(x)·cos(x)四、注意事项在求解复合函数解析式时，应注意以下几点：1.分析已知函数的性质，选择合适的方法；2.注意代数运算的准确性，避免出现错误；3.若已知函数具有周期性、奇偶性等性质，可充分利用这些性质进行简化。

五、总结与展望本文介绍了求解复合函数解析式的方法，包括分解法、替换法、反演法和构造法。

高中数学-求函数解析式的六种常用方法

高中数学-求函数解析式的六种常用方法求函数解析式是高中数学中的重要内容之一，常用的方法有六种。

下面分别介绍这六种方法。

一、换元法如果已知复合函数$f[g(x)]$的解析式，要求原函数$f(x)$的解析式，可以令$g(x)=t$，求$f(t)$的解析式，再把$t$换为$x$即可。

例如，已知$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$，要求$f(x)$的解析式。

设$g(x)=\frac{1}{x}$，则$x=\frac{1}{g(x)}$，代入$f(x)$得$f(g(x))=\frac{g(x)^2+11g(x)+1}{g(x)+1}$，再令$t=g(x)$，则$f(t)=\frac{t^2+11t+1}{t+1}$，最后把$t$换为$x$，得到$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$。

二、配凑法如果已知$f(x+1)=x+2x^2$，要求$f(x)$的解析式，可以使用配凑法。

首先，把$x+1$视为自变量$x$，则有$f(x)=x^2-1$，但要注意函数的定义域的变化，即$x+1\geq 1$，即$x\geq 0$。

三、待定系数法如果已知函数类型，可以使用待定系数法求函数的解析式。

例如，已知二次函数$f(x)$满足$f(0)=0$，$f(x+1)=f(x)+2x+8$，要求$f(x)$的解析式。

设$f(x)=ax^2+bx+c$，代入已知条件得到$c=0$，$a+b=8$，$2a+b=0$，解得$a=1$，$b=7$，$c=0$，所以$f(x)=x^2+7x$。

四、消去法如果已知$f(x)+2f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，要求$f(x)$的解析式，可以使用消去法。

把已知中的$f(\frac{1}{x})$用$f(x)$表示出来，得到$2f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，再把$x$换成$\frac{1}{x}$，得到$2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{1}{x-1}$，解得$f(x)=-\frac{x}{3(x-1)}$。

复合函数定义域、函数解析式

复合函数定义域、解析式第一篇复合函数定义域【知识总览】 A. 复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+；复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ ★提问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？B.定义说明：①复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

②x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。

③))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

④若)(x f 的定义域为'M ，则复合函数))((x g f 中，M x g ∈)(．注意：)(x g 的值域'M M ⊆．【例题演练】例1 求定义域：⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域； ⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．例2：已知函数)(x f 定义域是（a,b ），求)13()13()(+--=x f x f x F 的定义域．【跟踪练习】1.已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域； .2.若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域3.已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a ,求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域第二篇复合函数解析式求法【知识总览】A.解析式相关概念：1.函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y ＝f （x ），不能把它写成f （x ，y ）＝0；2.求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形. B.主要方法说明： 1.已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。

复合函数解析

复合函数解析
河南省渑池高中陈朝辉想要学习复合函数先来整理下基本初等函数，既具有原始定义的函数，都是简单函数或称基本初等函数.屈指可数的简单函数大致可罗列为：①常值函数，②正比例函数，③反比例函数，④一次函数，⑤二次函数，⑥指数函数，⑦对数函数，⑧正弦函数，⑨余弦函数，⑩正切函数，○11余切函数，等等.它们的解析式依次为：①y=c(c 是常数)，②y=kx (k 0≠)，③y=x
k （k 0≠），④y=kx+b (k 0≠)，⑤y=ax 2+bx+c (a≠0)，⑥y=a x (a>0，a ≠1)，⑦y=log a x(a>0，a ≠1)，⑧y=sinx，⑨y=cosx，⑩y=tanx，○11=cotx.
什么是复合函数? 若y 是u 的函数，记y=f(u)，u 是x 的函数，u=φ(x)，则称y 是x 的复合函数. 则复合函数应记为y=f(φ(x)).而y=f(u)称为外层函数，u=φ(x)称为内层函数
复合函数是怎样构成的? 将简单函数施行有限次的代数运算 (即加、减、乘、除、乘方、开方)或有限次的复合运算之后，所成的函数都是复合函数。

有关复合函数问题解决方法(指常规的)复合函数往往是经“简单函数”“组装”而成的，解决其有关问题时，常用“分解动作”，“化整为零”，各个击破，最后解决问题。

下面举例介绍复合函数的一些常见题型和解法。

1. 求复合函数的定义域
例1设函数f(x)的定义域为[0,1],则。

函数解析式与复合函数

求复合函数的定义域、值域、解析式(集锦)

函数的基本性质与复合函数问题解析

复合函数

复合函数解析式的求法

复合函数

三、复合函数

复合函数的相关问题解读

复合函数

求函数解析式的六种常用方法

复合函数求解析式解题技巧

人教版高中数学必修一 第一章 1.2.2 复合函数问题练习(含答案)

高一数学备考专题：解析式及复合函数求法

复合函数解析式的求法

高中数学-求函数解析式的六种常用方法

复合函数定义域、函数解析式

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