复合函数解析式的几种求法

复合函数解析式的几种求法

令狐采学

复合函数的解析式是高中数学中一个重要内容，学好它有助于我们深入理解函数的本质，对求复合函数的定义域、值域甚至整个高中数学的学习都有很重要的作用。其主要有以下几个题型：题型一已知函数 y =f（ x）的解析式，求函数 y =f［ g（x）］的解析式解法：将函数 y = f（ x）中的全部 x都用 g（ x）来代换，即可得到复合函数 y = f［ g（ x）］的解析式 .例 1 若 f（x）= 3x+ 1，g（x）= x2，则 f｛f ［g（x）］｝= .解：f｛f［ g（ x）］｝= f［3g（ x）+ 1］ = 3［3g（ x）+ 1］+ 1

=9g（ x）+ 4 = 9x2+ 4.题型二已知函数 y =f［ g（ x）］的解析式，求函数 y =f （ x）的解析式 .解法：令 t = g（ x），由此解出 x = h（ t），求出以 t为自变量的函数 y = f（ t）的解析式 .因为y = f（ t）和 y = f（ x）为同一函数，所以将函数 y = f（ t）中的全部 t都换成 x，即可得到函数 y =f（ x）的解析式 .例 2 若 f（3x + 1）= 6x +4，则 f（ x）= .解：令 t = 3x + 1，则 x =(t- 1)/3 ，∴ f（ t）= 6 × (t- 1)/3 + 4 =2t+ 2.∴ f（ x）= 2x + 2.题型三已知函数 y =f［ g（ x）］的解析式，求函数 y =f［ h（ x）］的解析式 .解法：利用题型二，由函数 y = f［ g（ x）］的解析式，可求出函数 y = f（ x）的解析式，再利用题型一，由函数 y = f（ x）的解析式，可求出函数 y = f［ h（ x）］的解析式 .例 3 若 f（2x - 1）= 4x2 + 1，则 f （ x + 1）= 解：令 t = 2x - 1，则 x =（t+ 1）/2，∴ f（ t）= 4 ×［（t+ 1）/2］2 + 1=（ t+ 1） 2+ 1，∴ f（ x）=（ x + 1）2 + 1，∴ f（x + 1）=［（x + 1）+ 1］2 + 1 = x2 + 4x + 5.题型四利用待定系数法求函数的解析式 .例 4 若 f（ x）为一次函数，f（2x+ 3）+ f（- x）=x+ 2，则 f（ x）= .解：令 f（x）= ax+ b，则 f

（2x+ 3）= a（2x+ 3）+ b= 2ax + 3a + b，f（- x）= - ax + b.由f（2x+3）+ f （- x）= 3x+ 2知，（2ax+3a+ b）+（- ax+b）= 3x + 2，即 ax + 3a + 2b = 3x + 2.显然，a = 3，解得 3a + 2b = 2 , b = -7/2.∴ f（ x）= 3x -7/2.题型五利用解方程组求函数的解析式 .例 5 若f(x)+2f(-x)=x2-x,求f(x)解析式解：

f(-x)+2f(x)=x2+x (1)

f( x)+2f(-x)=x2-x (2)

2*(1)式-（2）式整理得：3f(x)=x2+3x 所以f(x)=(x2+3x)/3