高中数学函数解析式求法
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函数解析式的表示形式及五种确定方式
函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法,本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。
一、解析式的表达形式
解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。
1、一般式是大部分函数的表达形式,例
一次函数:b kx y += )0(≠k
二次函数:c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数:x
k y = )0(≠k 正比例函数:kx y = )0(≠k
2、分段式
若函数在定义域的不同子集上对应法则不同,可用n 个式子来表示函数,这种形式的函数叫做分段函数。
例1、设函数(]()⎩⎨⎧+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81
x x x x f x ,则满足41)(=x f 的x 的值为 。
解:当(]1,∞-∈x 时,由4
12=
-x 得,2=x ,与1≤x 矛盾; 当()+∞∈,1x 时,由4
1log 81=x 得,3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式
若y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==,那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。
例2、已知3)(,12)(2
+=+=x x g x x f ,则[]=)(x g f ,[]=)(x f g 。 解:[]721)3(21)(2)(2
2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222
++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法
根据已知条件求函数的解析式,常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值(式)法、方程法等。
1待定系数法
若已知函数为某种基本函数,可设出解析式的表达形式的一般式,再利用已知条件求出系数。
例3、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1,被x 轴截得的线段长为22,求函数)(x f y =的解析式。
分析:二次函数的解析式有三种形式:
① 一般式:)0()(2≠++=a c
bx ax x f ② 顶点式:()为函数的顶点点其中k h a k h x a x f ,,0)()(2≠++=
③ 双根式:的两根是方程与其中0)(,0)
)(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f 解法1:设)0()(2≠++=a c bx ax x f ,则
由y 轴上的截距为1知:1)0(=f ,即c=1 ①
∴ 1)(2++=bx ax x f
由)2()2(--=-x f x f 知:1)2()2(1)2()2(22+--+--=+-+-x b x a x b x a 整理得:0)4(=-x b a , 即: 04=-b a ②
由被x 轴截得的线段长为22知,22||21=-x x ,
即84)()(21221221=-+=-x x x x x x . 得:814
)(2=--a a b . 整理得: 2284a a b =- ③
由②③得: 2,21==b a , ∴ 122
1)(2++=x x x f . 解法2:由)2()2(--=-x f x f 知:二次函数对称轴为2-=x ,所以设)0()2()(2≠++=a k x a x f ;以下从略。
解法3:由)2()2(--=-x f x f 知:二次函数对称轴为2-=x ;由被x 轴截得的线段长为22知,22||21=-x x ;
易知函数与x 轴的两交点为()()0,22,0,22+---,所以设)0()
22)(22()(≠-+++=a x x a x f ,以下从略。 2、换元法
例4、已知:11)11(2-=+x
x f ,求)(x f 。
解:设x t 11+=,则1≠t ,1
1-=t x ,代入已知得 t t t t t f 21)1(1111
)(222-=--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
∴ )1(2)(2≠-=x x x x f
注意:使用换元法要注意t 的范围限制,这是一个极易忽略的地方。
3、配凑法
例5、已知:221)1(x
x x
x f +=+,求)(x f 。 解: 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或
注意:1、使用配凑法也要注意自变量的范围限制;
2、换元法和配凑法在解题时可以通用,若一题能用换元法求解析式,则也能用配凑法求解析式。
4、赋值(式)法
例6、已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立,且0)1(=f 。
(1)求)0(f 的值;
(2)求)(x f 的解析式。
解:(1) 取0,1==y x ,则有
1)101()0()01(++=--f f
⇒2202)1()0(-=-=-=f f
(2)取0=y ,则有x x f x f )10()0()0(++=--.
整理得:2)(2++=x x x f
5、方程法
例7、已知:)0(,31)(2≠=⎪⎭⎫
⎝⎛+x x x f x f ,求)(x f 。 解:已知:,31)(2x x f x f =⎪⎭⎫
⎝⎛+①
用x 1去代换①中的x 得 :x
x f x f 3)()1(2=+ ② 由①×2-②得:)0(12)(≠-=x x x x f .