高中数学-求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的六种常用方法

一、换元法

已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可.

例1 已知f （x

x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 1

1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1

11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.

评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.

二、配凑法

例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.

解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，

∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，

则有

f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.

评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.

三、待定系数法

例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.

解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①

f （x+1）= a 2

)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得

⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.

7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.

x ≥0， x ＜0. 四、消去法

例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x

1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x

1去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可. 解：∵ f （x ）+2 f （x

1）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x

1（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32－3

x （x ≠0）. 五、特殊值法

例5 设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ， 有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.

分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到f （x ）函数解析式，只有令x = y.

解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得

f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.

六、对称性法

即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.

例6 已知是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2，求f （x ）函数解析式.

解：∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴y=f （x ）的图象关于原点对称. 当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），

因此当x<0时，y=2)1(+x －1= x 2 +2x.故 f （x ）=⎩⎨⎧+-x

x x x 2222 评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.