函数解析式的几种基本方法及例题
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求函数解析式的几种基本方法及例题:
1、凑配法:已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域。 此法较适合简单题目。
例1、(1)已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2).
(2) 已知2
21)1
(x x x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式 解:(1)f(x+1)=(x+1)2-1,∴f (x )=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3.
(2) 2)1()1(2-+=+x x x x f , 21≥+x
x
2)(2-=∴x x f )2(≥x
2、换元法:已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。 例2 (1) 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f
(2)如果).(,,)(x f x x
x x f 时,求则当1011≠-= 解:(1)令1+=x t ,则1≥t ,2)1(-=t x
x x x f 2)1(+=+
∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f
1)(2-=∴x x f )1(≥x
x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x
(2)设.)(,,,1111111
11-=∴-=-===x x f t t
t f t x t x t )(代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。
例3、已知f(x)是二次函数,且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解:设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x,
则应有.)(1212102242222--=∴⎪⎩
⎪⎨⎧-=-==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-==x x x f c b a c a b a
四、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式。 例4 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f
解 x x f x f =-)1(2)( ①
显然,0≠x 将x 换成x
1,得: x
x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组,得:
x
x x f 323)(--=
五、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。
例5 已知:1)0(=f ,对于任意实数x 、y ,等式
)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f 解对于任意实数x 、y ,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,
不妨令0x =,则有1)1(1)1()0()(2
+-=-+=+--=-y y y y y y f y f
再令 x y =- 得函数解析式为:1)(2++=x x x f 例6、(分段函数)设f(x)=1,2x g(x) x x +=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--1111212,,x
x 求f[g(x)]的表达式.
解:(对于分段函数的问题,应遵循“分段处理”的原则) 当|2x+1|≤1即-1≤x ≤0时,f[g(x)]=2|x|-2,
当|2x+1|>1即x >0或x <-1时,f[g(x)]=2
4412++x x 。 ∴f[g(x)]=⎪⎩⎪⎨⎧<>++≤≤-1x 0x 0x 1- -2,|x |2或2
4412x x (三)、课堂练习:
1、已知f(x+1)=x 2-2x,求f(x)及f(x-2).
(答案:f(x)=x 2-4x+3,f(x-2)=x 2-8x+15)
2、已知f (x +1)=x+2x +1,求f(x)的解析式。
(答案:f(x)=x 2(x ≥1) )
3、已知f(x)为多项式,f(x+1)+f(x-1)=2x 2-2x+4.求f(x)的解析式。 (答案:f(x)=x 2-x+1)
4、已知f(x)=2x+a,ϕ(x)=
4
1(x 2+3),且ϕ[f(x)]=x 2+x+1,则a= .
5、如果函数f(x)满足方程,0,)1()(≠∈=+x R x ax x
f x af 且a 为常数,且a ≠±1,求f(x)的解析式。
解:∵af(x)+f(x 1)=ax ① 将x 换成x 1,x
1换成x 得, af(x 1)+f(x)=x
a ② 由①、②得f(x)=).()()
(01112222≠∈--=--x R x x a ax a a x a
ax 且
.1)( 1
x 1-x -41
x )1()(62的取值范围的自变量求使得、设函数x x f x x f ≥⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=
(答案:0≤x ≤10或x ≤-2 )
7、已知函数f(x)对任意正数m,n 均有f(mn)=f(m)+f(n)成立,且f(8)=3,试求f(2)的值。 (答案:f(2)=21
)