第2章3节 动量与角动量

Fx 0 ,水平方向动量守恒.
v0 x v0 sin 30 200m s
。
m1v0 x m1 m2 v
v4m
m1 20g
30
x
y
s
m2 980 g
作业：P61 2.2(3)
§2.3.2 角动量
一、角动量
角动量定理 角动量守恒
1、 L 矢量 注 大小：L＝rmvsin 意 方向：右手螺旋定则判定
吹管
mv1 mv2
I
A
B
mv2
C
例2、图示一圆锥摆，质量为m的小
球在水平面内以角速度 匀速转动。
在小球转动一周的过程中，
m
（1）小球动量增量的大小等于 0
2 mg t mg （2）小球所受重力的冲量的大小等于
2 （3）小球所受绳子拉力的冲量大小等于 mg

（4）小球的动量是否守恒
§2.3 动量和角动量
§2.3.1 动量和冲量 动量定理 质点系的动量定理 动量守恒定律
§2.3.2
质点的角动量
角动量定理和角动量守恒定律
§2.3.3
质心 质心运动定律
§2.3.1 动量
一、冲量 1.恒力的冲量
动量定理 动量守恒
I Ft
2.变力的冲量
dI Fdt
力的元冲量
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1.
I
大小：

t2
t1
Fdt =动量增量的大小
矢量
方向： 由力的性质决定, 动量增量方向
2. 单位：Ns
3.
I 是过程量
和整个过程力的性质有关， 不能由某一时刻的力决定。
4.可以求冲力的平均值。
t2 I Fdt mv2 - mv1
I P F t t

二、角动量定理
1、角动量定理
由 LrP dL d dr dP (r P) 得： P r dt d t dt dt mv v F
dL v mv r F dt
t1
t 2 t1
M 1 M 21 dt L12 L11
O
r1
f 21
m1
F2
f12
r2
m2
系统t 2
t1
M 1 M 2 M 21 M 12 dt
0
L12 L22 L11 L21
系统受合外力矩的冲量 =系统总角动量的增量
三、角动量守恒定律
若对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则 此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。
dL 如果M 0, 则 0 即L＝常矢量 dt
dL M dt
如：匀速直线运动 F 0时，M 0 质点： 力的作用点是参考点 r 0时， M 0 力和位矢方向共线， 有心力 r F 0时， M 0 如：天体问题 质点系: M1 M 2 M n 0 如：刚体
t1
F1
mn f 21
m1
F2
f12
m1v12 m2v22 - m1v11 m2v21
m2
2)、三个质点的系统 t2 m1 1 f 21 f31 )dt P 1 m 1v12 -m 1v11 t1t (F 2 F2 ( F f f ) dt P m v m v 2 12 32 2 2 22 2 21 t1t 2 m2 ( F f f ) dt P m v m v 3 3 32 3 31 t1 3 13 23 t2 (F1 F2 F3 )dt P1 P2 P3
t2
t1
Fdt P mi vi2 mi vi1

t2
t1 t2
Fx dt Fy dt
m v
i i 2x

m v
i i 1x

t1
m v
i i2y
m v
i
i i1y
2、质点系动量守恒定律
即 P Pi mi vi 常矢量 1) 若 F 0 ， 则 P 0 ， 合
F1
m1 f 21
t2
M 1 M 2 dt
t1
r1
L12 L22 L11 L21
O
r2
F2
f12 m2
（2）n个质点的系统 t2 ( M i )dt ( Li )
t1 i i
内力矩的矢量和为0
质点系的角动量定理：
t2
m1
m2

m v m v ( F f ) dt P 1 12 1 11 1 21 t1 1 t2 t1 (F2 f12 )dt P2 m2v22 -m2v21 t2 (F1 F2 )dt P 1 P 2
mAvA0 mBvB0 mAvA mBvB
EKA EKB 1 mAv 2 A 2 1 2 mB v B 2
vA 2 vB
2
例6、质量为 m1 20g的子弹以 v 400m s 的速率沿与 30 竖直方向呈 角的方向射入原来静止的摆球中，小 球质量为 m2 980 g，摆线不伸缩，不计质量，子弹 射入小球后与小球一起运动，求一起运动的速率。 解： 以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向
L rmv mr
2
P
O
r
例1、如图所示，x轴沿水平方向，y轴竖直向下，在 t=0时刻将质量为m的质点由a处静止释放，让它自由 下落，则在任意时刻t，质点对原点的角动量 L = a O 解： x b 角动量定义： L r mv
1 2ˆ ˆ r bi gt j , v gtˆ j 2
2、单位：kgm2/s
L r P r mv
定义质点对点Ｏ的角动量 L
P mv

v
r
Ｏ
r
O
3、 L 与参考点有关
L的方向
4、 L 方向垂直于 r 和 P 的平面
O
L
r
L
θ
P
5、作圆周运动的质点对圆心的 角动量大小
若合外力为0，则动量守恒
则 Px 0， 即 Px 常矢量 2. 若 Fx 0，
若某方向合外力为0，则在这个方向上动量守恒
例1. 在一次物理竞赛中，赛题是从桌角A处向B发 射一个乒乓球，让竞赛者在桌边B处用一只吹管将 球吹进球门C（见本题图），看谁最先成功。某生 将吹管对准C拼命吹，但球总是不进球门。试分析 该生失败的原因。
0
？
2.力矩
为质点所受力F 对同一固定点O的力矩、 M 大小：M＝rFsin (为矢径与力之间的夹角)
=力×力臂 方向：右手螺旋定则 单位： mN
M r F
M
o
r
F
dL r F M dt dL M 质点的角动量定理（微分形式） dt
t1
f 21
F1 f 31 f13
f 32
f12
F3
f 23
m3
3)、n个质点的系统
t2
内力矢量和为零： F内 0
( Fi )dt ( Pi )
t1 i i
质点系的动量定理：
系统受合外力的冲量 = 系统总动量的增量

动量定理
分量形式
注意：
1、动量守恒定律只适用于惯性系。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
例4. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东 南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一 系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）
（A）总动量守恒。 （B）总动量在任何方向的分量均不守恒。 （C）总动量在水平面上任意方向的分量守恒， 竖直方向分量不守恒。 [C]
t1
Fx
Fx 0
t
t
5.可解变质量问题。 如洒水车、火箭发射过程
6.分量式，即：
I y Fy dt mv 2 y mv1 y
7.由牛二定律推导得，只适用于惯性系
I x Fx dt mv 2 x mv1x
三、质点的动量守恒定律 1. 若 F 0， 即 P 常矢量 则 P 0，
彗星在运动中仅受太阳的引力(其他引力比此力小得多，可 忽略)，该引力始终指向太阳中心O，因而对O的外力矩为零， 所以彗星对O的角动量守恒。
t2
Mdt dL L2 L1
t1
L1
L2
积分形式
合力矩的冲量 =质点对该参考点角动量的增量 冲量矩 与质点的动量定理地位相当 质点的角动量定理
3、质点系的角动量定理
（1）两个质点的质点系
t2
F1
质点1
质点2 M 2 M 12 dt L L 22 21
t2 I dI Fdt
t1
二、质点的动量定理
dP F dt
I
P2
P 1
t1
t2 Fdt dP
t2
Fdt ＝P mv2 - mv1
t
P2 P 1
I
1
质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量。 说明
r
L m b
0
iˆ
ˆ j 1 2 gt 2 gt
ˆ k
ˆ 0 mgbt k
0
y L rmv sin 大小：
b gt m r = r = mgbt
v
方向： z轴正向
例2、判断正误
（1）质点系的总动量为0，总角动量一定为0
（2）一质点做变速直线运动，角动量一定为0 （3）一做直线运动的质点，角动量一定不变 （4）一质点做匀速圆周运动，动量方向不断 变化，角动量方向也不断变化。
条件：
例3、如图所示，x轴沿水平方向，y轴竖直向下，在 t=0时刻将质量为m的质点由a处静止释放，让它自由 下落，则在任意时刻t，质点对原点的力矩 M = a O x 解： b 力矩的定义： M r F
ˆ 1 2ˆ ˆ j r bi gt j , F mg 2
不守恒
例3、设作用在质量为 m 1kg 的物体上的力， F 6t 3 （SI）。物体在这一力的作用下，由静 止开始沿直线运动，则在0到2.0s的时间间隔内，这个 力作用在物体上的冲量大小是多少？物体的末速度大 小是多少？ 2 解： 直线运动 t （1）冲量定义： I
3t 3t 18 Ns
例5. A、B两木块质量分别为mA、mB ,且 mB 2mA， 两者用一轻弹簧连接后静止于光滑水平桌面上，如 图所示，若用外力将两木块压近使弹簧被压缩，然 后将外力撤去，则此后两木块运动速度之比 vA vB 2 ,两木块运动动能之比 EKA / EKB = 2 解： A B F合 0 动量守恒
2
Fdt 6t 3dt
2
t1
2
0
（2）动量定理： I
mv2 - mv 1
0
v2 18 m / s
作业P62：2.9(2), 2.13, 2.14
四、质点系的动量定理
1、质点系的动量定理
动量守恒定律
1)、两个质点的质点系 m1 : 外力 F1 内力 f 21 m2 : 外力 F2 内力 f12
r
M b
1 2 ˆ gt 0 mgb k 2 0 mg 0
iˆ
ˆ j
ˆ k
y
ˆ mg j
M 力 力臂 m gb
M rmg sin 大小：
方向：右手螺旋

例 4 、哈雷彗星绕太阳的轨道是以太阳为一个焦点的 作椭圆，它离太阳中心的最近距离 l1 8.751010 m ， 4 此时它的速率v1 5.4610 m / s。离太阳中心的最远时 2 v 9 . 08 10 m / s ，求它离太阳中心最远距离 的速率 2 为多少？
当一个质点系所受的外力矢量和为零时， 这一质点系的总动量保持不变。
2) 若 Fx 0， 则 Px
P mv
ix
i ix
常矢量
若某方向合外力为0，则在这个方向上动量守恒
3) 若 f内 F外时， F外可忽略， 则 P 0
内力远大于外力时，系统的动量守恒。 如碰撞、爆炸