第三章_动量守恒和角动量守恒_3学时
角动量和角动量守恒定律
恒矢量
M 0
质点或质点系所受对参考点 O 的合外力矩为零 时，质点或系统对该参考点 O 的角动量为一恒矢量 . (1) 不受外力
(2) 力臂 d 0 (3) F // r
3 – 2 角动量 角动量守恒动量守恒。
质点在有心力作用下的运动：r 与 F 同向或
第三章 刚体力学
dp dL F, ? Lrp dt d t dL d dp dr (r p) r p dt dt d t dt dr dL dp v, v p 0 r r F dt dt dt 作用于质点的合力对参考点 O dL 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 M dt 动量随时间的变化率 .
L mR
2 32 12
2g 12 ( sin ) R
L mR (2g sin )
Lx 、Ly 、Lz 质点对x、y、z 轴的角动量 M y、 M x、 M z 质点对x、y、z 轴的力矩
3 – 2 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体力学
1）求角动量和力矩某一方向的分量的方法
L ( xi yj zk ) ( pxi py j pz k ) M （xi yj zk） （Fxi Fy j Fz k）
rb
通过一点（力心）—— 力对力心的力矩为零。
当力 F 的作用线始终
vb
ra mva rb mvb ra v b va va rb
ra
r
F
3 – 2 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体力学
举例： 将一个质量为m的小球系在轻绳的一端，放在 光滑的水平桌面上，轻绳的另一端从桌面中间的一 光滑小孔穿出。先使小球以一初速度在水平桌面上 作圆周运动，然后向下拉绳。 动画演示：模拟实验
经典力学三大守恒定律和条件
经典力学三大守恒定律和条件经典力学是物理学的一个重要分支，研究物体运动的规律和力的作用。
在经典力学中，有三大守恒定律，它们是动量守恒定律、角动量守恒定律和能量守恒定律。
下面将分别介绍这三大守恒定律及其条件。
一、动量守恒定律动量守恒定律是经典力学中最基本的守恒定律之一，它描述了物体在没有外力作用下的动量不变性。
动量是物体的质量乘以其速度，用p表示。
动量守恒定律可以用以下公式表示：Δp = 0其中，Δp表示物体动量的变化量，当Δp等于0时，即物体动量保持不变，满足动量守恒定律。
动量守恒定律的条件：1. 在一个封闭系统内，没有外力作用于系统；2. 系统内的物体之间没有相互作用力。
二、角动量守恒定律角动量守恒定律描述了物体在没有外力矩作用下的角动量不变性。
角动量是物体的质量乘以其速度和与其速度垂直的距离的乘积，用L表示。
角动量守恒定律可以用以下公式表示：ΔL = 0其中，ΔL表示物体角动量的变化量，当ΔL等于0时，即物体角动量保持不变，满足角动量守恒定律。
角动量守恒定律的条件：1. 在一个封闭系统内，没有外力矩作用于系统；2. 系统内的物体之间没有相互作用力矩。
三、能量守恒定律能量守恒定律是经典力学中最重要的守恒定律之一，它描述了物体在运动过程中能量的转化和守恒。
能量可以分为动能和势能两种形式，动能是物体由于运动而具有的能量，势能是物体处于一定位置而具有的能量。
能量守恒定律可以用以下公式表示：ΔE = 0其中，ΔE表示物体能量的变化量，当ΔE等于0时，即物体能量保持不变，满足能量守恒定律。
能量守恒定律的条件：1. 在一个封闭系统内，没有外力做功；2. 系统内的物体之间没有能量的传递。
除了上述三大守恒定律外，还有一些相关的守恒定律，如动能守恒定律、角动量守恒定律和机械能守恒定律等。
它们都是基于经典力学的基本原理推导出来的。
动能守恒定律是能量守恒定律的一个特例，它描述了物体在运动过程中动能的转化和守恒。
动能守恒定律可以用以下公式表示：ΔK = 0其中，ΔK表示物体动能的变化量，当ΔK等于0时，即物体动能保持不变，满足动能守恒定律。
第三章 4刚体角动量和守恒
自转初每秒钟 30 - 40次 4 秒自转一次老化的 磁场地球的108～1015倍 产生脉冲波(波霎)周期 0.03～4.3秒 一亿吨/cm3 表面光滑
▲行星状星云，中间的白点可能是中子星
【例15】 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端点 O的水平轴转动，图示。当棒从水平位置自由释放后，它
【例13】 质量为 m1长为 l 的细杆，静止平放在粗糙的水平面上， 细杆与水平面之间的摩檫系数为 μ ，可绕通过其端点O，且与
平面垂直的固定轴转动。 另有一水平运动的质量为 m2 的滑快， 从侧面垂直与杆的方向，与杆的另一端A 碰撞。已知滑块碰撞
o 前、后的速度分别为
檫力矩。 ：（2）
v1 与 v 2 求：（1）细杆转动时受到的摩 杆从开始转动到停止所需的时间.
●地球的自转角速度变化？ 变慢！
问题2 水平圆盘边上，站有一人质量为m，圆盘半径为R， 转动惯量为J，以角速度ω转动，如果此人从旁边径直走 到圆盘中心，求：角速度的变化和系统动能的变化？
O
A知识点窍:相对运动和L守恒(系统受的合外力矩为零),
L Li 常量C ,转动动能 E转 J 2 2
B逻辑推理:速度对惯性参照系,行走过程中摩擦力过转轴 （Mf=0）,重力矩与L垂直就是对L没有贡献，即M合=0
C解：（1）求摩擦力矩 取微元dx
dm=dx= m1 dx
x
m1 l
l
dx
对o点的力矩元 dM0 dM0 = x dmg
dM0
=
m1 l
g
x
dx
x
M0 =
l m1g x dx
0l
1 2
m1gl
【例13】 质量为 m1长为 l 的细杆，静止平放在粗糙的水平面 上，细杆与水平面之间的摩檫系数为 μ ，可绕通过其端点O，
物理学三大守恒定律
物理学三大守恒定律物理学中的三大守恒定律是守恒定律中的重要定律，它们分别是能量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律。
这些定律在物理学的研究中起着重要的作用，能够帮助我们理解和解释各种物理现象。
能量守恒定律是指在一个孤立系统中，能量的总量是不变的。
简单来说，能量既不能被创造也不能被毁灭，只能从一种形式转化为另一种形式。
例如，当一个物体从高处下落时，它的重力势能会逐渐转化为动能，当物体触地时，重力势能完全转化为动能。
这个过程中，能量的转化满足能量守恒定律，总能量不会发生变化。
能量守恒定律的应用非常广泛，从机械能到热能、电能等各种形式的能量转化都遵循这一定律。
动量守恒定律是指在一个孤立系统中，动量的总量是不变的。
动量是物体的质量乘以其速度，是物体运动的量度。
根据动量守恒定律，当一个物体受到外力作用时，它的动量会发生变化，但系统中所有物体的动量变化之和为零。
例如，当两个物体碰撞时，它们之间的相对速度发生变化，但两个物体的动量之和保持不变。
动量守恒定律在解释碰撞、运动等现象时起着重要的作用。
角动量守恒定律是指在一个孤立系统中，角动量的总量是不变的。
角动量是物体的质量、速度和旋转半径的乘积，是描述物体旋转运动的物理量。
根据角动量守恒定律，当一个物体受到外力作用时，它的角动量会发生变化，但系统中所有物体的角动量变化之和为零。
例如，当一个旋转着的物体收缩其半径，它的角动量会增加，但系统中其他物体的角动量会相应减少，使得总角动量保持不变。
角动量守恒定律在解释自转、行星运动等现象时发挥着重要的作用。
能量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律是物理学中的三大守恒定律。
它们分别描述了能量、动量和角动量在一个孤立系统中的守恒规律。
这些定律不仅在物理学的理论研究中发挥着重要的作用，也在实际生活中有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和解释各种物理现象。
因此，对于学习和掌握物理学知识的人来说，理解和应用这些守恒定律是非常重要的。
3.3 角动量 角动量守恒定律
➢ 若 M 0 ，则 L J 常量 .
讨论 1. 守恒条件 M 0
若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L J 不变.
2. 内力矩不改变系统的角动量.
3. 在冲击等问题中 M in M ex L 常量
4. 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
的单位为s，F的单位为N，该力的作用时间为0.02 s。求：
（1）棒所获得的冲量矩；（2）棒所获得的角速度。
（1）冲量矩 t2 Mdt t2 Fldt t2 1104t 1dt
t1
t1
t1
o
1 104t 2 0.02 2(kg m2 /s)
2
2
（2） t2 Mdt J - 0 J t1
3.3 角动量 角动量守恒定律
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
冲量
力对时间的积分（矢量） I
t2
Fdt
t1
动量 p mv
t2 t1
Fdt
p2
p1
mv2
mv1
力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理
第3章 刚体的定轴转动
3.3 角动量 角动量守恒定律
3.3.1 质点的角动量和刚体的角动量
1. 质点角动量
质点在垂直于 z 轴平面
z
上以角速度 作半径为 r
的圆周运动.
➢
质点角动量（相对圆心）
L
r
p
r
mv
大小: L rmvsin
o
r
mv
90 A
z L
mv
方向: 符合右手螺旋
L rmv mr 2 （圆周运动）
r
第三章-动量-角动量
对于同一点的角动量对时间的变化率，这一结论称为质点的角
动量定理。
质点的角动量定理可以写为
Mdt dL
其中 Mdt 称为dt 时间内力矩 M对质点的冲量矩。两边
积分有：
t2 t1
Mdt
L2
L1
上式表明：作用于质点的合外力矩M 从 t1 到 t2 时间间隔 内的冲量矩，等于质点在同一时间间隔内角动量的增量。
力心
例4、一质点在x-y平面内运动，已知质点的质量为20 g，在A 、
B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与X轴成45 o角，vB垂 直于y轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点
上外力对O点的总冲量矩（已知OA=2m，OB=4m）。
解： 由质点的角动量定理知：
y vB B
由A到B，角动量的方向均垂 直于x-y平面向上
标量式为
(3-5)
对于冲量 I 应注意：
（1）冲量是力对时间的积累作用。
I
t2
Fdt
t1
mv1
mv
mv2
（2）冲量是矢量，其方向与动量增量方向相同。 即 I 的方向与 P 或 mv 的方向相同。
对动量原理应注意：
（1） F 是指物体所受的合外力，I 是合外力的冲量。 （2） 动量原理是矢量式，常用其分量式。 （3） 动量原理用于惯性系。
②已知炮弹对炮车的相对速度为v ，仰角
为时速θ ，度由v速’ 的度水叠平加分原量理为，炮弹对V地的瞬
v’ x = v cosθ – V
系统总动量为 m (v cosθ - V) – MV 系统总动量的水平分量守恒方程：
m (v cos θ - V) – MV = 0
代入数字 解得：
v v
第三章--角动量和角动量守恒
设角动量以指向纸内为正。 设角动量以指向纸内为正。
N
O R
L1 = m1 R v1
同理 L2 = m2 Rv2 （指向纸外） 指向纸外） 系统的角动量守恒： 系统的角动量守恒：
r r r r v1 1r v2
m1
(不爬 m g 不爬) 不爬
1
r//
m2
L1 + L2 = 0 m1v1 = m2 v2 m1 R v1 m2 R v2 = 0
r r r m （2） 对 O 点的角动量 Q r = r′ + R ） r r r r r r r r r r r LO = r × p = (R + r′) × p = R× p = R× mgt mv r r LO = Rmgt R ⊥g
r r r 1 3r r LA = r′ × p = mt g × g= 0 2
滑轮”系统： 对“m1+m2 + 轻绳 + 滑轮”系统：
r v1
m1
(不爬 m g 不爬) 不爬
1
r v2
m2
爬 m2 g (爬)
r 条件： 条件：M 外 = 0 所以角动量守恒 r r 速度上升。 设两小孩分别以 v1, v2速度上升。
r r r 外力： 外力： m1 g , m2 g , N
r r r r r r L1 = r1 × m1v1= m1 ( R + r// ) × v1 r r = m1 R × v1 （指向纸内） 指向纸内）
即是较重的人离滑轮的距离。 即是较重的人离滑轮的距离。
3-3
一 刚体的运动
刚体的定轴转动
19
刚体：在外力作用下， 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 . 刚体的运动形式：平动、 刚体的运动形式：平动、转动 .
第三章 动量和角动量
2、冲量的方向
由动量定理： I p2 p1
冲量的方向与动量增量的方向一致 3、平均冲力
p2
I
p1
F
平均冲力：真实力在一个作用过程中的时间平均值
F
t2
t1
Fdt
t 2 t1
Fm I p p2 p1 t t t 2 t1 F
平均冲力等于质点动量的增量与作用时间之比。
o
t1
t2
t
例 1 一质量为0.05kg、速率为10m· s-1的刚球,以与钢板法线 呈45º 角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和角度弹回来 . 设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受到的平均冲力 F .
解 建立如图坐标系, 由动量定理得
2mv cos Fy t mv2 y mv1 y mv sin α mv sin 0 2mv cos mv2 F Fx 14.1 N
2. 动量守恒定律
如 果 F外 Fi 0 i 则 P2 P1 0
§ 3-4
角动量 质点的角动量定理
前面我们引入了描述物体运动状态的量 ——动量。 本章引入新的状态量 —— 角动量
地球绕太阳运动？原子中的电子绕着原子核运动？
引入角动量是为了研究转动，角动量守恒定律的应用 非常广泛。
解：由质点的动量定理，
t1
F/N 30
t2 I Fdt p2 p1
0-4s，F为恒力
I ( F m g)t p2 p1 0 7 t/s 4 v 4m / s 1 0-7s， I (4 7) 30 mg t 25 N s p2 p1 2 v 2.5m / s
动力学三大守恒定律
动力学三大守恒定律动力学是研究物体运动的学科，其中有三大重要的守恒定律，即能量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律。
这些定律是物理学中最基本和最重要的定律之一，它们对于我们理解和解释物体运动以及相互作用的规律有着深远的影响。
能量守恒定律是指在任何一个封闭系统中，能量的总量是不变的。
换句话说，能量可以从一种形式转变为另一种形式，但总能量的大小保持不变。
这意味着在物体的运动过程中，能量是不会消失或者凭空产生的。
例如，当一个物体从高处掉落时，它的势能会逐渐转变为动能，而不会丢失或者增加。
能量守恒定律给我们提供了一种方式来计算物体的能量转化过程，并且帮助我们理解能量在自然界中的传递和转化。
动量守恒定律是指在一个封闭系统中，物体的总动量保持不变。
动量是描述物体运动状态的物理量，它等于物体的质量乘以其速度。
当一个物体的动量改变时，必然存在其他物体的动量改变以保持整个系统的总动量不变。
这个定律在碰撞和相互作用等多种情况中都得到了验证。
例如，当两个物体发生碰撞时，它们的总动量在碰撞之前和之后保持不变。
动量守恒定律对于我们理解物体之间的相互作用以及碰撞过程中的能量转化非常关键。
角动量守恒定律是指在一个封闭系统中，物体的总角动量保持不变。
角动量是描述物体旋转状态的物理量，它等于物体的惯量乘以其角速度。
与动量守恒定律类似，在一个封闭系统中，当物体的角动量发生改变时，必然存在其他物体的角动量改变以保持整个系统的总角动量不变。
这个定律在旋转和转动等多种情况中都得到了验证。
例如，当一个旋转的物体突然改变其旋转方向或速度时，系统中其他物体的角动量也会相应改变，以保持总角动量守恒。
角动量守恒定律对于我们理解刚体运动和天体运动等现象有着重要的指导作用。
总结来说，能量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律是动力学中三大重要的守恒定律。
它们的应用范围非常广泛，对于我们理解和解释物体的运动以及相互作用的规律起着至关重要的作用。
通过研究和运用这些定律，我们可以深入探索自然界的奥秘，并且在工程和科学研究中取得更加准确和可靠的结果。
动力学三大守恒定律
动力学三大守恒定律【知识专栏】动力学三大守恒定律1. 引言及概述动力学三大守恒定律是物理学中非常重要的概念，它们为我们理解和描述物体运动提供了基础规律。
这三大守恒定律分别是动量守恒定律、角动量守恒定律和能量守恒定律。
本文将以从简到繁、由浅入深的方式来逐步探讨这三大守恒定律的背后原理和应用，以帮助读者更全面地理解这一主题。
2. 动量守恒定律2.1 动量的基本概念为了更好地理解动量守恒定律，首先需要了解动量的基本概念。
动量是物体运动的数量度，表示物体在运动过程中所具有的惯性。
动量的大小与物体的质量和速度相关，可以用数学公式 p = m * v 表示，其中 p 为动量，m 为物体的质量，v 为物体的速度。
2.2 动量守恒定律的表述根据动量守恒定律，一个封闭系统中物体的总动量在没有外力作用的情况下保持不变。
也就是说，如果一个物体的动量发生改变，那么系统中其他物体的动量总和将相应地发生改变，以保持系统的总动量守恒。
2.3 动量守恒定律的应用动量守恒定律在多个领域中都有应用，例如力学、流体力学和电磁学等。
在碰撞问题中，我们可以利用动量守恒定律来分析碰撞前后物体的速度和质量变化。
在交通事故中，通过应用动量守恒定律，我们可以了解事故发生时车辆的速度和冲击力对乘客的影响，并提出相应的安全建议。
3. 角动量守恒定律3.1 角动量的基本概念角动量是物体绕某一轴旋转时所具有的运动状态，它是描述物体旋转惯性的量度。
角动量的大小与物体的惯性和旋转速度相关，可以用数学公式L = I * ω 表示，其中 L 为角动量，I 为物体的转动惯量，ω 为物体的角速度。
3.2 角动量守恒定律的表述根据角动量守恒定律，一个封闭系统中物体的总角动量在没有外力矩作用的情况下保持不变。
即使系统中发生了旋转速度的改变，但系统的总角动量仍然保持恒定。
3.3 角动量守恒定律的应用角动量守恒定律在天体物理学、自然界中的旋转现象等领域中具有广泛的应用。
它被用来解释行星和卫星的自转、陀螺的稳定性以及漩涡旋转等自然现象。
第3、4章动量和角动量守恒定律
Iy Ix
0.1148
6.54
为 I 与x方向的夹角。
Fx 6.1N Fy 0.7N
F F F 6.14N
2 x
2 y
知识回顾
运动状态的变化是力 持续作用的累积效应 力对空间的累积作用的规律 力对时间的累积作用的规律 ( )
动量 P P mv
冲量 I
I y Fy t mv2 sin 30 mv sin 45 1
y
O
v2 30o 45o x v1 n
t 0.01s v1 10m/s v2 20m/s m 2.5g
I x 0.061Ns
I y 0.007Ns
I
tg
2 2 I x I y 6.14 102 Ns
系统的内力对于系统内的每一质点均属于外力
一. 质点系的动量定理
P 表示质点系在时刻 t 的动量
P miv i
i
问题: 系统从P状态 思路:
Q状态 P ?
叠加
对每个质点讨论 Pi
?
质点系 Pi
?
一. 质点系的动量定理 1、两个质点的情况 t2 F1＋F12 dt m1v1 m1v10
t1
t2 P P＝ Fdt 2 1
t1
即
t1
F合dt I 合 p2 p1 mv2 mv1
在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量， 等于该质点在此时间内动量的增量——动量定理
说明
动量定理从牛顿第二定律导出, 此定理只适用于惯性参照系 动量定理说明质点动量的 改变是由外力和外力作用时 其定量关系为: 间两个因素，即冲量决定的
动量守恒角动量守恒动能守恒牛顿第三定律
动量守恒动量守恒，是最早发现的一条守恒定律，它渊源于十六、七世纪西欧的哲学思想，法国哲学家兼数学、物理学家笛卡儿，对这一定律的发现做出了重要贡献。
如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。
动量守恒定律是自然界中最重要最普遍的守恒定律之一，它既适用于宏观物体，也适用于微观粒子；既适用于低速运动物体，也适用于高速运动物体，它是一个实验规律，也可用牛顿第三定律和动量定理推导出来。
简介动量守恒定律，是最早发现的一条守恒定律，它渊源于十六、七世纪西欧的哲学思想，法国哲学家兼数学、物理学家笛卡儿，对这一定律的发现做出了重要贡献。
观察周围运动着的物体，我们看到它们中的大多数终归会停下来。
看来宇宙间运动的总量似乎在养活整个宇宙是不是也像一架机器那样，总有一天会停下来呢？但是，千百年对天体运动的观测，并没有发现宇宙运动有减少的现象，十六、七世纪的许多哲学家都认为，宇宙间运动的总量是不会减少的，只要我们能够找到一个合适的物理量来量度运动，就会看到运动的总量是守恒的，那么，这个合适的物理量到底是什么呢？法国的哲学家笛卡儿曾经提出，质量和速率的乘积是一个合适的物理量。
速率是个没有方向的标量，从第三节的第一个实验可以看出笛卡儿定义的物理量，在那个实验室是不守恒的，两个相互作用的物体，最初是静止的，速率都是零，因而这个物理量的总合也等于零；在相互作用后，两个物体都获得了一定的速率，这个物理量的总合不为零，比相互作用前增大了。
后来，牛顿把笛卡儿的定义略作修改，即不用质量和速率的乘积，而用质量和速度的乘积，这样就得到量度运动的一个合适的物理量，这个量牛顿叫做“运动量”，现在我们叫做动量，笛卡儿由于忽略了动量的矢量性而没有找到量度运动的合适的物理量，但他的工作给后来的人继续探索打下了很好的基础。
大学物理3_3 角动量 角动量守恒定律
将
R 、 h1 、h2 和 v1 各值代入，得
2 6.13公里/ 秒
3 – 3 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体的转动 例3-8 两个转动惯量分别为 J1 和 J2 的圆盘 A和 B. A 是机器上的飞轮, B 是用以改变飞轮转速的离合器 圆盘. 开始时, 他们分别以角速度ω 1 和ω 2 绕水平轴 转动. 然后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下.啮合 为一体, 其角速度为 ω, 求 齿轮啮合后两圆盘的角速度. 解: 系统角动量守恒
( L mR )
2
得
LdL m gR cosd
3 – 3 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体的转动
LdL m gR cosd
2 3
由题设条件积分上式
L
0
LdL m gR
2
32
3
0
cosd
12
L mR (2 g sin )
L mR
2
2g 12 ( sin ) R
3 – 3 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体的转动
力的时间累积效应 力矩的时间累积效应 角动量定理.
一
冲量、动量、动量定理. 冲量矩、角动量、
刚体定轴转动运动状态的描述 L J Ek J 2 2 0, p 0 0, p 0
质点的角动量定理和角动量守恒定律 质点运动状态的描述 p mv Ek mv 2 2
2
航天器调姿
1
3 – 3 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体的转动 例3-6 如图所示，有一质量为 m1 、长度为 l 的均质细 棒，原先静止地平放在水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定轴转动，另有一质量为 m2 的水平运动 的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A 相碰撞，并被棒反向弹回，设碰撞时间极短。已知小滑块 碰撞前、后的速率分别为 和 u ，桌面与细棒的滑动摩 擦系数为 。求：（1）从碰撞到细棒停止运动所需的时 间；（2）从碰撞到细棒停止运动，细棒转过的圈数。
动量守恒,角动量守恒,动能守恒,牛顿第三定律
动量守恒动量守恒，是最早发现的一条守恒定律，它渊源于十六、七世纪西欧的哲学思想，法国哲学家兼数学、物理学家笛卡儿，对这一定律的发现做出了重要贡献。
如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。
动量守恒定律是自然界中最重要最普遍的守恒定律之一，它既适用于宏观物体，也适用于微观粒子；既适用于低速运动物体，也适用于高速运动物体，它是一个实验规律，也可用牛顿第三定律和动量定理推导出来。
简介动量守恒定律，是最早发现的一条守恒定律，它渊源于十六、七世纪西欧的哲学思想，法国哲学家兼数学、物理学家笛卡儿，对这一定律的发现做出了重要贡献。
观察周围运动着的物体，我们看到它们中的大多数终归会停下来。
看来宇宙间运动的总量似乎在养活整个宇宙是不是也像一架机器那样，总有一天会停下来呢？但是，千百年对天体运动的观测，并没有发现宇宙运动有减少的现象，十六、七世纪的许多哲学家都认为，宇宙间运动的总量是不会减少的，只要我们能够找到一个合适的物理量来量度运动，就会看到运动的总量是守恒的，那么，这个合适的物理量到底是什么呢？法国的哲学家笛卡儿曾经提出，质量和速率的乘积是一个合适的物理量。
速率是个没有方向的标量，从第三节的第一个实验可以看出笛卡儿定义的物理量，在那个实验室是不守恒的，两个相互作用的物体，最初是静止的，速率都是零，因而这个物理量的总合也等于零；在相互作用后，两个物体都获得了一定的速率，这个物理量的总合不为零，比相互作用前增大了。
后来，牛顿把笛卡儿的定义略作修改，即不用质量和速率的乘积，而用质量和速度的乘积，这样就得到量度运动的一个合适的物理量，这个量牛顿叫做“运动量”，现在我们叫做动量，笛卡儿由于忽略了动量的矢量性而没有找到量度运动的合适的物理量，但他的工作给后来的人继续探索打下了很好的基础。
动量守恒定律通常在高考中会和能量守恒一同出现，伴随的物理模型有弹簧、斜面、子弹木块、人船模型以及圆形或者半弧形轨道等。
动量守恒三大定理
动量守恒三大定理动量守恒是物理学中的一个基本定律，它描述了一个物体的动能、速度和质量在运动中的变化。
这个定律非常重要，因为它可以让我们更好地理解物理问题并作出正确的预测。
动量守恒包括三个定理，下面将分别进行介绍。
一、质心动量守恒定理质心动量守恒定理指的是，在孤立系统中，系统的质心动量总是守恒不变的。
所谓孤立系统，就是指系统内部没有与外界发生能量交换和质量交换的情况。
举个例子，一架宇宙飞船在太空中飞行，不受到外力的作用，那么它的质心动量就是守恒的。
质心动量守恒定理是物理学的基础之一，因为它可以让我们更好地理解物理系统的运动情况。
在宇宙空间中，质心动量守恒定理被广泛应用于星际尘埃、彗星和行星的研究中。
在地球上，它也是描述汽车、火车和飞机运动的基础。
二、角动量守恒定理角动量守恒定理指的是，在孤立系统中，系统总的角动量守恒不变。
所谓角动量，就是物体围绕着某个固定的点旋转时的动量。
例如，一个旋转的陀螺，在旋转的过程中具有角动量。
在日常生活中，我们经常可以看到这个定理的应用。
例如，一个冰滑道上的溜冰运动员双臂伸开自转，“安静”的旋转中让身体内部的能量完全转化为旋转能量的同时增加角动量。
同样地，在双人滑比赛中，运动员通过旋转身体的方式，可以更好地控制身体的角动量，从而达到更好的竞技效果。
三、动量守恒定理动量守恒定理是最重要的定理之一，它指的是，如果物体在自由运动过程中，没有受到外力的作用，那么它的动量就是守恒的。
换句话说，如果一个物体在没有受到外部作用力的情况下运动，那么它的动量将保持不变。
动量守恒定理广泛应用于各个领域，例如：机械、光学、量子力学、天文学以及地球物理学等。
例如，物体在自由落体过程中，它的动量就是守恒的；在弹性碰撞中，被击中物体的动量和击打物体的动量分别守恒；在任意物体运动的过程中，如果不受到外力的作用，那么它的动量总是保持不变的。
总之，动量守恒三大定理是物理学中的重要定理，它们可以帮助我们更好地理解不同领域的物理问题，从而做出正确的预测。
第三章 角动量角动量守恒定律
第三章 角动量、角动量守恒定律3—1 质量为m 的质点，当它处在r =-2i +4j +6k 的位置时的速度v =5i +4j +6k ，试求其对原点的角动量。
[解] 质点对原点的角动量为 v r p r L ×=×=m)2842(645642k j kj i −=−=m3—2 一质量为m ＝2200kg 的汽车v =60h km 的速率沿一平直公路行驶。
求汽车对公路一侧距公路为d ＝50m 的一点的角动量是多大?对公路上任一点的角动量又是多大?[解] 根据角动量的定义式v r L m ×=(1) ()kgm 1083.150360*********sin 263×=×××===mvd rmv L θ(2) 对公路上任一点r ∥v ，所以 L =03—3 某人造地球卫星的质量为m ＝l802kg ，在离地面2100km 的高空沿圆形轨道运行。
试求卫星对地心的角动量(地球半径61040.6×=地R m)。
[解] 设卫星的速度为v ，地球的质量为M ，则()h R v m h R Mm G +=+地地22(1) 又 g R MG=地(2) 联立两式得 地地R hR gv +=卫星对地的角动量 ()()地地地⋅+=⋅+=h R g m v h R m L()6661040.61010.21040.68.91802×××+××= ()m kg 1005.1214⋅×=3—4 若将月球轨道视为圆周，其转动周期为27.3d ，求月球对地球中心的角动量及面积速度(221035.7×=月m kg ，轨道半径R =81084.3×m)。
[解] 设月球的速度为v ，月球对地球中心的角动量为L，则 T R v /2π=TRm Rv m L π2月月== 3600243.2714.32)1084.3(1035.72822×××××××=)/s m kg (1089.2234⋅×= 月球的面积速度为)/s m (1096.1/2112×==T R v π面3—5 氢原子中的电子以角速度s rad 1013.46×=ω在半径10103.5−×=r m 的圆形轨道上绕质子转动。
第三章动量和角动量教案
第三章动量和角动量教学要求：* 掌握动量、冲量、质点动量定理，分析解决质点平面运动问题。
* 理解质点系动量定理、动量守恒定律及适用条件。
掌握运用动量守恒定律分析问题思想和方法，分析简单系统平面运动。
* 理解质点的角动量、力矩、冲量矩概念，质点系角动量定理。
* 理解角动量守恒定律及其适用条件。
能应用角动量守恒定律分析、计算有关问题。
教学内容（学时：4学时）：§3–1 质点的动量定理§3-2 质点系的动量定理§3-3 动量守恒定律§3-4 角动量质点的角动量定理§3-5 角动量守恒定律§3-6 质点系的角动量定理教学重点：* 建立动量、角动量的概念；* 掌握力的冲量与动量的变化量的关系；* 理解力矩的冲量矩与角动量的变化量的关系；* 掌握动量守恒定律以及适用条件；* 理解角动量守恒定律及其适用条件。
教学难点：动量、动量定理、动量守恒定律的矢量性。
建立角动量的概念。
角动量、角动量定理、角动量守恒定律的矢量性。
作业：3-01), 3-03), 3-07),3-09), 3-12)3-15), 3-16), 3-17), 3-18), 3_19）-------------------------------------------------------------------§3–1 质点的动量定理1．质点动量定理的微分形式： dtd P F = 表示：质点所受的合外力等于质点动量对时间的变化率。
力对时间的累积 dt F 称为力的冲量P F d dt = (3-2)（1）恒力的冲量：t ∆F I =（2）变力在dt 时间内的微冲量：dt d F I =变力在时间t 1～t 2的一个过程中的冲量：⎰=21t t dt F I 12P P -=(3-3)12P P I -= (3-4)式中: P 2为质点在t 2时刻的动量，P 1为质点在t 1时刻的动量。
动量守恒角动量守恒机械能守恒三者之间的关系
动量守恒、角动量守恒和机械能守恒三者之间的关系概述在物理学中，动量、角动量和机械能是三个重要的物理量，它们分别描述了物体的运动状态、旋转状态和能量状态。
这三个物理量都有一个共同的特点，就是在一定的条件下，它们都是守恒的，即不随时间变化。
这些条件通常是指系统不受外力或外力矩的作用，或者外力或外力矩对系统做的功或做的角功为零。
这些条件也可以称为系统是孤立的或封闭的。
动量守恒、角动量守恒和机械能守恒是物理学中最基本和最普遍的定律之一，它们反映了自然界中存在的一种对称性和不变性。
这些定律可以用来分析和解决许多物理问题，例如碰撞、转动、振动、轨道运动等。
在这篇文章中，我们将介绍这三个定律的含义、推导和应用，并探讨它们之间的关系。
动量守恒定义动量是一个矢量物理量，表示物体运动状态的大小和方向。
动量的定义公式为：→p=m→v其中，→p是动量，m是质量，→v是速度。
根据定义，可以看出动量与质量和速度都有关，如果物体的质量或速度发生变化，那么动量也会发生变化。
动量守恒定律是指，在一个孤立系统中，系统内各个物体之间相互作用时，系统总动量不随时间变化，即：→P=n∑i=1→p i=常数其中，→P是系统总动量，→p i是第i个物体的动量，n是系统内物体的个数。
根据定义，可以看出动量守恒定律要求系统内没有外力作用，或者外力对系统做的功为零。
推导动量守恒定律可以从牛顿第二定律推导出来。
牛顿第二定律是指，在一个惯性参考系中，物体所受合外力与其质量乘以加速度成正比，即：→F=m→a其中，→F是合外力，→a是加速度。
根据定义，可以看出合外力与加速度都是矢量物理量，方向相同。
对于一个孤立系统中的任意两个物体A和B，根据牛顿第三定律（作用力与反作用力大小相等、方向相反），我们有：→FAB=−→F BA其中，→F AB是A对B的作用力，→F BA是B对A的反作用力。
由于系统内没有其他外力作用，所以这两个力就是系统内各个物体所受的合外力。
3 角动量守恒定律(收藏)
dt t 0 t 2 t 0 t
2 m
2m
3.3 刚体的运动
3.3.1 刚体
刚体——是受力时不改变形状和体积的物体， 是理想模型。
特点
(1) 是一个质点组（刚体可以看成由许多质点 组成，每一个质点叫做刚体的一个质元）
(2) 质点组内任意两点间的距离保持不变.
3.3 刚体的运动 3.3.2 平动和转动
dm绕给定轴的转动惯量为
or
m
R 2
dr
dJr2dm
积分得
dm 2rdr
JR r2 d m R r2 2rd 1 rR 4 1 m 2R
0
0
2
2
3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
六、转动定律的应用
[例题] 一个质量为M、半径为R的定滑轮（均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一 端固定在滑轮上，另一端系一质量为m的物体。忽略轴处摩擦，求物体m下滑 的加速度a和滑轮转动的角加速度β。
点的联动问题。 4、掌握角动量守恒定律及其适用条件，并能用来分析、计算有关问题。
3.1 质点的角动量 力矩
3.1.1 质点的角动量 一个质量为m的质点以速度 v 运动，其动量为 p ，若其相对于定点O的位置 矢量为r，则其角动量定义为：
Lrp 角动量是矢量，其大小为： L
Lrm vsin 式中 为 r 与 p 的夹角；
注：与牛顿第二定律地位相当
3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
三、转动惯量J
1、质点刚体：
J mr2
J的单位：kgm2
2、离散刚体：
n
J miri2
量纲: ML2
i 1
3、质量连续分布的刚体：
J r2dm V
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2. 完全非弹性碰撞 Perfectly inelastic collision
特点：碰撞后成为一体 动量守恒、动能损失
3.弹性碰撞 Elastic collision
特点：碰撞后动能、 动量均守恒
§3 角动量定理 角动量守恒定律
一、质点对定点的角动量 二、力对定点的力矩 三、质点的角动量定理 四、质点系的角动量问题
m v 8k
= v/2
复 习
1、质点动量定理：
I m v m v 0 P
2、质点系的动量定理：
( Fi 外 )dt P P0 P
t t0
3、动量守恒定律： 当 Fi 外 0 时 P0 P
动量守恒实例—碰撞
1.非弹性碰撞 Inelastic collision
t t0
( F2 f 21 )dt m 2 v 2 m 2 v 20
t t0
f 21
m2 v 20 v 2 F2
考虑质点组成的系统 两式求和：
( Fi 外 f i 内 )dt m i v i m i v i 0
t t0
f12 与f 21 为一对作用力和反作用力,
x
mvx M V 0
mvx MV
mv x V M
mvx V M
S V
M
t时刻斜面M 的位移
m Vdt 0 M
t
t
0
v x dt
s
S s
x 由相对位移可知
m S s M
sS R
M
m S R mM
例2 一艘质量为 M=200kg 长度为 L= 4m 的小船静止在湖 面上。一个质量为 m=50kg 的人从该船的船头走到 船尾。求小船行进的距离。（水的阻力不计） 解：人与小船组成的系统水平 方向受合力为零，因此水平方 向动量守恒
新知识点 难点
§1 质点运动的动量定理 一、冲量 力对时间的累积效应。 例如：撑杆跳运动员从 横杆跃过, 落在海棉垫子上不会 摔伤， 如果不是海棉垫子， 而是塑胶地面，又会 如何呢？
1、恒力的冲量
力与力的作用时间的乘积为恒力的冲量。
I F (t t 0 ) F t
2、F~t图
在F~ t 图曲线下 的面积为冲量。 曲线下的面积为：
§2 质点系的动量定理 动量守恒定律 一、质点系 二、质点系的动量定理 三、动量守恒定律
一、质点系
N个质点组成的系统-- 研究对象 内力 internal force 系统内部各质点间的相互作用力 特点： 成对出现； 大小相等方向相反 结论：质点系的内力之和为零 f i 0
i
质点系
质点系中的重要结论
F~t图曲线下的 面积为冲量。 由高等数学中计算 曲线下的面积方法， 将曲线下的面积分 割成无数多的矩形 面积，再求和：
n
F Fi
o
t 0 tห้องสมุดไป่ตู้
t t0
t
t
S lim Fi t Fdt t 0
i 1
为变力的冲量，即
I F dt
t t0
5、平均冲力
由于力是随时间变化的，当变化较快时，力的 瞬时值很难确定，用一平均的力代替该过程中 的变力，用平均力 F 表示：
I F dt F t
t t0
F
t t0
F dt
t t0
I t t0
平均力的作用效果与这段时间内变力的作用效 果相同.
二、动量
用动量来描写物体运动状态
１.动量定义：
单位：千克ꞏ米/秒,
P mv
kgꞏm/s
2.动量与冲量的区别：
①.动量是状态量；冲量是过程量. ②.动量方向为物体运动速度方向；冲量方向 为合外力方向，即加速度方向或速度变化方向。
0
d
D
x
mv 人 地 MV船 地 0
t
t
D Vdt 0
0
mv m dt d M M
D m d M
M d L M m
m D L M m
d+D=L
= 0.8m
小结
1、质点动量定理：
I m v m v 0 P
2、质点系的动量定理：
( Fi 外 )dt P P0 P
牛顿定律是瞬时的规律。 但在有些问题中， 如：碰撞（宏观）、 散射 （微观） … 我们往往只关心过程中力的效果 ——力对时间和空间的积累效应。 力在时间上的积累效应： 平动 转动 冲量 冲量矩 动量的改变 角动量的改变 能量的改变
力在空间上的积累效应 力 功
第 3章
动量守恒定律与角动量守恒定律
§1 质点运动的动量定理 §2 质点系的动量定理 动量守恒定律 §3 角动量定理 角动量守恒定律
若x方向 F x 0 , 则 m iv i 0 x m iv ix 若y方向 F y 0 , 则 m iv i 0 y m iv iy 5.自然界中不受外力的物体是没有的，但如果系 统的内力>>外力，可近似认为动量守恒。 如火箭发射过程可认为内力>>外力，系 统的动量守恒。 6.用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统 和条件。
四、应用动量定理解题方法及应用举例
1.确定研究对象，分析运动过程； 2.受力分析； 3.规定正向，确定始末两态的动量P0、P； 4.应用定理列方程求解。必要时进行讨论。 例：质量为 60kg 的撑杆跳运动员，从 5 米的横杆跃过自由下落，运动员与地面的 作用时间分别为 1 秒和 0.1 秒，求地面对 运动员的平均冲击力分别是多少？
t t0
③.F 为合外力，不是某一个外力。 ④.动量定理的分量式：
I x Fx dt Fx t mv x mv 0 x Px P0 x
t t0
I y F y dt F y t mv y mv 0 y Py P0 y
t t0
⑤.合外力的方向与动量变化的方向一致。
t t0
3、动量守恒定律： 当 Fi 外 0 时 P0 P
例3. 质量为m/2的子弹以初速度v 射入静止木块 A， mA=m/2。木块A与另一木块B，mB=m 通过 一个轻质弹簧连接。地面光滑无摩擦。
v
m/2 求：1.子弹射入后瞬间的共同速度。 2. 弹簧的最大压缩长度。3. B的最大速度。 解：1. 子弹射入后瞬间的共同速度。 由子弹和木块A的质点系动量守恒： 入射前 mbv= (mb + mA)vA 入射后 vA = v/2
f12 f 21
f i 内 0 即系统的内力矢量合为 0。 令P m i v i Pi 为系统的动量矢量合，
( Fi 外 )dt P P0 P
t t0
质点系的动量定理：合外力的冲量等于质点系 动量的增量。
注意几点
( Fi 外 )dt P P0 P
y
N
( N mg )t 0 ( m 2 gh )
m 2 gh N mg t mg t 1s 时, N 600 600 1200 N 2mg
o
t 0 .1s 时, N 600 6000 6600 N 11 mg
可以看出当物体状态变化相同量，力的作 用时间越短，物体受到的冲击力就越大。当作 用时间很短时，重力可忽略不计。
Fi 外 0 时 P0 P m v0 m v C 3.对于一个质点系当 Fi 外 0 时 P0 P m iv i0 m iv i C
2.对于一个质点当 质点系受合外力为 0，系统内的动量可以相互 转移，但它们的总和保持不变。 4.若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分 量为 0，哪个方向上合外力为 0，哪个方向上 动量守恒。
A
B
v
m/2
A
B
2. 弹簧的最大压缩值？ 当弹簧被压缩到A,B同速时，弹簧的压缩值最大。此时， 由质点系动量守恒，有 mbv = (mb+mA+mB)vC vC = v/4 由能量守恒 1 1 1 2 2 2 mb m A v A mb m A mB vC kx x 2 2 2 3. B的最大速度？ 是弹簧在自然长度时 vB最大
1、（5259） 推地上的木箱,经历时间t 未能推动木箱 , 此推力的冲量等于多少?木箱既然受了力 F 的冲量,为 什么它 的动量没有改变?
推力的冲量是： Ft
一人用力 F
动量定理中的冲量为合外力的冲量。 木箱还受到摩擦力。 木箱受合外力为零，所以合外力的冲量也为零， 根据动量定理，木箱的动量不发生变化。
三、动量守恒定律
由质点系的动量定理：
( Fi 外 )dt P P0 P
t t0
动量守恒条件：
当 Fi 外 0
时
P P0 0
P0 P
动量守恒定律：当系统所受的合外力为0时，系 统的动量守恒。
其中P m i v i Pi
明确几点及举例
1.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。
t t0
1.内力不会改变系统的动量，只有外力可改变系 统的动量。
甲队 乙队 例如：两队运动员拔河，有的人说甲队力气大， 乙队力气小，所以甲队能获胜，这种说法是否正 确?
f甲
f乙
•甲队拉乙队的力，与乙队拉甲队的力是一对作 用力与反作用力，为系统的内力，不会改变系 统总的动量; •只有运动员脚下的摩擦力才是系统外力; •哪个队脚下的摩擦力大，哪个队能获胜; •拔河应选质量大的运动员，以增加系统外力。
三、质点的动量定理
当作用在物体上的外力变化很快时，计算 物体受到的冲量比较困难，但外力作用在物体 上一段时间后会改变物体的运动状态，质点的 动量定理建立起过程量冲量与状态量动量之间 的关系。