大学物理——角动量定理和角动量守恒定律

1
ml 2
mvl
1
ml 2
3
3
（2
）
式中’为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。
’取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右
摆。
上页 下页 返回 退出
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为
mg ma
由匀减速直线运动的公式得
0 v发生，若对某一定 轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。
如： 常平架上的回转仪
A
L
B
C
B
C
A
上页 下页 返回 退出
刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式
刚体的平动
v dx dt
a dv d2 x dt dt2
P mv F
EK
1 mv2 2
m
dA Fdx Fdt
§3-4 定轴转动刚体的角动量定理
和角动量守恒定律
一、 刚体的角动量
L
对于定点转动而言：
L
r
P
r mv
r o
r sin
P
mv
m
上页 下页 返回 退出
对于绕固定轴oz的转
动的质元 m而i 言:
Li
ri mivi
miri2k
对于绕固定轴oz 转动 的整个刚体而言:
z
L
vi ri
mi
L N miri2 J
在整个喷射过程中，系统所受的对于飞船中心轴的 外力矩为零，所以系统对于此轴的角动量守恒，即 L0=L1 ，由此得
J＝mru
即
m J
ru
于是所需的时间为
t m J 2.67s ru
上页 下页 返回 退出
选择进入下一节 §3-0 教学基本要求 §3-1 刚体模型及其运动 §3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系 §3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律 §3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 §3-7 牛顿力学的内在随机性 混沌
解：在星际空间中，恒星不会受到显著的外力矩，因
此恒星的角动量应该守恒，则它的内核在坍缩前后的
角动量J00和J应相等。因
J
＝
0
2 5
mR
02，J＝52
mR
2
上页 下页 返回 退出
代入J00=J中，整理后得
＝0
R0 R
2
3r/s
由于中子星的致密性和极快的自转角速度，在星 体周围形成极强的磁场，并沿着磁轴的方向发出很 强的无线电波、光或X射线。当这个辐射束扫过地球 时，就能检测到脉冲信号，由此，中子星又叫脉冲 星。目前已探测到的脉冲星超过300个。
E
1 2
J
A
2
A
1 2
J
B
2
B
1 2
JA
JB
2
1.32 104 J
上页 下页 返回 退出
例题3-9 恒星晚期在一定条件下，会发生超新星爆
发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时星 的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中子 星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就有 几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每45天转一周，它 的 内 核 半 径 R0 约 为 2107m ， 坍 缩 成 半 径 R 仅 为 6103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后 的星体内核均看作是匀质圆球。
数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。
求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明
棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。
解：这个问题可分为三个阶段
进行分析。第一阶段是棒自由
O
摆落的过程。这时除重力外，
其余内力与外力都不作功，所
C
以机械能守恒。我们把棒在竖
直位置时质心所在处取为势能
上页 下页 返回 退出
解：把飞船和排出的 废气看作一个系统， 废气质量为m。可以 认为废气质量远小于 飞船的质量，
dm/2
u
Lg
r
L0
u dm/2
上页 下页 返回 退出
所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等 于飞船自身的角动量，即
L0＝J
在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气体
， 这 些 气 体 对 中 心 轴 的 角 动 量 为 dm·r(u+v) ， 方 向
由定轴转动定理： M d(J)
dt
当 M=0 时 d(J) 0
dt
即 J J00 常量
刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为 零时，刚体对转轴的角动量保持不变， 这一规律 就是定轴转动的角动量守恒定律 。
上页 下页 返回 退出
讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
与飞船的角动量相同。因u=50m/s远大于飞船的速
率v(=r) ，所以此角动量近似地等于dm·ru。在整
个喷气过程中喷出废气的总的角动量Lg应为
Lg＝
m 0
dm ru
mru
当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时的
总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即为
L1 Lg＝mru
上页 下页 返回 退出
上页 下页 返回 退出
例题3-10 图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为
J=2103kgm2 ，它以=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋
转。宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。 每个喷管的位置与轴线距离都是r=1.5m。两喷管的喷
气流量恒定，共是=2kg/s 。废气的喷射速率（相对
于飞船周边）u=50m/s，并且恒定。问喷管应喷射多 长时间才能使飞船停止旋转。
当M z 0时， J =恒量 =恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系
统的角动量依然守恒。J 大→ 小,J 小→ 大。
当M z 0时， Lz J11 J22 恒量
上页 下页 返回 退出
例如：花样滑冰运动员 的“旋”动作 再如：跳水运动员的“团 身--展体”动作
上页 下页 返回 退出
mgh 1 1 ml 2 2
(6)
23
把式（5）代入上式，所求结果为
h l 3s 6sl
2
上页 下页 返回 退出
例题3-8 工程上，常用摩擦啮合器使两飞轮以相同的 转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一 中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，B的转动惯
量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B
刚体的定轴转动
d
dt
d d2
dt dt2
L J
EK
1 2
J 2
M
J
d A M d M dt
F ma
M J
F d t P P0
F
d
x
1 2
mv2
1 2
mv02
M d t L L0
M
d
1 J 2
2
1 2
J02
上页 下页 返回 退出
例题3-7 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过 其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位 置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物 体相撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系
J A A J BB＝J A J B
为两轮啮合后共同转动的角速度，于是
J A A J B B
JA JB
以各量的数值代入得
20.9rad/s
上页 下页 返回 退出
或共同转速为
n 200r/ min
在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械 能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失 的机械能为
零点，用表示棒这时的角速度,则
mg
l 2
1 2
J
2＝1 2
1 3
ml
2
2
（1）
第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的
冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽
略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受 的对转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴 的角动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在 啮合过程中，两轮的机械能有何变化？
A
B
C
A
B
C
A
上页 下页 返回 退出
解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在
啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的 切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴 有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外 力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律 可得
i
角动量的方向沿轴的正向或负向,所以可
用代数量来描述.
上页 下页 返回 退出
二、 定轴转动刚体的角动量定理
M
J d
dJ
dL
dt dt dt
微分形式：Mdt d J dL
积分形式：
t
Mdt
t0
J J0
或:
t
t0 Mdt L L0
上页 下页 返回 退出
三、 定轴转动刚体的角动量守恒定律
上页 下页 返回 退出
亦即 v 2 2gs
（3）
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
3gl 3 2gs
l
（5）
上页 下页 返回 退出
当’取正值，则棒向左摆，其条件为
3gl 3 2gs 0
亦即l >6s；当’取负值，则棒向右摆，其条件
为
3gl 3 2gs 0 亦即l <6s
棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况 相似，也可由机械能守恒定律求得：