大学物理——角动量定理和角动量守恒定律
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高校大学物理质点的角动量定理和角动量守恒定律课件
L
r
P
Lx
ˆx
Ly
ˆy
Lz
ˆz
M
r
F
M x ˆx
M y ˆy
M z ˆz
Lx ：质点对x轴的角动量
M
：质点对
x
x轴的力矩
某一方向的分量怎么求呢？由定义出发：
L (xxˆ yyˆ zzˆ) (Px xˆ Py yˆ Pz zˆ) M (xxˆ yyˆ zzˆ) (Fx xˆ Fy yˆ Fz zˆ)
v v oro 1 rr
星球所需向心力： 可近似认为引力：
v2 1
F向 m r r 3
F引
1 r2
引力使r到一定程度
F引 F向 ，r 就不变了，
引力不能再使 r 减小 。
但在z 轴方向却无此限制，
可以在引力作用下不断收缩。
比较 动量定理
dP
F
t2
dt
Fdt ΔP
[C]
2.质量为 m 的小球，以水平速度 v 与固
定的竖直壁作弹性碰撞，设指向壁内的方 向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量 变化为
（A）mv
（B）0
（C）2mv （D）2mv
[D]
3.(本题3分)0063 P17-1
质量为m的质点,以同一速率V沿图中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动,质点越过A角时,轨道作用于质 点的冲量的大小为
ds dt
const
行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。
▲ 星云具有盘形结构：
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律
方向垂直于轴，其效果是改
变轴的方位，在定轴问题中，
第二项
与轴承约束力矩平衡。
M 2rF
方称为向力平对行于轴的轴矩，，其效表果为代是数改变量绕：轴M 转z 动 状r态，F
即： i j k
Mo rFx y z
Fx FyFz
i yFz zFy jzFxxFzk xFyyFx
Mz xFyyFx
由
rc
i
miri M
rc
i
miri M
ri m ivcM rc vc0
i
质心对自己的位矢
L r c m iv ir i m iv c r i m iv i
i
i
i
与 i 有关
第三项：
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
o ri
vi
mi
L io 大 方小 向 Lio ： ： rimiv沿 i miri2 即 L iomiri2
在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则
定义质点对 z 轴的角动量为:
LizLiom iri2
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri2mi
i
i
ri2mi
i
对质量连续分布的刚体：
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
角动量 角动量守恒定律大学物理
对定轴转动的刚体 Miin 0 ，合外力矩
M
Miex
d dt
(
mi
ri
2
)
d(J
dt
)
d( J )
dL
M
dt dt
第3章 守恒定律
12
大学物
理学
第二版
t2 t1
Mdt
L2
L1
t2 t1
Mdt
L2
L1
当转轴给定时，作用在物体上的冲量 矩等于角动量的增量．——定轴转动的角 动量定理
第3章 守恒定律
然长度处以
垂直于弹簧运动，当
弹簧与初始位置垂直时，弹簧长度
v
求此时滑块的速度.
v0
第3章 守恒定律
图 3.4
大学物 理学
第二版
【解】 由角动量和机械能守恒
结论：对于有心力问题，系统对力心处的 角动量守恒.
第3章 守恒定律
大学物
理学
第二版
三、角动量守恒定律的应用
（1）常平架回转仪（陀螺仪） （2）直升飞机尾翼
质点角动量定理的推导
L r p r mv
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt dt dr v，v p 0
dt dL
dt
r
dp
r
F
dt
dt
dt
第3章 守恒定律
4
大学物
理学
第二版
dL
M
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力 矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的 变化率.
13
大学物
理学
第二版
对定轴转动的刚体，受合外力矩M，
物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；
大学物理(上册)角动量 角动量守恒定律(3)
- 4
，已足以盖过整个银河发光的总和。 ( 10
?
第二篇 实物的运动规律 第五章 角动量 角动量守恒定律
第五章第三讲
本章共3讲
§5.3 角动量守恒定律 一. 角动量守恒定律 研究对象：
dL M外 dt
质点系
由角动量定理： 得：当M 外 0时，L 恒矢量 分量式：
Mx 0 My 0 Mz 0 时 时 时 Lx 恒量 L y 恒量 Lz 恒量
F轴 0 m M系统 p 不守恒; M轴 0 m M系统 对O点角动量守恒 m 2 gh R m M vR
回顾习题（ p84 4 -11）
C B Ny
o
Nx
A
F轴 0
M轴 0
A、B、C系统 p 不守恒；
A、B、C系统对 o 轴角动量守恒
应用广泛，例如：
天体运动
（行星绕恒星、卫星绕行星...） 微观粒子运动 （电子绕核运动；原子核中质子、中子的运动一级 近似；加速器中粒子与靶核散射...）
[例2] 已知：地球 R=6378 km
卫星 近地：h1= 439 km v1=8.1 km.s-1
远地: h2= 2384 km
求： v2=?
严格同步条件
卫星轨道平面与地球赤道平面倾角为零
轨道严格为圆形
运行周期与地球自转周期完全相同 （23小时56分4秒）
地球偏心率，太阳、月球摄动引起同步卫星星下点漂 移，用角动量、动量守恒调节 ~ 定点保持技术
•研究微观粒子相互作用规律
自学教材P108[例4]
第五章
角动量
角动量守恒
习题课
复习提要：三个概念，两条规律
mA mB v1 R mA mB mc vR
，已足以盖过整个银河发光的总和。 ( 10
?
第二篇 实物的运动规律 第五章 角动量 角动量守恒定律
第五章第三讲
本章共3讲
§5.3 角动量守恒定律 一. 角动量守恒定律 研究对象：
dL M外 dt
质点系
由角动量定理： 得：当M 外 0时，L 恒矢量 分量式：
Mx 0 My 0 Mz 0 时 时 时 Lx 恒量 L y 恒量 Lz 恒量
F轴 0 m M系统 p 不守恒; M轴 0 m M系统 对O点角动量守恒 m 2 gh R m M vR
回顾习题（ p84 4 -11）
C B Ny
o
Nx
A
F轴 0
M轴 0
A、B、C系统 p 不守恒；
A、B、C系统对 o 轴角动量守恒
应用广泛，例如：
天体运动
（行星绕恒星、卫星绕行星...） 微观粒子运动 （电子绕核运动；原子核中质子、中子的运动一级 近似；加速器中粒子与靶核散射...）
[例2] 已知：地球 R=6378 km
卫星 近地：h1= 439 km v1=8.1 km.s-1
远地: h2= 2384 km
求： v2=?
严格同步条件
卫星轨道平面与地球赤道平面倾角为零
轨道严格为圆形
运行周期与地球自转周期完全相同 （23小时56分4秒）
地球偏心率，太阳、月球摄动引起同步卫星星下点漂 移，用角动量、动量守恒调节 ~ 定点保持技术
•研究微观粒子相互作用规律
自学教材P108[例4]
第五章
角动量
角动量守恒
习题课
复习提要：三个概念，两条规律
mA mB v1 R mA mB mc vR
大学物理 角动量 角动量守恒定律
z L mv
r
注意
L r mv
角动量 L在直角坐标系中各坐标轴的分量：
1. 质点的角动量与质点对固定点的矢径有关；同一质 点对不同的固定点角动量不同。 2. 讲角动量必须指明对哪一个固定点而言。
Lx ypz zp y Ly zpx xpz
角动量的单位：
例2.17 一质量为 m的质点t=0时位于 ( x1 , y1 )处，速度为 v0 v x 0 i v y 0 j ，质点受到恒力 f = f i 的作用，（1） 求t=0时相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力 的力矩（2）求2s后相对于原点的角动量的变化中木块在水平面内只受指向O点的 弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v 2 与OB方向成θ角，则有
l0 (m M ) v1 l (m M ) v2 sin
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 1 1 2 2 (m M ) v1 (m M ) v2 k (l l0 ) 2 2 2 2
( x1mv y 0 y1mv x 0 )k
作用在质点上的力的力矩为
M 0 r0 f ( x1i y1 j ) ( f i )
y1 f k
t t （2） L Mdt (r f )dt t0 t0 f f f 2 a i x x1 vx 0t t m m 2m
k (l l0 ) 2 m2 2 v2 v0 (m M ) 2 mM
arcsin
l0 mv0
2 l m 2 v0 k (l l0 ) 2 (m M )
例 . 在光滑的水平桌面上有一小孔O，一细绳穿过小孔，其一端系 一小球放在桌面上，另一端用手缓慢拉绳，开始时小球绕孔运动， 半径为 r1 ，速率为 v1 ，当半径变为 r2 时,求小球的速率 v2？
大学物理-角动量定理和角动量守恒定律
当系统所受外力矩为零时，系统内各物体角动量 之和保持不变。
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
-角动量定理角动量守恒定律
太原理工大学物理系
结论： 1）内力对定点的力矩之和为零。 2）只有外力矩才能改变系统的总角动量。 3.质点系的对轴的角动量
L Lxi Ly j Lzk M Mxi M y j Mzk
质点系对x轴的角动量定理
Mx
dLx dt
太原理工大学物理系
质点系的角动量守恒定律可以表示为三 个分量形式
解：小球的合外力矩为 0 ，故角动量守恒 。 有：
L = mvr = 恒量 即： m v1 r1 =m v2 r2
v2
r1v1 r2
太原理工大学物理系
五、质点系的角动量与角动量守恒
1.质点系对定点的角动量
P2
第i个质点对o点的角动量
r2
Li ri Pi
o
质点系对o点的角动量
ri fi 质点系受到的内力矩的矢量和
i
太原理工大学物理系
可以证明：内力 对定 点的力矩之和为零，即
ri fi 0
i
质点系内的重要结论之三
有 M
ri Fi
i
M外
dL dt
质点系的角动量定理：质点系对某定点的角动量的
时间变化率等于质点系对该点的合外力矩。
力矩在y轴方向的分量
M y zFx xFz
力矩在z轴方向的分量
M z xFy yFx
太原理工大学物理系
力矩在某一方向的分量称为力对该轴的力矩。
当质点在oxy平面内运动时，质点
z 所受的力也在该平面时，角动量和力
矩只有在z轴有分量。
Lx 0 Ly 0 Lz L
Mx 0 My 0 Mz M
角动量定理和角动量守恒定律
O
M
l
l /2
1 1 2 2 l 0 = Ml ω + (Mg ) 2 3 2
3g ω= l
m
第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 1 1 2 1 2 ′ + mVl = ( M + m)lV ， V = ω′l Ml ω = Ml ω 3 3 3
t2
∫
例：水平面内，均质杆 (M, l) 水平面内， 子弹 (m,V ) 击穿杆的 自由端后速度降为 V / 2 求：杆转动的角速度 ω 解：角动量守恒 3mV V 1 2 mVl = m l + Ml ω ， ω = 2Ml 2 3
O
M
l
ω
m
V /2
V
例：rA = 0.2m ，mA = 2kg
ω0A = 50rads rB = 0.1m ，mB = 4kg ω0B = 200rads 1
dL d dω = (Iω) = I = Iβ = M dt dt dt dL = M ：角动量定理 dt dL = Mdt
L = ∫ Mdt
t1 t2
y
x
如果 M = 0 ，则 L = C ：角动量守恒定律 非刚体， 一般随时间变化， 非刚体， I 一般随时间变化， M = Iβ 不成立 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 定轴转动， dL = M ， dL = Mdt ， L = Mdt 定轴转动， dt t1 L = C ， L = Iω ， M = Iβ
如果合外力矩 M = 0
例：圆锥摆球在水平面内匀速转动 分别对固定点 A和 O ，讨论 小球受到的张力矩，重力矩， 小球受到的张力矩，重力矩， LA 合力矩和角动量 对 A: M = R ×T = 0
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动时的两个基本定律。
下面进行简单的介绍：
1. 角动量定理
角动量定理是描述角动量变化的定律。
它表示为：物体所受外力矩等于物体角动量对时间的变化率。
即
I*ω= ΔL/Δt
其中，I 为物体的转动惯量，ω为物体的角速度，L 为物体的角动量。
这个定理表明了一个物体的角动量发生变化时，必定受到了外部的力矩作用，即力矩等于角动量的变化率。
2. 角动量守恒定律
角动量守恒定律是描述角动量不变的定律，即如果没有外部力矩作用，系统的总角动量保持不变。
即：
L = L0
其中，L 为系统的总角动量，L0 为系统在某一时刻的总角动量。
这个定律表明，如果没有外部力矩作用，那么系统的总角动量保持不变。
如果一个物体在自由运动时，角动量发生变化，那么它将会改变自身的旋转状态（比如转速、方向等）。
总之，角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动和角动量变化的基本定理，可以帮助我们更好地理解物体的运动和变化规律。
大学物理3_3 角动量 角动量守恒定律
将
R 、 h1 、h2 和 v1 各值代入，得
2 6.13公里/ 秒
3 – 3 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体的转动 例3-8 两个转动惯量分别为 J1 和 J2 的圆盘 A和 B. A 是机器上的飞轮, B 是用以改变飞轮转速的离合器 圆盘. 开始时, 他们分别以角速度ω 1 和ω 2 绕水平轴 转动. 然后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下.啮合 为一体, 其角速度为 ω, 求 齿轮啮合后两圆盘的角速度. 解: 系统角动量守恒
( L mR )
2
得
LdL m gR cosd
3 – 3 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体的转动
LdL m gR cosd
2 3
由题设条件积分上式
L
0
LdL m gR
2
32
3
0
cosd
12
L mR (2 g sin )
L mR
2
2g 12 ( sin ) R
3 – 3 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体的转动
力的时间累积效应 力矩的时间累积效应 角动量定理.
一
冲量、动量、动量定理. 冲量矩、角动量、
刚体定轴转动运动状态的描述 L J Ek J 2 2 0, p 0 0, p 0
质点的角动量定理和角动量守恒定律 质点运动状态的描述 p mv Ek mv 2 2
2
航天器调姿
1
3 – 3 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体的转动 例3-6 如图所示，有一质量为 m1 、长度为 l 的均质细 棒，原先静止地平放在水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定轴转动，另有一质量为 m2 的水平运动 的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A 相碰撞，并被棒反向弹回，设碰撞时间极短。已知小滑块 碰撞前、后的速率分别为 和 u ，桌面与细棒的滑动摩 擦系数为 。求：（1）从碰撞到细棒停止运动所需的时 间；（2）从碰撞到细棒停止运动，细棒转过的圈数。
《大学物理》34刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律.
矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
物理-角动量定理与角动量守恒定律
dt
dt
i
当质点系相对惯性系中某给定参考点的合外力 矩为零时，该质点系对同一参考点的总角动量保持 不变。
——角动量守恒定律
当 M Mi 0，则L Li 恒矢量
Hale Waihona Puke 说明1、同一问题中应 用角动量定理或判断角动量守恒时， M 与 L 必须相对同一参考点计算！
2、如果相对某一特殊参考点，合外力矩为零，系统只 只对这一特殊点角动量守恒，但相对其他参考点的 角动量不一定也守恒；
当 M Mi 0，则L Li 恒矢量
说明
3、关于角动量守恒与动量守恒的条件：
一般地
(ri Fi ) 0 与
Fi 0 彼此独立！
角动量守恒与动量守恒也是相互独立的。
例：行星在绕太阳的公转过程：动量不守恒，
但对太阳的角动量守恒。
MS
rF
0
z LS
LS
r m
恒矢量
S
如直角坐标系中。沿 z 轴分量式为：
当 Mz Miz 0，则Lz Liz 恒量
5. 适用范围：惯性系；
讨论：为什么许多星系是扁盘状旋转结构？
银河系
讨论：为什么许多星系是扁盘状旋转结构？
初始角动量
径向
轴向
引力 收缩
L守恒
引力 收缩
速度增大 离心力增大
引力 收缩
达到平衡
高速旋转的盘形结构
dL L2 (t2 ) L1(t1 )
t1
L1 (t1 )
—— M在时间t t2 t1内的角冲量（冲量矩）
（积分式）
对同一参考点，质点所受合力在某一时间内的 角冲量等于同时间内角动量的增量 。
说明
•直角坐标系中的分量式（如Z轴分量式）：
大学物理第3章第2节-角动量定理及其守恒定律
用角动量定理和守恒定律处理问题 (i) 确定研究对象 (单一刚体、刚体系、刚 体+质点); (ii) 确定是对点还是对轴; (iii) 受力分析 (外力) 并求各力的力矩; (iv) 求初、末状态的角动量; (v) 用角动量定理和角动量守恒定律 (对 点或对轴) 列方程求解.
例3.9 一半径为 R 、质量为 m 的匀质圆 R 盘平放在粗糙的水平面 上. 设盘与桌面的摩擦因 数为 , 令圆盘最初以角 速度0 绕过其中心且垂直于盘面的轴旋转, 问它经过多少时间才停止转动? 解 圆盘与桌面间有摩擦, 在转动过程 中受到摩擦力矩的作用, 对圆盘上半径为 r 宽度为 d r 的圆环, 受到的阻力矩为
解 受力分析 N N 人: m M 重力 mg R 支持力 N1 mg 转台: 重力 Mg 支持力 N 2 Mg 合外力为零, 不产生力矩, 角动量守恒.
2 1
设转台沿逆时 M 针转动, 对地的角速 度为 , 人沿顺时针运 动, 人对转台的角速度为 , 则人对地的角速度为 . 转动惯量 2 I MR 2 转台: 2 I mR 人:
dM f rd f
f ( d m) g d r (d m) g m d S d r ( d S ) g
m
R
m r (2 rd r ) g 2 R
m R 2 , d S 2 rd r
m
R
角动量守恒
I I ( ) 0
M
R
m
MR mR2 ( ) 0 2
2
解得
2m M , M 2m M 2m
当人在转台上跑一周时
大学物理学教程马文蔚43角动量角动量守恒定律
假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N 可弹起多高?
解: 碰撞前M落在A点的速度
vM (2gh)1 2
碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度
N
u l
B
2
M
h
C
A
l
l/
2
M、N和跷板系统,角动量守恒
mvM
l 2
J
2mu
l 2
1 12
ml 2
1 2
ml 2
第四章 刚体的转动
得
mvMl 2 ml 2 12 ml2
d
例8: 两只同重量的猴子,一只用力往上爬,另一只不爬,若滑轮重 量忽略不计,问哪一只先到达滑轮顶端?
(同时到达)
第四章 刚体的转动
例9: 如图，一质量为 m的均匀圆盘，半径为 R，放在一粗糙的 水平面上，圆盘可绕通过其中心O 的竖直光滑轴转动，开始时， 圆盘静止，有一质量为m0 的子弹以速度0 垂直打入圆盘边缘并嵌 在盘边上，求(1)子弹击中圆盘后，盘获得的角速度；（2）经多
得 3m
2Ml
m
例5 已知 M , L, m, ,求
解: 子弹与杆碰撞过程,系统角动量守恒
Lm Lm 1 ML2
23
得 3m
2ML
第四章 刚体的转动
O
Ml
ห้องสมุดไป่ตู้
/2
O
L
M
2
m
第四章 刚体的转动
例6: 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动,求远地点的速度与近
地点的速度的比值
.
m1(l1 R) m2 (l2 R)
解：小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动 量守恒
解: 碰撞前M落在A点的速度
vM (2gh)1 2
碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度
N
u l
B
2
M
h
C
A
l
l/
2
M、N和跷板系统,角动量守恒
mvM
l 2
J
2mu
l 2
1 12
ml 2
1 2
ml 2
第四章 刚体的转动
得
mvMl 2 ml 2 12 ml2
d
例8: 两只同重量的猴子,一只用力往上爬,另一只不爬,若滑轮重 量忽略不计,问哪一只先到达滑轮顶端?
(同时到达)
第四章 刚体的转动
例9: 如图，一质量为 m的均匀圆盘，半径为 R，放在一粗糙的 水平面上，圆盘可绕通过其中心O 的竖直光滑轴转动，开始时， 圆盘静止，有一质量为m0 的子弹以速度0 垂直打入圆盘边缘并嵌 在盘边上，求(1)子弹击中圆盘后，盘获得的角速度；（2）经多
得 3m
2Ml
m
例5 已知 M , L, m, ,求
解: 子弹与杆碰撞过程,系统角动量守恒
Lm Lm 1 ML2
23
得 3m
2ML
第四章 刚体的转动
O
Ml
ห้องสมุดไป่ตู้
/2
O
L
M
2
m
第四章 刚体的转动
例6: 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动,求远地点的速度与近
地点的速度的比值
.
m1(l1 R) m2 (l2 R)
解：小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动 量守恒
5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
§4-5 刚体的角动量定理和
角动量守恒定律
一．刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分，得 式中 t
t2
1
t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明：刚体所受合外力矩 的冲量矩，等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量，这就是刚体的角动量定理。 在SI制中，冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后， 此系统开始以 n1 15 转/分转动， 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回， 使系统的转动惯量就为 2 时， 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆，可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端，与 杆发生完全非弹性碰撞后，粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此，在此时间内，人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为
T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二．角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出，这个定律不仅对一个刚体有效，对转动 惯量I会变化的物体，或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中，转动惯量保持不变，则物体 以恒定的角速度转动；如果转动惯量发生改变，则物 体的角速度也随之改变，但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时，还应该注意的是，一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。
角动量守恒定律
一．刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分，得 式中 t
t2
1
t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明：刚体所受合外力矩 的冲量矩，等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量，这就是刚体的角动量定理。 在SI制中，冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后， 此系统开始以 n1 15 转/分转动， 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回， 使系统的转动惯量就为 2 时， 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆，可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端，与 杆发生完全非弹性碰撞后，粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此，在此时间内，人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为
T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二．角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出，这个定律不仅对一个刚体有效，对转动 惯量I会变化的物体，或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中，转动惯量保持不变，则物体 以恒定的角速度转动；如果转动惯量发生改变，则物 体的角速度也随之改变，但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时，还应该注意的是，一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。
大学物理——角动量定理和角动量守恒定律
解：把飞船和排出的 废气看作一个系统， 废气质量为m。可以 认为废气质量远小于 飞船的质量，
dm/2
u
Lg
r
L0
u dm/2
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所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等 于飞船自身的角动量，即
L0＝J
在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气体
， 这 些 气 体 对 中 心 轴 的 角 动 量 为 dm·r(u+v) ， 方 向
量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B
轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在 啮合过程中，两轮的机械能有何变化？
A
B
C
A
B
C
A
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解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在
啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的 切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴 有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外 力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律 可得
由匀减速直线运动的公式得
0 v2 2as
亦即 v 2 2gs
（3）
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
3gl 3 2gs
l
（5）
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当’取正值，则棒向左摆，其条件为
3gl 3 2gs 0
亦即l >6s；当’取负值，则棒向右摆，其条件
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数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。
求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明
棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。
解：这个问题可分为三个阶段
角动量定理及角动量守恒定律
角动量定理及角动量守恒定律一、力对点的力矩：如图所示,定义力F对O 点的力矩为： F r M ⨯=大小为: θsin Fr M ＝力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直,其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时,拇指指向的方向就是力矩的方向.二、力对转轴的力矩:力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。
1）力与轴平行，则0=M;2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距离d 称为力对转轴的力臂。
力的大小与力臂的乘积，称为力F对转轴的力矩,用M表示。
力矩的大小为： Fd M ＝或： θsin Fr M ＝其中θ是F 与r的夹角.3）若力F不在垂直与转轴的平面内,则可把该力分解为两个力,一个与转轴平行的分力1F，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响.对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向.三、合力矩对于每个分力的力矩之和。
合力 ∑=i F F合外力矩 ∑∑∑=⨯=⨯=⨯i i i M F r F r F r M＝即 ∑i M M＝四、质点的角动量定理及角动量守恒定律在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。
同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。
角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线）动量所起的作用相类似。
在研究力对质点作用时,考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时,引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。
至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容.本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。
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1
ml 2
mvl
1
ml 2
3
3
（2
）
式中’为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。
’取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右
摆。
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第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为
mg ma
由匀减速直线运动的公式得
0 v发生，若对某一定 轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。
如： 常平架上的回转仪
A
L
B
C
B
C
A
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刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式
刚体的平动
v dx dt
a dv d2 x dt dt2
P mv F
EK
1 mv2 2
m
dA Fdx Fdt
§3-4 定轴转动刚体的角动量定理
和角动量守恒定律
一、 刚体的角动量
L
对于定点转动而言：
L
r
P
r mv
r o
r sin
P
mv
m
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对于绕固定轴oz的转
动的质元 m而i 言:
Li
ri mivi
miri2k
对于绕固定轴oz 转动 的整个刚体而言:
z
L
vi ri
mi
L N miri2 J
在整个喷射过程中，系统所受的对于飞船中心轴的 外力矩为零，所以系统对于此轴的角动量守恒，即 L0=L1 ，由此得
J＝mru
即
m J
ru
于是所需的时间为
t m J 2.67s ru
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选择进入下一节 §3-0 教学基本要求 §3-1 刚体模型及其运动 §3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系 §3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律 §3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 §3-7 牛顿力学的内在随机性 混沌
解：在星际空间中，恒星不会受到显著的外力矩，因
此恒星的角动量应该守恒，则它的内核在坍缩前后的
角动量J00和J应相等。因
J
＝
0
2 5
mR
02，J＝52
mR
2
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代入J00=J中，整理后得
＝0
R0 R
2
3r/s
由于中子星的致密性和极快的自转角速度，在星 体周围形成极强的磁场，并沿着磁轴的方向发出很 强的无线电波、光或X射线。当这个辐射束扫过地球 时，就能检测到脉冲信号，由此，中子星又叫脉冲 星。目前已探测到的脉冲星超过300个。
E
1 2
J
A
2
A
1 2
J
B
2
B
1 2
JA
JB
2
1.32 104 J
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例题3-9 恒星晚期在一定条件下，会发生超新星爆
发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时星 的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中子 星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就有 几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每45天转一周，它 的 内 核 半 径 R0 约 为 2107m ， 坍 缩 成 半 径 R 仅 为 6103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后 的星体内核均看作是匀质圆球。
数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。
求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明
棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。
解：这个问题可分为三个阶段
进行分析。第一阶段是棒自由
O
摆落的过程。这时除重力外，
其余内力与外力都不作功，所
C
以机械能守恒。我们把棒在竖
直位置时质心所在处取为势能
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解：把飞船和排出的 废气看作一个系统， 废气质量为m。可以 认为废气质量远小于 飞船的质量，
dm/2
u
Lg
r
L0
u dm/2
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所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等 于飞船自身的角动量，即
L0＝J
在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气体
， 这 些 气 体 对 中 心 轴 的 角 动 量 为 dm·r(u+v) ， 方 向
由定轴转动定理： M d(J)
dt
当 M=0 时 d(J) 0
dt
即 J J00 常量
刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为 零时，刚体对转轴的角动量保持不变， 这一规律 就是定轴转动的角动量守恒定律 。
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讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
与飞船的角动量相同。因u=50m/s远大于飞船的速
率v(=r) ，所以此角动量近似地等于dm·ru。在整
个喷气过程中喷出废气的总的角动量Lg应为
Lg＝
m 0
dm ru
mru
当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时的
总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即为
L1 Lg＝mru
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例题3-10 图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为
J=2103kgm2 ，它以=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋
转。宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。 每个喷管的位置与轴线距离都是r=1.5m。两喷管的喷
气流量恒定，共是=2kg/s 。废气的喷射速率（相对
于飞船周边）u=50m/s，并且恒定。问喷管应喷射多 长时间才能使飞船停止旋转。
当M z 0时， J =恒量 =恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系
统的角动量依然守恒。J 大→ 小,J 小→ 大。
当M z 0时， Lz J11 J22 恒量
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例如：花样滑冰运动员 的“旋”动作 再如：跳水运动员的“团 身--展体”动作
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mgh 1 1 ml 2 2
(6)
23
把式（5）代入上式，所求结果为
h l 3s 6sl
2
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例题3-8 工程上，常用摩擦啮合器使两飞轮以相同的 转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一 中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，B的转动惯
量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B
刚体的定轴转动
d
dt
d d2
dt dt2
L J
EK
1 2
J 2
M
J
d A M d M dt
F ma
M J
F d t P P0
F
d
x
1 2
mv2
1 2
mv02
M d t L L0
M
d
1 J 2
2
1 2
J02
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例题3-7 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过 其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位 置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物 体相撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系
J A A J BB＝J A J B
为两轮啮合后共同转动的角速度，于是
J A A J B B
JA JB
以各量的数值代入得
20.9rad/s
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或共同转速为
n 200r/ min
在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械 能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失 的机械能为
零点，用表示棒这时的角速度,则
mg
l 2
1 2
J
2＝1 2
1 3
ml
2
2
（1）
第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的
冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽
略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受 的对转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴 的角动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在 啮合过程中，两轮的机械能有何变化？
A
B
C
A
B
C
A
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解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在
啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的 切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴 有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外 力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律 可得
i
角动量的方向沿轴的正向或负向,所以可
用代数量来描述.
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二、 定轴转动刚体的角动量定理
M
J d
dJ
dL
dt dt dt
微分形式：Mdt d J dL
积分形式：
t
Mdt
t0
J J0
或:
t
t0 Mdt L L0
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三、 定轴转动刚体的角动量守恒定律
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亦即 v 2 2gs
（3）
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
3gl 3 2gs
l
（5）
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当’取正值，则棒向左摆，其条件为
3gl 3 2gs 0
亦即l >6s；当’取负值，则棒向右摆，其条件
为
3gl 3 2gs 0 亦即l <6s
棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况 相似，也可由机械能守恒定律求得：