角动量角动量守恒定律

面内. 一质量为 m 的小
球穿在圆环上, 并可在
圆环上滑动. 小球开始
时静止于圆环上的点 A
(该点在通过环心 O 的
水平面上)，然后从 A
点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦略去
不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动
量和角速度． 重力对O有力矩
M
dL
dt
L mRv mR2
11
解
小球受力 P、FN 作用,
20
角动量守恒现象举例
图1
图2
J ri2mi
i
M轴 0
J11 J22
L1
L2
L J
J1 J2
1 2
21
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
J11 J 22
J1 J2
1 2
W11（角动量守恒） 22
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
动量来量度转动物体的机械运动。
*引人与动量 p 对应的角量 L —角动量
R Om
1. 质点的角动量 L r p r mv
大小：
质点 m
p
L rp sin rmv sin
方向：右手螺旋法则
or
参考点
3
1 质点的角动量
L
r
p
r
mv
大小L rmvsin
L 的方向符合右手法则
角动量单位：kg·m2·s-1
M 0,
(F
0,或r
0)
(r||
F，或
r反||
F)
L 恒矢量
L2 L1
9
条件:
M
0
结论: L 恒矢量
由：M
r
F
有心力
rF
M 0
O 力心
*有心力: 力的作用线始终力心（O）; *只有有心力的系统,角动量守恒;
*天体运行遵从角动量守恒定律.
10
例1 一半径为 R
的光滑圆环置于竖直平
z
O ri vi
mi
圆周运动质点：
Li Li
mi
mi
rrii2vi
15
问题:
质点
M
dL
dt
刚体 dL ?
dt
质元mi
Mi
受合力矩Mi
dLi dt
d dt
(mi ri
2)
(包括Mi ex、 Mi in )
z
O ri vi
对定轴转动的刚体
mi
M Mi
Li
mi ri 2
Miin
Mi
4-3 角动量 角动量守恒定律
1
问题：
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
（角冲量）
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
角动量引入
2
问题：
一圆盘, 绕过质心的固定轴转动，则由于圆盘
质心速度为零，所以，系统总动量为零;
系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜用
得 LdL m2 gR3 cos θdθ
L LdL m2 gR3
cosd
0
0
L mR3 2 (2g sin )1 2
又 L mR 2 ( 2g sin )1 2
R 13
方法2: 小球+地球系统, 机械能守恒
Ek E p Ep1 Ep2 1 mv2 0 mgh 2
1 mv2 mgRsin
若 M 0，则 L J =常量
or : J22 J11
19
M
M 轴外
d(J)
dt
dL dt
讨论
L J =常量
➢ Baidu Nhomakorabea恒条件 M 0
若 J 不变，不变；
J 22 J11
若 J 变， 也变，但 L J 不变.
➢ 内力矩不改变系统的角动量.
➢ 在冲击等问题中 M in M exL 常量
➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
r
dL dt
p
？
dL
d
(r
p)
r dp
dr
p
dt dt
dt dt
dr v, v p 0
dt
dL
r
dp
r
F
M
M
dL
dt
dt
dt
6
2、质点的角动量定理
微分形式
M
dL
dt
F
dp
dt
质点: 角动量对时间的变化率 = 合力的力矩
M
r
F
L
r
p
r
mv
7
M
dL
dt
t2
L2
微分形式
M
M 轴外
d(J)
dt
dL dt
方向: 与转轴平行
Mdt d(J)
t2
2
Mdt d (J)
t1
1
t2
t1
Mdt
J2
J1
角动量定理
18
定轴刚体的角动量定理的积分形式
t2
t1
Mdt
J2
J1
非刚体定轴转动的角动量定理
t2
t1
Mdt
J 22
J11
M d(J) dL
dt dt
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
Mdt dL
t1
L1
质点的角动量定理的积分形式
t2 t1
Mdt
L2
L1
t2
t1
Fdt
p2
p1
冲量矩(角冲量):
t2
Mdt
t1
角动量增加=质点合力矩对时间的积分(冲量矩).
8
质点的角动量定理
微分形式
M
dL
M
r
F
dt
积分形式
t2 t1
Mdt
L2
L1
3
质点的角动量守恒定律
2
v 2gRsin
h Rsin
L mRv mR3 2 (2g sin )1 2
由：v R ( 2g sin )1 2
R
14
二 刚体定轴转动的角动
量定理和角动量守恒定律
质点:
L
r
p
r
mv
1 定轴刚体的角动量
L
mi ri 2
i
( miri2 ) J
i
定轴刚体 L J
代数量
ex
d dt
(mi ri 2)
16
M
Mi
M
in i
Miex
刚体
Miin 0
M
M
Mi
ex
d dt
M
ex
d(J)
(
mi ri 2)
dL
dt dt
d dt
(mi
d(J)
dt
ri
z
2)
定轴刚体M
M 轴外
d(J)
dt
dL dt
O
ri
mi
vi
角动量定理的微分形式
17
2、定轴刚体角动量定理
z
L
v
rm
xo
y
L
v
r
L pr sin
pr
m
p
r
or
4
L
r
p
r
mv
2)、圆运动： L mrv
L
p
o
m r
L rp sin rmv sin
1)、椭圆运动： L rmv sin
vL
rm
L mr 2 J
3)、直线飞行： L rmv
r r
o
v
5
问题:
dp dt
F，
L
FN
的力矩为
零，重力矩垂直纸面向里
M mgRcos
由质点的角动量定理
mgRcos dL
dt
dL mgRcosdt mgRcos dt d
mgRcos 1 d
d
dL mgRcosθdθ
12
dL mgRcosθdθ 圆周运动质点: L mRv mR2 mR 2dL (mR 2 )mgR cosθdθ
电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
宏观微观均成立
23
例4 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一 端的演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?
设跷板：l，m 演员M，N质量：m 板可以绕支点c竖直 平面转动.
完全非弹性碰撞
h u2 2g
u l
2
h
M
h