大学物理-刚体角动量与角动量守恒定律

均对同一固定轴而言；
（2）非刚体，J变化，tt12M d（m N s），角动量（kgm2/S）
三 、角动量定理守恒定律
刚体绕轴转动时，若合外力矩 M 0
MdLd(J)0
dt dt
J常量
角动量守恒定律：当物体所受合外力矩等于零时，物体的角动量保持不变。
§2-4 刚体角动量和角动量守恒定律
一、 动量矩、冲量矩
L
1. 角动量（动量矩）
定义：质点对点的角动量为
L r P r (m v )大小
方向
Lrm sivn
r v
O
质点对圆心的角动量大小
Lprmvr
v
rm
L
质点对圆心O 的角动量方向如图
刚体对转轴的角动量
LJ
大小 J
方向 与的方向一致。
讨论：
（1）对于刚体，J 不变 不变，刚体作匀速转动。 （2）对于非刚体，J变，也变，但乘积 J不变，
J11 J22
（3）可扩展为系统， 当Mz 0时，
Jii 常量
i
L zJ11J22恒量
对同一轴，同一惯性系而言。可解决一些碰撞，质点和刚体碰撞等问题。 若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为零,则系统 对该轴的角动量守恒。
p
o
r
m
由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别
为J1、1 J2、2…，则该系统对该轴的角动量为：
Lz Jii i1,2,
i
2. 冲量矩
t2
Mdt
t1
是矢量，是角动量变化的量度, 反映力矩对时间的累积效应
二、 定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定律：
Mz
d J
dt
对于系统还有
M Zdd LtZd dt i Jii
JA=10kgm2，B的转动惯量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B轮
静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械
能有何变化？
A
B
A
B
C
C
A
解以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到 轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对 转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的 角动量守恒。按角动量守恒定律可得
M
J
dWMd Mdt
Fma
M J
FdtPP0
MdtLL0
Fdx12m2v12m02v Md1 2J21 2J0 2
四 、举例
例题1 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端点O的水平轴转动，
如图所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体
相撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系数为 。相撞后物体沿地面
（4）动量、角动量、机械能守恒三大定律在原子内部亦适用。
（5）平动和刚体定轴转动的公式有对应关系，便于类比记忆。
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
v dx dt
a
dv dt
d2 dt
x
2
Pmv
EK
1 mv2 2
F
m
dWFdx Fdt
刚体的定轴转动
d dt
d
dt
d2
dt2
LJ
EK
1 2
J2
在外力矩作用下，从 t0 t 角动量从 Lz0J0变为 LZ J则由
Mz
d J
dt
得角动量定理微分形式
MdtdJ()
两边积分得
t
Mdt
t0
JJ0
t
M t0
dt
为
t t t0时间内力矩M 对给定轴的冲量矩。
角动量定理：转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转动物体 角动量的增量。
说明 （1）M、J、ω
滑行一距离s而停止。求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明棒在碰
撞后将向左摆或向右摆的条件。
O
解： 这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶
段是棒自由摆落的过程。机械能守恒。我们把棒在竖
直位置时质心所在处取为势能零点，用表示棒这时
的角速度,则
h
mg l 1J2＝ 1 1m2l 2（1）
22
23
1.3 214 0 J
J A A J B B ＝ J A J B
为两轮啮合后共同转动的角速度，于是
J
A
A
J B B
JA JB
以各量的数值代入得
2.9 0 ra/s d
或共同转速为
n 2r 0 /m 0 in
在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能 将转化为热量，损失的机械能为
E1 2JA 2 A1 2JB B 21 2JAJB 2
向左摆；反之，表示向右摆。
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运动，加速度
由牛顿第二定律求得为
m gma
（3）
由匀减速直线运动的公式得
0v2 2as
亦即
v2 2gs
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
3gl3 2gs
l
（5）
当‘取正值，则棒向左摆，其条件为 3gl3 2g＞ s 0 亦 即l >6 s；
当’取负值，则棒向右摆，其条件为 3gl3 2gs0亦即l<6 s
棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段相似，可由机械能守恒定律求得：
mgh11m2l2
(6)
23
把式（5）代入上式，所求结果为
hl3s 6sl
2
例题2 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动
。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为
第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极大，物体虽然 受到地面的摩擦力，但可以忽略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系
统所受的对转轴O 的外力矩为零，所以系统的对O 轴的角动量守恒。我们
用v 表示物体碰撞后的速度，则
1m2l mv l1m2l （2）
3
3
式中’ 棒在碰撞后的角速度，它可正可负。 ’取正值，表示碰后棒