定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律29页PPT

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高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体角动量角动量守恒定律以及进动(29张ppt)

例2 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为
：A=50rad.s-1, B=200rad.s-1。已知A 圆盘半径
RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m,
质量mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度 .
解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向
u=50m/s远大于飞船的速率v(= r) ，所以此角动量近似地等于dm ru。在整个喷气过程
中喷出废气的总的角动量Lg应为
Lg＝ 0 mdm rumru
定轴转动刚体的角动量守恒定律
当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时的总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即为
L1Lg＝mru
刚体角动量和角动量守恒定律
1. 定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定理：
Mz
d J
dt
由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定
轴的角动量分别为、J11 、…J2，2
则该系统对该轴的角动量为：
Lz Jii
i1,2,
i
对于该系统还有 M Zdd LtZd dt i Jii
定轴转动刚体的角动量定理
在外力矩作用下，从 t0 t ，
E1 2JA2 A1 2JBB 21 2JAJB2
1.3 2140J
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题4-13 恒星晚期在一定条件下，会发生超新星爆发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时星的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中子星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就有几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每45天转一周，它的内核半径 R0 约为 2107m ，坍缩成半径 R 仅为 6103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后的星体内核均看作是匀质圆球。

§3-3定轴转动刚体的角动量守恒定律

v0

1 2 J ml 3
解：系统的合外力矩为零,角动量守恒
mv l mv l 0 m7l
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动 dv d2 x dx a 2 v dt dt dt 1 2 Pmv EK mv 2 刚体的定轴转动 d d2 d 2 dt dt dt 1 2 LJ EK J 2
也变，不变；若 J 变，
3）内力矩不改变系统的角动量. 4）在冲击、碰撞等问题中内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
例1 一根质量为 M ，长为l 的均匀细棒，可绕通过棒中心的垂直轴 Z ，在 xy 平面内转动。开始时静止，今有质量为 m 的小球以速度 v0 垂直碰撞棒的端点，假设碰撞是完全非弹性的，小球与棒碰撞后粘在一起，试求碰撞后系统转动的角速度
§3-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律一、定轴转动刚体的角动量定理由转动定律
d ( ) d ( J ) d L M J J d t d t d t
或写作
t 2
M d t d L
t 2
对于一段时间过程有
M d t d L L L 末初
t 1 t 1
F
d A F d x
m
M
J
Fdt
d A M d M dt
F ma
M J
0
d t P P F
d t L L M
0

v0
m
M l
x
y
z
解：系统的合外力矩为零.角动量守恒碰撞前球角动量: mv
0

刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

P
第3章刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 11
二刚体对轴的角动量刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量刚体对转轴z 轴的角动
量就是刚体上各质元的角动
量之和． Li miri2
z
Lz
r
mv
mv
L Li (miri2 ) ( miri2 ) J
i
i
i
的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂
直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中
木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此
时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 .
解击中瞬间，在水平
面内，子弹与木块组成
的系统沿 v0方向动量守恒，即有
mv0 (m M )v1
置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处,
并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量
均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多
大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角动量守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)
2
12v0 7l
第3章刚体力学基础
第3章刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2

高二物理竞赛第3章第3讲定轴转动刚体的角动量转动惯量PPT(课件)

i
i
转动惯量
IZ mi Ri2 i
LZ ( mi Ri2 ) IZ i
转动惯量的计算： I mi Ri2 m R2dm i
平行轴定理
Iz Izc md 2
正交轴定理
Iz Ix Iy
l
1 12
ml
2
细圆棒轴通过中心
l
1 3
ml
2
细圆棒轴通过一端
I 1 mR2 2
圆盘轴垂直盘面通过中心
2 23
故细棒摆下角时的角速度为： 3g sin
重力的功 : A E mg l sin
l
p
பைடு நூலகம்
2
法二: 细棒摆动（即转
动）时，重力对0轴的
o
力矩为: 求:物体的加速度和定滑轮的角加速度，以及两边绳子中的张力。
一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。刚体对定轴的角动量定理
l 若它与桌面间的滑动摩擦系数为μ，在t=0时，使圆柱体获得一个绕轴旋转的角速度ω。
一、刚体定轴转动的角动量定理
能包括所有的动能和势能.
对质点系而言角动量定理为：由系统角动量守恒(设向外为正方向)
注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。处理刚体定轴转动问题与圆周运动角量描述类似例计算钟摆的转动惯量。（1）分别隔离和
dL dt
M外
2 质点系角动量守恒定律
角加速度：
lim
t 0
t
d
dt
处理刚体定轴转动问题与圆周运动角量描述类似
角量相同（角位移、角速度、角加速度）
线量不同
vi Ri ri
vi Ri
ai ai ainn

角动量守恒定律.pptx

角动量守恒定律
一、角动量定理
由转动定律
4-3 角动量守恒定律
M dL dt
Mdt dL
L L t2 Mdt L2 dL
t1
L1
21
系统所受合外力矩的冲量矩等于系统角动量的增量。
4-3 角动量守恒定律
二、角动量守恒定律
由角动量定理：
t2 t1
M
d
t
L2
L1
若 M 0，则 L J =恒矢量
4-3 角动量守恒定律
一、角动量定理：
t2 tL1
二、角动量守恒定律：
若 M 0，则 L J =恒量
1、刚体： J不变，也不变（大小、方向） 2、非刚体： J变，变 → J ，；J ，
课后思考：
4-3 角动量守恒定律
试分析为什么直升机要安装尾翼螺旋桨呢？
4-3 角动量守恒定律
内容：当系统所受合外力矩为零时，则系统的总角动量保持不变。
应用：
4-3 角动量守恒定律
1、刚体： J不变，也不变（大小、方向）
应用：
4-3 角动量守恒定律
2、非刚体： J变，变 → J ，；J ，
4-3 角动量守恒定律
2、非刚体： J变，变 → J ，；J ，
J ，
J ，
小结：

3-3刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

为零,角动量守恒
v0

v0
mv0l mv0l 0 mvl mvl J
v l
6 v0 7l
1 2 J ml 3
代入上式
L J const.
即转动过程中角动量(大小、方向)保持不变角动量守恒定律比转动定律适用范围更广泛，这里可以有
J 00 J11
但是
J 0 J1
讨论
1）角动量守恒条件
M 0
2）若 J 不变，不变；若 J 变，也变，但
L J 不变.
3）内力矩不改变系统的角动量. 4）在冲击等问题中内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
力矩。合外力矩为 0 ，小球角动
量守恒。有：
N
mg
L = mvr = 恒量
即： m v1 r1 =m v2 r2
例2 光滑桌面上有一长2l，质量为m的细棒，起初静止。两个质量m，速率v0的小球，如图与细棒完全非弹性碰撞，碰撞后与细棒一起绕中心轴转动，求系统碰撞后的角速度解：系统的合外力矩
d( ) d( J ) dL M J J dt dt dt
刚体所受的(对轴的)外力矩等于刚体(对轴的) 角动量的时间变化率。或写作
Mdt dL
t2 t1
对于一段时间过程有

t2
t1
Mdt dL L末 L初
三、定轴转动刚体的角动量守恒定律如合外力矩等于零
6）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成，角动量守恒定律的形式为

i
J ii J i 0i 0
i
m
m
系统内各物体的角动量必须是对同一固定轴而言的。

刚体转动及角动量守恒ppt

匀直细杆对端垂轴旳
平行移轴定理
对质心轴旳转动惯量对新轴旳转动惯量
质心
例如：
时
新轴对心轴旳平移量
新轴质心轴
代入可得端
匀质薄圆盘对圆心垂盘轴算旳例
取半径为微宽为旳窄环带旳质量为质元
球体算例匀质实心球对心轴旳可看成是许多半径不同旳共轴薄圆盘旳转动惯量旳迭加距为、半径为、微厚为旳薄圆盘旳转动惯量为
a = Rb
T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Ib
及
I
=
1 2
mR2
得
b=
(m1-m2)g
R(m1+ m2+ m
2)
常量
故
由
m2
a
G2
m1
a
G1
(m1-m2)g
R(m1+ m2+ m 2)
t (m1-m2)g
g 2 (rad)
R(m1+ m2+ m 2)
两匀直细杆
q
转动定两律者瞬例时题角加五速度之比
与时刻相应，何时
则何时
，
何时恒定则何时恒定。
匀直细杆一端为轴水平静止释放
转动定律例转题动二( T2 – T1 ) R = Ib
I=mR2 2
R
m
T2
T1
a
m2
m1
b
平动 m2 g – T2 = m2a
T2
T1
T1 – m1 g = m1a
线-角 a = Rb
T2
T1
联立解得
a
G2
力矩旳功算例拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩旳功旳大小

大学物理课课件第3章_刚体的定轴转动

G2 G1
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
a
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比转动定律例题五
θ
θ
根据
1 2 1 2
θ θ
1 3 1 3
地面从等倾角处静止释放
短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关
第3节机械能守恒定律
用两个对转的顶浆
（支奴干 CH47)
A、B两轮共轴 A以ωΑ作惯性转动
守恒例题一
两轮啮合后一起作惯性转动的角速度
ωΑΒ
以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外力矩为零，角动量守恒。
初态角动量末态角动量
得
守恒例题二
木棒弹
以弹、棒为系统击入阶段子弹击入木棒瞬间，系统在
铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。该瞬间之始该瞬间之末棒弹棒
对质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
及
β
R
T2 T2
m
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Iβ
得故
a = Rβ
1 I = 2 mR2 常量
β
(m1-m2)g = R(m1+ m2+ m 2) 由
m2
a
定轴转动物理量
1. 角位置
描述刚体（上某点）的位置刚体定轴转动的运动方程刚体
刚体中任一点
(t+△t) (t) 参考方向
2. 角位移

3-2 刚体定轴转动的角动量角动量定理角动量守恒定律

第三章刚体与流体
t2 t1
M
dt
J
J11
3 – 2 刚体定轴转动的角动量角动量定理角动量守恒定律
二、刚体定轴转动的角动量守恒定律
t2 t1
M
dt
J2
J1
若M 0 , 则J 常量
如果刚体所受合外力矩等于零，或者不受外力矩的作用，则刚体的角动量守恒．此即角动量守恒定律．
茹科夫斯基转椅
第三章刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量角动量定理角动量守恒定律
第三章刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量角动量定理角动量守恒定律
例4 一根长度为L=0.60m的均匀棒，绕其端点O转
动时的转动惯量为J=0.12kgm2．当棒摆到竖直位置
时，其角速度为0=2.4rad/s．此时棒的下端和一质量
第三章刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量角动量定理角动量守恒定律
M d L d(J) t2 M d t 2d(J)
dt
dt
t1
1
t2 t1
M
dt
J2
J1
——角动量定理
合外力矩的冲量矩（角冲量）
刚体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内刚体角动量的增量．
t1 t2时间内，J1 J2
3 – 2 刚体定轴转动的角动量角动量定理角动量守恒定律
3-2 刚体定轴转动的角动量角动量定理角动量守恒定律一、刚体定轴转动的角动量角动量定理
转动定律 M J J d d(J)
dt dt
令 L J，称为绕定轴转动刚体的角动量，则
M dL dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩 M 等于刚体绕此轴的角动量 L 随时间的变化率.

定轴转动的角动量定理角动量守恒定律

刚体定轴转动的角动量定理由转动定律角动量定理积分形式定轴转动刚体所受合外力矩的冲量等于其角动量的增量角动量定理微分形式刚体定轴转动的角动量守恒定律对定轴转动刚体
2、刚体定轴转动的角动量定理
由转动定律
MZ
dLz dt
d(J )
dt
M Z dt d(J ) 角动量定理微分形式
t2 t1
MZdt
A
B
C
A
B
C
A
解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在
啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律
可得 J A A J BB＝J A J B
为两轮啮合后共同转动的角速度，于是
垂直位置。现有一质量为m2的子弹，以水平速度v0
射入细棒下断而不复出。求细棒和子弹开始一起运动时的角速度？
题意分析：由于子弹射入细棒的时间极为短促，我们可以近似地认为：在这一过程中，细棒仍然静止于垂直位置。因此，对于子弹和细棒所组成的系统（也就是研究对象）在子弹射入细棒的过程中，系统所受的合外力（重力和轴支持力相等）对转轴O的力矩都为零。根据角动量守恒定律，系统对于O轴的角动量守恒。
mg ma
由匀减速直线运动的公式得
0 v2 2as
亦即 v 2 2gs
（3）
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
3gl 3 2gs （5）
l
当’取正值，则棒向左摆，其条件为
亦即l >6s；当’取负值，则棒向右摆，其条件为
3gl 3 2gs 0 亦即l <6s

定轴转动动量矩定理和守恒定律.ppt

➢ 在冲击等问题中M in M exL 常量
➢ 动量矩守恒定律是自然界的一个基本定律.
许多现象都可以用角动量守恒来说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
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应用事例常平架上的回转仪
A
LB
C
B
C
精确制导
A
讨论
子细弹绳击质入量沙不袋计
o
v
以子弹和沙袋为系统动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒 .
m r
2 刚体定轴转动的动量矩
L
mi ri 2
i
(
miri2 )
i
L J
z
转动的动量矩定理
由刚体定轴转动定律 M J d
dt
M d(J) dL
dt dt
刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率.
将上式变形后积分
Mdt d(J) dL
t2 t1
Mdt
J2
子o
弹击入杆
v
以子弹和杆为系统动量不守恒；角动量守恒；机械能不守恒．
o'
圆锥摆
T
m oR
p v
圆锥摆系统动量不守恒；角动量守恒；机械能守恒．
例1 一质量为 m 的登月飞船，在离月球表面高度 h 处绕月球作圆周运动．飞船采用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直．飞船所喷气体相对飞船的速度为 u 1.00 104 m s1 试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料
vB (R h)v0 R 1 709 m s1
飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的过程中，机械能守恒

刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律课件

转动惯量的特性
只与刚体的质量和各质点到转动轴的距离有关，与转动角速度的大小无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量，等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量，具有方向和大小；对于定轴转动，角动量位于转轴上；角动量是相对量，与参考系的选择有关。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种，一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导，另一种是通过分析系统的能量变化来证明。通过这些证明方法，可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明，对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统，其总角动量保持不变。这一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用，如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实例，其工作原理就是角动量守恒定律。
当风扇的扇叶旋转时，可以将其视为刚体定轴转动，这个过程涉及到角动量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时，也是一个刚体定轴转动的例子，其转动惯量对于理解角动量定理和角动量守恒定律非常有帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时，可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量，从而控制旋转的速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例

05-4刚体的角动量定理和角动量守恒定律

l
M
m
v0
系统的角动量守恒
mv0l J
1 2 2 J ? Ml ml 3

l
M
棒的转子弹的转动惯量动惯量
m
v0
mv0 M ( m)l 3
例1 一质量为M，长为l 的均质细棒，可绕过其顶端的水平轴自由转动。当杆静止时，一质量为m的子弹以水平速度v0射入细杆底端并穿出，穿出后子弹速度损失3/4，求子弹穿出后棒的角速度
二定轴转动刚体的角动量定理
根据转动定律
刚体对定轴的转动惯量不变
d M J J dt
z
k
O
F
r

作用在刚体上的合外力对转轴的力矩等于刚体对转轴的角动量变化率
两边做积分
d( J ) dL M dt dt
t2
t Mdt L dL L2 L1
L2
1
20
m2 O2 R2
1
2
O2 R2
O1 R1
f
取两圆柱为一系统，该系统受到的合外力矩为零，而两圆柱相互接触处的摩擦力是内力矩，那么该系统是否角动量守恒呢？
质点的运动
刚体的定轴转动
角速度角加速度转动 J 惯量力矩
dr 速度 v dt 2 dv d r 2 加速度 a dt dt
O
L
m
m
以单摆和细杆作为系统，在碰撞过程系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒
O
设小球绳长为l，根据角动量守恒弹性碰撞，机械能守恒
mvl J
1 2 1 2 mv J 2 2
1 2 mL 3
L
l

大学物理-角动量守恒定律 PPT

dt 12
dt
考虑到 t
dr g cost 7lg cos(12v0 t)
dt 2
24 v0
7l
37
例6 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一端的演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?
M
h
N
C
A
B
l/2
l
38
设跷板是匀质的，长度为l，质量为m'，
6mv0
(M 3m)l
v0 m
31
例3 摩擦离合器飞轮1：J1、 w1 摩擦轮2： J2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。解：两轮对共同转轴的角动量守恒
21
试与下例的齿轮啮合过程比较。
32
例4 两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心
垂轮直以于0 盘转面动转，轴然的后转两动轮惯正量交为啮J1合、，J2求，啮开合始后1
点o的矢径为 r ，动量为 p ，如下图。在计算其
角动量时，注意有两个特点：
(1) o点到 p 方向的垂直距离 r sin 不变;
(2) L 方向不变;
p2
假如 p 的大小也不变，显然L 的大小不变。这表
明，自由质点对任意参考点的角动量保持不变。
p1
1 r1

2
r2
r sin o
5
1.5.2 质点角动量定理
必须指明是对哪个点而言的
注意两点：
(1) 质点的角动量是相对某一参考点而言的，因此
对不同的参考点，角动量 L 不同;
(2) L 的大小在0~ rp 之间变化，如果把动量分解
为径向分量 pcos 和横向分量 psin ，则仅横

大学物理——角动量定理和角动量守恒定律

解：把飞船和排出的废气看作一个系统，废气质量为m。可以认为废气质量远小于飞船的质量，
dm/2
u
Lg
r

L0
u dm/2
上页下页返回退出
所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量，即
L0＝J
在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气体
，这些气体对中心轴的角动量为 dm·r(u+v) ，方向
量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B
轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？
A
B
C
A
B
C
A

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解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在
啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得
由匀减速直线运动的公式得
0 v2 2as
亦即 v 2 2gs
（3）
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得

3gl 3 2gs
l
（5）
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当’取正值，则棒向左摆，其条件为
3gl 3 2gs 0
亦即l >6s；当’取负值，则棒向右摆，其条件
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数为。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。
求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明
棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。
解：这个问题可分为三个阶段