2016年全国初中数学联赛七年级试卷

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2016年下学期七年级数学竞赛试题及答案

2016年下七年级数学竞赛试题时量：120分钟总分值：120分一．选择题〔共10小题，每题3分，总分值30分〕1．已知a，b，c为有理数，且a+b+c=0，a≥﹣b＞|c|，则a，b，c三个数的符号是〔〕A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c≥0D．a＞0，b＜0，c≤02．如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是〔〕A．48 B．56 C．63 D．743．当1＜a＜2时，代数式|a﹣2|+|1﹣a|的值是〔〕A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣34．一个两位数，两个数位上的数字之和是7，假设这个两位数加上9得到的两位数的数字的顺序和原来的两位数的数字的顺序恰好相反，那么原来的两位数为〔〕A．25 B．52 C．34 D．435．国务院总理李克强在第十二届全国人大第四次政府工作报告中指出，2015年我国国内生产总值到达了67.7万亿元，67.7万亿元用科学记数法表示为〔〕A．67.7×1012B．6.77×1013C．0.677×1014D．6.77×10146．某校对全体学生开展心理健康知识测试，七、八、九三个年级共有800名学生，各年级的合格人数如表所示，则以下说法正确的选项是〔〕年级七年级八年级九年级合格人数270 262 254 A．七年级的合格率最高B．八年级的学生人数为262名C．八年级的合格率高于全校的合格率D．九年级的合格人数最少7．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是〔〕A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．经过两点，有且仅有一条直线D．两点之间，线段最短8．以下说法中正确的有〔〕①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫两点的距离；③两点之间线段最短；④假设AB=BC，则点B是AC的中点；⑤把一个角分成两个角的射线叫角的平分线；⑥直线l经过点A，那么点A在直线l上．A．2个B．3个C．4个D．5个9．在解方程13132x xx-++=时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的选项是〔〕A．2x﹣1+6x=3〔3x+1〕B．2〔x﹣1〕+6x=3〔3x+1〕C．2〔x﹣1〕+x=3〔3x+1〕D．〔x﹣1〕+x=3〔x+1〕10．小明所在城市的“阶梯水价”收费方法是：每户用水不超过5吨，每吨水费x元；超过5吨，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的选项是〔〕A ．5x +4〔x +2〕=44B ．5x +4〔x ﹣2〕=44C ．9〔x +2〕=44D ．9〔x +2〕﹣4×2=44二．填空题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕11．已知，|a |=5，|b |=3，且a ＜b ＜0，则a +b =________________． 12．已知23x -=，则x 的值是______________________．13．假设单项式()23kk x y -是关于x 、y 的五次单项式，则k =______________________．14．已知A 、B 、C 三点在同一直线上，其中点A 与点B 的距离等于2.4千米，点B 与点C的距离等于3.5千米，那么点A 与点C 的距离等于___________________千米．15．如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O ，则∠AOB +∠DOC = ______________________度．第15题图第16题图16．某学校在“你最喜欢的球类运动”调查中．随机调查了假设干名学生〔每名学生只能选取一项球类运动〕，并根据调查结果绘制了如下图的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人．则该校被调査的学生总人数为______________人． 17．你会玩“二十四点”游戏吗？请你在“1，﹣2，3，﹣4，6”五个数中任选四个数，利用有理数的混合运算，使四个数的运算结果为24〔每个数只能用一次〕，写出你的算式：_________________________________．18．早晨8:45时，时钟的分针与时针的夹角是__________________°三．解答题〔共6小题，总分值58分19．〔9分〕上坡时每小时走28km ，下坡时每小时走35km ，去时，下坡路的路程比上坡路的路程的2倍还少14km ，原路返回比去时多用了12分钟．求去时上、下坡路程各多少千米？20．〔9分〕一元一次方程21132x x a-+=-，王小明在去分母时，方程右边的1-项没有乘以6，因而求得的解是x=4．试求a的值，并求出原方程的正确解．21．〔10分〕在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M、N分别为AC、BC的中点．〔1〕求线段BC、MN的长；〔2〕假设C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=b cm，M、N分别是线段AC、BC的中点，求MN的长度．22．〔10分〕如图，∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，OD平分∠AOB，假设∠COD=15°，求∠AOB的度数．23．〔10分〕已知A=by2﹣ay﹣1，B=2y2+3ay﹣10y﹣1，且多项式2A﹣B的值与字母y的取值无关，求〔2a2b+2ab2〕﹣［2〔a2b﹣1〕+3ab2+2］的值．24．〔10分〕有理数a＜0、b＞0、c＞0，且b＜a＜c，〔1〕在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中．〔2〕化简：|2a﹣b|+|b﹣c|﹣2|c﹣a|．2016年下七年级数学竞赛试题参考答案一．选择题〔共10小题，每题3分，总分值30分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCBCBDDBBA二．填空题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕题号 11 12 13 14 15 16 17 18﹣85或﹣1﹣35.9或1.118060不唯一7.5°17题：如3×6﹣［〔﹣2〕+〔﹣4〕］三．解答题〔共6小题，共58分〕 19．〔9分〕解：设去时上坡路为x 千米，则下坡路为〔2x ﹣14〕千米，根据题意得：+﹣〔+〕=，解得：x =42，则2x ﹣14=2×42﹣14=70，答：去时上、下坡路程各为42千米、70千米． 20．〔9分〕解：把x=4代入4x-2=3x+3a-1得：a=1，∴原方程为211132x x -+=- 去分母得2〔2x-1〕=3〔x+1〕-6，去括号得4x-2=3x+3-6，移项得4x-3x=3+2-6，合并同类项得x=-1．21．〔10分〕解：〔1〕∵AC=6cm ，M 是AC 的中点，∴AM=MC=AC=3cm ，∵MB=10cm ，∴BC=MB ﹣MC=7cm ，∵N 为BC 的中点，∴CN=BC=3.5cm ， ∴MN=MC+CN=6.5cm ；〔2〕如图，∵M 是AC 中点，N 是BC 中点，∴MC=AC ，NC=BC ，∵AC ﹣BC=bcm ，∴MN=MC ﹣NC=AC ﹣BC=〔AC ﹣BC 〕=b 〔cm 〕． 22．〔10分〕解：设∠AOC=5x ，则∠BOC=2x ，∠AOB=7x ， ∵OD 平分∠AOB ，∴∠BOD=∠AOB=x ，∵∠COD=∠BOD﹣∠BOC∴15°=x﹣2x，解得x=10°，∴∠AOB=7×10°=70°．23．〔10分〕解：∵2A﹣B=2〔by2﹣ay﹣1〕﹣〔2y2+3ay﹣10y﹣1〕，=2by2﹣2ay﹣2﹣2y2﹣3ay+10y+1，=〔2b﹣2〕y2+〔10﹣5a〕y﹣1，又∵多项式2A﹣B的值与字母y的取值无关，∴2b﹣2=0，10﹣5a=0，∴b=1，a=2，又〔2a2b+2ab2〕﹣[2〔a2b﹣1〕+3ab2+2]=2a2b+2ab2﹣2a2b+2﹣3ab2﹣2=﹣ab2，当b=1，a=2时，原式=﹣2×12=﹣2．24．〔10分〕解：〔1〕如图，〔2〕∵a＜0、b＞0、c＞0，∴2a﹣b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0，|2a﹣b|+|b﹣c|﹣2|c﹣a|=﹣〔2a﹣b〕﹣〔b﹣c〕﹣2〔c﹣a〕=﹣2a+b﹣b+c﹣2c+2a=﹣c．。

2016年全国初中数学联赛试题+答案

2016年全国初中数学联赛试题+答案2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知123t =-，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-=（）.A 12 .B 32.C 1 .D32.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（）.A9种.B10种.C11种.D12种3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=-2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）.A6858.B6860.C9260.D92623(B）.已知二次函数21(0)y ax bx a=++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b-为整数时，ab=（）.A0.B 14.C34-.D2-4.已知O e的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交O e于点E,若8,AB=2CD=,则BCE∆的面积为（）.A12.B15.C16.D185.如图，在四边形ABCD中，090BAC BDC∠=∠=，5AB AC==1CD=,对角线的交点为M，则DM=( ).A 32.B53.C 22 .D 126.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数3y x=（x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM恰好把BAC ∠三等分，3AD =,则AM = .2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠=.3.【3(A)、4(B)】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .3(B).若质数p、q满足：340,111,--=+<则pq的q p p q最大值为 .4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M,则M的最大值为 .第二试(3月20日上午9:50 —11:20)一、（本题满分20分）已知,a b为正整数，求22=---能取到的最小M a ab b324正整数值.二、（本题满分25分）(A).如图，点C在以AB为直径的O e上，CD AB⊥于点D,点E在BD上，,=四边形DEFM是正方形，AMAE AC的延长线与O e交于点N.证明:FN DE=.(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.ab c ++=求222222()()()aab b b bc c c ca a ++++++的值.三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xyyz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试(3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x的小数部分.已知123t =-，a 是t 的小数部分，b 是t-的小数部分，则112b a-=（）.A 12 .B 32.C 1 .D3【答案】A . 【解析】123,132,23t ==+<<-Q 3234,∴<+< 即34,t <<33 1.a t ∴=-= 又23,231,t -=--<<-4233,∴-<-<-(4)23,b t ∴=---=1123311,22222(23)31b a ∴-==-=--故选A .2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（）.A 9种.B 10种 .C 11种.D 12种【答案】C .【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30101520500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，即30341002y z x y z x +=-⎧⎨+=-⎩，解得20210y xz x=-⎧⎨=+⎩依题意得，,,x y z 为自然数（非负整数），故010,x ≤≤x 有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10)L ，对于每一个x 值，y 和z 都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C .3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）.A 6858.B 6860 .C 9260 .D 9262 【答案】B . 【解析】[]3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦22(121)k =+ （其中k 为非负整数），由22(121)2016k +≤得，9k ≤0,1,2,,8,9k ∴=L ，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.⎡⎤--+-+-++-+-=+=⎣⎦L 故选B .3(B ）.已知二次函数21(0)y axbx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab =（）.A 0 .B 14.C 34-.D 2-【答案】B .【解析】依题意知0,0,10,2b a a b a <-<++= 故0,b < 且1b a =--，(1)21a b a a a -=---=+，于是10,a -<< 1211a ∴-<+<又a b -为整数，210,a ∴+= 故1,2a b =-=14ab =，故选B . 4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为（）.A 12 .B 15 .C 16 .D 18【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+OD AB⊥Q 于,C 14,2AC CB AB ∴=== 在Rt OAC ∆中，222,OC AC OA +=即2224(2),x x +=+解得3x =，即3OC =（第4题答案图） Q 为ABE ∆的中位线，2 6.BE OC ∴== AE Q 是O e 的直径，90,∴∠=o114612.22BCE S CB BE ∆∴=⋅=⨯⨯= 故选A .5.如图，在四边形ABCD中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==,1CD =,对角线的交点为M ，则DM =( ).A 32.B 53.C 22 .D 12（第5题答案图）【答案】D .【解析】过点A作AH BD⊥于点,H 则AMH∆～,CMD ∆,AH AMCD CM∴=1,CD =Q,AMAH CM∴=设,AM x = 则5,5CM x AH x=∴=-在Rt ABM ∆中，2225,BM AB AM x =+=+ 则255AB AMx AH BMx ⋅==+25,55x xxx =-+显然0x ≠，化简整理得2255100xx -+=解得5,2x =（25x =不符合题意，舍去），故5,2CM =在Rt CDM ∆中，2212DM CM CD =-=,故选D .6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 3【答案】C . 【解析】22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x =++=++--=---++222211122332222y x y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--++-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222211113322222244y x x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++=-+---+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当1,02x y ==时，M 取等号，故max 34M =，故选C .二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数3y x=（x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .【答案】3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D .在Rt ACB ∆中，cos 33BC AB ABC =⋅∠= 在Rt BCD∆中，33sin 2CD BC B =⋅=（第1题答案图）9cos ,2BD BC B =⋅=32AD AB BD ∴=-=,设33,,,C m A n m n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题意知0,n m >>故33,CD n m AD =-=，于是3323332n m mn ⎧-=⎪⎪-=⎩ 解得33m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故点C 的坐标为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM恰好把BAC ∠三等分，3AD =则AM = .【答案】2. 【解析】（第1题答案图1 ）（第1题答案图2）依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,090,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB∠≠∠.(1)若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ∆≌,ADB ∆1,2BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴==在Rt DAC ∆中，即1cos ,2DAC ∠=060,DAC ∴∠= 从而090,30BAC ACD ∠=∠=.在Rt ADC ∆中，tan 3tan 603,CD AD DAC =⋅∠=⋅=o 1.DM =在Rt ADM ∆中，222AM AD DM =+=.(2)若ABC ACB ∠<∠时，如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述，2AM =.2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠=.【答案】126o.【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,CA Q 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=, BCQ ∥AD,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=,(第2题答案图)OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=,Q ,CD AO =AD AO ∴=,ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=,,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=o2,2180,βααβ=+=o解得36,72αβ==oo，72DBC BCD ∴∠=∠=o,,BD CD AD ∴==18054,2ABD BAD β-∴∠=∠==o o故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o.3.【3(A)、4(B)】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】167334.【解析】设两个三位数分别为,x y ，则10003x y xy +=，①31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①得10003,t tx +=1000,3tx t+∴=x Q是三位数，10001003tx t +∴=≥，解得 1000,299t ≤t Q 为正整数，t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t =符合，此时167,334.x y == 故所求的六位数为167334.3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 【答案】1007. 【解析】由340q p --=得，34,p q =-2224(34)343,33pq q q q q q ⎛⎫∴=-=-=-- ⎪⎝⎭因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值. 又111p q +<，34111,q q ∴-+<3284q ∴<，因q 为质数，故q的可能取值为23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q =时，3465513p q =-==⨯不是质数，舍去. 当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==⨯=.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .【答案】10. 【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.(1)若5个1分布在同一列，则5M =； (2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故2515320M ≤⨯+⨯=,故10M ≤;(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故351525330M ≤⨯+⨯+⨯=,故10M ≤;(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾.综上所述，10.M ≤另一方面，如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.1 1 1 4 51 12 4 52 2 2 4 53 3 245 3 3 3 4 5第二试(3月20日上午9:50— 11:20)一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.【解析】解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥.当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4.当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.(下面考虑：22324M aab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241aab b ---=，即22325a ab b -=+，2(3)25a ab b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b为偶数，不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a ab m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a ab -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1，故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2. 二、（本题满分25分）(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O e 上，CD AB⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM的延长线与O e 交于点N .证明:FN DE =.(第2(A)题答案图)【证明】：连接BC 、.BN AB Q 为O e 的直径，CD AB ⊥于点D90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=o,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠Q ,ACB ADC ∴∆∆∽,AC ABAD AC∴=2AC AD AB ∴=⋅由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知: 点M 在CD 上，DE DM EF MF ===,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠Q ,ANB ADM ∴∆∆∽,AN ABAD AM∴=,AD AB AM AN ∴⋅=⋅2,AC AM AN ∴=⋅,AE AC =Q 2AE AM AN∴=⋅以点F 为圆心、FE 为半径作,F e 与直线AM 交于另一点P ,则F e 与AB 切于点E ,即AE 是F e 的切线，直线AMP 是F e 的割线，故由切割线定理得2AE AM AP =⋅AN AP ∴=,即点N 与点P 重合，点N 在F e 上，FN FE DE∴==.(注：上述最后一段得证明用了“同一法”) (B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.ab c ++=求222222()()()aab b b bc c c ca a ++++++的值.【解析】由已知得22221()()5ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得，4735(155),abc -=⨯-1abc ∴=-又22()()()5(5)55(1)a ab b a bc a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=-同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-∴原式=[]35(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++-125[6416545(1)]625.=⨯-⨯+⨯--=【注：恒等式32)()()()t b t c t a b c t ab bc ca t abc--=-+++++-】三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(3) 求111xyyz zx++的值. (4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++. 【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=，去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z xy x y z y z x xyz--+--+--=，22222222222()()()3()0,y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠Q ，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式= 1.x y zxyz++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又Q ,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++ 222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++-222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++. 【注：222222()()()2x y y z z x x y xyy z yz z x zx xyz+++=++++++222222()()()2x y z y z x z x y xyz=++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz=++++++】(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.第3（B ）题答案图）【解析】如图，连接,,AE ED CF ,则,AB AC =Q ABD ACB ∴∠=∠Q点C关于直线AD的对称点为点E,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等)BAD BCF∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆，AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠,AFB ABD ∴∆∆∽,AB AFAD AB∴=()225 5.AD AF AB ∴⋅=== （注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）。

2016年度初一年数学竞赛试题及规范标准答案

2016年初一年数学竞赛试题（考试时间：120分钟，满分150分）题号一二三总分1～56～1011 121314(1) (2) 得分评卷人复查人一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.） 1．2016201620162016(2016)+-⨯-÷-=（）A. 2016；B. -2016；C. 4032；D. 6048；2．学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是3:2，求两种球各有多少。

若设篮球有x 个，排球有y 个，则根据题意得到的方程组是（）A. 2332x y x y =-⎧⎨=⎩B.2332x y x y =+⎧⎨=⎩ C. 2323x y x y =-⎧⎨=⎩ D. 2323x y x y =+⎧⎨=⎩3．如图，1l ∥2l ，下列式子中，值等于180º的是（） A.α+β+r B. α+β-r C. -α+β+r D. α-β+r第3题αrl 2l 1β第4题学校：姓名：参赛号：考室：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．密．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．封．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．装．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．订．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=9，AD=a，则（）A．a≥16；B．a＜2；C．2＜a＜16；D．a=16；5．某个货场有2016辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的5辆车装货总数为43箱，为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是( ).A．17286 B．17295 C．17329 D．17338二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分.）6．计算：()()()232016121122411154⎡⎤⎛⎫-⨯---÷--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫-÷-⨯⎪⎝⎭=。

2016年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)

2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知23t =-a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-= （） .A 12.B 3.C 1 .D 3 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（）.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （）.A 0 .B 14 .C 34- .D 2-4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为（）.A 12 .B 15 .C 16 .D 185.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ).A 3.B 5.C 22 .D 126.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y x=（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =则AM = .2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .3.【3(A)、4(B)】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.二、（本题满分25分）(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O e 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O e 交于点N .证明:FN DE =.(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++=求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.2016年全国初中数学联合竞赛试题详解第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-= （）.A 12.B .C 1 .D 【答案】A .【解析】22,t ==+<<Q 324,∴<+< 即34,t <<3 1.a t ∴=-=又221,t -=---<-423,∴-<-<-(4)2b t ∴=---=11211,2222b a ∴-==-=故选A .2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（）.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种【答案】C .【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30101520500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，即30341002y z x y z x +=-⎧⎨+=-⎩，解得20210y xz x=-⎧⎨=+⎩ 依题意得，,,x y z 为自然数（非负整数），故010,x ≤≤x 有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10)L ，对于每一个x 值，y 和z 都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C .3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 【答案】B .【解析】[]3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦22(121)k =+ （其中k 为非负整数），由22(121)2016k +≤得，9k ≤0,1,2,,8,9k ∴=L ，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.⎡⎤--+-+-++-+-=+=⎣⎦L 故选B . 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab =（） .A 0 .B 14 .C 34- .D 2- 【答案】B .【解析】依题意知0,0,10,2ba ab a<-<++= 故0,b < 且1b a =--， (1)21a b a a a -=---=+，于是10,a -<< 1211a ∴-<+<又a b -为整数，210,a ∴+= 故1,2a b =-=14ab =，故选B . 4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为（）.A 12 .B 15 .C 16 .D 18【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+OD AB ⊥Q 于,C 14,2AC CB AB ∴=== 在Rt OAC ∆中，222,OC AC OA +=即2224(2),x x +=+解得3x =，即3OC = （第4题答案图）OC Q 为ABE ∆的中位线，2 6.BE OC ∴== AE Q 是O e 的直径，90,B ∴∠=o 114612.22BCE S CB BE ∆∴=⋅=⨯⨯= 故选A .5.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ).A 3.B 5.C 2 .D 12（第5题答案图）【答案】D . 【解析】过点A 作AH BD ⊥于点,H 则AMH ∆～,CMD ∆,AH AMCD CM∴=1,CD =Q,AMAHCM ∴=设,AM x = 则,CM x AH =∴=在Rt ABM ∆中，BM == 则AB AMAH BM⋅===显然0x ≠，化简整理得22100x -+=解得2x =（x =，故2CM =在Rt CDM ∆中，12DM ==,故选D . 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1【答案】C .【解析】22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x y =++=++--=---++222211122332222y x y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222211113322222244y x x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++=-+---+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当1,02x y ==时，M 取等号，故max 34M =，故选C . 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y x=（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .【答案】322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D . 在Rt ACB ∆中，cos 33BC AB ABC =⋅∠= 在Rt BCD ∆中，33sin 2CD BC B =⋅=（第1题答案图） 9cos ,2BD BC B =⋅=32AD AB BD ∴=-=,设33,C m A n ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，依题意知0,n m >>故33,CD n m AD =-=3323332n m mn ⎧-=⎪⎪-=⎩ 解得323m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故点C 的坐标为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，3AD =则AM = .【答案】2.【解析】（第1题答案图1 ）（第1题答案图2）依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,090,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB ∠≠∠. (1)若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ∆≌,ADB ∆1,2BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴==在Rt DAC ∆中，即1cos ,2DAC ∠= 060,DAC ∴∠= 从而0090,30BAC ACD ∠=∠=.在Rt ADC ∆中，tan 3tan 603,CD AD DAC =⋅∠==o 1.DM =在Rt ADM ∆中，222AM AD DM =+=.(2)若ABC ACB ∠<∠时，如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述，2AM =. 2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .【答案】126o.【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,CA Q 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=,BC Q ∥AD ,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=, (第2题答案图) OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=,Q ,CD AO =AD AO ∴=,ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=, Q ,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=o Q2,2180,βααβ∴=+=o解得36,72αβ==o o ，72DBC BCD ∴∠=∠=o,,BD CD AD ∴==18054,2ABD BAD β-∴∠=∠==o o 故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o.3.【3(A)、4(B)】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】167334.【解析】设两个三位数分别为,x y ，则10003x y xy +=，①31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①得10003,t tx +=1000,3t x t +∴=x Q 是三位数，10001003tx t+∴=≥，解得 1000,299t ≤t Q 为正整数，t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t =符合，此时 167,334.x y == 故所求的六位数为167334.3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 【答案】1007.【解析】由340q p --=得，34,p q =-2224(34)343,33pq q q q q q ⎛⎫∴=-=-=-- ⎪⎝⎭因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值.又111p q +<，34111,q q ∴-+<3284q ∴<，因q 为质数，故q 的可能取值为 23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q =时，3465513p q =-==⨯不是质数，舍去.当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==⨯=.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 . 【答案】10.【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.(1)若5个1分布在同一列，则5M =；(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故 2515320M ≤⨯+⨯=,故10M ≤;(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 351525330M ≤⨯+⨯+⨯=,故10M ≤;(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，10.M ≤另一方面，如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.【解析】解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥.当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4.当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =. (下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+， 2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数，不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1，故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.二、（本题满分25分）(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O e 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O e 交于点N .证明:FN DE =.(第2(A)题答案图)【证明】：连接BC 、.BN AB Q 为O e 的直径，CD AB ⊥于点D90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=o,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠Q ,ACB ADC ∴∆∆∽,AC AB AD AC∴=2AC AD AB ∴=⋅ 由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知:点M 在CD 上，DE DM EF MF ===,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠Q ,ANB ADM ∴∆∆∽,AN AB AD AM∴=,AD AB AM AN ∴⋅=⋅2,AC AM AN ∴=⋅ ,AE AC =Q 2AE AM AN ∴=⋅以点F 为圆心、FE 为半径作,F e 与直线AM 交于另一点P ,则F e 与AB 切于点E ,即AE 是F e 的切线，直线AMP 是F e 的割线，故由切割线定理得2AE AM AP =⋅AN AP ∴=,即点N 与点P 重合，点N 在F e 上，FN FE DE ∴==.(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++= 求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值. 【解析】由已知得22221()()52ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦ 由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得，4735(155),abc -=⨯-1abc ∴=-又22()()()5(5)55(1)a ab b a b c a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=- 同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-∴原式=[]35(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++- 125[6416545(1)]625.=⨯-⨯+⨯--=【注：恒等式32()()()()()t a t b t c t a b c t ab bc ca t abc ---=-+++++-】三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= . (3) 求111xy yz zx++的值. (4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=，去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦ ()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠Q ，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式= 1.x y z xyz++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又Q ,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++-222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【注：222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++ 222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.（第3（B ）题答案图）【解析】如图，连接,,AE ED CF ,则,AB AC =Q ABD ACB ∴∠=∠Q 点C 关于直线AD 的对称点为点E ,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠ ,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D ∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等) BAD BCF ∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆，AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠,AFB ABD ∴∆∆∽,AB AF AD AB ∴=225 5.AD AF AB ∴⋅===（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）------------------------------------------------------------------------ 怎样才能学好数学一、把握好课堂的每一分钟如今的小学数学教师，都比较重视课堂教学的效益，所以，老师最期盼的事情就是：学生能够专心听讲，眼睛时刻盯在老师身上，或者盯在黑板上。

2016年全国初中数学联赛试题及答案

2016年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a -= （）A.12．． C.1．【答】A.∵2t ==+324<+，∴31a t =-=.又∵2t -=-423-<-<-，∴(4)2b t =---=∴11122b a -===. 2．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案共有（）A ．9种．B ．10种．C ．11种．D ．12种．【答】C.设购买三种图书的数量分别为,,a b c ，则30a b c ++=，101520500a b c ++=，易得202b a =-，10c a =+，于是a 有11种可能的取值（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）.对于每一个a 值，对应地可求出唯一的b 和c ，所以，不同的购书方案共有11种.3．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”。

如: 3321(1)=--，332631=-，2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A ．6858．B ．6860．C ．9260．D ．9262．【答】B.注意到332(21)(21)2(121)k k k +--=+，由22(121)2016k +≤得||10k <.取k ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，即得所有的不超过2016的“和谐数”，它们的和为 333333333[1(1)](31)(56)(1917)1916860--+-+-++-=+= .4．已知⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，交AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，若AB ＝8,CD ＝2，则△BCE 的面积为（）A.12．B.15．C.16．D.18．【答】A.设OC x =，则OA =OD 2x =+，在Rt △OAC 中，由勾股定理得222OC AC OA +=，即2224(2)x x +=+，解得3x =.又OC 为△ABE 的中位线，所以26BE OC ==. 所以直角△BCE 的面积为1122CB BE ⋅=. 5．如图，在四边形ABCD 中，90BAC BDC ∠=∠=︒，AB AC ==1CD =，对角线的交点为M ，则DM ＝（）．．． D.12．【答】D.作AH BD ⊥于点H ，易知△AMH ∽△CMD ，所以AH AM CD CM=，又1CD =，所以 AM AH CM= ① 设AM x =，则CM x =.在Rt △ABM中，可得AB AM AH BM ⋅==.=，解得x =x =舍去）.所以2CM =，12DM ==. 6．设实数,,x y z 满足1x y z ++=，则23M xy yz xz =++的最大值为（） A.12． B. 23． C.34． D. 1．【答】C.23(23)(1)M xy yz xz xy y x x y =++=++--2234232x xy y x y =---++22221112[2()()]332()222y x y x x x x =-+-+--++-22112()22y x x x =-+--++ 2211332()()2244y x x =-+---+≤，所以23M xy yz xz =++的最大值为34. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）B C1．已知△ABC 的顶点A 、C在反比例函数0)y x x=>的图象上，90ACB ∠=︒，ABC ∠＝30°，AB ⊥x 轴，点B 在点A 的上方，且AB ＝6，则点C 的坐标为_______．【答】2). 作CD AB ⊥于点D，易求得CD =，32AD =.设(C m，(A n ，结合题意可知0n m >>，(D n m，所以CD n m =-，AD m n =-，故2n m -=，32m n -=，联立解得2m =，n =所以，点C的坐标为(2)2. 2．在四边形ABCD 中，//BC AD ，CA 平分BCD ∠，O 为对角线的交点，CD AO =，BC OD =，则ABC ∠＝．【答】126︒.因为//BC AD ，CA 平分BCD ∠，所以DAC ACB ACD ∠=∠=∠，所以DA DC =，又CD AO =，所以AD AO =，所以ADO AOD ∠=∠.记DAC ACB ACD ∠=∠=∠＝α，ADO AOD β∠=∠=. 又//BC AD ，所以△ADO ∽△CBO ，结合AD AO =可得OC BC =，且CBO COB β∠=∠=. 又BC OD =，所以OC OD =，所以ODC OCD α∠=∠=.结合图形可得：2βα=且2180αβ+=︒，解得36α=︒，72β=︒.所以72DBC DCB ∠=∠=︒，所以BD CD AD ==，所以54DAB DBA ∠=∠=︒，于是可得126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=︒.3．有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数.这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是．【答】167334.设两个三位数分别为x 和y ，由题设知10003x y xy += ①由①式得31000(31000)y xy x y x =-=-，故y 是x 的整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①式得10003t tx +=，所以10003t x t +=.因为x 是三位数，所以10001003t x t+=≥，从而可得1000299t ≤，又t 为正整数，故t 的可能的取值只能是1，2，3.验证可知：只有t ＝2符合题意.所以t ＝2，167x =，334y =，所求的六位数为167334.4．将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ，则M 的最大值为．【答】10.依据5个1分布的列数的不同情形分别求M 的最大值.若5个1分布在同一列，则M ＝5；若5个1分布在两列中，则由题设知这两列中出现的最大数至多为3，故2515320M ≤⨯+⨯=，所以10M ≤；若5个1分布在三列中，则由题设知这三列中出现的最大数至多为3，故351525330M ≤⨯+⨯+⨯=，所以10M ≤；若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，与题设矛盾. 综上所述，10M ≤；另一方面，右边给出的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.题目和解答与（A ）卷第1题相同.2．题目和解答与（A ）卷第2题相同.3．已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）.当a b -为整数时， ab ＝（）A ．0．B ．14． C ．34-． D ．2-．【答】B.由于二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）和（0，1），故0a <，02b a-<，10a b ++=，所以0b <且1b a =--，于是可得10a -<<. 当21a b a -=+为整数时，因为1211a -<+<，所以210a +=，故12a =-，12b =-，所以14ab =. 4．题目和解答与（A ）卷第4题相同.5．题目和解答与（A ）卷第5题相同.6. 题目和解答与（A ）卷第6题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知△ABC 的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =则AM ＝_______．【答】2.显然ABC ACB ∠≠∠.若ABC ACB ∠>∠，则由已知条件易知△ADM ≌△ADB ，所以BD =DM 12CM =.又因为AM 平分DAC ∠，所以，由角平分线定理可得12AD DM AC CM ==，即1cos 2DAC ∠=，所以DAC ∠＝60︒，进而可得90BAC ∠=︒，30ACD ∠=︒.在Rt △ADC中，AD =30ACD ∠=︒，可求得3CD =，所以1DM =.在Rt △ADM中，由勾股定理得2AM ==.若ABC ACB ∠<∠，同理可求得2AM =.2．题目和解答与（A ）卷第1题相同.3．若质数,p q 满足：340q p --=，111p q +<.则pq 的最大值为．【答】1007.由340q p --=得34p q =-，所以(34)pq q q =-，显然(34)q q -的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时pq 取得最大值.又因为111p q +<，即p q +＝44q -111<，所以29q <.因为q 为质数，所以q 的可能的取值为23，19，17，13，11，7，5，3，2.当q ＝23时，34p q =-＝65，不是质数；当q ＝19时，34p q =-＝53，是质数.所以，q 的最大值为19，pq 的最大值为53×19＝1007.4. 题目和解答与（A ）卷第3题相同.第二试（A ）一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值. 解因为,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，显然有2a ≥.当2a =时，b 只能为1，此时4M =，故22324M a ab b =---能取到的最小正整数值不超过4.………………5分当3a =时，b 只能为1或2.若b ＝1，则M =18；若b ＝2，则M =7.当4a =时，b 只能为1或2或3.若b ＝1，则M =38；若b ＝2，则M =24；若b ＝3，则M =2.………………10分下面考虑： 22324M a ab b =---的值能否为1？若1M =，即223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+ ①，注意到25b +为奇数，所以a 是奇数， b 是偶数，此时，223a ab -被4除所得余数为3，25b +被4除所得余数为1，故①式不可能成立，即1M ≠.因此，22324M a ab b =---能取到的最小正整数值为2. ……………………20分二、（本题满分25分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，CD AB ⊥于点D ，点E 在BD 上，AE AC =，四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与⊙O 交于点N .证明：FN DE =.证明连接BC 、BN .∵AB 为⊙O 的直径，CD AB ⊥，∴90ACB ANB ADC ∠=∠=∠=︒.∵CAB DAC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴△ACB ∽△ADC ， ∴AC AB AD AC=，∴2AC AD AB =⋅. ……………………5分又由DEFM 为正方形及CD AB ⊥可知：点M 在CD 上，B ADE DM EF MF ===.∵NAB DAM ∠=∠，ANB ADM ∠=∠，∴△ANB ∽△ADM ，∴AN AB AD AM =， ∴AD AB AM AN ⋅=⋅.∴2AC AM AN =⋅，又AE AC =，∴2AE AM AN =⋅.……………………15分以F 为圆心、FE 为半径作⊙F ，与直线AM 交于另一点P ，显然：⊙F 与AB 切于点E .于是，由切割线定理可得2AE AM AP =⋅.∴AN AP =，∴点N 即为点P ，∴点N 在⊙F 上，∴FN FE DE ==.……………………25分三、（本题满分25分）已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=. （1）求111xy yz zx++的值. （2）证明：9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.解（1）由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=得 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，展开整理得222222222222[()()()]()4x y z x yz xy z x y z y z x z x y x y z xyz ++-++++++++=，即()()()()0xyz xy yz xz x y z xy yz xz x y z xyz ++-+++++++-=，所以[()](1)0xyz x y z xy yz xz -++++-=. ……………………10分又因为1xy yz zx ++≠，所以()0xyz x y z -++=，所以xyz x y z =++，因此，1111xy yz zx++=. ……………………15分（2）因为,,x y z 为正数，所以9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++-++＝9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx +++-++++ ＝2222226x y xy x z xz y z yz xyz +++++-＝222()()()0x y z y z x z x y -+-+-≥，所以9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.……………………25分第二试（B ）一、（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）已知：5a b c ++=，22215a b c ++=，33347a b c ++=.求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.解因为5a b c ++=，22215a b c ++=，所以22222()()()10ab bc ac a b c a b c ++=++-++=，所以5ab bc ac ++=. ……………………5分结合恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---，可得4735(155)abc -=- 50=，所以1abc =-. ……………………10分而22()()()a ab b a b a b c ab bc ac ++=+++-++5(5)55(4)c c =--=-. ……………15分同理可得225(4)b bc c a ++=-，225(4)c ca a b ++=-，所以 222222()()()125(4)(4)(4)a ab b b bc c c ca a a b c ++++++=---125[6416545(1)]=-⨯+⨯--625=. ……………………25分三、（本题满分25分）如图，在等腰△ABC中，AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，EB 的延长线与AD 的延长线交于点F ，求AD AF ⋅的值. 解连接AE 、ED 、CF ，由题设条件可知ABC ACB AED ∠=∠=∠，所以A 、E 、B 、D 四点共圆，于是可得BED BAD ∠=∠.……………………10分又因为点C 和点E 关于直线AD 对称，所以BED BCF ∠=∠.……………………15分因此BAD BCF ∠=∠，所以A 、B 、F 、C 四点共圆，又AB AC =，所以ABD ACB AFB ∠=∠=∠， ……………………20分所以△ABD ∽△AFB ，所以AB AD AF AB =，所以25AD AF AB ⋅==. ……………………25分E C。

2015-2016七年级数学竞赛试卷-已审核

第3题图绝密★启用前某某实验学校2015-2016学年度上学期数学竞赛七年级数学试卷考试分数：120 考试时间：100分钟命题人：某某注意事项：1．答题前请填写好自己的姓名、班级、考号等信息。

2．请将答案正确填写在答题处。

3.请用蓝色或黑色的圆珠笔或钢笔作答。

第I卷（选择题）一、选择题（每题3分，共24分）1．已知代数式3x y+的值是4，则代数式261x y++的值是（）A、10B、9C、8D、不能确定2．用四舍五入得到的近似数中，含有三个有效数字的是（）A、0.5180B、0.02380C、800万D、4.0012 3．如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（）A. 正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B. 正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C. 正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D. 正方体、圆柱、四棱柱、圆锥4.某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如9∶15记为－1，10∶45记为1等等，依此类推，上午7∶45应记为（）A、3B、－3C、－2.15D、－7.45 5．x、y、z在数轴上的位置如图所示，则化简yzyx-+-的结果是()A、x z-B、z x-C、2x z y+-D、以上都不对第9题图BA6．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25％，因库存积压，所以就按销售价的70％出售。

那么每台实际售价为（）． A 、（1+25％）（1＋70％）a 元 B 、70％（1+25％）a 元 C 、（1+25％）（1－70％）a 元 D 、（1+25％＋70%）a 元 7.观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字两直线相交最多1个交点三条直线相交最多有3个交点四条直线相交最多有6个交点像这样的十条直线相交最多的交点个数为（） A 、40个B 、45个C 、50个D 、55个8.在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共有25道题．每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确．要求学生把正确答案选出来．每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分．如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分；那么，他至少选对了多少道题？（）A 、15B 、16C 、19D 、20第II 卷（非选择题）二、填空题（每题3分，共21分）9．如图是一正方体的平面展开图，若AB ＝4，则该正方体A 、B 两点间的距离为。

“周报杯”2016年全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2016年全国初中数学竞赛试题1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设1a ，则代数式32312612a a a 的值为( ).（A ）24 （B ）25 （C ）10 （D ）122．对于任意实数a b c d ，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ，）．如果对于任意实数u v ，都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).（A ）（0，1）（B ）（1，0）（C ）（﹣1，0）（D ）（0，-1）3．若1x ，0y ，且满足3y yxxy x x y ，，则x y 的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92 （D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S 四边形，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S （B ）1324S S S S （C ）1324S S S S （D ）不能确定5．设3333111112399S L ，则4S 的整数部分等于( ).（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x 上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC ，则224OC OD 的值为 .9．若y a ，最小值为b ，则22a b 的值为.10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a 的两个整数根恰好比方程20x ax b 的两个根都大1，求a b c 的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x于P ，Q 两点.（1）求证：∠ABP =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.14．如图，△ABC 中，60BAC ，2AB AC ．点P 在△ABC 内，且52PA PB PC ，求△ABC 的面积．“《数学周报》杯”2020年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．A解：因为1a ， 1a ， 262a a ，所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a （）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v ，，即(1)0(1)0u x vy v x uy，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．3．C解：由题设可知1y y x ，于是341y y x yx x ，所以 411y ，故12y，从而4x ．于是92x y．4．C解：如图，连接DE ，设1DEFS S ，则1423S S EF S BF S，从而有1324S S S S ．因为11S S ，所以1324S S S S ．5．A解：当2 3 99k L ，时，因为 32111112111k k k k k k k，所以3331111115111239922991004SL .于是有445S ，故4S 的整数部分等于4．二、填空题6．3＜m ≤4解：易知2x 是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x ，12x x m ．显然1242x x ，所以122x x ，164m ≥0，即2，164m≥0，所以2 ， 164m ≥0，解之得 3＜m ≤4.7．19解：在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369. 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，）因为点C D ，在双曲线1y x上，所以11ab cd ，．由于AC a b，BD c d ，又因为2BD AC ，于是22222242c d a b c cd d a ab b ，（）所以 22224826a b c d ab cd （），即224OC OD 6.9．32解：由1x ≥0，且12x≥0，得12≤x ≤1．21122y由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故b =．所以，2232a b．10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b ＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AFCB AC，即1212b a b ，故 12()a b ab ． ②由①②得2222122524a b a b ab a b （），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ．三、解答题11．解：设方程20x ax b 的两个根为，，其中，为整数，且 ≤ ，则方程20x cx a 的两根为11 ，，由题意得11a a，，两式相加得 2210 ，即 (2)(2)3 ，所以 2123 ，；或232 1. ，解得 11 ，；或53.，又因为[11]a b c（），所以012a b c ，；或者8156a b c ，，故3a b c ，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QCQH ，.因为AB 为⊙1O 的直径，所以∠ADB ∠BDQ 90°，故BQ 为⊙2O 的直径.于是CQ BC BH HQ ，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：（1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　.设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）.设直线PQ 的函数解析式为y kx t ,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x，，得 2203x kx t ，于是 32P Q x x t ，即 23P Qt x x .于是222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t 22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x 又因为PQx PCQD x ，所以BC PCBD QD . 因为∠BCP ∠90BDQ ，所以△BCP ∽△BDQ ，故∠ABP =∠ABQ .（2）解法一设PC a ，DQ b ，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠ABP =∠30ABQ ，BC，BD，所以 AC2 ，AD=2 .因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PC AC DQ AD，即a b，所以a b ．由（1）中32P Q x x t ，即32ab，所以32ab a b ，于是可求得2a b将b代入223y x ，得到点Q，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx，求得k所以直线PQ的函数解析式为1y .根据对称性知，所求直线PQ的函数解析式为1y，或1y .解法二设直线PQ 的函数解析式为y kx t ,其中1t .由（1）可知，∠ABP =∠30ABQ ，所以2BQ DQ .故2Q x .将223Q Qy x代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x ，即22(43)(3)0Q Q x x .所以Q x又由 (1)得3322P Q x x t ，32P Q x x k.若Q x代入上式得P x 从而2()3P Q k x x .同理，若Q x可得P x 从而2()3P Q k x x .所以，直线PQ的函数解析式为1y，或1y .14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC ，所以相似比为2.于是224AQ AP BQ CP ．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC .由:2:1AQ AP 知，90APQ，于是3PQ ．所以 22225BP BQ PQ ，从而90BQP ．于是222()28AB PQ AP BQ故21sin 602ABC S AB AC AB．。

2016年全国初中数学联赛试题-含详细解析

2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题
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三、（本题满分 25 分）
(A).已知正实数 x, y, z 满足： xy yz zx 1 ,且
(x2 1)( y2 1) ( y2 1)(z2 1) (z2 1)(x2 1) 4 .
xy
yz
zx
(1) 求 1 1 1 的值. xy yz zx
格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2.考虑每列中各数之和，设这
5 个和的最小值为 M ,则 M 的最大值为
.
第二试
(3 月 20 日上午 9:50 — 11:20) 一、（本题满分 20 分）
已知 a,b 为正整数，求 M 3a2 ab2 2b 4 能取到的最小正整数值.
上，ACB 900 , ABC 300 , AB x 轴，点 B 在点 A 的上方，且 AB 6, 则点 C 的坐
标为
.
1(B). 已知 ABC 的最大边 BC 上的高线 AD 和中线 AM 恰好把 BAC 三等分，
AD 3 ,则 AM .
2(A). 在四边形 ABCD 中， BC ∥ AD , CA 平分 B C D, O 为对角线的交点，
30 本，那么不同的购书方案有
2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题
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2016 年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
(3 月 20 日上午 8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）
(本题共有 6 个小题，每题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得 7 分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分.)

2016-2017七年级三科联赛数学试卷

2016-2017第二学期七年级三科联赛数学试卷一选择题（每小题4分，共40分）1. 面积为2的正方形边长是（）A.整数B.分数C.有理数D.无理数2.已知a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（）A.a+4＜b+4B.2a ＜2bC.-2a ＜-2bD.a-b ＜0 3. 的平方根是（）A. B.9 C.3 D.4.下列运算正确的是（）A.（ 3x 2y ）3 = -9x 6y 3B.(a+b)(a+b)=a 2+b 2C.4x 3y 2（2xy 21-）=-2x 4y 4D.（x 2）3=x 5 5.=+++80081-60061400413003120021 （） A. 60061 B.70071- C. 80089 D.900910- 6.有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17-是17的平方根。

其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个7.不等式组⎩⎨⎧≥+<01x 04-x 2的解集在数轴上表示正确的（）8.a ，b 满足ab=1，记M=b 11a 11+++ ，N=b1b a 1a +++.则M ，N 的关系为（）A.M ＞NB.M=NC.M ＜ND.不确定9.已知x ，y ，z 满足z x 5z -y 3x 2+==，则z 2y y -x 5+的值为（） A.1 B.21C. 31-D.3110.某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想获得至少20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）A.40%B.33.4%C.33.3%D.30%二、填空题（每小题5，分共20分） 11.10在两个连续整数a 和b 之间，a ＜10＜b ，那么a+b 的值是 .12.－0.000000259用科学记数法表示为。

13.观察下面的式子：a 1=32-12，a 2=52-32，a 3=72-52，a 4=92-72，…请用含n 的式子表示a n （n 为大于0的自然数）：a n = .14.已知实数a 、b 、c 满足a+b=ab=c ，有下列结论：①若c ≠0，则1b 1a 1=+；②若a=3，则b+c=9；③若a=b=c ，则abc=0；④若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a+b+c=8.其中正确的是（把所有正确结论的序号都选上）.三、解答题（本大题8小题，共90分）15.（本题10分）计算（1）01-3-49-2-）（）（+ (2)32236])2([-x 3--x -x -）（）（16. (本题8分)解不等式（组），并把解集在数轴上表示。

中学16—17学年下学期七年级学科竞赛数学试题(3)(附答案)

初一数学竞赛试题一．选择题（共12小题）1．下面等式成立的是（）A．83.5°=83°50′B．37°12′36″=37.48°C．24°24′24″=24.44°D．41.25°=41°15′2．用一副三角板（两块）画角，不可能画出的角的度数是（）A．15°B．55°C．75°D．135°3．已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β与∠γ的关系式为（）A．∠β﹣∠γ=90° B．∠β+∠γ=90°C．∠β+∠γ=80°D．∠β﹣∠γ=180°4．如果∠1与∠2互为补角，∠1＞∠2，那么∠2的余角等于（）A．（∠1+∠2）B．∠1 C．（∠1﹣∠2）D．∠1﹣∠25．如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1=50°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．45°C．40°D．30°6．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2=80°，则∠1等于（）A．120°B．110°C．100°D．80°7．如图：∠1和∠2是同位角的是（）A．②③ B．①②③C．①②④D．①④8．下列说法中正确的个数为（）①不相交的两条直线叫做平行线②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③平行于同一条直线的两条直线互相平行④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交A．1个B．2个C．3个D．4个9．己知﹣2x n﹣3m y3与3x7y m+n是同类项，则m n的值是（）A．4 B．1 C．﹣4 D．﹣110．二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．11．甲、乙两人分别从相距40千米的两地同时出发，若同向而行，则5小时后，快者追上慢者；若相向而行，则2小时后，两人相遇，那么快者速度和慢者速度（单位：千米/小时）分别是（）A．14和6 B．24和16 C．28和12 D．30和1012．三个二元一次方程2x+5y﹣6=0，3x﹣2y﹣9=0，y=kx﹣9有公共解的条件是k=（）A．4 B．3 C．2 D．1二．填空题（共6小题）13．求上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角=度．14．写出一个解为的二元一次方程组是．15．如图，∵∠1=∠2，∴∥，理由是．16．若a x=3，a y=5，则a3x+2y=．17．若AB∥CD，AB∥EF，则CD EF，其理由是．18．已知是二元一次方程组的解，则m+3n=．三．解答题（共6小题）19．解下列方程组：（1）（2）（3）．20．如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠COD=28°，OD平分∠COE．（1）求∠COB的度数（2）求∠AOD的度数．21．如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，∠4=60°，求∠ACB的度数．22．列方程或方程组解应用题：2011年4月10日，以“休闲延庆踏青赏花”为主题的第十届延庆杏花节开幕，（1）2000年“杏花节”期间旅游收入为1.01万元，2005年“杏花节”期间旅游收入为35.2万元，求“杏花节”期间，2005年的旅游收入比2000年增加了几倍？（结果精确到整数）（2）“杏花节”期间，2009年旅游收入与2010年的旅游收入的总和是153.99万元，且2010年的旅游收入是2009年的3倍少0.25万元，问2010年“杏花节”期间的旅游收入是否突破了百万元大关？23．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．（1）求∠BOD的度数；（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．24．如图（1），AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说明理由．（提示：三角形的内角和等于180°）①填空或填写理由解：猜想∠BPD+∠B+∠D=360°理由：过点P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°∵AB∥CD，EF∥AB，∴∥，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠EPD+=180°∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°∴∠B+∠BPD+∠D=360°②依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．③观察图（3）和（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不说明理由．初一数学竞赛试题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016•朝阳区校级模拟）下面等式成立的是（）A．83.5°=83°50′B．37°12′36″=37.48°C．24°24′24″=24.44°D．41.25°=41°15′【分析】进行度、分、秒的加法、减法计算，注意以60为进制．【解答】解：A、83.5°=83°50′，错误；B、37°12′36″=37.48°，错误；C、24°24′24″=24.44°，错误；D、41.25°=41°15′，正确．故选D．【点评】此类题是进行度、分、秒的加法、减法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．2．（2016秋•扶风县期末）用一副三角板（两块）画角，不可能画出的角的度数是（）A．15°B．55°C．75°D．135°【分析】解答此题的关键是分清两块三角板的锐角度数的度数分别是多少，然后对应着4个选项再进行组合，看看可能画出的角的度数是多少即可．【解答】解：两块三角板的锐角度数分别为：30°，60°；45°，45°用一块三角板的45°角和另一块三角板的30°角组合可画出15°、75°角，用一块三角板的直角和和另一块三角板的45°角组合可画出135°角，无论两块三角板怎么组合也不能画出55°角．故选B．【点评】此题主要考查学生对角的计算这一知识点的理解和掌握，解答此题的关键是分清两块三角板的锐角度数的度数分别是多少，比较简单，属于基础题．3．（2016秋•路北区期末）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β与∠γ的关系式为（）A．∠β﹣∠γ=90° B．∠β+∠γ=90°C．∠β+∠γ=80°D．∠β﹣∠γ=180°【分析】根据补角和余角的定义关系式，然后消去∠α即可．【解答】解：∵∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，∴∠α+∠β=180°，∠α+∠γ=90°．∴∠β﹣∠γ=90°．故选：A．【点评】本题主要考查的是余角和补角的定义，根据余角和补角的定义列出关系式，然后再消去∠α是解题的关键．4．（2016春•冠县期中）如果∠1与∠2互为补角，∠1＞∠2，那么∠2的余角等于（）A．（∠1+∠2）B．∠1 C．（∠1﹣∠2）D．∠1﹣∠2【分析】依据补角的定义得到∠2（用含∠1的式子表示），然后再依据余角的定义求解即可．【解答】解：∵∠1与∠2互为补角，∴∠1+∠2=180°．∴（∠1+∠2）=90°．∴∠2=180°﹣∠1．∴∠2的余角=90°﹣（180°﹣∠1）=∠1﹣90°=∠1﹣（∠1+∠2）=（（∠1﹣∠2）．故选：C．【点评】本题主要考查的是余角和补角的定义，掌握余角和补角的定义是解题的关键．5．（2016•咸宁）如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1=50°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．45°C．40°D．30°【分析】先依据平行线的性质可求得∠ABC的度数，然后在直角三角形CBD中可求得∠BCD 的度数．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1=∠ABC=50°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDB=90°．∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°．∴∠BCD=40°．故选：C．【点评】本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关知识是解题的关键．6．（2016•重庆）如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2=80°，则∠1等于（）A．120°B．110°C．100°D．80°【分析】由平行线的性质得出∠1+∠DFE=180°，由对顶角相等求出∠DFE=∠2=80°，即可得出结果．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1+∠DFE=180°，∵∠DFE=∠2=80°，∴∠1=180°﹣80°=100°；故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质、对顶角相等的性质；熟记平行线的性质，由对顶角相等求出∠DFE是解决问题的关键．7．（2015秋•成都期末）如图：∠1和∠2是同位角的是（）A．②③ B．①②③C．①②④D．①④【分析】同位角的概念，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，所以①②④符合要求．【解答】解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．故选：C．【点评】本题考查了同位角的概念；判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．8．（2015秋•汉中期末）下列说法中正确的个数为（）①不相交的两条直线叫做平行线②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③平行于同一条直线的两条直线互相平行④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】本题从平行线的定义及平行公理入手，对选项逐一分析即可．【解答】解：①不相交的两条直线叫做平行线必须是在同一个平面内才能成立，故错误．②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是正确的．③平行于同一条直线的两条直线互相平行，故正确．④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交是正确的．故答案为C．【点评】本题考查平行线的定义及平行公理，需熟练掌握．9．（2015春•临沂期末）己知﹣2x n﹣3m y3与3x7y m+n是同类项，则m n的值是（）A．4 B．1 C．﹣4 D．﹣1【分析】由同类项的定义可知：n﹣3m=7，m+n=3，然后解关于m、n的二元一次方程组求得m、n的值，然后即可求得m n的值．【解答】解：由同类项的定义可知：，②×3得：3m+3n=9③，③+①得：4n=16．解得：n=4．将n=4代入②得：m=﹣1．所以方程组得解为：．∴m n=（﹣1）4=1．故选：B．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的解法，由同类项的定义列出方程组是解题的关键．10．（2015春•利川市期末）二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】运用加减消元法，两式相加消去y，求出x的值，把x的值代入①求出y的值，得到方程组的解．【解答】解：，①+②得：3x=﹣3，即x=﹣1，把x=﹣1代入①得：y=2，则方程组的解为，故选：B．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，掌握加减消元法的步骤是解题的关键．11．（2015春•连云港期末）甲、乙两人分别从相距40千米的两地同时出发，若同向而行，则5小时后，快者追上慢者；若相向而行，则2小时后，两人相遇，那么快者速度和慢者速度（单位：千米/小时）分别是（）A．14和6 B．24和16 C．28和12 D．30和10【分析】根据题意可知，本题中的等量关系是“快者走过的路程减去慢者走过的路程为40千米”和“快者走过的路程加上慢者走过的路程为40千米”，列方程组求解即可．【解答】解：设快者速度和慢者速度分别是x，y，则，解得，故选A．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解；利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．12．（2015春•资中县期末）三个二元一次方程2x+5y﹣6=0，3x﹣2y﹣9=0，y=kx﹣9有公共解的条件是k=（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把三个方程组成方程组再求解．【解答】解：由题意得：，①×3﹣②×2得y=0，代入①得x=3，把x，y代入③，得：3k﹣9=0，解得k=3．故选B．【点评】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．二．填空题（共6小题）13．（2016秋•太仓市期末）求上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角=135度．【分析】根据钟面平均分成12，可得每份是30°，根据时针与分针相距的份数，可得答案．【解答】解：钟面平均分成12，可得每份是30°，时针只在6上，分针指在10与11的=处，时针与分针相距（4+）份30°×（4+）=135°，故答案为：135．【点评】本题考查了钟面角，每份的度数乘以时针与分针相距的份数是解题关键．14．（2016春•龙海市期中）写出一个解为的二元一次方程组是．【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕列一组算式，然后用x，y代换即可列不同的方程组．【解答】解：先围绕列一组算式如﹣1﹣1=﹣2，﹣1+1=0，然后用x，y代换得如等．答案不唯一，符合题意即可．故答案为：．【点评】考查了二元一次方程组的解，此题是开放题，要学生理解方程组的解的定义，围绕解列不同的算式即可列不同的方程组．15．（2016春•灵石县期末）如图，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，理由是内错角相等，两直线平行．【分析】根据内错角相等，两直线平行即可求解．【解答】解：如图，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，理由是内错角相等，两直线平行．故答案为：内错角相等，两直线平行．【点评】考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．16．（2017春•仪征市校级月考）若a x=3，a y=5，则a3x+2y=675．【分析】逆用同底数幂的乘法和幂的乘方公式进行变形，然后再将已知条件代入计算即可．【解答】解：a3x+2y=a3x•a2y=（a x）3•（a y）2=33×52=675．故答案为：675．【点评】本题主要考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方，逆用公式是解题的关键．17．（2014春•东城区期末）若AB∥CD，AB∥EF，则CD∥EF，其理由是平行于同一直线的两直线平行．【分析】根据平行公理及推论即可推出答案．【解答】解：∵AB∥CD，AB∥EF，∴CD∥EF（平行于同一直线的两直线平行），故答案为：∥，平行于同一直线的两直线平行．【点评】本题主要考查对平行公理及推论的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．18．（2016春•洪洞县期末）已知是二元一次方程组的解，则m+3n=8．【分析】利用二元一次方程组的解先求出m，n的值，再求m+3n的值．【解答】解：把代入，得解得所以m+3n=+3×=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确求解方程组．三．解答题（共6小题）19．（2016春•诸城市期中）解下列方程组：（1）（2）（3）．【分析】（1）先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．（2）先用加减消元法求出y的值，再用代入消元法求出x的值即可．（3）先用加减消元法求出y的值，再求出z的值，然后用代入消元法求出x的值即可．【解答】解：（1），①×2﹣②得，5x=14，解得x=，把x=代入②得，+4y=24，解得y=，故方程组的解为．（2），把①化简得：2x+3y=30③，③×3﹣②×2得：5y=40，解得：y=8，把y=8代入③得：2x+24=30，解得：x=3，故方程组的解为．（3），①+③得：2y=4，解得：y=2，②+③得：3y+2z=8，把y=2代入得：z=1，把y=2，z=1代入①得：x=3，故方程组的解为．【点评】本题考查的是解二元一次方程组和三元一次方程组；熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．20．（2015秋•端州区期末）如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠COD=28°，OD平分∠COE．（1）求∠COB的度数（2）求∠AOD的度数．【分析】（1）先根据OD平分∠COE得出∠DOE=∠COD，再由∠COD=28°可得出∠DOE=28°，再根据平角的性质即可得出∠COB的度数；（2）根据∠AOD=180°﹣∠DOE即可得出答案．【解答】解：（1）∵OD平分∠COE，∴∠DOE=∠COD，∵∠COD=28°，∴∠DOE=28°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE=180°，∴∠BOC=180°﹣（∠AOB+∠COD+∠DOOE），=180°﹣（40°+28°+28°），=84°；（2）∠AOD=180°﹣∠DOE，=180°﹣28°，=152°．【点评】本题考查的是角平分线的定义及补角的性质，解答此题的关键是熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．21．（2017春•黄陂区月考）如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，∠4=60°，求∠ACB的度数．【分析】由已知条件和邻补角得出∠1=∠AEC，证出AB∥DF，得出内错角相等∠AEF=∠3，由已知条件得出∠AEF=∠B，证出EF∥BC，得出同位角相等即可．【解答】解：∵∠1+∠2=180°，∠AEC+∠2=180°，∴∠1=∠AEC，∴AB∥DF，∴∠AEF=∠3，∵∠3=∠B，∴∠AEF=∠B，∴EF∥BC，∴∠ACB=∠4=60°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、邻补角关系；熟练掌握平行线的判定和性质，证明EF∥BC是解决问题的关键．22．（2011•延庆县一模）列方程或方程组解应用题：2011年4月10日，以“休闲延庆踏青赏花”为主题的第十届延庆杏花节开幕，（1）2000年“杏花节”期间旅游收入为1.01万元，2005年“杏花节”期间旅游收入为35.2万元，求“杏花节”期间，2005年的旅游收入比2000年增加了几倍？（结果精确到整数）（2）“杏花节”期间，2009年旅游收入与2010年的旅游收入的总和是153.99万元，且2010年的旅游收入是2009年的3倍少0.25万元，问2010年“杏花节”期间的旅游收入是否突破了百万元大关？【分析】（1）根据2000年与2005年的收入直接求出即可；（2）由2010年的旅游收入是2009年的3倍少0.25万元，假设出未知数列出方程即可．【解答】解：（1）∵2000年“杏花节”期间旅游收入为1.01万元，2005年“杏花节”期间旅游收入为35.2万元，∴2005年的旅游收入比2000年增加了，（35.2﹣1.01）÷1.01≈34（倍）；（2）假设2009年的收入为x万元，∴2010年的收入为：3x﹣0.25，∴x+3x﹣0.25=153.99解得：x=38.56万元，∴2010年的收入为：153.99﹣38.56=115.43万元，∴2010年“杏花节”期间的旅游收入突破了百万元大关．【点评】此题主要考查了元一次方程的应用，根据2010年的旅游收入是2009年的3倍少0.25万元，得出等量关系是解决问题的关键．23．（2015秋•南岗区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．（1）求∠BOD的度数；（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．【分析】（1）根据邻补角的定义求出∠EOC，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．（2）由已知条件和对顶角相等得出∠MFC=∠MFH=∠BOD+90°=126°，得出∠ONF=90°，求出∠OFM=54°，延长∠OFG=2∠OFM=108°，证出∠OFG+∠EOC=180°，即可得出结论．【解答】解：∵∠EOC：∠EOD=2：3，∴∠EOC=180°×=72°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，∴∠BOD=∠AOC=36°．（2）延长FM交AB于N，如图所示：∵∠MFH﹣∠BOD=90°，FM平分∠OFG，∴∠MFC=∠MFH=∠BOD+90°=126°，∴∠ONF=126°﹣36°=90°，∴∠OFM=90°﹣36°=54°，∴∠OFG=2∠OFM=108°，∴∠OFG+∠EOC=180°，∴OE∥GH．【点评】本题考查了平行线的判定、角平分线定义、角的互余关系等知识；熟练掌握平行线的判定、角平分线定义是解决问题的关键，（2）有一定难度．24．（2015秋•晋江市期末）如图（1），AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说明理由．（提示：三角形的内角和等于180°）①填空或填写理由解：猜想∠BPD+∠B+∠D=360°理由：过点P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°两直线平行，同旁内角互补∵AB∥CD，EF∥AB，∴CD∥EF，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠EPD+∠CDP=180°∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°∴∠B+∠BPD+∠D=360°②依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．③观察图（3）和（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不说明理由．【分析】①过点P作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补，证出结论；②与①的方法类似，过点P作EP∥AB，根据两直线平行，内错角相等，证出结论；③过点P作EP∥AB，可以看出图中的∠BPD与∠B、∠D的关系．【解答】解：①猜想∠BPD+∠B+∠D=360°理由：过点P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵AB∥CD，EF∥AB，∴CD∥EF，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠EPD+∠CDP=180°∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°∴∠B+∠BPD+∠D=360°②猜想∠BPD=∠B+∠D理由：过点P作EP∥AB，∴∠B=∠BPE（两直线平行，同位角相等）∵AB∥CD，EF∥AB，∴CD∥EF，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠EPD=∠D∴∠BPD=∠B+∠D③与②的作法相同，过点P作EP∥AB（3）∠BPD+∠B=∠D，（4）∠BPD=∠B﹣∠D【点评】本题考查的是平行线的性质，作出正确的辅助线是解题的关键，解答本题时，注意类比思想的运用．。

2016年全国初中数学联赛试题和参考答案(ABC卷)

第一试(A)
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）把 x [ x] 称为 x 的小数部分.已知 t 1．用 [ x] 表示不超过 x 的最大整数，
1 ，a 是 t 的小数部分， 2 3
（）
b 是 t 的小数部分，则
A.
1 1 2b a
B.
1 ． 2
3 ． 2
C. 1 ．
D. 3 ．
【答】A. ∵t
1 2 3 ，而 3 2 3 4 ，∴ a t 3 3 1 . 2 3
又∵ t 2 3 ，而 4 2 3 3 ，∴ b t (4) 2 3 . ∴
1 1 1 1 2 3 3 1 1 . 2b a 2(2 3) 2 2 2 3 1
得m
3 3 ， n 2 3 .所以，点 C 的坐标为 ( , 2) . 2 2
2．在四边形 ABCD 中， BC // AD ， CA 平分 BCD ， O 为对角线的交点，． CD AO ， BC OD ，则 ABC ＝【答】 126 . 因为 BC // AD ， CA 平分 BCD ，所以 DAC ACB ACD ，所以 DA DC ，又 CD AO ，所以 AD AO ，所以 ADO AOD . 记 DAC ACB ACD ＝， ADO AOD .
A M D H B C
CD 1 ，对角线的交点为 M ，则 DM ＝
A.
（ D.
）
3 ． 2
B.
5 ． 3
C.
2 ． 2
1 ． 2
【答】D. 作 AH BD 于点 H ，易知△ AMH ∽△ CMD ，所以

2016年全国初中数学竞赛试题参考答案(精简篇)

2016年全国初中数学竞赛试题参考答案2016年全国初中数学竞赛试题参考答案2016年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1 2 3 4 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点．若，则的值为（）． P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2016的坐标是（）．（A）（B）（C）（D）（A）（2016，2）（B）（2016，2．若实数a，b满足，则a的取值范围是（）．）（C）（2016，二、填空题）（D）（0，2）（A）a （B）a4 （C）a≤或a≥4 （D）≤a≤43．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于． CD＝，则AD边的长为（）． 7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了（A）（B） 10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝．（C）（D）8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．等于（）．9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则．10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF。