随机事件的概率典型例题

1.3典型例题解析【例1】一盒装有2个伍分，3个贰分，5个壹分的硬币，求取出硬币的总值超过壹角的概率。

〖解析〗设A={取出硬币总值超过壹角}。

此题可以看成组合问题，故其样本空间含样本点个数为C 105。

对于事件A ，一是可以从2个伍分中任意取1个，另外4个可以先从3个贰分中任意取2个，再从5个壹分中任意取2个。

或者从3个贰分中任意取3个，再从5个壹分中任意取一个，所有的取法为C 21(C 32C 52+C 33C 51)。

二是也可以将2个伍分的全部取出，再从8个贰分、壹分的硬币中任取3个。

所有的取法为C 22C 83。

所以P(A)=C 21C 21(C 32C 52+C 33C 51)+C 22C 83C 105=12此题也可以用逆事件方法做。

A 的逆事件就是取出硬币总值不超过壹角，即P(A)=1-C 21C 54+C 32C 53+C 33C 52+C 55+C 21C31C 53C 105=12【例2】从0至9这10个数码中任意取4个数码，求索取的4个数码能排成四位偶数的概率。

〖解析〗设A={取到的4个号码排成四位偶数}此题可以看成排列问题，故其样本空间所含样本点个数为A 104，对于事件A ，先从0、2、4、6、8这5个数码中任取1个排在个位数上，然后从剩下的9个数码中任取3个排列在其他3个位置上，可能排列法为A 51A 93。

但应注意到0不能放在千位数上，应去掉此种情况的样本点数A 11A 41A 82。

所以符合事件A 的样本点为 A 51A 93−A 11A 41A 82。

因此P(A)= A 51A 93−A 11A 41A 82A 104=4190或 P(A)=A 11A 93+C 41(A 93−A 82)A 104=4190【例3】从1到100的100个整数中任取1个数，问取出的数能被3或4整除的概率。

〖解析〗设A={取到的数能被3整除}，B={取出的数能被4整除}, C={取到的数能被3或者4整除} 在1,2,3······，100中，能被3整除的数的个数[1003]=33；1,2，·······，100中能被4整除的数的个数[1004]=25。

事件A ，B 是相容的，且AB包含8个基本事件12,24,36,48,60,72,84,96。

所以 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=33100+25100−8100=12【例4】设m 个人排成一行，甲、乙是其中的2个人，求甲乙之间恰好有r 个人的概率。

〖解析〗设A={甲乙之间恰好有r 个人}。

此题是一个排列问题，故其样本空间所含样本点个数为m!。

再分析事件A ：从m 个人中去掉甲乙2人后取r 个人放在甲乙中之间，取法为C m−2r ，将夹在甲乙之间的r 个人进行全排列排法有r!种。

将甲乙2个人位置互换换法有2!种；将甲乙及中间的r 个人当做1个人与其他剩下的m-r-2个人进行全排列有(m −r −2+1)!种，则事件A 含样本点个数为C m−2r ⋅r!(m −r −1)!2!。

所以P(A)=C m−2r ⋅r!(m−γ−1)!2!m!【例5】盒中有a 个白球，b 个红球，从中随机地连续取球。

每次取一个，取后不放回。

求第k(1≤k ≤a+b)次取到白球的概率。

〖解析〗设A={第k 次取到白球}。

解法1 从a+b 个球中不放回地一个一个地将任意摸出的k 个球进行排队，故其样本空间含样本点个数为A a +b k 。

对于时间A ，可以先从a 个白球中任取1个白球排列在第k 个位置上，取法为A a 1，再从剩下的a+b-1个球中任取k-1个球排列在前面的k-1个位置上，取法为A a+b−1k−1。

符合事件A 的样本点个数为A a 1A a+b−1k−1，故P(A)=A a 1A a+b−1k−1A a+bk =aa+b解法2 将a+b 个球一个一个不放回的全部取出进行排队，故其样本空间含样本点个数为A a+b a+b 。

对于事件A ：先从a 个白球中任取1个放在第k 个位置上，再将剩下的a+b-1个球在剩下的a+b-1位置上排队。

符合时间A的样本点为A a 1A a+b−1a+b−1，故P(A)=A a 1A a+b−1a+b−1A a+ba+b =a a+b说明 1° 求同一个事件的概率，可以选择不同的样本空。

但在做题的过程中要注意到公式P(A)= kn 中的n 与k 要一致，即如果将样本空间S 看成排列问题，那么事件A 也要看成排列问题，否则就会出现错误答案。

2° 上面用2种解法求出了事件A 的概率，从结果看事件A 发生的概率与k 无关，即不管哪一次取到白球的概率都是相等的，这是抽签问题的数学模型。

从以上分析可以看出抽签时每个人的机会都是均等的，而与抽签的先后顺序无关。

概率论解释了日常生活中的抽签的合理性。

【例6】从5双不同的鞋子中任意取4只，求4只鞋子中至少有2只配成1对的概率〖解析〗设A={4只鞋子中至少有2只配成一对}。

解法1 对于事件A ，满足要求的有两类：第一类是4只中恰好有2只配对，其取法为C 51C 42C 21C 21种（先从5双中任取1双，再从剩下的4双中任取2双，从这两双中各取1只）；第二类是4只中恰好配成2双，其取法为C 52种。

故P(A)=C 51C 42C 21C 21+C 52C 104=1321解法2 对第一类可以先从5双中任取1双，再从剩下的8只中任意取2只，去掉可能成双的4种情况，其取法为C 51(C 82−C 41) 种。

故P(A)=C 51(C 82−C 41)+C 52C 104=1321解法3 对第一类可先从5双中任意取1双，再从剩下的8只中任意取1只去掉与此只配对的另一只，再从6只中任取1只，所以取法为C 51C 81C 612!（C 81中可能取到a ，C 61中可能取到b ，也许C 81中取到b ，C 61中取到a ，对样本空间S 中的样本点，不关心ab 和ba 的顺序，即要排除排列因素，故除以2!）。

故 P(A)=C 51C 81C 612!C 104=1321解法4 应用逆事件求事件A 发生的概率，即A −为取出的4只鞋无1双配对。

对于事件A −，可以先从5双鞋子中任取4双，再从每双中任取1只，其取法为C 51C 21C 21C 21C 21种。

故P(A)=1-P(A −)=1-C 51C 21C 21C 21C 21C 104=1321解法5 对于事件A −，可以先从10只中任取1只，去掉与此只配对的另一只；再从剩下的8只中任取1只，去掉与此配对的另一只，再从剩下的6只中任取1只，去掉与此只配对的另一只，再从剩下的4只中任取1只，排除排列因素，其取法为C 101C 81C 61C 414!种。

故P(A)=1-P(A −)=C 101C 81C 61C 414!C 104=1321解法6 对于事件A −，为使4只鞋子均不相配，可以考虑10只鞋子中有5只是左脚的，有5只是右脚的。

先从左脚的鞋子里面取k 只（k=0,1,2,3,4），则其余4-k 只只能从5-k 只右脚的鞋里面取，其取法为∑C 5k C 5−k 4−k4k=0 。

故P(A)=1-P(A −)=1- ∑C 5k C 5−k4−k4k=0C 104=1321解法7 应用乘法公式。

从10只鞋子中任取4只也可以理解成从10只中一次一次的抽取，每次取1只，取后不放回，连续取4次。

设A 2={取第2只与前一只不配对}，A 3={取第3只与前两只不配对}，A 4={取第4只与前3只不配对} 故P(A)=1-P (A −)=1-P （A 2A 3A 4）=1-P(A 2)·P(A 3|A 2)·P(A 4|A 2A 3)=1-89×68×47=1321【例7】设A,B 是两个事件，一直P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B −|A −)=0.6,求P (A −B)，P(AB)。

〖解析〗由于P(B −|A −)=0.6，根据概率统计的性质得到P(B |A −)=1- P(B −|A −)=0.4所以P (A −B)=P(A −)P( B |A −)=0.5×0.4=0.2 由于AB=B —A −B ,B ⊃A −B 由概率的性质得到P(AB)=P(B-A −B )=P(B)-P(A −B )=0.6-0.2=0.4 【例8】设P(A)= 23，P(B)= 14。

（1）若A 与B 相互独立，求P (A +B )； （2）若A 与B 互不相容，求P(A +B)。

〖解析〗(1)P （A +B ）=P(A −B −)=P(A −)P(B −)= 13×34=14(2) P （A+B ）=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=1- 23- 14= 112【例9】若A 、B 是两个相互独立的事件，且P(A)>0,P(B)>0,试证A,B 不能互不相容。

〖解析〗由于A ，B 相互独立，P(A)>0,P(B)>0，则 P （AB ）=P(A)P(B)>0 而A ，B 若互不相容，则必有 P(AB)=0故A ，B 独立于A ，B 互不相容在P （A ）>0，P （B ）>0的条件下不能同时成立。

从例题8和例题9可以看出，事件A ，B 相互独立和事件A 与B 互不相容是两个不同的概念。

事件A 与B 独立，其实质是一个事件B 出现的概率与另一个事件A 是否出现过没有关系。

而A 与B 互不相容是A 出现必然导致B 不出现，，从而B 出现的概率与另一个事件A 是否出现密切相关。

因为那种认为“若事件A ，B 相互独立，就应该有A ，B 毫无关系，因而A ，B 不应该同时出现，即AB= ∅，所以事件相互独立一定互不相容”的认识是错误的。

【例10】在n 次独立试验中，事件A 每次发生的概率为p （0<p<1）。

求在这n 次试验中事件A 至少发生1次的概率。

〖解析〗设A i ={第i 次试验A 发生}，i=1,2,3，·······n B={n 次试验A 至少发生1次}故B=A 1+A 2+⋯+A n 。

由于n 个事件A 1，A 2，…A n 相互独立时，A 1，A 2，…A n 不一定互不相容。

若求B 的概率用逆事件方法，因为A 1，A 2，…A n 独立时，A −1，A −2，·······，An −也独立。