中国古代数学中的数学文化共116页
数学文化史课件实物计数篇通用版
缺点
THANK YOU
✓ 用小石子代表个位数 ✓ 用中石子代表十位数 ✓ 用大石子代表百位数
实物计数
西藏石子算法采用十进制，如果有10个小方黑石，则用一个果核代表。
万位 千位 百位 十位 个位 小方木棍 瓦片 蚕豆 果核 小方黑石
西藏石子算法
实物计数
优点
人们借助实物进行简单统计，扩大计 数范围、清晰明了、简单便利。
实物计数有容易散乱、难保存、 携带不变等不足。
实物计数
远古时代，人们从事狩猎、农作等生产活动需要计数，选用生产生活中经常接触的物件作为替代物计数， 体史诗《奥德赛》 主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯仅有的一只眼睛以 后，波吕斐摩斯每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群，早晨 羊儿外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子里捡出一颗。晚 上羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早 晨捡起的石子全都扔光时，就代表着所有的羊儿返回了山洞。
实物计数
一些非洲原始猎人用野猪的 牙齿代表杀死野猪的数量。
居住在乞力马扎罗山坡上游牧民 族的少女在颈上佩戴铜环，用铜 环数量代表年龄。
实物计数
直到解放前，我国一些少数民族仍然在使用实物计数。
云南傈僳族在村民选举中 使用豆子或玉米粒投票。
云南傈僳族双方在械斗中用鹅卵石 记录死亡人数，和解时拿出鹅卵石， 损失多的一方则向对方要求赔偿。
✓ 西藏藏民手持念珠念经，通过拨动珠子来计 数。当记数卡子围绕佛珠移动一周后，意味 着念了一百万次。随后，还可以继续移动绳 卡或其他以百万为单位的记数器。
主珠
计数器 百位
卡子 万位
隔片 隔珠
佛头
计数器 千位
实物计数
景颇族
十位 个位
山东省泰安市宁阳县2023-2024学年六年级上学期期末数学试题(含答案)
2023—2024学年度第一学期期末质量检测六年级数学试题注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，48分；第Ⅱ卷为非选择题，102分；全卷共6页．2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡．3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD 】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上．第I 卷（选择题共48分）一、选择题（本题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）．1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．3和－3B ．－3和31C ．－3和－31D ．31和3 2．我国国土面积辽阔，同一天不同地方温度相差非常大，2024年1月1日上午9点半，云南昆明、山东泰安、海南海口、内蒙古包头四个地区的气温分别是8℃，-5℃，21℃，-15℃，其中气温最低的地区是（ ）A ．云南昆明B ．内蒙古包头C ．山东泰安D ．海南海口3．甘肃省应急厅新闻发言人韩树君在2023年12月25日举行的甘肃临夏州积石山县6.2级地震第四场新闻发布会上介绍，积石山6.2级地震发生后，社会各界踊跃捐款捐物，支援灾区。
据不完全统计，截至12月24日，接收社会各界捐款和中央部委下拨资金共计185931.68万元，其中社会各类捐款116593.34万元，中央和国家部委下拨资金69338.34万元。
甘肃已接收地震捐款超11.6亿元，把11.6亿用科学计数法表示为（ ）A ．11.6×108B ．1.16×109C ．116×106D ．0.116×10104．中秋节作为中国四大传统节日之一，自古有祭月、赏月、吃月饼等民俗，如图所示，小丽有一块月饼可以近似的看成一个圆柱体，她用刀去切这块月饼，切一刀，则截面形状不可能是（ ）A ．圆B ．长方形C ．正方形D ．三角形5．下列说法错误的有（ ）①是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列说法不正确的是（ ）A ．的系数是一1，次数是4 B ．是整式C ．6x²-3x+1的项是6x²,-3x ，lD ．是三次二项式 7．某企业今年3月份产值为a 万元，4月份比3月份减少了10％，5月份比4月份增加了15％，则5月份的产值是（ ） A ．（a －10％）（a ＋15％）万元 B ．a （1－90％）（1＋85％）万元C ．a （1－10％）（1＋15％）万元D ．a （1－10％＋15％）万元8．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿”，若设有牧童x 人，根据题意，可列方程为（ ）A ．61482x x +=-B ．61482x x -=+C ．61482x x +=+D ．61482x x -=-9．解下列方程变形正确的是（ ）A ．方程3221x x -=+移项得3212x x -=-+B ．方程0.110.20.05x x --=化成101100125x x --= C ．若ax ay =，则x y = D ．方程()3251x x -=--，去括号，得3251x x -=--10．如图是一个正方体的展开图，如果正方体相对的两个面所标注的值均互为相反数，则字母A 所标注的代数式的值为（ ）A ．12-B ．15-C ．12D ．1511．张叔叔在一块正方形菜园中按如图的方法划分出两块地用来种胡萝卜和青菜，胡萝卜地的宽是3m ，青菜地的宽是4.8m ，这样划分后，青菜地和胡萝卜地的面积恰好相等，这块正方形菜园的边长是（ ）A ．7.8mB ．8mC ．8.5mD ．9m12．把四边形和三角形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中共有4个三角形，图案②中共有7个三角形，图案③中共有10个三角形，……，若按此规律拼图案，则图案⑧中共有（ ）A ．13个三角形B ．19个三角形C ．25个三角形D ．31个三角形第Ⅱ卷（非选择题共102分）二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果）13．若与是同类项，则=__________．14．已知：有理数a ，b 互为相反数，且都不为0，c ，d 互为倒数，则___________． 15．如图是从一个几何体的三个方向所看到的图形，若这个几何体的体积是64，则它的表面积是__________．16．小明爸爸现在的年龄是小明年龄的3倍，8年后，小明爸爸的年龄是小明年龄的2倍还多4岁，问：小明今年多少岁？设小明现在年龄是x 岁，根据题意列方程为__________．17．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中字母m 表示的数是__________．18．请观察下列算式，找出规律并填空 111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，1114545=-⨯ 根据以上规律可以得到：111112233420232024++++⨯⨯⨯⨯．．．=___________． 三、解答题（本大题共7小题，78分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）19．（本题满分8分）计算：（1）44112963⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭； ()022324141372123⎛⎫-+÷ ⎪+⎭⨯-⎝（2）． 20．（本题满分10分）解方程： （1）3x ＋7＝23－x ；（2）． 21．（本题满分10分）化简（1）．（2）()222212314213432x y xy x y xy ⎛⎫-++--- ⎪⎝⎭． 22．（本题满分12分）已知多项式()()22223232432mx x x x y x -++--+化简后不含2x 项，求多项式()334231m m m m ⎡⎤--++⎣⎦的值． 23．（本题满分12分）为丰富校园体育生活，学校增设网球兴趣小组，需要采购某品牌网球训练拍30支，网球x 筒（30x >）．经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元/支，网球20元/筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案：甲商店：买一支网球拍送一筒网球；乙商店：网球拍与网球均按则90%付款．(1)方案一：到甲商店购买，需要支付________元（用含x 的代数式表示）；方案二：到乙商店购买，需要支付________元（用含x 的代数式表示）．(2)若100x =，请通过计算说明学校采用以上哪个方案较为优惠．(3)若100x =，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法并算出需要多少钱？24．（本题满分12分）第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A 、B 两种包装，该工厂共有800名工人．(1)若该工厂生产盲盒A 的人数比生产盲盒B 的人数的2倍少100人，请求出生产盲盒A 的工人人数；(2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由4个盲盒A 和9个盲盒B 组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A 或15个盲盒B ，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A ，多少名工人生产盲盒B 才能使每天生产的盲盒正好配套？25．（本题满分14分）有人说，距离能产生美．点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示1和6-的两点之间的距离是__________；(2)数轴上若点A 表示的数是x ，点B 表示的数是-3，则点A 和B 之间的距离是__________，若2AB =，那么x 为__________；(3)若点A 表示的数-5，点B 与点A 的距离是8，且点B 在点A 的右侧，动点P 、Q 分别从A 、B 同时出发沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒4个单位长度，点Q 的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，2PQ =？（请写出必要的求解过程）六年级上册数学参考答案一、ABBDCDCABABC二、填空13．1- 14．5- 15．11216．2(8)438x x ++=+（用原数的恒等变形都对） 17．618．20232024（或112024-） 三、解答题19．（1）原式4191161669646⎛⎫=-÷⨯-=⨯⨯= ⎪⎝⎭． （2）原式342764271|43|111161734274⎛⎫=⨯-++⨯=⨯+⨯=+= ⎪⎝⎭． 20．（1）解：移项，得：3237x x +=-，合并同类项，得：416x =，系数化为1，得：4x =；（2）去分母，得：2(21)(51)6x x +--=，去括号，得：42516x x +-+=，移项，得：45621x x -=--，合并同类项，得：3x -=，系数化为1，得：3x =-．21．（1）原式22110.20.50052a a c c bc bc bc ⎛⎫⎛⎫=-+-++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）原式22221122423x y xy x y xy ⎛⎫⎛⎫=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222222211211231122423243212x y xy x y xy x y x y xy xy xy =----++=-+-+--=-． 22．解：()()22223232432mx x x x y x -++--+22223232432mx x x x y x =-++-+-22223243232mx x x x x y =--+-++22(36)32m x x y =-+++，该多项式化简后不含2x 项，360m ∴-=，（没有下划线一步得3240m --=正确）解得：2m =，()333342(31)4231m m m m m m m m ⎡⎤--++=---+⎣⎦ 3334231221m m m m m m =-++-=++，当2m =时，原式32222121=⨯+⨯+=．23．（1）解：(202400)x +(182700)x +．（原题上有单位元，代数式后加单位元的不扣分，没加括号的不得分）（2）当100x =时，甲店需要：1002024004400⨯+=（元），乙店需要：1810027004500⨯+=（元），44004500<，∴到甲商店购买优惠；有，先在甲店购买30只球拍，送30个网球筒，剩下的去乙店购买70个网球筒，（方案描述正确即可） 总费用：3010070200.94260⨯+⨯⨯=（元）．24．（1）解：设生产B 的人数为x 人，则生产A 的人数为(2100)x -人，于是(2100)800x x -+=，解得：300x =．21002300100500x ∴-=⨯-=（人）， 答：生产盲盒A 的工人人数为500人．（用其他方法做对即得分）（2）解：设安排m 人生产A ，则安排(800)m -人生产B ，于是920415(800)m m ⨯=⨯-（或者等比式都正确），解得：200m =，800200600∴-=（人）， 答：该工厂应该安排200名工人生产A ，600名工人生产B 才能使每天生产的盲盒正好配套．25．（1）7 （2）|3|x +（或|3|x --），1-或5-（3）解：设运动x 秒后，点Q 与点P 相距2个单位，由题意，得①P 超过Q ，482x x -=+，解得103x =， ②P 在Q 的后边，482x x -=-，解得2x =， 答：运动103或2秒后，点$Q $与点$P $相距2个单位．。
中国古代数学中的数学文化
中国古代的数学教育
中国古代的数学教育以家庭教育为主 ，通过家传或私塾传授数学知识。
VS
在科举制度中，数学并不是考试科目 ，因此数学教育并未得到足够的重视 。然而，一些数学家仍然通过自学或 师承关系传承和发展数学知识。
03
中国古代数学与文化的关系
古代数学与天文历法
总结词
中国古代数学与天文历法相互影响，数学的发展促进了天文学的进步，而天文学的需求也推动了数学的发展。
古代数学的教育价值
培养逻辑思维
中国古代数学注重逻辑推理和演绎证明，通过学习古代数 学可以培养人们的逻辑思维能力和严谨的思维方式。
01
弘扬传统文化
学习古代数学可以更好地了解中国传统 文化，增强民族自豪感和文化自信心。
02
03
提高综合素质
古代数学中蕴含着丰富的哲学思想和 人文精神，学习古代数学有助于提高 人们的综合素质和人文素养。
算筹记数法是中国古代特有的记数法，使用不同数量的算筹表示不同的数值。这 种方法简便易用，适用于各种数值计算。
算筹记数法采用纵横两种形式，其中纵式表示整数部分，横式表示小数部分，为 数学计算提供了便利。
《九章算术》的体系与内容
《九章算术》是中国古代数学著作的 代表作，全书共分九章，收录了246 个数学问题及其解法。
《九章算术》的内容涉及分数、比例 、百分数、大数、小数、近似计算等 ，还包括了一些复杂的计算方法，如 开方、解方程组等。
中国古代数学中的几何学
中国古代几何学的发展相对较晚，但也有一些重要的成果。例如，《周髀算经》中就提到了勾股定理 及其逆定理。
中国古代几何学注重实用，主要应用于天文、历法、水利、建筑等领域，如圆周率π的计算和应用等 。
古代数学对现代数学的启示
古代中国的数学文化
全日制初级中学校本教材(实验稿)数学八年级全一册南口前中学数学教研组编著仅限校内使用目录第一章古代数学文明古代中国的数学文化第二章数学概念的由来§2.1 数的形成§2.2 自然数§2.3 整数§2.4 有理数§2.5 无理数§2.6 实数第三章数学中的符号变迁3.1 数学中的符号§3.2 零的历史§3.3 分数线的发明§3.4 加减乘除的来历§3.5 等号与不等号第四章数学工具的发展§4.1 规矩和直尺§4、2 古老的计算工具§4.3 最早的数学表§4.4 珠算与算盘第五章数学名著§5.1 《代数学》§5.2 《几何学》§5.3 《九章算术》§5.4 《兰德纸草书》§5.5 《数书九章》§5.6 《算盘书》§5.7 《算术》§5.8 《圆锥曲线论》§5.9 《周髀算经》§5.10 几何原本§5.11 希尔伯特的《数学问题》第一章古代数学文明古代中国的数学文化我国是世界上最早的文明国家之一。
很早以前，我国的祖先从渔猎农事活动中，就接触了计算和测量，在这方面积累了大量的知识。
万里长城和大运河是我国古代文明的伟大成就。
旧中国时期，战争连绵，燕、赵、秦三国为了抵御来自北方的侵扰，建筑了长城；秦始皇统一了全国，把它们连接起来。
后来，汉朝和明朝都大规模修筑过长城。
长城由西至东，在险峻起伏的山岭上绵延数千公里，是世界上仅有的巨大土石建筑。
沟通南北的大运河，长达１７００多公里，朴实壮观，是非常杰出的水利工程。
我国人民在长城和运河的建造过程中，积累了大量的几何测量,数学计算和土木工程等方面的知识。
中国早在五六千年前，就有了数学符号，到三千多年前的商朝，刻在甲骨或陶器上的数字，已十分常见。
中图法-各大类的分类方法 共116页
《人类遗传学》 Q987 《基础医学遗传学》 R394
R 医药、卫生
本类分三部分编列类目：
1 R1 预防医学、卫生学 R11/17 卫生学 18 流行病学与防疫 19 保健组织与事业
2 R2/8 医学 R2 中国医学 3 基础医学 4 临床医学 5/79 医学各科和外国民族医学 8 特种医学
例： 《神经科学前沿》 Q189 《人工神经网络系统理论》 TP183 《人类触突神经生理》 R338.1
Q生物科学分类要点
• “Q81生物工程学”只收总论性文献，专论入有 关类。
例： 《生物工程新进展》 Q81
《生物芯片》 Q81
• “Q98人类学”：总论入此，专论入有关类。
如：临床优生学入R715，社会优生学入C912， 环境优生学入X2。
专论部分按照产品类型（如材料、器件、设 备、工程、交通工具等）列类，通常情况下， 有关某产品的各方面的文献都随该产品集中， 仿“一般性问题”分或依专类复分表分，这是 类分工业技术文献的一个基本规律。
T类分类要点
• 只收工业技术总论性文献。除主表已经依据
总论复分表编列出的类目外，根据文献分类需 要，还可以使用总论复分表其他子目复分编号。 例： 《中国技术政策》 T-012
《工业试验全书》 T-33 《工业哲学》 T-02
T类分类要点
• “T-18专利”，“T-65工业规程与标准”，只 收综合汇编，凡属于某一专项专利，某个工业 技术部门的技术规范、标准等均应依据其内容 的学科属性入有关类目。 例： 《美国工业标准汇编》 T-657.12
《钢铁专利文献索引》 TF-18 《化工产品目录》 TQ072-63
• 凡属本大类所列出的各种农作物、园艺 作物、树种、家畜、家禽等动植物的生 物学文献，随该动植物入S的有关类，不 入“Q生物科学”。但有关鱼类等水产 生物的生物学文献仍入“Q生物科学”。
中国古代数学
中国古代数学中国古代数学是世界上最古老的数学之一，具有重要的历史和文化价值。
古代中国的数学发展可以追溯到至少公元前14世纪的商朝，人们在商朝就开始使用计算方法和数学符号。
以下是有关中国古代数学的相关内容：古代数学的起源与发展古代中国数学的起源可以追溯到商朝，商朝人民使用的计算方法和数学符号记录在《甲骨文》中。
《甲骨文》中的很多符号表示了数字和几何形状，这表明商朝人民已经掌握了一定的计算和几何知识。
随着时间的推移，数学在周朝和秦朝得到了进一步的发展。
《周髀算经》和《九章算术》是两本流传最广的古代中国数学著作，它们涵盖了从初级的算术到高级的几何和代数的内容。
这些著作为后世的数学研究奠定了基础，并影响了中国古代数学的发展。
古代数学的主要研究内容古代中国数学的研究内容主要包括算术、几何和代数。
算术是古代中国数学的基础，主要涉及整数、分数、正负数等的运算、约分、等式等。
几何主要研究了圆、直线、曲线等的性质和计算方法。
代数主要研究了方程的解法和多项式的计算。
除了这些基本内容之外，古代数学家还研究了一些高级概念，如数论、几何证明、求根方法等。
这些研究内容体现了古代中国人民在数学领域的聪明才智和丰富的数学思维。
古代数学成就的应用古代中国数学的成就不仅仅停留在理论上，还有广泛的应用。
在农业方面，古代数学可以用于测量土地面积、规划农田和水利工程。
在商业方面，古代数学可以用于计算货币价值、盈亏比率和税收等。
在天文学方面，古代数学可以用于计算地球和天体的位置、运行轨迹等。
这些应用展示了古代中国数学的实用性和功能性，对古代社会的发展起到了积极的推动作用。
古代数学的传承与影响古代中国数学的传承和发展离不开数学家和教育工作者的努力。
古代数学家通过书籍和教育机构传播数学知识，使其得到了广泛的传承和应用。
古代数学的一些重要著作被翻译成多种语言，传播到其他国家和地区。
这些传承和影响使古代中国数学成为世界上重要的数学学派之一，对后世数学的发展产生了深远的影响。
简述中国古代数学和古希腊数学的对比
简述中国古代数学和古希腊数学的对比牙牙学语的时候，我们就开始接触到数学。
从简单的加减乘除再到现在的高等数学。
数学与我们的生活息息相关，贯穿了我们的整个学习过程。
那数学又有怎样一段历史呢？在人类数学发展的历史上，曾出现过两种特点迥异的数学，即古希腊数学与中国古典数学。
那这两种数学又有怎样的不同呢？下面是对中国古代数学和古希腊数学做的简单对比：（一）中国古代数学特点中国古代数学成就辉煌，既有系统的理论又有丰硕的成果，直到16世纪许多数学分支在国际上都处于领先地位，是名副其实的数学强国，就如同造纸、火药、指南针、印刷术这四大发明一样，是中华民族对世界文明的一项重大贡献，是值得炎黄子孙珍视的一份骄傲。
中国古代数学具有悠久的传统。
在古代世界四大文明中（中国与古代埃及、印度、巴比伦并称为四大文明古国），中国数学持续繁荣时期最为长久。
中国数学起源于遥远的石器时代，经历了先秦萌芽时期（从远古到公元前200年）；汉唐始创时期（公元前200年到公元1000年），元宋鼎盛时期（公元1000年到14世纪初），明清西学输入时期（十四世纪初到1919年）。
中国古代数学有着鲜明的特点。
一，中国传统数学具有鲜明的社会性。
中国传统数学最基本的特点是具有鲜明的社会性。
通观中国古典数学著作的内容，几乎都与当时社会生活的实际需要有着密切的联系。
从《九章算术》开始，中国算学经典基本上都是遵从问题集解之体例编纂而成，其内容反映了当时社会政治、经济、军事、文化等方面的某些实际需要，具有浓厚的色彩。
二，是中国传统数学具有明显的政治经济导向。
中国传统数学家的数学论著深受历史上各种社会思潮、哲学流派的影响，具有形形色色的社会痕迹。
中国传统数学文化中，数学被儒学家圈定为培养人们道德与技能的六艺（礼、乐、射、御、书、数）之一，它的作用在于“通神明、顺性命，经世务、类万物”，所以中国传统数学总是被打上中国哲学与古代学术思想的烙印，往往与术数交织在一起。
21国史-非遗-算盘
21国史-非遗-算盘2013年12月4日，联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第八次会议在阿塞拜疆巴库通过决议，正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产名录。
珠算如何出现，算盘究竟由何人发明，现在无从考证，但它的使用应该是很早的。
2001年澳门《传统工具》据东汉数学家徐岳所著的《数术记遗》记载：“珠算控带四时，经纬三才。
”北周甄鸾注云：“刻板为三分。
位各五珠，上一珠与下四珠色别，其上别色之珠当五,其下四珠各当一。
”可见汉代即有算盘，但形制与今不同。
不过，中梁以上一珠当五，中梁以下各珠当一，则与现代相同。
1999年利比里亚《中国算盘与<算法统宗>》有些历史学家认为，算盘的名称，最早出现于元代学者刘因撰写的《静修先生文集》里。
在《元曲选》无名氏《庞居全误放来生债》里也提到算盘：“闲着手，去那算盘里拨了我的岁数。
”元代杨辉在其《乘除通变算宝》里、元代朱世杰在其《算学启蒙》里，都记载了有关算盘的“九归除法”。
明代吴敬在其《九章详注比类算法大全》里，对算盘的用法记述则较详。
而宋代画家张择端在其《清明上河图》中也画有一个算盘，可见早在北宋时或北宋以前我国就已普遍使用算盘了。
1972年澳大利亚《会计师》直到明代出现了《盘珠算法》这类专著，才有了带横梁的上二珠下五珠的算盘。
我国的算盘由古代的“筹算”演变而来。
“筹算”就是运用一种竹签做筹码来进行运算。
唐代末年，已见筹算乘除法的改进，到宋代产生了筹算的除法歌诀。
15世纪中叶，《鲁班木经》中有制作算盘的规格。
由于算盘普及，论述算盘的著作也随之产生，流行最久的珠算书是1593年明代程大位所编辑的《算法统宗》。
由于珠算口诀便于记忆，运算又简便，因而在我国被普遍应用，同时也陆续传到了日本、朝鲜、印度、美国、东南亚等国家和地区。
算盘的出现,被称为人类历史上计算器的重大改革。
2002年香港《算盘与计算机》聯合國教科文組織(UNESCO)保護非物質文化遺産的政府間委員會，於2013年在亞塞拜然首都巴庫開會，通過中國珠算列入世界非物質文化遺産。
七年级上册历史第四单元第20课 三国两晋南北朝时期的科技与文化教案
三国两晋南北朝时期的科技与文化设计说明本课主要介绍了两部分内容,即三国两晋南北朝时期的科技成就和文化成就。
科技成就方面主要讲述了贾思勰和《齐民要术》、科学家祖冲之计算圆周率;文化成就方面主要讲述了书法、绘画和雕塑的成就。
在教学过程中,教师要将科技、文化与历史发展的进程有机地结合起来,使学生在了解历史背景和进程的基础上,理解科技、文化与社会变迁的关系,培养学生崇尚科学的意识和积极进取的人生态度。
学习目标1.了解《齐民要术》的作者、内容及地位,科学家祖冲之在数学、天文历法和机械制造方面取得的重大成就等基本史实。
2.赏析《锺繇楷书<宣示表>》、王羲之《兰亭集序》、《张猛龙碑》、顾恺之《女史箴图》《洛神赋图》,观赏《云冈石窟第20窟的造像》《龙门石窟宾阳中洞的造像》,感受其文化魅力。
3.接受中国古代文化艺术美的熏陶,培养欣赏美和鉴赏美的能力。
重点难点重点:贾思勰和《齐民要术》、科学家祖冲之。
难点:科学家祖冲之。
教学方法自主学习法、合作探究法、讲授法等。
资源与工具(一)资源1.拓展阅读:《魏晋南北朝科技史》(书目)。
2.影视作品:《中国通史》(纪录片)。
(二)工具1.数字资源包、学习成果上传和互动的平台。
2.图书馆资源、网络搜索工具等。
课时安排1课时教学过程一、教学情境教师首先讲述圆周率是圆的周长与直径的比,通常用π表示,接着指出每年的3月14日是国际圆周率日,并询问学生是否知道把3月14日定为国际圆周率日的原因,以及谁最早把圆周率精确到小数点以后的第七位数字,从而导入本课。
二、预习检查1.说说贾思勰撰写的《齐民要术》的地位。
2.世界上最早把圆周率精确到小数点以后第七位数字的是谁?3.被称为“天下第一行书”的是哪部书法作品?4.被后人誉为“书圣”的是谁?5.顾恺之的代表作有哪些?6.三国两晋南北朝时期最著名的石窟是哪两个?三、学习任务一导入新课教师讲述:1967年,国际天文学联合会把月球上的一座环形山,命名为“祖冲之山”;1964年,南京紫金山天文台将该台发现的一颗小行星,命名为“祖冲之星”。
【全文】中国古代数学中的数学文化共116页
先秦时期—中国古代数学的萌芽 算筹是中国古代的计算 工具。用小竹棍或小木 棍或是骨、金属村料、 象牙制成,比我们日常 所用的筷子稍短稍细 点。它的起源大约可上 溯到公元前5世纪。后来 写在纸上便成为算莠记 算筹 數法。 (1971年陕西千阳县西汉墓出土)
先秦时期一中国古代数学的萌芽 记数时与十进位置制相 三四五六七八九 配合,采用从左到右 纵橫相间的撄法。 mmⅧTTⅢ而 中国传统数学的最大特 三⊥上4直 点是建立在筹算基础之 上是中国传统数学对 如314-768⊥Tm 人类文明的特殊贡献 这与西方及阿拉伯数学 是明显不同的。 算筹记数的表示方 虽然也早有位置制的思想,但没有零的记号。
先秦时期一中国古代数学的萌芽 在《管子》、《荀子》 《战国策》等先秦典籍 中,都提到过“九九” 但实物还是首次发现, 这是我国有文字记录最 早的乘法口诀表。 乘法口诀表
九九乘法表 从现存的古代文觫资料及研究看,较为完整的 “九九表”形式并广泛得到应用,是在春秋时 期,距今大约2700年。从西汉韩婴的《韩诗外 传》卷三中记载的有趣的春秋时代的寓言中便
先秦时期—中国古代数学的萌芽 2002年7月,考古 人员在湖南龙山里 耶战国一秦汉古城 出土了36000余枚 間。 2002年湖南龙山里耶战国一秦汉城址考古
先秦时期一中国古代数学的萌芽 记录的是秦始皇二十 六年至三十七年(即 公元前221-前210年) 的秦朝历史,其中有 份完整的“九九乘 法口诀表” 豪简(2002年湖南龙山里耶出土)
先秦时期中国古代数学的萌芽 我国是世界上首先发现和认识负数的国家。战 国时法家李悝(约公元前455-前395年)曾 任魏文侯相,主持变法,我国第一部比较完整 的法典《法经》(现己失传)中已应用了负数, “衣五人终岁用千百不足四百五十”,意思是 说,5个人一年开支1500钱,差450钱。甘肃 居延海附近(今甘肃省张掖市管领)发现的汉 简中有“负四箅(suan,筹码,同算),得七 箅,相除得三霁”的旬子
中国古代数学中的数学文化PPT
学著作，据写在一支竹简反面的字迹识 别，这部竹简算书的书名叫?算数书?， 它是中国现存最早的数学专著。经研究 ，它和?九章算术?〔公元1世纪〕有许 多相同之处，体例也是“问题集〞形式 ，大多数题都由问、答、术三局部组成 ，而且有些概念、术语也与?九章算术? 的一样。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
2002年湖南龙山里耶战国－秦汉城址考古
• 2002年7月，考古 人员在湖南龙山里
耶战国－秦汉古城 出土了36000余枚 秦简。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
秦简 (2002年湖南龙山里耶出土)
• 记录的是秦始皇二十 六年至三十七年〔即
公元前221－前210年 〕的秦朝历史，其中
九九乘法表
• 文学作品中，就有很多“九九〞乘法口诀。 • ?西游记?中，唐僧师徒四人去西天取经，沿途
经历七七四十九劫，九九八十一难。 • ?越王勾践?中，翻过九九八十一座山，渡过八
八六十四条溪，走了七七十九天，终于找到秦 溪山。 • 方言俗语、地方谚语，均能看到乘法表的影子 。 • “六六三十六，阎王接你吃腊肉〞、“不管三七 二十一〞等。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
?史记·夏本纪?
大禹治水 (公元前21世纪)
先秦时期——中国古代数学的萌芽
• 在殷墟出土的商代甲骨文中， 有一些是记录数字的文字，说 明中国已经使用了完整的十进 制记数，包括从一至十，以及 百、千、万，最大的数字为三 万。这是对世界数学最伟大的 奉献。
殷墟甲骨上数学 (商代, 公元前1400-前1100年 )
• 如图，Plato对等腰直角三 角形作了证明，他把腰上 两个正方形沿对角线切开 ，所得四个全等的等腰直 角三角形可以拼成原三角 形斜边上的正方形。
无理数的由来
无理数的由来无理数的由来公元前500年古希腊毕达哥拉斯Pythagoras学派的弟子希勃索斯Hippasus发现了一个惊人的事实一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的若正方形边长是1则对角线的长不是一个有理数这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”指有理数的哲理大相径庭。
这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒认为这将动摇他们在学术界的统治地位。
希勃索斯因此被囚禁受到百般折磨最后竞遭到沉舟身亡的惩处。
不可通约的本质是什么长期以来众说纷坛得不到正确的解释两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。
15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
然而真理毕竟是淹没不了的毕氏学派抹杀真理才是“无理”。
人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来数学不是“数”学——话说无理数黄力民“数学是一门研究数量关系和空间形式的科学”的说法在中国曾经十分流行这可能与恩格斯著作的长期影响有关。
对于数学今天人们更加认同于如下的说法“数学是一个完全自成体系的知识领域…数学仅仅讨论它本身想象中的实体及关系”《科学技术百科全书》麦格劳-希尔图书公司第1卷数学科学出版社1980235-236页“到1900年数学已经从实在性中分裂出来了它已经明显地而且无可挽回地失去了它对自然界真理的所有权因而变成了一些没有意义的东西的任意公理的必然推论的随从了” 克莱因《古今数学思想》第4册上海科学技术出版社1979111页。
照此说法数学就不是“数”学了。
然而数学与生俱来的强大应用性并不因为“数学已经从实在性中分裂出来了”而有稍微的减弱。
既是抽象的又有实在的一面人们逐渐形成了对数学的主流看法——数学的现状“一方面是其内在的统一性另一方面是外界应用的更高的自觉性”数学的两种趋势是“从外部寻求新问题和在内部追求统一”美国国家研究委员会《振兴美国数学——90年代的计划》叶其孝等译世界图书出版公司1993而不再局限于给数学下一个定义。
古代数学文化
战国时期，齐威王与大将田忌赛马，齐威王和田忌各有三匹好马：上马，中 马与下马。比赛分三次进行，每赛马以千金作赌。由于两者的马力相差无几， 而齐威王的马分别比田忌的相应等级的马要好，所以一般人都以为田忌必输 无疑。
但是田忌采纳了门客孙膑（着名军事家）的意见，用下马对齐威王的上 马，用上马对齐威王的中马，用中马对齐威王的下马，结果田忌以2比1胜齐 威王而得千金。
趣味数学
泰勒斯看到人们都在看告示，便上去看。原来告示上写着法老要找世 界上最聪明的人来测量金字塔的高度。于是就找法老。
法老问泰勒斯用什么工具来量金字塔。泰勒斯说只用一根木棍和 一把尺子，他把木棍插在金字塔旁边，等木棍的影子和木棍一样长的 时候，他量了金字塔影子的长度和金字塔底面边长的一半。把这两个 长度加起来就是金字塔的高度了。泰勒斯真是世界上最聪明的人，他 不用爬到金字塔的顶上就方便量出了金字塔的高度。
• 早在夏代之前很久，我国几何方面 • 商代中期，在甲骨文中已产生一套
数学便已展露端倪。西安半坡出土 十进制数字和记数法。在殷墟出土
的陶器有用1至8个圆点组成的等边 的甲骨文卜辞中有很多记数的文字:
三角形，和分正方形为100个小正方 从一到十，及百、千、万是专用的
形的图案，半坡遗址的房屋基址都 记数文字，共有13个独立符号，记
古代数学文化
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中国古代数学发展史
在浩瀚的数学发展历史长河中，中国数学作为中国文化的一部分，也有着悠远的 历史和灿烂的文化，蕴含着丰富的内容。中国古代数学的萌芽原始公社末期，私 有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展。仰韶文化时期出土 的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代 结绳记事了。据记载:“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。”黄河流域和长 江流域是中华民族文化的摇篮，大约在公元前2000年，在黄河中下游产生了第一 个奴隶制国家——夏朝(约前2070-前1600)。其后有殷商(前1600-前1046)及周朝 (前1046-前256)
数学发展史
数学发展史研究成果引言中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族，在灿烂的文化瑰宝中数学在世界数学发展史中也同样具有许多耀眼的光环。
中国古代算数的许多研究成果里面就早已孕育了后来西方数学才设计的先进思想方法，近代也有不少世界领先的数学研究成果就是以华人数学家命名的。
李氏恒定式数学家李善兰在级数求和方面的研究成果，在国际上被命名为【李氏恒定式】华氏定理“华氏定理”是我国著名数学家华罗庚的研究成果。
华氏定理为：体的半自同构必是自同构自同体或反同体。
数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”；另外他与数学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华—王方法”。
苏氏锥面数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“苏氏锥面”。
苏步青院士对仿射微分几何的一个极其美妙的发现是：他对一般的曲面，构做出一个访射不变的4次（3阶）代数锥面。
在访射的曲面理论中为人们许多协变几何对象，包括2条主切曲线，3条达布切线，3条塞格雷切线和仿射法线等等，都可以由这个锥面和它的3根尖点直线以美妙的方式体现出来，形成一个十分引人入胜的构图，这个锥面被命名为苏氏锥面。
[1]编辑本段三大数学流派编辑：奇东《古今数学思想》书中（第四册45页）：指出：“实数系的逻辑结构问题为十九世纪后叶所重视，无理数被认为是主要难点，然而无理数的意义与性质的发展预先假定了有理数系的建立，对无理数理论不同的贡献者来说，或则认为有理数已为众所确认，无须什么基础，或则认为只给出一些匆促而临时应付的方案，…。
（316页）数学的第三种主要的哲学，称为形式派（形式主义），它的领导人是希尔伯特，他从1904年开始从事于这种哲学工作，他在那时的动机是给数系提供一个不用集合论的基础，并且确立算术相容性，因为他自己对于几何的相容性的证明已约化成算术的相容性，算术的相容性就成了一个没有解决的关键性问题，…。
”，超限归纳法也不是彻底解决了算术问题。
数学中的中国传统文化
数学中的中国传统文化教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．比如，在数学中增加数学文化的内容．”因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导．一、算法问题1．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为()A．2 B．3C．4 D．5答案 C解析(84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次减法．2．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为()A．4 B．2C．0 D．14答案 B解析由题意输出的a是18,14的最大公约数2，故选B.3．用辗转相除法求459和357的最大公约数，需要做除法的次数是()A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析∵459÷357＝1…102，357÷102＝3…51，102÷51＝2，∴459和357的最大公约数是51，需要做除法的次数是3.124．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，对于求一个n 次多项式函数f n (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0的具体函数值，运用常规方法计算出结果最多需要n 次加法和n (n ＋1)2次乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n 次加法和n 次乘法．对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU 运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义．运用秦九韶算法计算f (x )＝0.5x 6＋4x 5－x 4＋3x 3－5x 当x ＝3时的值时，最先计算的是( )A ．－5×3＝－15B ．0.5×3＋4＝5.5C ．3×33－5×3＝66D ．0.5×36＋4×35＝1 336.6答案 B解析 f (x )＝0.5x 6＋4x 5－x 4＋3x 3－5x ＝(((((0.5x ＋4)x －1)x ＋3)x ＋0)x －5)x ，然后由内向外计算，最先计算的是0.5×3＋4＝5.5.5．若用秦九韶算法求多项式f (x )＝4x 5－x 2＋2当x ＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为( )A ．4,2B ．5,3C ．5,2D ．6,2 答案 C解析 ∵f (x )＝((((4x )x )x －1)x )x ＋2，∴乘法要运算5次，加减法要运算2次．6．已知函数f (x )＝6x 6＋5，当x ＝x 0时，用秦九韶算法求f (x 0)的值，需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为( )A ．21,6,2B ．7,1,2C ．0,1,2D ．0,6,1答案 D解析 ∵f (x )＝6x 6＋5，多项式的最高次项的次数是6，∴要进行乘法运算的次数是6.要进行加法运算的次数是1，运算过程中不需要乘方运算．7．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a依次为2,2,5，x，n均为2，则输出的s等于()A．7 B．12C．17 D．34答案 C解析第一次运算，a＝2，s＝2，n＝2，k＝1，不满足k>n；第二次运算，a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2，不满足k>n；第三次运算，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，满足k>n，输出s＝17，故选C.8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时，应把f(x)变形为()A．x3－(3x＋2)x－11 B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11 D．((x－3)x＋2)x－11答案 D解析f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－119．用秦九韶算法求函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7当x＝2的值时，v3的结果是() A．4 B．10C．16 D．33答案 C解析函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7＝((((3x－2)x＋2)x－4)x)x－7，3当x＝2时，v0＝3，v1＝3×2－2＝4，v2＝4×2＋2＝10，v3＝10×2－4＝16.10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2的值，当x＝－2时，v1的值为()A．1 B．7C．－7 D．－5答案 C解析∵f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋0.3)x＋2，∴v0＝a6＝1, v1＝v0x＋a5＝1×(－2)－5＝－7.11．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6的值，当x＝3时，v3的值为() A．－486 B．－351C．－115 D．－339答案 C解析f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6＝(((－6x＋5)x＋0)x＋2)x＋6，∴v0＝a4＝－6，v1＝v0x＋a3＝－6×3＋5＝－13，v2＝v1x＋a2＝－13×3＋0＝－39，v3＝v2x＋a1＝－39×3＋2＝－115.12．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为4,3，则输出v的值为()A．20 B．61C．183 D．5484答案 C解析由程序框图知，初始值：n＝4，x＝3，v＝1，i＝3，第一次循环：v＝6，i＝2；第二次循环：v＝20，i＝1；第三次循环：v＝61，i＝0；第四次循环：v＝183，i＝1.结束循环，输出当前v的值183.13．原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天？()A．1 326 B．510 C．429 D．336答案 B解析由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.14．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋1，乘法运算次数为____________．加法运算次数为________．答案5 5解析∵f(x)＝((((5x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋1，∴乘法要运算5次，加法要运算5次15．若f(x)＝x4＋3x3＋x＋1，用秦九韶算法计算f(π)时，需要乘法m次，加法n次，则m＋n ＝________.答案 6解析f(x)＝x4＋3x3＋x＋1＝(((x＋3)x)x＋1)x＋1，用秦九韶算法计算f(π)时，乘法运算与加法运算的次数和等于6.16．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，56其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋d a ＋c是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.141 59…，若令3110<π<4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110<π<165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为________．答案 22717．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 222…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x .这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝________. 答案 1＋52解析 由题意，可令1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52. 18．用辗转相除法求840与1 764的最大公约数．答案 1 764＝840×2＋84,840＝84×10＋0，∴840与1 764的最大公约数是84.19．用更相减损术求440 与556的最大公约数．答案 556－440＝116,440－116＝324,324－116＝208，208－116＝92,116－92＝24,92－24＝68，68－24＝44,44－24＝20,24－20＝4,20－4＝16，16－4＝12,12－4＝8,8－4＝4，∴440与556的最大公约数4.20．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 当x ＝3时的值． 答案 f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)xv 0＝7，v 1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2 369，v6＝2 369×3＋1＝7 108，v7＝7 108×3＋0＝21 324，∴f(3)＝21 324，即当x＝3时，函数值是21 324.21．(1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数；(2)用秦九韶算法计算函数f(x)＝2x4＋3x3＋5x－4在x＝2时的函数值．答案(1)1 785＝840×2＋105,840＝105×8＋0，∴840与1 785的最大公约数是105.(2)秦九韶算法如下：f(x)＝2x4＋3x3＋5x－4＝x(2x3＋3x2＋5)－4＝x[x(2x2＋3x)＋5]－4＝x{x[x(2x＋3)]＋5}－4，故当x＝2时，f(x)＝2×{2×[2×(2×2＋3)]＋5}－4＝62.22．(1)用辗转相除法求779与247的最大公约数；(2)利用秦九韶算法求多项式f(x)＝2x5＋4x4－2x3＋8x2＋7x＋4当x＝3时的值．答案(1)779＝247×3＋38，247＝38×6＋19，38＝19×2.故779与247的最大公约数是19；(2)把多项式改成如下形式：f(x)＝2x5＋4x4－2x3＋8x2＋7x＋4＝((((2x＋4)x－2)x＋8)x＋7)x＋4.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值：v0＝2，v1＝v0x＋4＝2×3＋4＝10，v2＝v1x－2＝10×3－2＝28，v3＝v2x＋8＝28×3＋8＝92，v4＝v3x＋7＝92×3＋7＝283，v5＝v4x＋4＝283×3＋4＝853.所以当x＝3时，多项式f(x)的值是853.23．(1)用辗转相除法求228与1 995的最大公约数；(2)用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x5＋2x3－8x＋5在x＝2时的值．答案(1)1 995＝228×8＋171，228＝171×1＋57，7171＝57×3，因此57是1 995与228的最大公约数．(2)f(x)＝3x5＋2x3－8x＋5＝((((3x＋0)x＋2)x＋0)x－8)x＋5当x＝2时，v0＝3，v1＝3×2＝6，v2＝6×2＋2＝14，v3＝14×2＝28，v4＝28×2－8＝48，v5＝48×2＋5＝101，所以当x＝2时，多项式的值是101.24．(1)用“更相减损术”求72和168的最大公约数；(2)用“辗转相除法”求98和280的最大公约数．答案(1)∵168－72＝96，96－72＝24，72－24＝48，48－24＝24，故72和168的最大公约数是24.(2)∵280＝2×98＋84，98＝1×84＋14，84＝6×14，故98和280的最大公约数是14.25．用秦九韶算法求函数f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1当x＝3时的函数值．答案f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，当x＝3时，v0＝1，v1＝v0×3＋0＝3；v2＝v1×3＋1＝10;v3＝v2×3＋1＝31;v4＝v3×3＋1＝94;v5＝v4×3＋1＝283，即x＝3时的函数值为283.89二、数列问题1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )A.54钱 B.43钱 C.32钱 D.53钱 答案 B解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则由题意可知，a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1，则a －2d ＝a －2×(－a 6)＝43a ＝43. 2．南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”( )A.439B.778C.776D.58110答案 B解析 设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤， 则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 8＋a 9＋a 10＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋24d ＝4，解得d ＝778， ∴每一等人比下一等人多得778斤金． 3．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多织的布约有( )A ．0.55尺B ．0.53尺C ．0.52尺D ．0.5尺 答案 A解析 设每天多织d 尺，由题意a 1＝5，{a n }是等差数列，公差为d ，∴S 30＝30×5＋30×292d ＝390， 解得d ≈0.55.4．《张丘建算经》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日，第五日，第八日所织之和为十五尺，问第九日所织尺数为( )A ．7B ．9C ．11D ．13 答案 D解析 设第一天织a 1尺，从第二天起每天比第一天多织d 尺，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋7×62d ＝21，a 1＋d ＋a 1＋4d ＋a 1＋7d ＝15，解得a 1＝－3，d ＝2，∴第九日所织尺数为a 9＝a 1＋8d ＝－3＋8×2＝13.5．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？” 意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为( )A.23B.815C.2031D.35答案 C解析 由题意可得：每天织布的量组成了等比数列{a n }，S 5＝5，公比q ＝2 ，a 1(1－25)1－2＝5， 计算可得a 1＝531，所以a 3＝531×22＝2031. 6．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的( )A ．33%B ．49%C ．62%D ．88% 答案 B解析 由题意可得：每日的织布量形成等差数列{a n }，且a 1＝5，a 30＝1，设公差为d ，则1＝5＋29d ，解得d ＝－429. ∴S 10＝5×10＋10×92×(－429)＝1 27029. S 30＝30×(5＋1)2＝90. ∴该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的1 27029×190≈0.49＝49%. 7．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )A ．30尺B ．90尺C ．150尺D ．180尺 答案 B解析 由题意可得，每日的织布量形成等差数列{a n }，且a 1＝5，a 30＝1，所以S 30＝30×(5＋1)2＝90. 8．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )A ．9日B ．8日C ．16日D ．12日答案 A解析 由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝103，d ＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n }，其中b 1＝97，d ＝－0.5；设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m＝103m ＋m (m －1)×132＋97m ＋m (m －1)×(－0.5)2＝2×1 125，解得m ＝9(负值舍去)．9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( )A.176升B.72升C.11366升 D.10933升 答案 A解析 自上而下依次设各节容积为a 1，a 2，…a 9， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2(a 2＋a 3)＝33a 8＝4，得⎩⎨⎧ a 2＋a 3＝32，a 8＝43，所以a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176(升)． 10．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．24里B ．48里C ．96里D ．192里答案 C解析 由题意可知此人每天走的步数构成以12为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得a 1[1－(12)6]1－12＝378，解得a 1＝192， ∴第二天此人走了192×12＝96里． 11．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里 答案 C解析 记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比q ＝12的等比数列， 由S 6＝378，得S 6＝a 1(1－126)1－12＝378，解得a 1＝192，∴a 6＝192×125＝6. 12．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为( )A ．6斤B ．9斤C ．10斤D ．12斤答案 B解析 此问题构成一个等差数列{a n }，设首项为2，则a 5＝4，∴中间3尺的重量为3a 3＝a 1＋a 52×3＝2＋42×3＝9(斤)， 故选B.13．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A ．6斤B ．9斤C ．9.5斤D ．12 斤 答案 A解析 依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a 1＝4，则a 5＝2，由等差数列性质得a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．14．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A解析 由题意设塔顶有a 盏灯，由题意由上往下数第n 层就有2n －1·a 盏灯，∴共有(1＋2＋4＋8＋16＋32＋64)a ＝381盏灯，即1×(1－27)1－2a ＝381. 解得a ＝3.15．我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢．( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n 天打洞之和为1－2n 1－2＝2n －1， 同理，小老鼠前n 天打洞之和为1－(12)n 1－12＝2－12n －1， ∴2n －1＋2－12n －1＝10，解得n ∈(3,4)，取n ＝4. 即两鼠在第4天相逢．16．如图是谢宾斯基(Sierpinsiki)三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，则{a n }的通项公式可以是( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝2n －1C ．a n ＝3nD ．a n ＝2n －1 答案 A解析 着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝3×3＝32，a 4＝32×3，因此{a n }的通项公式可以是a n ＝3n －1.17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案 6766 解析 设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧ a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766. 18．华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片，同学们猜测它是一种乘法表的记录，请你根据这个猜测，判定表示________？(如图)答案 395解析 图片中记录的是自然数乘以9的运算结果，左列是被乘数，右列是该数乘以9的积数，经过分析可知：其中▽代表1，⊲代表10，代表60.所以表示60×6＋10×3＋5×1＝395.19．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)，如图 A.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图B.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，其中n 是行数，r ∈N . 请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1…C 0n C 1n … C r n … C n-1n C n n图A12 12 13 16 13 14 112 112 1415 120 130 120 1516 130 160 160 130 161C 1n +1C 0n 1C 1n +1C 1n …1C 1n +1C r n …1C 1n +1C n -1n 1C 1n +1C n n 图B答案 1C 1n +1C r n ＝1C 1n +2C r n +1＋1C 1n +2C r +1n +1 解析 类比观察得，莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C 1n +1，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C r n ＋C r +1n ＝C r +1n +1，有1C 1n +1C r n ＝1C 1n +2C r n +1＋1C 1n +2C r +1n +1. 20．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数，将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项；(2)b 2k -1＝________.(用k 表示)答案 (1)5 030 (2)5k (5k －1)2解析 由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *， 故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k (5k ＋1)2(k ∈N *)， b 2k -1＝a 5k -1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项．21．请认真阅读下列材料：“杨辉三角” (1261年)是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如图1)．在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1，分母为正整数的分数)，称为莱布尼兹三角形(如图2)11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1… …图11112 1213 16 1314 112 112 1415 120 130 120 15… …图2请回答下列问题：(1)记S n 为图1中第n 行各个数字之和，求S 4，S 7，并归纳出S n ；(2)根据图2前5行的规律依次写出第6行的数．答案 (1)S 4＝8＝23；S 7＝64＝26；Sn ＝2n －1.(2)图中每个数字都是其两脚的数字和，故第6行为16 130 160 160 130 16. 三、空间几何体1．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是( )寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．∵积水深9寸，∴水面半径为12(14＋6)＝10寸， 则盆中水的体积为13π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)． ∴平地降雨量等于588ππ×142＝3(寸)． 故选C.2．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)．则由此可推得圆周率π的取值为(注：1丈＝10尺)( )A ．3B ．3.14C ．3.2D ．3.3答案 A解析 由题意，圆柱体底面的圆周长48尺，高11尺，∵圆堡瑽(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)， ∴V ＝112×(482×11)＝2 112，设底面圆的半径为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2πR ＝48，πR 2×11＝2 112， ∴π＝3.3．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底圆周长约为( )A ．1丈3尺B ．5丈4尺C ．9丈2尺D ．48丈6尺 答案 B解析 设圆柱形谷仓底面半径为r 尺，由题意得，谷仓高h ＝403尺． 于是谷仓的体积V ＝πr 2·h ≈2 000×1.62，解得r ≈9.∴圆柱底圆周长约为2πr ≈54尺＝5丈4尺．4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113 答案 B解析 由题意知275L 2h ≈13πr 2h ⇒275L 2≈13πr 2，而L ＝2πr ，代入得π≈258. 5．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除，现有一个羡除如图所示，面ABCD 、面ABFE 、面CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10，EF 到面ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是( )A ．110B ．116C ．118D ．120答案 D解析 过A 作AP ⊥CD ，AM ⊥EF ，过B 作BQ ⊥CD ，BN ⊥EF ，垂足分别为P ，M ，Q ，N ，将一侧的几何体放到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3＝15.棱柱的高为8，∴V ＝15×8＝120. 故选D.6．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4π.后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即18V 牟＝r 3－V 方盖差，r 为球的半径，也即正方形的棱长均为2r ，从而计算出V 球＝43πr 3.记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正，棱长为2r 的正方形的方盖差为V 方盖差，则V 方盖差V 正等于( )A.12B.22C. 2D. 3答案 C解析 由题意，V 方盖差＝r 3－18V 牟＝r 3－18×4π×43×π×r 3＝13r 3，所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为 V 正＝13×r ×r ×r 2－(22r )2＝26r 3， ∴V 方盖差V 正＝13r 326r 3＝ 2.7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )A ．a ，bB ．a ，cC ．c ，bD ．b ，d答案 A解析 由直观图可知，其正视图与侧视图完全相同，则其只能是圆，这时其俯视图就是正方形加对角线(实线)． 故选A.8．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4∶π，即V 牟：V 球＝4∶π.也导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即18V 牟＝r 3－V 方盖差，从而计算出V 球＝43πr 3.记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正，则( ) A ．V 方盖差＞V 正B ．V 方盖差＝V 正C ．V 方盖差＜V 正D ．以上三种情况都有可能 答案 A解析 由题意，V 方盖差＝r 3－18V 牟＝r 3－18×4π×43πr 3＝13r 3，所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正＝13×r ×r ×r 2－(22r )2＝26r 3， ∴V 方盖差＞V 正．9．我国古代数学名著《数学九章》 中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈等于10尺)( ) A ．29尺 B ．24尺 C ．26尺 D ．30尺答案 C解析 由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长242＋102＝26(尺)．10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( )A ．14斛B ．28斛C ．36斛D ．66斛答案 B解析 设圆锥的底面半径为r ，则π2r ＝9，解得r ＝18π，故米堆的体积为14×13×π×(18π)2×5≈45，∵1斛米的体积约为1.62立方， ∴堆放的米有45÷1.62≈28斛．11．《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( ) (注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸答案 D 解析 如图，AB ＝10(寸)，则AD ＝5(寸)，CD ＝1(寸)， 设圆O 的半径为x (寸)，则OD ＝(x －1)(寸)， 在Rt △ADO 中，由勾股定理可得52＋(x －1)2＝x 2， 解得x ＝13(寸)．∴sin ∠AOD ＝AD AO ＝513，即∠AOD ≈22.5°，则∠AOB ＝45°.则弓形ACB 的面积S ＝12×π4×132－12×10×12≈6.33(平方寸)．则该木材镶嵌在墙中的体积约为V ＝6.33×100 ＝633(立方寸)． 故选D.12．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组， 经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)答案 41π解析 由题意，该球形容器的半径的最小值为1236＋4＋1＝412， ∴该球形容器的表面积的最小值为4π·414＝41π.13．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．(1)如果该沙漏每秒钟漏下0.02 cm 3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到1秒)? (2)细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度(精确到0.1cm)．答案 (1)开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为 H ＝23×8＝163，底面半径为r ＝23×4＝83，V ＝13πr 2H ＝13π×(83)2×163＝39.71，V ÷0.02＝1 986(秒)．所以沙全部漏入下部约需1 986秒．(2)细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4， 设高为H ′，V ＝13π×42×H ′＝1 02481π，H ′＝6427≈2.4.锥形沙堆的高度约为2.4 cm.14．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE .(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由．。
中国古代数学文明史
中国古代数学文明史咱今儿个就来唠唠“中国古代数学文明史”这个话题。
说起古代的数学，那可真是有意思的很啊。
咱中国人，自古以来就对数字和计算有着特殊的感情，就跟现在的人们对手机依赖似的。
你想想，古时候的人们没电脑没计算器，数学全靠脑子和手上的算盘。
算盘这玩意儿，简直就是古代的计算机，啪啪啪一拨拉，数字就出来了。
记得我小时候，爷爷还教我用算盘呢，那时候我还以为算盘是玩具，玩得那叫一个起劲儿。
说起中国古代的数学大神，那可真是不少。
先说说咱大名鼎鼎的《周髀算经》吧。
这本书里头记载了中国最早的天文学和数学知识。
里面有个故事讲的是周公和商高讨论天文，商高说：“天象盖笠，地法覆盘”，这不就是告诉我们，天圆地方嘛？这比喻用得，那叫一个形象。
再来说说《九章算术》，这可是中国古代数学的集大成者。
里面有九章，每章都是一个数学领域的精华。
记得我上学的时候，老师讲到这本书，说里面的方法现在还在用呢。
像“盈不足术”，就是现在我们说的方程组解法。
想想那时候的人们，脑子得有多灵活，才能想出这些方法来？咱再聊聊刘徽，这位大神可是中国数学史上的里程碑人物。
他给《九章算术》写了注解，还发明了割圆术。
割圆术是什么？就是用无数个小三角形去逼近圆的周长，最后算出圆的面积。
这方法，简直就像是用无数个小石头堆成一座大山一样，精细得不得了。
刘徽的学生祖冲之，那更是厉害了。
他不仅继承了刘徽的衣钵，还把圆周率精确到了小数点后七位。
想想那时候的人们，连计算器都没有，就能把圆周率算得那么准，简直是神一般的存在。
祖冲之算圆周率的时候，那心思得细腻得像绣花针一样。
还有个有趣的家伙叫秦九韶，他写了《数书九章》，里面有个“秦九韶算法”，就是现在的高次方程求解法。
想想那时候的人们，遇到复杂的方程，就像是面对一座大山一样，秦九韶这家伙，愣是用他的方法把这座山给搬平了。
当然了，咱也不能忘了那些民间的高手。
像珠算，古代的算盘高手们，那可真是神乎其技。
记得我小时候看过一个老艺人表演珠算，啪啪啪一拨拉，数字就出来了，简直比现在的小孩儿打游戏还快。
立体几何中的数学文化
立体几何中的数学文化例1.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是() (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式V=13(S上+上下+S下)·h)A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸例2.足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法处将形成的，即用如图1所示的正二十面体，从每个顶点的棱边的13其顶角截去，截去20个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构.已知正二十面体是由20个边长为3的正三角形围成的封闭几何体，则如图2所示的几何体中所有棱边数为__________.例3.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．例4.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型，如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6AB BC cm ==，14AA cm =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g ．例5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．227B．258C．15750D．355113例6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛．问该粮仓的高是多少？已知1斛粟的体积为2.7立方尺，1丈为10尺，则该粮仓的外接球的表面积是（）A．1214π平方丈B．1274π平方丈B．C．1334π平方丈D．1394π平方丈例7.如图是古希腊数学家阿基米德用平衡法求球的体积所用的图形．此图由正方形ABCD 、半径为r 的圆及等腰直角三角形构成，其中圆内切于正方形，等腰三角形的直角顶点与AD 的中点N 重合，斜边在直线BC 上．已知S 为BC 的中点，现将该图形绕直线NS 旋转一周，则阴影部分旋转后形成的几何体积为（）A．323r πB．3r πC．32r πD．3103r π例8.古希腊数学家阿基米德构造了一个“圆柱容器”的几何体：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上，下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（）A．23B．43C．23或32D．32例9.在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除，现有一个羡除如图所示，面ABCD 、面ABFE 、面CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10，EF 到面ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是（）A．110B．116C．118D．120例10.刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4π.后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即18V 牟＝r 3－V 方盖差，r 为球的半径，也即正方形的棱长均为2r ，从而计算出V 球＝43πr 3.记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正，棱长为2r 的正方形的方盖差为V 方盖差，则V 方盖差V 正等于（）A.12B.22C.2D.3例11.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图为一个“堑堵”，即三棱柱ABC A 1B 1C 1，其中AC⊥BC，已知该“堑堵”的高为6，体积为48，则该“堑堵”的外接球体积的最小值为______．例12.长方､堑堵､阳马､鳖臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术·商功》，其中阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊椎体的称呼.取一长方，如图长方体1111ABCD A B C D -，按平面11ABC D 斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中与矩形为底另有一棱与底面垂直的三棱锥1D ABCD -称为阳马，余下的三棱锥11D BCC -是由四个直角三角形组成的四面体称为鳖臑，已知长方体1111ABCD A B C D -中2AB =，3BC =，14AA =，按以上操作得到阳马，则阳马的最长棱长为（）A．B．5D．例10.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A BCD 中，AB⊥平面BCD，且有BD⊥CD，AB＝BD＝2，CD＝1，点P 是AC 上的一个动点，则三角形PBD 的面积的最小值为________．例13《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“塹堵”111ABC A B C -，其中1,1AC BC AA AC ⊥==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积为13时，则“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为_____.例14.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，12AB AA ==，22BC =1CA 与平面11ABB A 所成角的大小为（）A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒例15.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)例16.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．(1)如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm 3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到1秒)?(2)细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度(精确到0.1cm)．例17.(2015全国Ⅰ,理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A .14斛B .22斛C .36斛D .66斛例18.将一块正方形纸片先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个体积为3的四棱锥模型，该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心.将该四棱锥如图2放置，若其正视图为正三角形，则正方形纸片的边长为______.例19.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为()A．392B．752C．39D．6018例20.《九章算术》中，将如图所示的几何体称为刍甍，底面ABCD 为矩形，且EF ∥底面ABCD ，EF 到平面ABCD 的距离为h ，BC ＝a ，AB＝b ，EF ＝c ，则V B －CDEF V E －ABD ＝2时，b c ＝()A．1B．32C．23D．12例21.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则函数y ＝f (x )的图象大致是()例22.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱所在平面切开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵ABC A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝5，AB ＝3，BC ＝4，则阳马C 1ABB 1A 1的外接球的表面积是()A．25πB．50πC．100πD．200π。