第五章 异 方 差

二、异方差性的后果
计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采 用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1、参数估计量非有效 OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性 因为在有效性证明中利用了 E(’)=2I 而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有 一致性，但仍然不具有渐近有效性。
虽然最小二乘法参数的估计量是无偏的，但 这些参数方差的估计量是有偏的。 正的偏差即OLS高估了参数估计值的真实 方差 负的偏差即OLS低估了参数估计值的真实 方差。
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，在EVIEWS软件中，可直接给出权重
1
由软件自行进行模型转换，完成加权最小 二乘法（WLS）的线性回归方程。
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procs Makபைடு நூலகம்Equation options
在Weighted LS/TSLS 上打钩 在Weight 内输入1/SQR(sale) 得到F6
E(u ) k X
2 i 2 i 2
2 i
K为常数比例因子。
Yi Xi ui 1 0 ( ) 1 ( ) ( ) Xi Xi Xi Xi
例F6 见Eviews F5 （1）平方根变换将OLS回归的残差描图， 我们可以发现误差方差正比于销售量， 因此可对模型作平方根变换后再进行回 归，即采用加权最小二乘法，权为
异方差的图示 散点图
三、实际经济问题中的异方差性
例1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+i Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入 高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 i的方差呈现单调递增型变化
例2，以绝对收入假设为理论假设、以截面数据 为样本建立居民消费函数： Ci=0+1Yi+I 将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样 本观测值。 一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入 组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平均 数的误差小，人数少的组平均数的误差大。 所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值 的不同而不同，往往引起异方差性。
2、变量的显著性检验失去意义
变量的显著性检验中，构造了t统计量
其他检验也是如此。
3、模型的预测失效
一方面，由于上述后果，使得模型不具有 良好的统计性质；
所以，当模型出现异方差性时，参数OLS 估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测 误差变大，降低预测精度，预测功能失效。
§5.3 异方差性的检验
3、怀特（White）检验
怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差
怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）： Yi 0 1 X 1i 2 X 2i i
然后做如下辅助回归
~2 X X X 2 X 2 X X e i 0 1 1i 2 2i 3 1i 4 2i 5 1i 2i i
④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的 统计量
nc 2 ~ e2i ( 2 k 1) nc nc F ~ F( k 1, k 1) nc 2 2 2 ~ e ( k 1 ) 1i 2
⑤给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)， 若F> F(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设，表明 存在异方差。 当然，还可根据两个残差平方和对应的子样 的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差。
i E(ui ) ki X i
2 k 其中， i 为常数，称为比例因子
将模型的两边同除以扰动项的标准差 k X i
Yi Xi ui 1 0 1 Xi Xi Xi Xi
情形2：假设误差的方差与X2成比例 若原回归模型的残差图类似于图5-5的 模式，则可表明误差的方差并不是与X线 性相关，而是随X的平方按比例增加
几种异方差的检验方法： 1、图示法
（1）用X-Y的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型 趋势（即不在一个固定的带型域中）
2 ~ e (2)X- i 的散点图进行判断
看是否形成一斜率为零的直线
~2 e i ~2 e i
X 同方差 递增异方差
X
~2 e i
~2 e i
X 递减异方差 复杂型异方差
异方差问题多存在于截面数据中 例如同一时间点上不同消费者或是其家 庭成员、公司、行业，或者区域上分区、 县、州或城市等等。 这些单位具有不同的规模，如小公司， 中等公司或者大公司，或是低收入、中等 收入或高收入。换言之，可能存在规模效 应（scale effect）。
二、异方差的类型
同方差性假定：i2 = 常数 f(Xi) 异方差时： i2 = f(Xi) 异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
（5-16）
变换后的扰动项是同方差的，变换 后的模型不存在异方差的问题 这种回归分析方法称为加权最小二乘 法（WLS） 这种方法估计出来的参数称为加权最 小二乘估计量 其中解释变量和被解释变量都以其标 准差的倒数为权数
二、扰动项的方差σ2i未知 情形1：扰动项的方差与X成比例：平方根 变换。 若普通OLS回归所得的残差ei对解释变 量 X ，作图得到的残差图类似于图 5-4 所 示，则表明扰动项的方差与解释变量线 性相关，或者扰动项的方差与成比例， 即有： 2 2 2
§5.1 异方差的性质
一、异方差的涵义 为了看清楚同方差性和异方差性的区别， 我们先看个实例： (5-1) Y X u
0 1
Y为储蓄，X为个人可支配收入，u为扰动项，β0， β1为参数 我们考察一下这个模型的两种情况 一种情况如图5-1（a）所示 另外一种情形如图5－1（b）所示
G-Q检验的思想：
先将样本一分为二，对子样①和子样②分别 作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构 造统计量进行异方差检验。
由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增 的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方 差）、或小于1（递减方差）。
G-Q检验的步骤：
①将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小 排队 ②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩 下的观察值划分为较小与较大的相同的两个 子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2 ③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自 的残差平方和
例3，以某一行业的企业为样本建立企业生产函数 模型 Yi=Ai1 Ki2 Li3ei
被解释变量：产出量Y 解释变量：资本K、劳动L、技术A， 那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被 包含在随机误差项中。 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不 同，造成了随机误差项的异方差性。 这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量 观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
E(u )
2 i
2 i
E(u )
2 i
2
异方差的概念
对于模型
Yi 0 1 X ii 2 X 2i k X ki i
如果出现
Var(i ) i2
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性 (Heteroskedasticity)。
检验思路： 由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值， 随机误差项具有不同的方差。那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项的方 差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的 “形式”。 在涉及不均匀单元的横截面数据中，异方 差性可能是一种常规而不是例外 横截面分析中，如果样本同时含有小、中 和大型厂家，则一般都预期有异方差性。
2、测量误差 一方面，测量误差常常随着时间逐渐 累积，所以扰动项的方差，趋向于随时 间增加； 另一方面，抽样技术和其他数据采集 技术的不断改进，测量误差以及扰动项 的方差也可能随时间减少 当然，这两种情况最容易出现在时 间序列数据中，故由于测量误差的影响， 时间序列数据的随机扰动项常常是不同 方差的。
问题在于用什么来表示随机误差项的方差 一般的处理方法：
首先采用 OLS 法估计模型，以求得随机误差项的 估计量 （注意， 该估计量是不严格的） ， 我们称之为 “近
~ e 似估计量” ，用 i
表示。于是有
~2 Var ( i ) E ( i2 ) e i
~ y (y i ) 0ls e i i
有时经济生活中，被略去的变量又与 Xi具有某种关联，故ui就往往随着Xi的变 化而变化，从而ui的方差是Xi的函数，而 不是一个常数 方程(5－1)中，ui项就包含了除可支 配收入以外的其他因素对储蓄的影响， 但这些因素往往又与收入密切相关。因 此，在储蓄行为中，收入高的家庭其储 蓄的变动性要比收入低的家庭大得多，ui 项的方差是与Xi相关的。
Yi 0 1 X i ui
i
Yi 0 ( 1
（5-12） （5-13）
i
) 1 (
i
Xi
)
i
ui
vi2

ui2
2 i
（5-15）
i
ui2 ) 2 1
E (vi ) E (

2 i
E (ui2 )
（5-16）
E (vi )
1
i
2 i 1 2
如： 帕克检验常用的函数形式：
i f ( X ji ) 2 X e ji
或
~ 2 ) ln 2 ln X ln(e i ji i
若在统计上是显著的，表明存在异方差性。
3、戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验 G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、 异方差递增或递减的情况。
§5.4 异方差性的补救措施 基本思想是将原模型加以“变换”， 使得“变换”后的模型具有同方差性， 但是变换的形式取决于每个扰动项方差 的真实值 σ2i 是已知还是未知，所以补救 的方法也就分为两种：当扰动项方差 σ2i 为已知和扰动项方差σ2i为未知