第五章 异 方 差

（5-16）
变换后的扰动项是同方差的，变换 后的模型不存在异方差的问题 这种回归分析方法称为加权最小二乘 法（WLS） 这种方法估计出来的参数称为加权最 小二乘估计量 其中解释变量和被解释变量都以其标 准差的倒数为权数
二、扰动项的方差σ2i未知 情形1：扰动项的方差与X成比例：平方根 变换。 若普通OLS回归所得的残差ei对解释变 量 X ，作图得到的残差图类似于图 5-4 所 示，则表明扰动项的方差与解释变量线 性相关，或者扰动项的方差与成比例， 即有： 2 2 2
X
2、帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验
基本思想: 偿试建立方程： 2 ~ ~ | f ( X ) ei f ( X ji ) i 或 | e i ji i 选择关于变量X的不同的函数形式，对方程进 行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函 数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存 在异方差性。
有时经济生活中，被略去的变量又与 Xi具有某种关联，故ui就往往随着Xi的变 化而变化，从而ui的方差是Xi的函数，而 不是一个常数 方程(5－1)中，ui项就包含了除可支 配收入以外的其他因素对储蓄的影响， 但这些因素往往又与收入密切相关。因 此，在储蓄行为中，收入高的家庭其储 蓄的变动性要比收入低的家庭大得多，ui 项的方差是与Xi相关的。
2、测量误差 一方面，测量误差常常随着时间逐渐 累积，所以扰动项的方差，趋向于随时 间增加； 另一方面，抽样技术和其他数据采集 技术的不断改进，测量误差以及扰动项 的方差也可能随时间减少 当然，这两种情况最容易出现在时 间序列数据中，故由于测量误差的影响， 时间序列数据的随机扰动项常常是不同 方差的。
如： 帕克检验常用的函数形式：
i f ( X ji ) 2 X e ji
或
~ 2 ) ln 2 ln X ln(e i ji i
若在统计上是显著的，表明存在异方差性。
3、戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验 G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、 异方差递增或递减的情况。
几种异方差的检验方法： 1、图示法
（1）用X-Y的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型 趋势（即不在一个固定的带型域中）
2 ~ e (2)X- i 的散点图进行判断
看是否形成一斜率为零的直线
~2 e i ~2 e i
X 同方差 递增异方差
X
~2 e i
~2 e i
X 递减异方差 复杂型异方差
2、变量的显著性检验失去意义
变量的显著性检验中，构造了t统计量
其他检验也是如此。
3、模型的预测失效
一方面，由于上述后果，使得模型不具有 良好的统计性质；
所以，当模型出现异方差性时，参数OLS 估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测 误差变大，降低预测精度，预测功能失效。
§5.3 异方差性的检验
第五章 异 方 差
古典线性模型强调同方差假定，但在实际操 作中我们无法保证这一假设总能够满足。因此， 本章主要讨论当同方差假定不满足时会发生 什么情况。特别地，我们探求下列问题的答案： (1) 异方差的性质是什么？ (2) 异方差的后果是什么？ (3) 如何检验异方差的存在？ (4) 如果存在异方差，有哪些补救措施？
④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的 统计量
nc 2 ~ e2i ( 2 k 1) nc nc F ~ F( k 1, k 1) nc 2 2 2 ~ e ( k 1 ) 1i 2
⑤给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)， 若F> F(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设，表明 存在异方差。 当然，还可根据两个残差平方和对应的子样 的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差。
G-Q检验的思想：
先将样本一分为二，对子样①和子样②分别 作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构 造统计量进行异方差检验。
由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增 的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方 差）、或小于1（递减方差）。
G-Q检验的步骤：
①将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小 排队 ②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩 下的观察值划分为较小与较大的相同的两个 子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2 ③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自 的残差平方和
问题在于用什么来表示随机误差项的方差 一般的处理方法：
首先采用 OLS 法估计模型，以求得随机误差项的 估计量 （注意， 该估计量是不严格的） ， 我们称之为 “近
~ e 似估计量” ，用 i
表示。于是有
~2 Var ( i ) E ( i2 ) e i
~ y (y i ) 0ls e i i
(*)
可以证明，在同方差假设下： R2为(*)的可决系数，h为(*)式解释变量的个数， 表示渐近服从某分布。
注意： 辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的 显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释 变量的更高次方。 如果存在异方差性，则表明确与解释变量的 某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有 较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。 当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中 可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有 时可去掉交叉项。
§5.1 异方差的性质
一、异方差的涵义 为了看清楚同方差性和异方差性的区别， 我们先看个实例： (5-1) Y X u
0 1
Y为储蓄，X为个人可支配收入，u为扰动项，β0， β1为参数 我们考察一下这个模型的两种情况 一种情况如图5-1（a）所示 另外一种情形如图5－1（b）所示
销售额
从图中可以很清楚地看到，残差的绝对值随 着销售额的增加而增加。
§5.2 异方差产生的原因及后果 一、异方差产生的原因 异方差产生的原因一般来自于两方面。 1、略去了某些解释变量 设回归模型为：
Yi 0 1 X1i ui
模型可能略去了解释变量X2,X3等 ui里即包含了X2,X3等略去变量对Y的影响
E(u )
2 i
2 i
E(u )
2 i
2
异方差的概念
对于模型
Yi 0 1 X ii 2 X 2i k X ki i
如果出现
Var(i ) i2
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性 (Heteroskedasticity)。
异方差的图示 散点图
三、实际经济问题中的异方差性
例1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+i Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入 高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 i的方差呈现单调递增型变化
例2，以绝对收入假设为理论假设、以截面数据 为样本建立居民消费函数： Ci=0+1Yi+I 将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样 本观测值。 一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入 组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平均 数的误差小，人数少的组平均数的误差大。 所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值 的不同而不同，往往引起异方差性。
例5 美国工业的研究与发展费用支出、销售和利润 考虑表 F1所给出的纯横截面数数据
假设我们想知道研究与发展支出与销售的相关关系。我们考虑 如下模型：
R & Di=β 1+β 2销售额i+ui
ˆ RD= 192.9114 + 0.0319X1
从图 可以看出：平均而 言， R & D支出费用随着销售 额的增加而增加。但是，随着
E(u ) k X
2 i 2 i 2
2 i
K为常数比例因子。
Yi Xi ui 1 0 ( ) 1 ( ) ( ) Xi Xi Xi Xi
例F6 见Eviews F5 （1）平方根变换将OLS回归的残差描图， 我们可以发现误差方差正比于销售量， 因此可对模型作平方根变换后再进行回 归，即采用加权最小二乘法，权为
3、怀特（White）检验
怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差
怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）： Yi 0 1 X 1i 2 X 2i i
然后做如下辅助回归
~2 X X X 2 X 2 X X e i 0 1 1i 2 2i 3 1i 4 2i 5 1i 2i i
§5.4 异方差性的补救措施 基本思想是将原模型加以“变换”， 使得“变换”后的模型具有同方差性， 但是变换的形式取决于每个扰动项方差 的真实值 σ2i 是已知还是未知，所以补救 的方法也就分为两种：当扰动项方差 σ2i 为已知和扰动项方差σ2i为未知
一、扰动项方差σ2i已知 以一元回归模型为例：
异方差问题多存在于截面数据中 例如同一时间点上不同消费者或是其家 庭成员、公司、行业，或者区域上分区、 县、州或城市等等。 这些单位具有不同的规模，如小公司， 中等公司或者大公司，或是低收入、中等 收入或高收入。换言之，可能存在规模效 应（scale effect）。
二、异方差的类型
同方差性假定：i2 = 常数 f(Xi) 异方差时： i2 = f(Xi) 异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
检验思路： 由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值， 随机误差项具有不同的方差。那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项的方 差与解释变量观测值之间ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相关性及其相关的 “形式”。 在涉及不均匀单元的横截面数据中，异方 差性可能是一种常规而不是例外 横截面分析中，如果样本同时含有小、中 和大型厂家，则一般都预期有异方差性。
Yi 0 1 X i ui
i
Yi 0 ( 1
（5-12） （5-13）
i
) 1 (
i
Xi
)
i
ui
vi2

ui2
2 i
（5-15）
i
ui2 ) 2 1
E (vi ) E (

2 i
E (ui2 )
（5-16）
E (vi )
1
i
2 i 1 2
二、异方差性的后果
计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采 用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1、参数估计量非有效 OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性 因为在有效性证明中利用了 E(’)=2I 而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有 一致性，但仍然不具有渐近有效性。
虽然最小二乘法参数的估计量是无偏的，但 这些参数方差的估计量是有偏的。 正的偏差即OLS高估了参数估计值的真实 方差 负的偏差即OLS低估了参数估计值的真实 方差。
例3，以某一行业的企业为样本建立企业生产函数 模型 Yi=Ai1 Ki2 Li3ei
被解释变量：产出量Y 解释变量：资本K、劳动L、技术A， 那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被 包含在随机误差项中。 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不 同，造成了随机误差项的异方差性。 这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量 观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
1 SALE
，在EVIEWS软件中，可直接给出权重
1
由软件自行进行模型转换，完成加权最小 二乘法（WLS）的线性回归方程。
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procs MakeEquation options
在Weighted LS/TSLS 上打钩 在Weight 内输入1/SQR(sale) 得到F6
i E(ui ) ki X i
2 k 其中， i 为常数，称为比例因子
将模型的两边同除以扰动项的标准差 k X i
Yi Xi ui 1 0 1 Xi Xi Xi Xi
情形2：假设误差的方差与X2成比例 若原回归模型的残差图类似于图5-5的 模式，则可表明误差的方差并不是与X线 性相关，而是随X的平方按比例增加