第五章 异方差性参考答案

第五章 异方差性课后题参考答案 5.1

（1）因为22()i i f X X =，所以取221i

i

W X =，用2i W 乘给定模型两端，得 31232222

1i i i

i i i i Y X u X X X X βββ=+++ 上述模型的随机误差项的方差为一固定常数，即

2

2221

()()i i i i

u Var Var u X X σ==

（2）根据加权最小二乘法，可得修正异方差后的参数估计式为

***12233ˆˆˆY X X βββ=-- ()()()()

()()()

***2***

*22232322

322*2*2**

2223223ˆi i i i i i i i i i i i i i i i i i

W y x W x W y x W x x W x W x W x x β-=

-∑∑∑∑∑∑∑

()()(

)()()(

)()***2

**

*

*232222

22

33

2

*2*2**

2223223ˆi

i i

i i i i i i i i i i i i i i i

W

y x W x W y x W x x W x W x W x x β-=

-∑∑

∑

∑∑∑∑

其中

2223

2***23222,

,

i

i

i i i i i

i

i

W X

W X

W Y X X Y W

W

W

=

=

=

∑∑∑∑∑∑

*****

*222333

i i i i i x X X x X X y Y Y

=-=-=- 5.2 （1）

22222

11111 ln()ln()ln(1)1 u ln()1

Y X Y X Y

u u X X X u ββββββββββ--==+≈=-∴=+ [ln()]0

()[ln()1][ln()]11

E u E E u E u μ=∴=+=+= 又

（2）

[ln()]ln ln 0 1 ()11

i i i

i

P P i i i i P P i i E P E μμμμμμμ===⇒====∑∏∏∑∏∏不能推导出

所以E 1μ（）=时，不一定有E 0μ（ln ）= (3)对方程进行差分得：

1)i i βμμ--i i-12i i-1lnY -lnY =(lnX -X )+(ln ln

则有：1)]0i i μμ--=E[(ln ln

5.3

（1）该模型样本回归估计式的书写形式为：

Y = 11.44213599 + 0.6267829962*X (3.629253) (0.019872)

t= 3.152752 31.54097

20.944911R = 20.943961R = S.E.=9.158900 DW=1.597946

F=994.8326

（2）首先，用Goldfeld-Quandt 法进行检验。 a.将样本X 按递增顺序排序，去掉中间1/4的样本，再分为两个部分的样本，即1222n n ==。

b.分别对两个部分的样本求最小二乘估计，得到两个部分的残差平方和，即

21624.3004e =∑ ,

2

22495.840e =∑

求F 统计量为

F= 2

2

21

e e ∑∑=2495.840624.3004=3.9978

给定0.05α=，查F 分布表，得临界值为0.05(20,20) 2.12F =。

c.比较临界值与F 统计量值，有F =4.1390>0.05(20,20) 2.12F =，说明该模型的随机误差项存在异方差。

其次，用White 法进行检验。具体结果见下表 White Heteroskedasticity Test: F-statistic 6.105557 Probability 0.003958 Obs*R-squared

10.58597 Probability

0.005027

给定0.05α=，在自由度为2下查卡方分布表，得2

5.9915χ=。

比较临界值与卡方统计量值，即22

10.8640 5.9915nR χ=>=，同样说明模型中的随机误差项存在异方差。

（2）用权数1/|e|W =，作加权最小二乘估计，得如下结果

Dependent Variable: Y

Method: Least Squares

Date: 05/28/07 Time: 00:20

Sample: 1 60

Included observations: 60

Variable Coefficie Std. Error t-Statistic Prob.

C 27.50000 6.09E-08 4.52E+08 0.0000

Weighted

Statistics

R-squared 1.000000 Mean dependent

var 70.0196

4

Adjusted R-squared 1.000000 S.D. dependent

var

379.890

9

S.E. of regression 8.44E-10 Akaike info

criterion -38.916

22

Sum squared resid 4.13E-17 Schwarz criterion -38.846

41

Log likelihood 1169.487 F-statistic 4.88E+1

7 Durbin-Watson 0.786091 Prob(F-statistic) 0.00000 Unweighted

R-squared 0.883132 Mean dependent

var 119.666

7

Adjusted R-squared 0.881117 S.D. dependent

var

38.6898

4

S.E. of regression 13.34005 Sum squared

resid 10321.5

Durbin-Watson 0.377804

F-statistic 2.357523 Probability 0.10382

2 Obs*R-squared 4.584017 Probability 0.10106 Test Equation: