高考数学一轮复习第十章选修系列选修4_4第二节参数方程课件文北师大版

(2020·广东揭阳二模)以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲 线 C 的极坐标方程为 ρ2cos 2θ＝a2(a∈R，a 为常数)，过点 P(2，1)，倾斜角为 30°的 直线 l 的参数方程满足 x＝2＋ 23t(t 为参数)． (1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程； (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点(点 P 在 A、B 之间)，且|PA|·|PB|＝2，求 a 和 ||PA|－|PB||的值．
∵0＜α＜π，∴α＝34π.
[破题技法] 参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略 (1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直 角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程． (2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 ρ 和 θ 的几 何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
点 B 是曲线 C3 与 C2 的交点，A，B 均异于原点 O，且|AB|＝4 2，求 α 的值．
[解析]
(1)由xy＝＝22s＋in2φcos
φ， (φ
为参数)消去参数
φ
可得
C1
的普通方程为(x－2)2＋y2
＝4.
∵ρ＝4sin θ，∴ρ2＝4ρsin θ，
由xy＝＝ρρscions
θ， 得曲线
[解析] (1)因为－1＜11－ ＋tt22≤1， 且 x2＋2y2＝11－ ＋tt222＋（1＋4t2t2）2＝1， 所以 C 的直角坐标方程为 x2＋y42＝1(x≠－1)， l 的直角坐标方程为 2x＋ 3y＋11＝0.
(2)由(1)可设 C 的参数方程为xy＝＝2cosisnαα，(α 为参数，－π＜α＜π)． C 上的点到 l 的距离为
考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用
[例]
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为xy＝＝22s＋in2φcos
φ， (φ
为参数)，以原
点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝4sin
θ.
(1)求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
(2)已知曲线 C3 的极坐标方程为 θ＝α(0＜α＜π，ρ∈R)，点 A 是曲线 C3 与 C1 的交点，
[破题技法] 将参数方程化为普通方程的方法 将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常 见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参 数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如 sin2θ＋cos2θ＝1 等)． 提醒：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解．
(2)求线段 MN 的中点 P 到直线 l 的距离的最小值．
解析：(1)∵直线 l 的参数方程为xy＝＝t6＋t，(t 为参数)，
∴消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 x－y－6＝0.
曲线 C 的极坐标方程化为 ρ2＋2ρ2sin2θ－12＝0，
∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋3y2－12＝0，即1x22＋y42＝1.
第十章 选修系列
选修4－4 坐标系与参数方程 第二节 参数方程
[基础梳理] 1．曲线的参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
x＝f（t），
__y＝__g_（_t_）__，_____并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点 M(x，y)都在 这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫作_参__变__数_____，简称_参__数__． 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程 F(x，y)＝0 叫_普__通__方程．
考点二 参数方程的应用 [例] (2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x＝11－＋tt22，(t
y＝1＋4tt2 为参数)．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐 标方程为 2ρcos θ＋ 3ρsin θ＋11＝0. (1)求 C 和 l 的直角坐标方程； (2)求 C 上的点到 l 距离的最小值．
[四基自测]
1．(基础点：直线与椭圆的参数方程)直线
y＝x
与曲线xy＝＝33scions
α， α (α
为参数)的交点
个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：C 2．(基础点：直线的参数方程)若直线的参数方程为xy＝＝21－＋3t，t (t 为参数)，则直线的
斜率为________．
答案：－3
3．(易错点：消参的等价性)曲线
C
的参数方程为xy＝＝csions
θ， 2θ－1(θ
为参数)，则曲线
C
的普通方程为________．
答案：y＝－2x2(－1≤x≤1)
4．(基础点：椭圆的参数方程)椭圆xy＝＝52scions
θ， θ (θ
为参数)的离心率为________．
答案：
21 5
考点一 参数方程与普通方程的互化
[例]
已知直线
∴曲线
C
的参数方程为xy＝＝22sin3cαos
α， (α
为参数)．
(2)设 N(2
3cos α，2sin α)(0≤α＜2π)，点 M 的极坐标4
2，π4化成直角坐标为(4，4)，
则 P( 3cos α＋2，sin α＋2)，
∴点 P 到直线 l 的距离 d＝|
Baidu Nhomakorabea
3cos α－sin α－6| 2
[解析] (1)由 ρ2cos 2θ＝a2 得 ρ2(cos2θ－sin2θ)＝a2， 又 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得 x2－y2＝a2， ∴曲线 C 的普通方程为 x2－y2＝a2.
∵过点(2，1)，倾斜角为
30°的直线
l
的普通方程为
y＝
33(x－2)＋1，由
x＝2＋
3 2t
得 y＝1＋12t，
如图，以过原点的直线的倾斜角 θ 为参数，求圆 x2＋y2－x＝0 的参数方程． 解析：圆的半径为12，
记圆心为 C12，0，连接 CP， 则∠PCx＝2θ，
故 xP＝12＋12cos 2θ＝cos2 θ， yP＝12sin 2θ＝sin θcos θ. 所以圆的参数方程为xy＝＝scions2θθco，s θ(θ 为参数)．
轨迹
普通方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0) (α≠π2， 点斜式)
圆
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
椭圆
xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
参数方程
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)
x＝a＋rcos y＝b＋rsin
θ， θ
(θ
为参数)
x＝acos φ， y＝bsin φ
(φ 为参数)
1．参数方程化普通方程 (1)常用技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等． (2)常用公式：cos2θ＋sin2θ＝1，1＋tan2θ＝co1s2θ.
2．直线参数方程的标准形式的应用 过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程是 xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα.，若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)|M1M2|＝|t1－t2|. (2)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2，中点 M 到定点 M0 的距离 |MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (3)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
＝2cosα＋2π6－6≥2 2，
当 cosα＋π6＝1 时，等号成立． ∴点 P 到 l 的距离的最小值为 2 2.
θ
C2
的直角坐标方程为
x2＋(y－2)2＝4.
(2)由(1)得曲线 C1 的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，其极坐标方程为 ρ＝4cos θ，
由题意设 A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，则|AB|＝|ρ1－ρ2|＝4|sin α－cos α|＝4 2sinα－π4＝4 2，
∴sinα－π4＝±1，∴α－π4＝π2＋kπ(k∈Z)．
|2cos α＋2
3sin 7
α＋11|＝4cosα－7π3＋11.
当 α＝－23π时，4cosα－π3＋11 取得最小值 7， 故 C 上的点到 l 距离的最小值为 7.
[破题技法] 1.应用直线参数方程的注意点 在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的 正、余弦值，否则参数不具备该几何含义． 2．圆和圆锥曲线参数方程的应用 有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用 它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程 互化的规律是解此类题的关键．
l
的参数方程为xy＝＝－a－4t2t，(t
为参数)，圆
C
的参数方程为xy＝＝44scions
θ， θ
(θ 为参数)．
(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程；
(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围．
[解析] (1)直线 l 的普通方程为 2x－y－2a＝0， 圆 C 的普通方程为 x2＋y2＝16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点， 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d＝|－25a|≤4， 解得－2 5≤a≤2 5. 即实数 a 的取值范围为[－2 5，2 5]．
2．参数方程和普通方程的互化 (1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果 x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数 的关系 y＝g(t)，则得曲线的参数方程xy＝＝gf（（tt）），.
3．直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程
∴直线 l 的参数方程为xy＝＝12＋＋2t23t，(t 为参数)．
(2)将xy＝＝12＋＋2t23t，代入 x2－y2＝a2，得 t2＋2(2 3－1)t＋2(3－a2)＝0①， 依题意知 Δ＝[2(2 3－1)]2－8(3－a2)＞0， 则方程①的根 t1、t2 就是交点 A、B 对应的参数，t1·t2＝2(3－a2)， 由参数 t 的几何意义知|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|，得|t1·t2|＝2， ∵点 P 在 A、B 之间，∴t1·t2＜0， ∴t1·t2＝－2，即 2(3－a2)＝－2， 解得 a2＝4(满足 Δ＞0)，∴a＝±2. ∵||PA|－|PB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|， 又 t1＋t2＝－2(2 3－1)， ∴||PA|－|PB||＝4 3－2.
(2020·湖南郴州二模)已知极坐标系中，点 M4
2，π4，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2＝
1＋21s2in2θ，点 N 在曲线 C 上运动，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的非负半轴，建
立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为xy＝＝t6＋t，(t 为参数)． (1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的参数方程；