第17讲5简并微扰理论零级近似波函数的确定和能级的一级修正
第17讲 第五章 微扰理论
§5.2 简并情况下的定态微扰论—简并微扰理论
零级近似波函数的确定和能级的一级修正
()()∑==k
1i i 0i 0n
C φψ (32-2) 代入()()()()()()()00101n n n n ??H E E H 'ψψ-=- (31-8b )
式就可以确定()0i C ，并求出()1n E 。即求出波函数的零级近似
()0n ψ和能量一级修正()1n E 。
具体计算如下：
把(32-2)式代入()()()()()()
()01100??n n n n H E E H ψψ'-=-（31-8b ）
得： ()()()()()()()∑∑=='-=-k i i i k i i i n n n H C C E ψE H
10101100??φφ （32-3） 以*i φ左乘上式两边并对整个空间积分，得：
()()()()()()()∑?∑??=='-=-k 1
i i *0i k 1i i *0i 1n 1n 0n 0*d H ?C d C E d E H ?τφφτφφτψφ
左边=()()(
)[]()0d E H ?1n *0n 0=-?τψφ (利用厄米算符的定义式)
定义 ?'='i i *H d H ? τφφ (微扰矩阵元) (32-5) 则 ()()
()0C E H k 1i 0i i 1n i =-'
∑= δ( =1，2，3，…，k ) (32-4) 上式是关于()0i C (i =1,2,3…,k )的齐次线性方程组，它有非零
解（()0i C 不全为0的解）的充要条件为(零解时()00n =ψ，无意
义)：
()()()0121212221112111=-''''-''''-')
E H (H H H )E H (H H H )E H (n kk k k k n k
n (32-7)
这是数学中关于方阵k k ]H [H ?'='ij 的特征方程，量子力学中称
为久期方程，由(32-7)式求出的特征根()1n E (k 个)就是能量
的一级修正。
因为=n E ()0n E () ++1n
E ，故若()1n E 的k 个值不相等，则一级修正可使n E 的k 度简并完全消除；若()1n E 中有若干个重
根，则一级修正只能使k 度简并部分消除，必须进一步考虑能量的二级修正，才有可能使简并完全消除。
把各个()1n E 代入(32-4)式，解出相应的H '的特征矢量()()()()()0k
03020
1
C C C C ，，。再代回(32-2)式就可得到每一个()(
)1n 0n n E E E +=所对应的零级近似波函数()0n ψ。
第五章微扰理论习题
第五章 微扰理论 第一部分：基本概念与基本思想题目 1. 定态微扰理论主要研究什么样的物理体系？ 2. 00//????? 在微扰理论中，中的和各应满足什么条件？H H H H H =+ 3. 讨论无简并微扰理论的适用条件，说明其表达式的物理意义。 4. 何为吸收和发射? 说明自发发射和受激发射? 为什么量子力学无法解释自发发射? 5. 讨论原子中的电子与光的相互作用时,为什么忽略电子和磁场间的相互作用? 6. 与定态微扰理论相比,含时微扰理论所要解决的问题有何不同? 7. 何为Stark 效应? 8. 试述变分法的基本思想及其所解决的问题? 9. 中心力场中电子跃迁选择定则是什么? 第二部分: 基本技能训练题 1. 设氢原子中价电子所受有效作用势为 222 2020 () 014s s s e e a e U r e r r λλπε=--=<≤其中 试用微扰理论求基态能量(准确到一级). 2. 00102030000123100()()**()()()()()?, : H , |||| ,设在表象中的矩阵表示为其中和试用微扰理论求能量本征方程的本征值准确到二级。 H H E a E b a b E E E E a b E ????=??????<<<<
3. 转动惯量为I 电偶极矩为D 的空间转子处于均匀电场ε中，若电场很小，用微扰法计算转子基态能量的二级修正。 4. 设体系未受微扰时只有二个能级E 10及E 20， 现在受到微扰H /作用, 微扰矩阵元为12211122////, ; a,b ,H H a H H b ====都是实数用微扰公式计算能量到二级修正. 5. 基态氢原子处于平行电场中,若电场是均匀的且随时间按指数下降,即 0t -0 t 0e t 0 ( 0 ) τεετ?当当的参数 求经过长时间后氢原子处于2p 态的几率。 6. 粒子处于宽为a 的一维无限深势阱中，若微扰为 /a 0x 2()a x a 2 b H x b ?-≤≤??=??<≤??求粒子能量的一级修正。 7. 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 8. 用狄拉克符号求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 9. 对于处于宽度为a 的一维无限深势阱中的粒子（质量为m 0），受到微扰 V(x)＝V 0cos (2π/a)x 求体系的能量(准确到二级)。 10. 设在H 0表象中0102()() E a b H b E a ??+= ?+?? （a,b 为实数）
量子力学第二章总结
第二章 1.波函数/平面波： （1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。 （2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数 2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子. 3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。 由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。 （2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。 4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|2 5.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2 d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2 d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。 7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ?Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2 故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2 d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。 8.δ—函数 δ(x-x 0)= 0 x ≠x 0 ∞ x=x0 ∫+∞ -∞δ（x-x 0）dx=1 9.波函数的标准化条件： （1）单值、有限、连续 （2）正交 归一 完备 10.态叠加原理： 态叠加原理一般表述：若Ψ1 ，Ψ2 ……Ψn …… 是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C 1Ψ1+ C 2Ψ2+……+C n Ψn 也是体系的一个可能状态。 11.能量算符/哈密顿算符 定态波函数满足下面两个方程： 两个方程的特点：都是以一 个算符作用于Ψ(r, t)等于E Ψ(r, t)。 →哈密顿算符 这两个算符都是能量算符 12.薛定谔方程: 13.几率流密度 单位时间内通过τ的封闭 表面S 流入（面积分前面的负号）τ内的几率，因而可以自然的把J 解释为概率密度矢量。 14.质量守恒定律： 15.电荷守恒定律：
用简并定态微扰理论求氢原子的二级斯塔克效应.
学号：14081601101 毕业论文 题目：用简并定态微扰理论求氢原子的二级斯塔克效应 作者届别2012 学院物理与电子学院专业物理学 指导老师职称教授 完成时间2012年5月
摘要 本文主要在氢原子的一级斯塔克效应的基础上计算其二级斯塔克效应，在氢原子的一级斯塔克效应中，当n=2时能级有分裂，简并有消除，但是并没有完全消除，对氢原子进行二次斯塔克效应的研究，发现简并没有消除只是能级发生了移动。这很好的解释了氢原子的赖曼线系第一条谱线在电场作用下分裂为三条的原因。 关键词：氢原子；简并；斯塔克效应
Abstract This thesis mainly account the second order Stark effect of hydrogen atom based on its first order Stark effect. When n = 2, there is fission in energy level and elimination in degeneracy in the first order Stark effect of hydrogen atom. But the degeneracy does not absolutely disappear. While researching on the second order Stark effect of hydrogen atom, the author of this thesis finds that there is only shift in energy level and no elimination of the degeneracy, which well explains the reason why the first line in the Lai Man line of hydrogen atom is divided into three spectrum lines. Keyword: Hydrogen atom；Degeneracy；Stark effect
量子力学复习题
? 量子力学复习题 ? 简答题 1得布罗意关系是什么？ 2与自由粒子相联系的波是什么波？表达式？ 3波函数ψ(x)=coskx 是否自由粒子的能量本征态？该波函数是否动量本征态？ 4怎样理解波粒二象性，为什么说几率波正确地把物质粒子的波动性和粒子性统一起来？ 5波函数是用来描述什么的？归一化条件的物理意义？波函数的标准条件？ 6波函数ψ与ψk 、ψαi e 是否描述同一态？ 7什么是定态？定态有什么性质？ 8束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 9简并、简并度。 10用球坐标表示，粒子波函数表为 ()?θψ,,r ，写出粒子在立体角Ωd 中被测到的几率。 11用球坐标表示，粒子波函数表为 ()?θψ,,r ，写出粒子在球壳()dr r r +,中被测到的几率 12 ）（z L L ,2 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 13写出一维谐振子的能级表达式。 14写出氢原子的波函数及能级表达式并指明量子数的取值范围。 15一个力学量Q 守恒的条件是什么 16写出几率流密度）（t r j ,? ?的表达式，几率守恒定律的公式。 17物理上可观测量对应什么样的算符?为什么? 18证明厄密算符的本征值必为实数。 19证明厄密算符属于不同本征值的两个本征函数，彼此正交。 20证明在任何状态下，厄密算符的平均值都是实数，其定理也成立。 21坐标x 与动量 p x 对易关系是什么? 并写出两者的不确定性关系。 22对一个量子体系进行某一力学量的测量值，测量结果与表示力学量算符有什么关系？两个力学量同时具有确定值的条件是什么？ 23量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：∑=n n n x c x ) ()(ψψ写出展开式系数n c 的表达式。 24力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？ 25设一个二能级体系的两个能量本征值分别为E 1 和E 2，相应的本征矢量为 ｜n 1 >
22微观粒子的波动性和状态描述习题解答
第二十二章 微观粒子的波动性和状态描述 一 选择题 1．如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的( A ) A. 动量相同 B. 能量相同 C. 速度相同 D. 动能相同 2．关于不确定关系?x ?p x ≥2 有以下几种理解，其中正确的是：( C ) （1） 粒子的动量不可能确定 （2） 粒子的坐标不可能确定 （3） 粒子的动量和坐标不可能同时确定 （4） 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子 A. （1），（2） B. （2），（4） C. （3），（4） D. （4），（1） 3. 将波函数在空间各点的振幅同时增大 2 倍，则粒子在空间的分布概率密度将( D ) A. 增大2 倍 B. 增大2 倍 C. 增大4倍 D. 不变 二 填空题 1．运动速率等于在300K 时方均根速率的氢原子的德布罗意波长是0.145nm 。质量为M =1g ，以速度v =1cm·s -1运动的小球的德布罗意波长是6.63?10-20nm 。（氢原子质量m H =1.67×10-27 kg ） 2．当电子受到1.0MV 的加速电压作用后，其德布罗意波长为8.7×10-13 m 。 （提示：须考虑相对论效应） 3．如果电子被限制在边界x 与x +?x 之间，?x =0.05nm,，则电子动量x 分量的不确定量近似为__ 1.3×10-23 _kg·m/s 。 4. 如果系统的激发态能级宽度为1.1eV ，此态的寿命是 5.99×10-16 s 。 5．设描述微观粒子运动的波函数为ψ (r , t )，则ψψ*表示粒子在t 时刻在（x , y , z ）处出现的概率密度；ψ (r , t )须满足的条件是单值、有限、连续 ；其归一化条件是 ??? 1=d d d 2z y x Ψ。 三 计算题 1．若不考虑相对论效应，则波长为550nm 的电子的动能是多少e V ？ 解：非相对论动能2k 2 1v m E =，而p = m v ，所以m p E 22k =。又根据德布罗意关系有p = h /λ代入上式，则
第五章-微扰理论-习题答案.doc
第五章微扰理论 2 2 1.设氢原子中价电子所受有效作用班厂）二-玉-几兽 其中￡ , r 厂 4矶 试用微扰理论求基态能屋（准确到一级）。 ［解］:氢原子基态波函 数 ???Eo = E ： + E 冷… 「El 守 -a 2r 2r =一手臥九J7石dMQ -2aal&入航 ???E O = E ： + E ；+??? 2 ?设在方。表象中方的矩阵为 = _4a\[^￡a 。九-— < 2丿 00 2 ——0<2<1 __L 2 -r
’E ；）0 a 、 H= 0 E ； b 其中 E ； < E ； < E ； 问,问《卑 a b" E ； \ 3 / 试用微扰理论求能量木征方程的木征值，准确到二级。 /\ /V ［解］表象中的H 的若无微扰吋，应是一个对角矩阵，而此题中H 不是对角阵，但 它的项应是对角阵。 曾 \ a 0 0、 <0 0 a } H = 0 E ； h — E ： 0 + 0 0 b ? a E 為 (O E 為 * 2 胪 o > 曾 0、 ‘0 0 a ' 第一项就是H.= 0 E ； 0 第二项是H'= 0 0 h ,0 \ E 為 ? /?* 0, 若准确到二级対三个能级 耳 爲 耳则 E 严 E ：）+ E ：+E ；+… E' = E ； + E ； + E ；+… 式中已知，只要求出0尽即可 ??? E \ = H\ E\ = H ；2 ??? H ；2 = o H ；3 = a ??. E ；=于g 由的矩阵元中对知 H ： H ；=码=0 即 E ； = E ；= ￡；=() ?? F 2=y \H nn] =y r() m m .R ⑺_ V 冋“」 1 —乙耳）_￡； （m 工1） m = 1.3此吋只有三项 E' 耳-E ； ' El-El
第17讲5简并微扰理论零级近似波函数的确定和能级的一级修正
第17讲 第五章 微扰理论 §5.2 简并情况下的定态微扰论—简并微扰理论 零级近似波函数的确定和能级的一级修正 ()()∑==k 1i i 0i 0n C φψ (32-2) 代入()()()()()()()00101n n n n ??H E E H 'ψψ-=- (31-8b ) 式就可以确定()0i C ，并求出()1n E 。即求出波函数的零级近似 ()0n ψ和能量一级修正()1n E 。 具体计算如下： 把(32-2)式代入()()()()()() ()01100??n n n n H E E H ψψ'-=-（31-8b ） 得： ()()()()()()()∑∑=='-=-k i i i k i i i n n n H C C E ψE H 10101100??φφ （32-3） 以*i φ左乘上式两边并对整个空间积分，得： ()()()()()()()∑?∑??=='-=-k 1 i i *0i k 1i i *0i 1n 1n 0n 0*d H ?C d C E d E H ?τφφτφφτψφ 左边=()()( )[]()0d E H ?1n *0n 0=-?τψφ (利用厄米算符的定义式) 定义 ?'='i i *H d H ? τφφ (微扰矩阵元) (32-5) 则 ()() ()0C E H k 1i 0i i 1n i =-' ∑= δ( =1，2，3，…，k ) (32-4) 上式是关于()0i C (i =1,2,3…,k )的齐次线性方程组，它有非零 解（()0i C 不全为0的解）的充要条件为(零解时()00n =ψ，无意 义)： ()()()0121212221112111=-''''-''''-') E H (H H H )E H (H H H )E H (n kk k k k n k n (32-7)
量子力学_王学雷_第二章波函数薛定谔方程
§2.1 波函数的统计解释 一．波动－粒子二重性矛盾的分析 物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？ 实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。到了原子世界（原子大小约 1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。 传统对波粒二象性的理解： （1）物质波包物质波包会扩散，电子衍射，波包说夸大了波动性一面。 （2）大量电子分布于空间形成的疏密波。电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒子性一面。 对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。 二．波函数的统计解释 1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。 描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。 几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。 描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定； 描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。 设波函数描写粒子的状态，波的强度，则在时刻t、在坐标x到x+dx、 y到y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为，应正比于体 积和强度 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
§5.1 简并定态微扰理论
§5.1 非简并定态微扰理论 重点： 微扰的条件，微扰能量二级修正的求解 （一）基本方程 假设体系的哈密顿算符H不显含时间，所以体系有确定的能量，而且可分为两部分：一部分是，表示体系未受微扰的哈密顿算符；另一部分是，是加于上的微扰 (5.1-1) 以和表示的本征函数与相应的本征值，对未受扰的体系，薛定谔方程 （5.1-2） 的解是已知的，对于被微扰的体系有 （5.1-3a） 即 （5.1-3b） （5.1-4）
并在最后运算结果令，利用（5.1-4），则（5.1-3b）可写成 （5.1-5） 由于、E n都和微扰有关，可把它们看作是表征微扰程度参数的函数，将它们展为 的幂级数。 （5.1-6） （5.1-7） 式中、依次是体系未受微扰时的能量和波函数，称为零级近似能量和零级近似波函数，和是能量和波函数的一级修正，等等。 将（5.1-6），（5.1-7）式代入（5.1-5）式中，得 （5.1-8） 空虚等式两边同次幂的系数应相等，由此得到下面一系列方程： （5.1-9） （5.1-10） （5.1-11） 将省去，为此在（5.1-4）式中令，得出，故可把，把， 理解为能量和波函数的一级修正。
（二）一级微扰 （1）能量的一级修正 为了求，以左乘（5.1-10）式两边，并对整个空间积分 （5.1-12）注意是厄密算符，是实数，则上式左边 （5.1-13） 于是由（5.1-12）式，注意到的正交归一性，得到 （5.1-14）即能量的一级修正值等于在态中的平均值。 （2）波函数的一级修正 已知，由（5.1-10）式可求得。为此我们将按的本征函数系展开 （5.1-15）在上式中，若决定，便可求得。为此，将上式代入（5.1-10）式，并注意，得
22微观粒子的波动性和状态描述习题解答
第二十二章 微观粒子的波动性与状态描述 一 选择题 1.如果两种不同质量的粒子,其德布罗意波长相同,则这两种粒子的( A ) A 、 动量相同 B 、 能量相同 C 、 速度相同 D 、 动能相同 2.关于不确定关系?x ?p x ≥2 有以下几种理解,其中正确的就是:( C ) （1） 粒子的动量不可能确定 （2） 粒子的坐标不可能确定 （3） 粒子的动量与坐标不可能同时确定 （4） 不确定关系不仅适用于电子与光子,也适用于其它粒子 A 、 (1),(2) B 、 (2),(4) C 、 (3),(4) D 、 (4),(1) 3、 将波函数在空间各点的振幅同时增大 2 倍,则粒子在空间的分布概率密度将( D ) A 、 增大2 倍 B 、 增大2 倍 C 、 增大4倍 D 、 不变 二 填空题 1.运动速率等于在300K 时方均根速率的氢原子的德布罗意波长就是0、145nm 。质量为M =1g ,以速度v =1cm·s -1运动的小球的德布罗意波长就是6、63?10-20nm 。(氢原子质量m H =1、67×10-27 kg) 2.当电子受到1、0MV 的加速电压作用后,其德布罗意波长为8、7×10-13 m 。 (提示:须考虑相对论效应) 3.如果电子被限制在边界x 与x +?x 之间,?x =0、05nm,,则电子动量x 分量的不确定量近似为__ 1、3×10-23 _kg·m/s 。 4、 如果系统的激发态能级宽度为1、1eV ,此态的寿命就是 5、99×10-16 s 。 5.设描述微观粒子运动的波函数为ψ (r , t ),则ψψ*表示粒子在t 时刻在(x , y , z)处出现的概率密度;ψ (r , t )须满足的条件就是单值、有限、连续 ;其归一化条件就是 ??? 1=d d d 2z y x Ψ。 三 计算题 1.若不考虑相对论效应,则波长为550nm 的电子的动能就是多少e V ？ 解:非相对论动能2k 2 1v m E =,而p = m v ,所以m p E 22k =。又根据德布罗意关系有p = h /λ代入上式,则
22微观粒子的波动性和状态描述习题解答
解：非相对论动能E k p= h /代入上式，则 1 2 mv 2 ，而p = mv ，所以E k 2 —。又根据德布罗意关系有 2m E k h 2 2m 2 4.98X 10 6 eV 第二十二章微观粒子的波动性和状态描述 选择题 1如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A ) A.动量相同 B.能量相同 C.速度相同 D.动能相同 2 ?关于不确定关系 x p x —有以下几种理解，其中正确的是： (C ) 2 (1) 粒子的动量不可能确定 (2) 粒子的坐标不可能确定 (3) 粒子的动量和坐标不可能同时确定 (4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子 3. 将波函数在空间各点的振幅同时增大 2倍，则粒子在空间的分布概率密度将 二填空题 1.运动速率等于在300K 时方均根速率的氢原子的德布罗意波长是。 质量为M=1g , 以速度v =1cm -s 1运动的小球的德布罗意波长是 10 20nm 。(氢原子质量m H = x 10 27 kg ) 2?当电子受到的加速电压作用后，其德布罗意波长为x 10 13 m 。 (提示：须考虑相对论效应) 3. 如果电子被限制在边界 x 与x + x 之间，x =,，则电子动量x 分量的不确定量近 似为 x 10 23 _kg m/s 。 4. 如果系统的激发态能级宽度为，此态的寿命是 X 10 16 s 。 5 .设描述微观粒子运动的波函数为 (r, t)，则*表示粒子在t 时刻在(x , y , z )处 出现的概率密度； (r, t)须满足的条件是单彳 ________ ;其归一化条件是 W 2 dxdydz= 1 。 三计算题 1.若不考虑相对论效应，则波长为 550nm 的电子的动能是多少 e V A. ( 1), (2) B. (2), (4) C. ( 3), (4) D. (4), (1) A.增大2倍 B.增大2倍 C.增大4倍 D.不变
量子力学-非简并定态微扰理论
分类号 编号 毕业论文 题目非简并定态微扰理论 学院物理与信息科学学院姓名崔骁 专业物理学 学号271040106 研究类型研究综述 指导教师方玉田 提交日期
原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：年月日 论文指导教师签名：
目录 正文 ................................................................... .１ 1 引言 .................................................. 错误！未定义书签。 2 非简并定态微扰理论 .................................... 错误！未定义书签。 2.1 理论定义 (1) 2.1 非简并 (1) 2.1.2定态 (1) 2.2理论推导 (2) 2.2.1一级近似计算 (3) 2.2.2二级近似计算 (4) 2.2.3三级近似计算 (7) 3 能量和波函数的修正关系 (9) 5 参考文献 (10)
非简并定态微扰理论 崔骁 （天水师范学院物理与信息科学学院，甘肃天水 741000） 摘要采用逐级近似的方法，求解非简并定态微扰理论能量和波函数的修正，能量和波函数分别修正计算至三级，并找出了能量逐级修正和波函数逐级修正之间的关系。关键词非简并；定态微扰理论；逐级近似；能量修正；波函数修正 Non-degenerate Stationary Perturbation Theory Cui xiao (College of Physics and Information Science,Tianshui Normal University, Tianshui Gansu 741001) Abstract：Using the method of Progressive approximation to solve Energy level correction and Wave function in non-degenerate Stationary Perturbation Theory, energy and wave function were modified computing to level 3, and find out the relationship between Energy level correction and Wave function correction. Key words: Non-degenerate，Stationary Perturbation Theory，Energy level correction，Wave function correction，Progressive approximation
量子力学中的波函数
量子力学中的波函数 ***（********） 摘要：本文主要介绍了量子力学中描述微观粒子状态的波函数，分别阐释了态叠加原理以及波函数的性质，并基于波恩统计诠释，讨论了波函数需要满足的条件，最后简单解释了波函数的推导，以及一些新的理解。 关键词：量子力学波函数概率波态叠加原理 量子力学是研究微观粒子的运动规律 的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。本篇文章中要提到的波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数。 1、波粒二象性 在经典物理学中，粒子性是指它具有一定的质量、电荷等属性，同时还具有确定的空间位置和运动轨道。波动性中的波是指某些实际的物理量的空间分布的周期性变化，更重要的是呈现出的干涉和衍射现象。显然二者不能用来同时描述一个物体，如果一定要用经典的概念来解释波粒二象性，就只能做一个设想，比如其中一个是基本单元，另一个是由这个组成衍生出来的，这显然是不成立的。首先，波的衍射现象可以看出波动性并不依赖于粒子之间的相互作用，波动性是适用于单个粒子的。其次，将粒子看成是一个小波包，根据德布罗意关系，波包在传播过程中，会迅速扩散开，以至消失。所以，要完全用经典的波和粒子把它统一起来是 不可能。所以德布罗意提出“物质波假说”，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。 2、概率波的物理意义 在量子力学中，微观粒子的状态都是用上面所说的波函数来描述的，只要知道了体系的波函数，原则上其他的力学量都可以根据波函数得到。但是波函数自身并不指任何的可观测量，它是用来描述粒子出现在空间某一点附近的概率大小的物理量，可表示为 |Ψ（r，t）|2dxdydz 上式表示在点r附近的小体积元dxdydz 中找到粒子的概率，这就是波恩的统计诠释，它是量子力学的基本假设之一。 由此看出，量子力学中的波函数和经典物理中的波函数是截然不同的两个概念。量子力学中的波函数是一种概率波。波恩提出波函数的概率理念很好地阐释了波粒二象性。概率波的概念，可以解释微观粒子的干涉和衍射现象，而且没有涉及粒子本身的结构。当概率波变化时，改变的只是粒子在空间各点出现的概率，并不会改变粒子的结构，所以它和粒子性并不矛盾。 3、态叠加原理 态叠加原理是量子力学的基本假设之一，它是量子力学与经典力学根本差别。它的线性叠加为 Ψ(r,t)=Ψ1(r,t)+Ψ2(r,t)+……=Σc iΨi(r,t) 态叠加原理表述方式有很多种，其中一 种表述为“叠加态Ψ(r,t)既不是Ψ1(r,t)态 也不是Ψ2(r,t)态，它是一个新态”。叠加态是体系的一个新态，有别于原来的各态，性质也有别于原来的各态。例如，许多非束缚态的平面波可以叠加成为一个束缚态、自旋态等，都说明了叠加态是个新态。 3、概率波函数的性质
微扰理论
第五章 微扰理论本章介绍：在量子力学中，由于体系的哈密 顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能严格求解的情况不多（一维谐振子，氢原子）。因此，引入各种近似方法就显得非常重要，常用的近似方法有微扰论，变分法，WKB （半经典近似），Hatree-Fock 自恰场近似等。本章将介绍微扰论和变分法。 本章将先讨论定态微扰论和变分法，然后再讨论含时微扰以及光的发射和吸收等问题。 §5.1 非简并定态微扰论 §5.2 简并定态微扰论§5.3 氢原子的一级 Stark 效应§5.4 变分法§5.5 氦原子基态§5.6 含时微扰§5.7 跃迁几率和黄金费米规则§5.8 光的发射与吸收§5.9 选择定则附录： 氦原子基态计算过程非简并定态微扰论本节将讨论体系受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能量和波函数所发生的变化。 假设体系的哈密顿量不显含时间，能量的本征方程 ?H E ψψ= 满足下列条件： ?H 可分解为 0?H 和 ?H '两部分，而且 0?H 远大于?H '。 00????? H H H H H ''=+ 0?H 的本征值和本征函数已经求出，即 0 ?H 的本征方程 (0)(0)(00?n n n H E ψψ=中， 能级(0)n E 和波函数(0)n ψ都是已知的。微扰论的任务就是从0 ?H 的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰?H ' 后，?H 的本征值和本征函数。3. 0 ?H 的能级无简并。严格来说，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并的。例如我们要通过微扰计算?H '对 0 ?H 的第n 个能级(0)n E 的修正，就要求(0)n E 无简并，它相应的波函数只有(0) n ψ一个。其他能级既可以是简并的，也可以是无简并的。4. 0H 的能级组成分离谱。严格说来，是要求通过微扰来计算它的修正的那个能级(0)n E 处于分离谱内，(0)n ψ是束缚态。 在满足上述条件下，定态非简并微扰论的目的是从已知的 0 ?H 的本征值和本征函数出发求0H 的本征值和本征函数。为表征微扰的近似程度，通常可引进一个小参数λ，将?H '写成?H λ' ，将 ?H ' 的微小程度通过λ 的微小程度反映出来。体系经微扰后的薛定谔方程是 0???()n n n n H H H E ψλψψ'=+= 将能级n E 和波函数 n ψ 按λ 展开：
微扰理论
微扰理论 (量子力学) 维基百科，自由的百科全书 跳转至：导航、搜索 量子力学的微扰理论引用一些数学的微扰理论的近似方法于量子力学。当遇到比较复杂的量子系统时，这些方法试着将复杂的量子系统简单化或理想化，变成为有精确解的量子系统，再应用理想化的量子系统的精确解，来解析复杂的量子系统。基本的点子是，从一个简单的量子系统开始，这简单的系统必须有精确解，在这简单系统的哈密顿量里，加上一个很弱的微扰，变成了较复杂系统的哈密顿量。假若这微扰不是很大，复杂系统的许多物理性质（例如，能级，量子态）可以表达为简单系统的物理性质加上一些修正。这样，从研究比较简单的量子系统所得到的知识，我们可以进而研究比较复杂的量子系统。 微扰理论可以分为两类，不含时微扰理论与含时微扰理论。不含时微扰理论的微扰哈密顿量不相依于时间；而含时微扰理论的微扰哈密顿量相依于时间，详见含时微扰理论。本篇文章只讲述不含时微扰理论。此后凡提到微扰理论，皆指不含时微扰理论。 目录 [隐藏] ? 1 微扰理论应用 ? 2 历史 ? 3 一阶修正 ? 4 二阶与更高阶修正 ? 5 简并 ? 6 参阅 ?7 参考文献 ?8 外部链接 [编辑]微扰理论应用 微扰理论是量子力学的一个重要的工具。因为，物理学家发觉，甚至对于中等复杂度的哈密顿量，也很难找到其薛定谔方程的精确解。我们所知道的就只有几个量子模型有精确解，像氢原子、量子谐振子、与盒中粒子。这些量子模型都太过理想化，无法适当地描述大多数的量子系统。应用微扰理论，我们可以将这些理想的量子模型的精确解，用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。例如，通过添加一个微扰的电位于氢原子的哈密顿量，我们可以计算在电场的作用下，氢原子谱线产生的微小偏移（参阅斯塔克效应）。
第五章 微扰理论b
第五章 微扰理论 §5.1 学习指导 应用量子力学理论解决实际问题，通常需要求解薛定谔方程。除了前几章中介绍过的几个高度理想化的简单模型外，绝大多数实际量子体系的薛定谔方程都不能精确求解。因此在量子力学基本理论的基础上，寻找有效的近似方法，求出实际量子体系的近似解是量子力学的重要内容之一。 量子力学中常用的近似方法有微扰近似、准经典近似和变分法等，这些方法在实际问题中有广泛的应用。微扰近似方法是在已知精确解的量子力学模型的基础上进行的，该方法把 系统的哈密顿算符分为两个部分：无微扰哈密顿算符0 ?H 和微扰项H '?，其中无微扰哈密顿算符可以精确求解，微扰项相对很小。这样就可以在无微扰时精确解的基础上，通过逐级近似的方法来求出加上微扰项后引起的修正，从而得到系统的近似解。准经典近似方法是利用大量子数条件下量子力学与经典力学的对应原理为基础，求出量子理论对经典结果的修正。变分法是利用能量本征方程中，基态能量的极小值特性，从一类试探函数中选择出使得能量最小的状态，作为基态波函数的近似。虽然变分法的应用范围比较窄，但可以处理一些无法用微扰近似方法解决的问题。 本章的主要知识点有 1．定态微扰论 1）基本方法 体系的哈密顿0???H H H λ'=+，其中0?H ,H '?均不含时间t ，λ为表示数量级的小量，0?H 的本征方程)0()0()0(0?n n n E H ψψ=可以精确求解。将?H 的本征值与本征函数用小量λ展开为(0)(1)2(2)n n n n E E E E λλ=+++L 和(0)(1)n n n ψψλψ=++L ，代入本征方程?n n n H E ψψ=后得到 (0)(1)(0)(1)2(2)(0)(1)0??)()()()n n n n n n n H H E E E λψλψλλψλψ'+++=+++++L L L ( (5-1) 比较两边同阶量，立即得到本征方程的各级近似，进而可以求出本征值n E 与本征函数n ψ的各级修正。 2）非简并定态微扰论 当无扰动能量本征值(0)n E 无简并时，由(5-1)式可以得到 能级的一级修正为 (1) n nn E H '= (5-2)
微观粒子的波动性和状态描述习题解答
1 第二十二章 微观粒子的波动性和状态描述 一 选择题 1．如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的( A ) A. 动量相同 B. 能量相同 C. 速度相同 D. 动能相同 2．关于不确定关系?x ?p x ≥2 有以下几种理解，其中正确的是：( C ) （1） 粒子的动量不可能确定 （2） 粒子的坐标不可能确定 （3） 粒子的动量和坐标不可能同时确定 （4） 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子 A. （1），（2） B. （2），（4） C. （3），（4） D. （4），（1） 3. 将波函数在空间各点的振幅同时增大 2 倍，则粒子在空间的分布概率密度将( D ) A. 增大2 倍 B. 增大2 倍 C. 增大4倍 D. 不变 二 填空题 1．运动速率等于在300K 时方均根速率的氢原子的德布罗意波长是0.145nm 。质量为M =1g ，以速度v =1cm·s -1运动的小球的德布罗意波长是6.63?10-20nm 。（氢原子质量m H =1.67×10-27 kg ） 2．当电子受到1.0MV 的加速电压作用后，其德布罗意波长为8.7×10-13 m 。 （提示：须考虑相对论效应） 3．如果电子被限制在边界x 与x +?x 之间，?x =0.05nm,，则电子动量x 分量的不确定量近似为__ 1.3×10-23 _kg·m/s 。 4. 如果系统的激发态能级宽度为1.1eV ，此态的寿命是 5.99×10-16 s 。 5．设描述微观粒子运动的波函数为ψ (r , t )，则ψψ*表示粒子在t 时刻在（x , y , z ）处出现的概率密度；ψ (r , t )须满足的条件是单值、有限、连续 ；其归一化条件是 ??? 1=d d d 2z y x Ψ。 三 计算题 1．若不考虑相对论效应，则波长为550nm 的电子的动能是多少e V ？ 解：非相对论动能2k 2 1v m E =，而p = m v ，所以m p E 22k =。又根据德布罗意关系有p = h /λ代入上式，则
第五章 微扰理论
(一) 单项选择题 114.非简并定态微扰理论中第n 个能级的表达式是(考虑二级近似) A.E H H E E n nn mn n m m ()()() ''0200++-∑. B. E H H E E n nn mn n m m ()()()'''02 00++-∑. C.E H H E E n nn mn m n m ()()()'''0200++-∑. D.E H H E E n nn mn m n m ()()() ''0200++-∑. 115. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的一级修正项为 A.H mn '. B.H nn '. C.-H nn '. D.H nm '. 116. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的二级修正项为 A.H E E mn n m m '()() 200-∑. B. ''()()H E E mn n m m 200-∑. C. ''()()H E E mn m n m 2 00-∑. D. H E E mn m n m '() () 200-∑. 117. 非简并定态微扰理论中第n 个波函数一级修正项为 A.H E E mn n m m m '()()()000-∑ψ. B. ''()()()H E E mn n m m m 000-∑ψ. C. ''()()()H E E mn m n m m 000-∑ψ. D. H E E mn m n m m '()()()000-∑ψ. 118.沿x 方向加一均匀外电场 ε,带电为q 且质量为μ的线性谐振子的哈密顿为 A. H d dx x q x =-++ 22222212 μμωε. B. H d dx x q x =-++ 2222212 μμωε. C. H d dx x q x =-+- 2222212 μμωε. D. H d dx x q x =-+- 22222212 μμωε. 119.非简并定态微扰理论的适用条件是 A.H E E mk k m '()()001-<<. B. H E E mk k m '()()001+<<. C. H mk '<<1. D. E E k m ()()001-<<. 120.转动惯量为I ，电偶极矩为 D 的空间转子处于均匀电场 ε中,则该体系的哈密顿为 A.ε ?+=D I L H 2??2. B. ε ?+-=D I L H 2??2.
量子力学中微扰理论的简单论述
量子力学中微扰理论的简单论述 摘要：在量子力学中，由于体系的哈密顿函数算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就什么重要。常用的近似方法有微扰法、变分法、半经典近似和绝热近似等，不同的近似方法有不同的实用范围，在下文中将讨论分立谱的微扰理论。对于体系的不含时的哈密顿函数的分立谱的的微扰理论可以分为非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论。 关键词：近似方法；非简并定态微扰理论；简并定态微扰理论
A simple discussion of perturbation theory in quantum mechanics Abstract：In quantum mechanics, because the system's Hamiltonian operatorare is complicated, the situation that Schrodinger's equation can be solved isexactly few. Therefore, the introduction of various.approximation methods for solving Schrodinger equation problem is something important. Approximate methods commonly are perturbation method, variational method, the semiclassical approximation and the adiabatic approximation and so on. Different approximation methods have different application scope, we willdiscuss the perturbation theory of discrete spectrum below. For Hamiltonian system of not containing time of discrete spectral of perturbation theory and degenerate stationary perturbation theory. Key Words：non degenerate stationary perturbation theory 、degenerate stationary perturbation theory.